CC BY
13
Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 3-11
УДК 517.968
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ ИХ НАХОЖДЕНИЯ
А. В. Васильев, В. Б. Васильев
В работе получена оценка разности между континуальным и дискретным сингулярными интегралами в многомерном пространстве. Предлагается использование быстрого преобразования Фурье для нахождения приближенного решения уравнений, содержащих такие операторы.
Ключевые слова: ядро Кальдерона — Зигмунда, символ, дискретный сингулярный интегральный оператор, приближенное решение, быстрое преобразование Фурье.
1. Введение
Под многомерным сингулярным интегральным уравнением в пространстве Ж" понимается уравнение вида
a(x)u(x) + J K(x,x — y)u(y) dy = v(x), x £ (1)
где K(x,y) — это так называемое ядро Кальдерона — Зигмунда [8, 11] и интеграл в (1) понимается в смысле главного значения
/ K(x,x — y)u(y) dy = lim / K(x,x — y)u(y) dy.
J J
е<|ж-y|<N
Определение 1. Функция К (ж, у), определенная на Ж™ х (Ж™ \ {0}), называется ядром Кальдерона — Зигмунда, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) К (ж, ¿ж) = г-тК (ж, у) (V ж е Ж™, V г > 0);
2) ¡8т-1 К(ж,ш) ^ = 0 (Vж е Ж™);
3) |К (ж, у) | ^ С, К (ж, о») дифференцируема на Бт-1 (V ж е Ж™), Бт-1 — единичная сфера в ^^^^^^^ пространстве, С — постоянная.
Вопросы разрешимости (нётеровости) уравнений типа (1) исследовались в работах
многих авторов в различных функциональных пространствах. Уравнения типа (1) (на-
Ж™
часто встречаются в различных задачах математической физики [13, 14], и вопросы нахождения их решения имеют первостепенное значение. Однако теоретические исследования, основанные, как правило, на локальном принципе [10], приводят лишь к условиям
© 2014 Васильев А. В., Васильев В. Б.
нётеровости и вычислению индекса оператора. Поэтому в данной работе мы для простейших типов уравнений (1) попытаемся обосновать схему дискретизации уравнений и нахождения приближенного решения, дать оценку погрешности дискретного решения и показать, что к таким уравнениям можно успешно применить быстрое преобразование Фурье.
Мы рассматриваем уравнение (1) в случае, когда ядро К(х, у) те зависит от полюса х, т. е. имеет вид
аи(х) + J К(х - у)и(у) йу = у(х), х £ Ж™. (2)
кт
Казалось бы, уравнение (2) решается просто применением преобразования Фурье, но это только теоретически. С компьютерной точки зрения нужны дискретные (и к тому же конечные) наборы точек, имитирующие (моделирующие) уравнение (2). В связи
(2)
уже рассматривать ее возможные конечные аппроксимации. Некоторые предварительные соображения, связанные с этим, были описаны в работах авторов [4-7].
2. Дискретный сингулярный интегральный оператор
Для многомерного сингулярного интегрального оператора
(Ku)(x) = J K(x - y)u(y) dy
Rm
мы предлагаем рассмотреть следующий дискретный аналог:
(Kdud)(x) = Kd(X - y) My) - ud(x)] hm, X G Zm, (3)
где мы будем придерживаться следующих обозначений.
В m-мерном пространстве Rm определим целочисленную решетку (mod h)Zm. Полагаем K(0) = 0 и обозначаем Kd сужение ядра K(x) на Zm, ud — функция дискретного аргумента, определенная на решетке Zm и, наконец, сумма ряда (3) понимается как предел частичных сумм
lim У Kd(x - y)[ud(y) - ud(x)] hm,
N—s-oo z—'
yezm n qn
где
Qn = 1 x G Rm : max |xk | < N
l^fc^m
i>2 'h m
Символом ¿ь мы будем обозначать гильбертово пространство функций дискретного аргумента со скалярным произведением
(ud,vd) = У ud{x)vd{x)
и соответствующей нормой
/ \ 1/2 Я Н Е |ud(x)|2hm\ .
rezm
h
K
ченно действует в пространстве L2(Rm) [8, 11]. С учетом этого нетрудно установить, что справедлива
Теорема 1. Имеет место оценка
||Kdud^| < c||ud ,
где постоянная c не зависит от h.
Таким образом, семейство дискретных операторов (3) равномерно ограничено по h.
3. Символы операторов и обратимость
K
K(x)
ст(Л = lim f K (x)e^xdx. J
e<|z|<N
Если применить преобразование Фурье к уравнению (2), то мы получим уравнение
(a + <r(0)u(0=
необходимым и достаточным условием разрешимости которого в пространстве L2(Rm) будет [8, 11]
inf |a + а(£)| > 0, е £
Функцию a + ст(£) мы называем символом оператора aI + K, I — единичный оператор.
