CC BY
16
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
Том 23, № 122
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-216-227 УДК 517.98
О ДИСКРЕТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ ДЛЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
^ В. Б. Васильев
ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» 308015. Российская Федерация, г. Белгород, ул. Победы. 85 E-mail: [email protected]
Аннотация. Мы рассматриваем дискретную версию псевдодифференциальных операторов как первый этап построения приближенных методов решения псевдодифференциальных уравнений и их численной реализации. С этой целью вводятся классы периодических символов и дискретных операторов, рассматриваются вопросы разрешимости соответствующих дискретных уравнений и предлагаются некоторые вычислительные алгоритмы.
Ключевые слова: дискретный псевдодифференциальный оператор; дискретное уравнение; приближенное решение
Введение
Теория псевдодифференциальных операторов и уравнений к настоящему моменту представляет собой вполне сформировавшийся раздел современной математики [1-3]. Однако вопросы приближенного решения таких уравнений, на наш взгляд, практически не рассматривались в математической литературе. В связи с этим предлагается начать исследование псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач на дискретных структурах, с которыми достаточно просто проводить компьютерные вычисления. Мы начинаем с модельных операторов и уравнений и модельных областей евклидова пространства. Принцип изучения состоит в последовательной процедуре дискретизации: континуальный объект Е бесконечный дискретный объект € конечный дискретный объект. Задача заключается в исследовании разрешимости и нахождения решений дискретных уравнений [5-6] и сравнений полученных решений дискретных уравнений с их континуальными аналогами.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 1.7311.2017/8.9).
1. Основные понятия
Пусть - функция, определенная на Шт и удовлетворяющая условию
Cl(l+ £)в с А(0 СС2(1+ О", (1)
где с\.с2 - положительные постоянные, и £>(Кт) - пространство Шварца бесконечно дифференцируемых быстро убывающих на бесконечности функций. Функция порождает псевдодифференциальный оператор
(Аи)(х) = J J A(0^x-y)Hy)^dy, zVr, (2)
Mm M"1
который изначально определяется на и V S(Mm), а затем распространяется на более широкие пространства. Функция называется символом псевдодиффсрснциально-
го оператора А.
Замечание 1. Обычно рассматривают более общие псевдодифференциальные операторы
(Аи)(х) = J J A(x,0^x-y)My)d^dy, хУГ,
Jjm
порожденные символом А(х, £), определенном на Шт ± М™ . Однако учитывая локальный принцип наша ближайшая задача - исследование более простого оператора (2) и его дискретного аналога.
Пусть - периодическая функция в Мш такая, что
С1(1+ С МО с c2(i + (3)
т
где = h~2 J2 (e~lh^k I)2, и постоянные сл, с2 не зависят от h.
к=1
Пусть D —» Мт - область (конечная или бесконечная). Мы будем рассматривать функции Ud(x), определенные на D& < D { /7.Z"1, h > 0, и вводим следующий оператор
(AiMd)(i)= f хУ Dd,
где h < h1,Т™ < [ тг,тг]т.
Определение 1. Оператор А¿. называется дискретным псевдодиффсренци-альным оператором или коротко h-оператором. Периодическая функция Af(£) называется его k -символом.
Напомним, что символ (оператор) называется эллиптическим, если
ess inf Af(£) > 0. и, очевидно, все рассматриваемые символы эллиптические.
1.1. Дискретное преобразование Фурье. Если V ЬЖт, - функция дискретной переменной, мы используем термин «дискретная функция». Для таких дискретных функций можно определить дискретное преобразование Фурье
(*>*)(£)< «¿(О = ^ £УМГ,
хекЖт
если ряд сходится; полученная функция й^(£) является периодической на М™ с основным кубом периодов ИГ™. Такое дискретное преобразование Фурье сохраняет все основные свойства интегрального преобразования Фурье, в частности, обратное дискретное преобразование Фурье дается формулой
(Р^йа)(х) = —I хЧЫГ.
нтт
Дискретное преобразование Фурье осуществляет изоморфизм между пространствами Ь2{кЪт) и Ь2(НТт) с нормами
2 = ( £ "*(£) Щ 2 = ( [ йй(0 Ч
\xehzm ) \£е/тт у
1.2. Дискретные пространства. Поскольку в определении пространств Собо-лева-Слободецкого участвовали частные производные (по крайней мере, в начальной стадии их развития), мы используем их дискретные аналоги - хорошо известные разделенные (конечные) разности первого порядка
х>о<, хк + /г, >оо<, хт) ил(хг,
для которых преобразование дискретное преобразование Фурье выглядит следующим образом:
(д?^)(0 = 1 )М0-
Для разделенной разности второго порядка, мы, очевидно, получим
= ¡1~2{ий{хи ХХХ,Хк+2И, XXX, Хт)
2иа(хг, ххх, хк + 11, >о<х;хт) + иа(хг, >оо<,хк, ххх,хт)) и ее преобразованием Фурье будет функция
(Д^ХО = 1)^(0-
Тогда для дискретного лапласиана
т к=1
мы имеем
т
(д^жо=1)2й,(о. к=1
Теперь мы определим основное пространство 5(/iZm), состоящее из дискретных функций с конечными полунормами
ud = sup (1+ х )' A(k)Md(i) xehZm
для любых I V N,k = (fc1} >oo<, km), kr V N, r = 1, >o<x, m, где
Другими словами, пространство S{KLm) - это дискретный аналог пространства Шварца S(M™) бесконечно дифференцируемых быстро убывающих на бесконечности функций.
Определение 2. По определению, пространство Hs{KLm) - это замыкание пространства S (hXm) по норме
ч- . = (/ (1+ а г мо | . (4)
У(Гт /
Определение 3. Пространство Н3^!)^) состоит из дискретных функций из носители которых содержатся в . Норма в //"(Д^) индуцирована нормой пространства Н8(1Лт) . Пространство Н 1,(0а) состоит из дискретных функций (функционалов из 5"(МТО)) -щ с носителем в Д^, причем эти дискретные функции должны допускать продолжение на все пространство Н8{ЪЖт). Норма в Н^(В^) дается формулой
ил + = Щ я, где тАтпитп берется по всевозможным продолжениям £.
Разумеется, все нормы (4) эквивалентны Ь2-норме, но постоянные эквивалентности будут зависеть от к. В связи с этим отмстим, что все постоянные, которые встретятся ниже, не зависят от к.
2. Основные результаты
Мы будем рассматривать псевдодифференциальное уравнение
(Л«)(яг) = У(Х), XV Д (5)
и предложим для его решения некие вычислительные алгоритмы.
Поскольку нам известна картина разрешимости псевдодифференциальных уравнений в Мт и М"1 [3], нам следует выбрать такие дискретные псевдодифференциальные операторы, которые сохраняли бы все нужные свойства своих континуальных аналогов.
1/2
\s ~ /¿-\ 2,
Пусть Р/, - оператор сужения на }гЖ'"\ т. е. для и V ¿>(Мт)
Мы апробировали этот проектор для простейших псевдодифференциальных операторов, именно, для операторов Кальдеропа-Зигмунда (эти операторы можно трактовать как псевдодифференциальные операторы порядка ноль) и получили вполне приемлемые результаты [7-10], Однако структура псевдодифференциального оператора такова, что в данной ситуации более удобна другая конструкции проектора (оператора сужения).
Здесь мы введем новый оператор сужения для функций и V £'(Кт). Мы берем преобразование Фурье ¿¿(£), далее - его сужение на ИГ"5', и периодически продолжаем его на все Мто . Далее мы применяем обратное дискретное преобразование Фурье Р^1, - это будет дискретная функция, которую мы обозначаем {(¿ни) (.5), х V ЬЖт . По многим причинам такой проектор намного удобней введенного выше проектора Р/, . Оказывается, на самом деле проекторы и (¿ь почти одно и то же, в соответствии со следующим результатом.
Лемма 1. Для и\/ 5,(Мт),Г}£? > 0, справедлива оценка
(Рни)(х) (С}ни)(х) с СИ?, ПгУАХ"1, где постоянная С зависит только от и.
Доказательство. На самом деле здесь речь будет идти о сравнении двух преобразований Фурье. Действительно, по определению
(ВД(-) = (¿р /
Ш™
и, соответственно.
ПТ™
таким образом, их разность представляется интегралом
(Рни)(£) (Яни)(х) = —^ У
Утверждение леммы теперь следует из инвариантности класса Шварца 5'(Мт) относительно преобразования Фурье и простой оценки
й(0 с
-7
для ГУу > 0 .