С дискретным оператором Kd мы тоже свяжем символ £ £ [—nh-1, nh-1]m,
определяемый многомерным рядом Фурье
= Е K(x)e-^hm,
fezm
где частичные суммы берутся по дискретным кубам ^^ П и которые представляют собой периодическую функцию в Ж™ с основным кубом периодов [—пЛ-1, пЛ-1]™ [12].
Соответственно, символом дискретного сингулярного уравнения
(а/ + К )пй = (4)
мы называем функцию а + £ е [—пЛ-1 , пЛ-1 ]™.
В работе [17] был приведен замечательный факт, утверждающий, что множества значений символа ст(£) и совпадают, откуда немедленно вытекало, что уравнение (2) и его дискретный аналог (4) разрешимы или неразрешимы одновременно. Таким образом, если мы имеем решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (4), естественно ожидать, что при малых Л > 0 оно будет близко к решению исходного уравнения (2).
4. Оценка близости операторов К и К
Обозначим через Рь оператор сужения на решетку , т. е. оператор, сопоставляющий каждой функции, определенной на Ж™, набор ее дискретных значений в узлах решетки . Следуя [18], дадим следующее
Определение 3. Мерой аппроксимации операторов К и К^ в линейном нормированном пространстве X функций, определенных на Ж™, называется операторная норма
\\РНК - КАРк,
где Х^ — нормированное пространство функций, определенных на решетке ^т с нормой, индуцированной нормой пространства X.
В качестве пространства Х& наряду с пространством ¿Ь мы будем использовать пространство Сь, которое представляет собой пространство функций и^ дискретного аргумента X £ щт с нормой
= шах Ыж)|.
Другими словами, пространство Сь — это пространство сужений функций и £ С(Жт) на узлы решетки ■ Здесь стоит заметить, что оператор К не ограничен в пространстве С(Жт), однако он ограничен в пространстве ), и хорошо известно, что если правая
часть уравнения (2) обладает какой-то гладкостью (например, удовлетворяет условию Гёльдера), то решение уравнения (2) (если оно существует в .¿2(Жт)) обладает той же гладкостью [8].
Определим дискретное пространство Сь(а, в) как пространство функций дискретного аргумента ж £ ^т с конечной нормой
\\ий\\сн(а,в) = Ыки + йир
х,у€
К(ж)| ^
|ж - у!
у,уехт (шах{1 + |ж|, 1 + |у|})/
удовлетворяющих условиям
с
Мж) -иа(у)\ ^ с --' , /3, (Уж а, (3 > 0, 0 < ск < 1).
(1 + |ж|)в-а:
|ж - у\с
(тах{1 + |ж|, 1 + ШУ
Континуальным аналогом этих пространств служит пространство И^(Жт) функций, непрерывных на Ж™ и удовлетворяюще условиям Гёльдера с показателем 0 < а < 1 и с весом (1 + |ж|)в (см. [1]). Из результатов [1], в частности вытекает, что оператор К является линейным ограниченным оператором К : И^ (Жт) ^ И^(Жт) при условии т < в < а + т.
Для пространств Сь(а, в) имеет место
Теорема 2. Справедлива оценка
т < в < а + т, где постоянная с не зависит от К.
Мы дадим оценку меры аппроксимации операторов К и К в пространстве Сь(а,в). Это позволит дать оценку погрешности решения при замене континуального оператора К его дискретным аналогом К^.
Теорема 3. Для меры аппроксимации операторов К и К справедлива оценка
||РЛК - К^1к(а,в) < СЛЙ,
где постоянная с не зависит от К, а < а, /9 > в.
< Требуется доказать справедливость следующих двух оценок:
|((РЛК - К^)п)(ж)| < С1Ка, (5)
| [{РНК - КЛРн)и] (х) - ШК - КЛРн)и] (у)\ < с2Н& вир -- (6)
х./е^Т (тах{1 + |ж, 1 + |у|})в
с постоянными С1, С2, не зависящими от К. Начнем с оценки (5):
((РьК - К^)и) (ж) = / К (ж - у)[,,.(у) - „(ж)] „у - £ К (ж - у)[и(у) - „(ж)] К™
= / К (ж - у)[„(у) - „(ж)] „у - £ К (ж - у)[„(у) - „(ж)] л™
+ Е / (К (ж - у)[„(у) - „(ж)]- К (ж - ужу) - „(ж)]) „у
= /1 + /2 + /з,
где ^ь(у) _ куб с центр ом в у е и ребро м К.
Первые два слагаемых представляют собой «остатки на бесконечности» континуального и дискретного сингулярного интеграла, и лишь третье слагаемое оценивает близость между сингулярным интегралом и соответствующей кубатурной формулой. Поэтому начнем с /3.
1) Если ж = у, то
|ж-у|™
К (ж - у)[„(у) - „(ж)] ^у
(7)
|ж - у|™-а(1 + |у|)в'
2) Если ж = у, ж е ^^, то обозначив
/3, = / (К (ж - у)[„(у) - „(ж)]- К (ж - у)[„(у) - „(ж)]) „у,
<Ы/)
разобьем его на два
/з,п = J [К (ж - у) - К (ж - у)] [„(у) - „(ж)] ^у
+ | К (ж - у)[„(у) - „(у)] = /31п) + /32П. <Ы/)
Поскольку |ж — у| ~ |ж — у|, имеем
т (2) А3,п
^с!га \ ---—(8)
Ян(у)
Для оценки 13Ц нам понадобится следующая оценка для ядра Кальдерона - Зигму
н-
да
которая легко получается с помощью элементарных выкладок. С учетом этого
<ск [ _^__(9)
Ян(У)
Остается собрать вместе оценки (7)-(9), просуммировав по кубам Qh(y) С QN. Отметим, что оценка (7) в единственном числе. Разбив Жт на два множества
А= (уеГ: \х-у\ > 1 + |Ж'
2
и
имеем для
Я* = [ ЛУ
|ж — у|т(1 + |у|)в
Ям
следующую оценку (напомним, |ж — у| ^ К/2).
(у
Длг< и + У )\х-у\т(1 + \у\У
А В
На множестве А справедливы оценки
[_^_<_Е_ [ (1у <с(1 + \х\)-[3
У \х-у\т(1 + \у\)Р " (1 + \х\)т у (1 + \у\Г { 1 1> '
АА поскольку в > т.
На множестве В, переходя к сферическим координатам с центром в X, получаем
1+|Д|
2
Ау ^ [ (И . 1 + |ж|
^ с / — ~ с 1п ■
У |ж — у|т(1 + |у|)в У г к
В ь
С учетом (8) получаем
ЕI
(2) 3,п
(10)
Далее, суммируя оценки (9), нам нужно оценить интеграл
[ „у
У |ж - у|™+1-а(1 + |у|)в'
Ям
Используя то же разбиение А + В, имеем
/ (..о <с,
А
1+|Д| 2
[_^_ <г [ М =г( ___—\<гЬ~
У \х-у\т+1~а(1 + \у\У " У ¿2"« Ч(1 + |ж|)1"а Л1-в ь
Собирая вместе оценки для (9), получаем
(1) 3,п
< сК°
Е /
п
С учетом всех полученных оценок имеем
К
/1 , /2
¿у
|/3| < с I
|ж - у|™-а (тах{1 + |у|, 1 + |ж|})в
екг\дм
/ _ал_/ (1У
у |ж - у|™-а(1 + |у|)в " У |у|™-«+^
(Ж выбрано достаточно большим).
Устремляя N к то, окончательно получаем
1 + ж
\{{РНК - КаРн)и) (ж)Kconst•/laln^^.
Вторая оценка доказывается с помощью более громоздких выкладок, и мы не будем здесь на этом останавливаться. Отметим только, что оценка (9) доказывает близость операторов К и К^ в С^-норме. >
5. Вычислительные алгоритмы
Из результатов предыдущего раздела вытекает, что теоретически можно ожидать сходимость дискретного решения к континуальному при изменении шага решетки. Однако практическое нахождение решения дискретного уравнения (4) — это бесконечная система линейных алгебраических уравнений — наталкивается на проблему выбора конечной аппроксимации.
Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений уже рассматривались в математической литературе [9], где предлагались и обосновывались проекционные методы их решения. В применении к уравнению (4) схема выглядит следующим образом. Если обозначить Рм оператор сужения (проектор) на дискретный куб П , то уравнение (4) заменяется конечной системой линейных алгебраических уравнений
Рм (а/ + Ка = Рм (11)
Теоретические исследования, как правило, ограничиваются обоснованием перехода от (4) к (11), что подразумевает следующее
Утверждение. Если уравнение (4) однозначно разрешимо в пространстве то Для достаточно больших N уравнение (11) однозначно разрешимо на подпространстве Рм
С практической точки зрения такое утверждение малоэффективно, поскольку при малых К и больших N система (11) может оказаться огромных размеров, и с вычислительной точки зрения труднореализуема.