Далее, символ мы определим следующим образом. Мы берем сужение
на куб 7гТт и периодически продолжаем его на все Кт . Мы будем рассматривать такой
/¿-оператор как аппроксимирующий оператор для А. Таким образом, для нахождения дискретного приближенного решения уравнения
(АаилХх) = уа{£), хУ (6)
в случае Б = Кт, мы можем использовать следующее дискретное уравнение
Алий = (¿¡р. (7)
Его решение дается формулой
мт™
так что нам не нужно находить (приближенное) решение бесконечной системы линейной алгебраических уравнений как в [7, 8]. В нашем случае достаточно применить какую-нибудь кубатурную формулу для вычисления последнего интеграла и еще одну куба-турную формулу для вычисления преобразования Фурье г>(£).
С учетом леммы 1 можно сравнить континуальное и дискретное решения для достаточно гладких правых частей и символов.
Теорема 1. Если символ удовлетворяет условию (1) и бесконечно диффе-
ренцируем на М™, и - решение уравнения (5), и^ - решение уравнения (7), то для V V ¿¡'(К™) имеется следующая оценка погрешности
и{х) иЛ{х) с СИР, СйМ КЕт,
для произвольного (3 > 0 .
3. Вариации И : случай полупространства
Этот случай кардинально отличается от случая пространства Кт, и условия эллиптичности символа уже недостаточно для разрешимости. Здесь принципиальную роль, обуславливающую картину разрешимости уравнений, играет индекс периодической факторизации.
Обозначим Щ = }(£', ® «г), г > 0| , £ = V ТГ .
Определение 4. Периодической факторизацией эллиптического символа называется его представление в виде
АК0 = А*+(£)А|, _(£),
где сомножители (£) допускают аналитическое продолжение в полу-полосы ЙГЦ по последней переменной £т при почти всех фиксированных V /гТ"1-1 и удовлетворяют оценкам
С С1(1 + С2 ¿£(0 С С2(1 + С2
с постоянными С1,С2, не зависящими от Н,
С2 < К2 I)2 + I)2 ^ , и+гтУ НП±.
Число ж V М называется индексом периодической факторизации.
Теорема 2. Если эллиптический символ допускает периодическую факто-
ризацию с индексом ш, так что ае в < 1/2, то уравнение (6) имеет, единственное решение в пространстве Ня(Оа) для любой правой части г^ У
МО =
Ни \
+ I М^тЦт)^^™2 Чт'<Нп I ■ (8)
-П-к /
Замечание 2. Нетрудно заключить, что решение не зависит от выбора продолжения £у4 .
Теорема 3. Пусть ¿е з = п + п V М, 5 <1/2. Тогда общее решение уравнения (6) е образах Фурье имеет следующий вид
п-1
где - произвольный многочлен степени п переменных С,к = Ь{е~гЬ^к 1),
& = 1, ххх, тп, удовлетворяющий условию (3), =0.1, ххх. п 1, произвольные
функции из = з 1/2.
Для случая ае з = п + 5, п V N. 5 < 1 /2, мы рассмотрим следующее достаточно общее уравнение
п
(А^х) + £ Щ О= щ(г), х V Д,, (9)
3=0
с неизвестными функциями ис[1Ь]^ = 0,1, ххх,тг, а К} - заданные псевдодиффсренци-альные операторы с символами (£), удовлетворяющими условию (3) с показателем
Замечание 3. Оператор К^ действует следующим образом. Если обозначить К]{х) «ядро» псевдодифференциального оператора Кмы получим
К3 (ь^) От>п)) = ^ К3(х
уеН Ж"1"1
(РГ^т < -2
Продолжив правую часть на все пространство Мт и применив дискретное преобразование Фурье, мы получим систему линейных алгебраических уравнений
п
= к = 0,1, XXX, гс,
3=0
где
4. <д>\ _ 1 [ е th*m l.fc Kjjg^&n) „
—hit
fin
1 r p-ih£m I __
h(C) = ^ J {-1-
—tin
Теорема 4. Пусть ae s = n + 5, n V N, 5 < 1/2 . Тогда уравнение (9) имеет
единственное решение щ V Hs(Dd), Cj V HSj (bZm_1), = s a+aj + 1/2, j* = 0,1, xxx, и, тогда и только тогда, когда
ess inf det(ijy(0)2,--o >
Справедлива априорная оценка
ud sCe vd bj Sj с % ад j = 0,1, xxx7n,
с постоянными a,ai, >ос<, ап, не зависящими от h.
3.1. Предельный переход. Хорошо известно [4], что
1 °° D
j 1 V^ 2n—1
cot X = — > —j— ч, X , 7Г < X < 7Г,
X ^ (2n)\
n=l 4 '
где B2n - числа Бернулли.
Если посмотреть на формулу (8), можно заметить, что ядро оператора Ff,er, то есть h cot имеет следующее представление
■2п-1
^ sra
, 22"' В2п f h£m \
так что мы получим при к Е 0 знакомое ядро преобразования Гильберта — — по
^ чш
последней переменной. Кроме этого, нетрудно заметить, что в пределе при к Е 0 все «периодические» многочлены теоремы 2 переходят в обычные многочлены по переменной . Это хорошо согласуется с континуальным случаем [3].
К сожалению, для этого случая получение оценок погрешности для и и не так просто как в теореме 1; пока можно лишь утверждать, что наблюдается сходимость щ к й при Не 0.
3.2. Оценка погрешности. При достаточно сильных ограничениях на правую часть и элементы факторизации все же можно дать сравнение дискретного и континуального решений.
Лемма 2. Если tí V ¿¡'(R™), то имеет место оценка
(F-'P^ix) (F^PjrQ^u)^) С ChP, х V ctm гуЗ > 0, постоянная С зависит только от и.
Доказательство. Здесь понадобится описание и сравнение двух проекторов, связанным с преобразованием Гильберта - стандартным и периодическим. Обозначим характеристическую функцию полупространства М™, и Xd{%) ~ характеристическую функцию дискретного полупространства /¿Z™ . Тогда в соответствии со структурными свойствами двух упомянутых преобразований мы имеем следующие равенства
Р гРей = X F^P^QTu = Xd H.Qhv).
Далее можно применить лемму 1.
На основании леммы 2 и теоремы 1 можно дать какое-то сравнение дискретного и континуального решений для полупространства. В нижеследующей теореме дается такое сравнения при выполнении условий теоремы 2, когда решение существует и единственно.
Теорема 5. Если символ удовлетворяет условию (1), бесконечно дифферен-
цируем на М™ вместе с множителями его факторизации и - решение урав-
нения (5), u¿ - решение уравнения (7), то для v V ¿>(Mm) имеется следующая оценка погрешности
и(х) ud(x) с Ch&, PxV h.Z™,
для произвольного /? > 0 .
Замечание 4. Чтобы правильно понимать трактовку этой теоремы, мы поясним как выбирается правая часть для решения уравнения (7). Решение уравнения (Б) в образах Фурье имеет вид
т=A-'íopzazhoho,
где P¿> = ^(J + Hg) - проектор, определяемый классическим преобразованием Гильберта по переменной [3]:
+ 00
(Щ'иШ = — v.p. / ——-—, Kl J Km Vm
— со
ív - произвольное продолжение v с R™ на все Мт в соответствующих функциональных пространствах. Поскольку в уравнении (6) правая часть определена только на /iZ™, в качестве продолжения £v¿ удобно выбрать Qh (iv) для получения искомой оценки.
Заключение
В заключение отметим, что здесь были рассмотрены только две канонические области Rm и R"1. У нас уже имеются некоторые результаты о разрешимости дискретных уравнений в конусе С" = }i V Rm : х = (х\хт),хт > ах' ,а > 0 [11, 12, 13]. Мы надеемся продолжить исследования в этом направлении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.
2. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир. 1984. 760 с.
3. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука. 1973. 236 с.
4. Градштпейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, сумм и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963. 1108 с.
5. Васильев В. Б. О разрешимости некоторых дискретных уравнений // Современные проблемы физико-математических наук: материалы Междунар. конф. Орел, 2017. С. 37-41.
6. Васильев В. Б. О краевых задачах для дискретного лапласиана в полупространстве // Математический форум (Итоги науки. Юг России). 2017. Т. 11. С. 95-102.
7. Vastlyev A.V., Vastlyev V.B. Discrete singular operators and equations in a half-space // Azerb. J. Math. 2013. Vol. 3. № 1. P. 84-93.
8. Васильев А.В., Васильев В.Б. О разрешимости некоторых дискретных уравнений и связанных с ними оценках дискретных операторов / / Доклады Академии наук. 2015. Т. 464. № 6. С. 651-655.
9. Vasilyev А. V., Vastly ev V.B. Discrete singular integrals in a half-space / j Current Trends in Analysis and its Applications. Trends in Mathematics / V. Mityushev. M. Ruzhansky (eds.). Basel: Birkhauser. 2015. P. 663-670.
10. Vasilyev A.V., Vastly ev V.B. On a digital approximation for pseu do-differential operators // Proc. Appl. Math. Mech. 2017. Vol. 17. Issue 1. P. 763-764.
11. Vasilyev V.B. Discrete equations and periodic wave factorization I j AIP Conference Proceedings. 2016. Vol. 1759. P. 0200126-1-5.