На наш взгляд, более прагматичной выглядит следующая схема конечной аппроксимации. По дискретному ядру К и заданной правой части г^ строятся их периодические аппроксимации посредством сужения на П ^^ и периодического продолжения на Их мы обозначим и соответственно. Вместо уравнения (4) мы рассматриваем уравнение
(ж)+ £ (ж - у)пй,м(ж)Кт = (ж), ж £ (12)
и в действительности это конечная система линейных алгебраических уравнений с так называемой циклической сверткой [15, 16]. Аппарат дискретного преобразования Фурье и свойства символа многомерного сингулярного интеграла позволяют обосновать разрешимость уравнения (12) при больших Ж, быстрое преобразование Фурье — отказаться от решения систем линейных алгебраических уравнений и ограничиться двукратным вычислением преобразования Фурье (прямого и обратного). Кроме того, сравнение численных результатов для простейших типов тестовых уравнений (как регулярных, так и сингулярных), полученных с помощью проекционных методов и быстрым преобразованием Фурье показало их близкое совпадение и серьезный выигрыш по времени (на порядок) в пользу последнего даже в одномерном случае [7]. По всей видимости, при увеличении размерности эта разница будет становиться более ощутимой.
Литература
1. Абдуллаев С. К. Многомерный сингулярный интеграл в пространстве Гёльдера с весом // Современные проблемы теории функций. Материалы всесоюзной школы по теории функций.—Баку: АГУ, 1980.—С. 43-48.
2. Абдуллаев С. К., Васильев В. Б. Об одной кубатурной формуле для многомерного сингулярного интеграла по ограниченной т-мерной области // Докл. АН Азерб. ССР.—1983.—№ 11.—С. 16-19.
3. Абдуллаев С. К., Васильев В. Б. К приближенному решению многомерных сингулярных интегральных уравнений // Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.—Баку: АГУ, 1983.—С. 17-26.
4. Васильев А. В., Васильев В. Б. О дискретных свертках // Тр. междунар. школы-семин. «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики».—Орел, 2009.—Вып. 7.—С. 31-35.
5. Васильев А. В., Васильев В. Б. Дискретные операторы Кальдерона — Зигмунда: некоторые наблюдения // Тр. XIV междунар. симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Ч. 2.—Харьков-Херсон, 2009.—С. 257-260.
6. Васильев А. В., Васильев В. Б. Дискретные варианты некоторых интегральных операторов и уравнений // Тр. междунар. школы-семин. «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики».—Орел, 2010.—Вып. 8.—С. 29-33.
7. Васильев А. В., Васильев В. Б. Численное решение некоторых классов двумерных сингулярных интегральных уравнений // Тр. XV междунар. симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики».—Харьков-Херсон, 2011.—С. 108-111.
8. Mikhlin S. G., Prössdorf S. Singular integral operators.—Berlin: Akademie-Verlag, 1986.—528 p.
9. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.—М.: Наука, 1971.—352 с.
10. Симоненко И. В. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих.—Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007.—120 с.
11. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.-256 с.
12. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.—М.: Наука, 1974.—707 с.
13. Партой В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости.—М.: Наука, 1981.—688 с.
14. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения теории упругости.—СПб: Изд-во СПбГУ, 1994.-272 с.
15. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток.—М.: Радио и связь, 1982,—248 с.
16. Оппенгейм А., Шафер Г. Цифровая обработка сигналов.—М.: Техносфера, 2009.—856 с.
17. Vasilyev V. В. On certain continual and discrete onvolution operators // Proc. MATHMOD Vienna 09. 6th Vienna Conf. on Math. Modeling (February 11-13, 2009, Vienna University of Technology). Full Papers CD Volume / Eds. I. Troch, F. Breitenecker. Argesim Report № 35.—P. 2616-2618.
18. Гавурин M. К. Лекции по методам вычислений.—M.: Наука, 1971.—248 с.
Статья поступила 24 апреля 2013 г.
Васильев Александр Владимирович Белгородский государственный университет, аспирант кафедры мат. анализа РОССИЯ, 308007, Белгород, ул. Студенчкская, 14/1 E-mail: [email protected]
Васильев Владимир Борисович Липецкий государственный технический университет, профессор кафедры высшей математики РОССИЯ, 398600, Липецк, ул. Московская, 30 E-mail: [email protected]
APPROXIMATE SOLUTIONS FOR MULTI-DIMENSIONAL SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS AND FAST ALGORITHMS FOR THEIR SOLVING
Vasil'ev A. V., Vasil'ev V. B.
The error estimate for continuous singular integral and the discrete ones in multi-dimensional space is obtained. The use of fast Fourier transform for finding approximate solutions for equations with such operators is suggested.
Key words: Calderon-Zygmund kernel, symbol, discrete singular integral operator, approximate solution, fast Fourier transform.