12. Vasilyev V.B. The periodic Cauchy kernel, the periodic Bochner kernel, and discrete pseudodifferential operators // AIP Conference Proceedings. 2017. Vol. 1863. P. 140014-1-4.
13. Vasilyev V.B. Discrete operators in canonical domains // WSEAS Trans. Math. 2017. Vol. 16. P. 197-201.
Поступила в редакцию 27 марта 2018 г.
Прошла рецензирование 25 апреля 2018 г.
Принята в печать 5 июня 2018 г.
Васильев Владимир Борисович, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород. Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Васильев В.Б. О дискретных приближениях для псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 216-227. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-216-227
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-216-227
ON DIGITAL APPROXIMATIONS FOR PSEUDO-DIFFERENTIAL EQUATIONS AND RELATED BOUNDARY VALUE PROBLEMS
V. B. Vasilyev
Belgorod State National Research University 85 Pobedy St., Belgorod 308015, Russian Federation E-mail: [email protected]
Abstract. We consider a discrete version of pseudo-differential operators as a first stage for constructing approximate methods of solving pseudo-differential equations and their numerical realization. For this purpose we introduce the classes of periodic symbols and discrete operators, study a solvability of corresponding discrete equations and suggest some computations algorithms.
Keywords: digital pseudo-differential operator; discrete equation; approximate solution
REFERENCES
1. Taylor M.E. Pseudodifferential Operators. Princeton, Princeton Univ. Press, 1981, 464 p.
2. Treves J.-F. Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators. New York, Springer, 1980, 299 p.
3. Eskin G. Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferential Equations. Providence, AMS, 1981, 375 p.
4. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tables of Integrals, Series, and Products. New York, Academic Press, 2007, 1200 p.
5. Vasilyev V.B. O razreshimosti nekotorykh diskretnykh uravneniy [On solvability of some discrete equations]. Materialy Mezhdunarodnoy konferentsii «Sovremennye problemy fiziko-mate-maticheskikh nauk» [Proceedings of International Conference "Modern Problems of Physical and Mathematical Sciences"]. Orel, 2017, pp. 37-41. (In Russian).
6. Vasilyev V.B. O kraevykh zadachakh dlya diskretnogo laplasiana v poluprostranstve [On boundary value problems for the discrete Laplacian in the half-space]. Matematicheskiy forum (Itogi nauki. Yug Rossii) - Mathematical Forum (Results of Science. South of Russia), 2017, vol. 11, pp. 95-102. (In Russian).
7. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. Discrete singular operators and equations in a half-space. Azerb. J. Math., 2013, vol. 3, no. 1, pp. 84-93.
8. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. O razreshimosti nekotorykh diskretnykh uravneniy i svyazannykh s nimi otsenkakh diskretnykh operatorov [On the solvability of certain discrete equations and related estimates of discrete operators]. Doklady Akademii nauk - Proceedings of the Russian Academy of Sciences, 2015, vol. 464, no. 6, pp. 651-655. (In Russian).
This work was supported by the State contract of the Russian Ministry of Education and Science (contract No 1.7311.2017/8.9).
9. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. Discrete singular integrals in a half-space. In: Mityushev V., Ruzhansky M. (eds.). Current Trends in Analysis and its Applications. Trends in Mathematics. Basel, Birkhauser, 2015, pp. 663-670.
10. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. On a digital approximation for pseudo-differential operators. Proc. Appl. Math. Mech., 2017, vol. 17, issue 1, pp. 763-764.
11. Vasilyev V.B. Discrete equations and periodic wave factorization. AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1759, pp. 0200126-1-5.
12. Vasilyev V.B. The periodic Cauchy kernel, the periodic Bochner kernel, and discrete pseudodifferential operators. AIP Conference Proceedings, 2017, vol. 1863, pp. 140014-1-4.
13. Vasilyev V.B. Discrete operators in canonical domains. WSEAS Trans. Math., 2017, vol. 16, pp. 197-201.
Received 27 March 2018 Reviewed 25 April 2018 Accepted for press 5 June 2018
Vasilyev Vladimir Borisovich, Belgorod State National Research University, Belgorod, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Differential Equations Department, e-mail:[email protected]
For citation: Vasilyev V.B. O diskretnykh approksimatsiyakh dlya psevdodifferentsial'nyh uravneniy i svyazannyh s nimi kraevykh zadach [On digital approximations for pseudo-differential equations and related boundary value problems]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 216-227. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-216-227 (In Russian, Abstr. in Engl.).
