CC BY
35
Поступила в редакцию 28 мая 2015 г.
Vasilyev A.V. ON DISCRETE-DIFFERENCE EQUATIONS
One considers a general difference-discrete equation on a real line and a half-axis and describes conditions for a unique solvability for simplest class of such equations in the space L2 . This studying is based on a periodic analogue of the Riemann boundary value problem.
Key words: difference equation; discrete equation; symbol.
Васильев Александр Владимирович, Национальный исследовательский Белгородский государственный университет, г. Белгород, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: alexvassel@gmail.com
Vasilyev Aleksandr Vladimirovich, National Research Belgorod State University, Belgorod, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Mathematical Analysis Department, e-mail: alexvassel@gmail.com
УДК 517.951
ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
СО СЛОЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ
© В.Б. Васильев
Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение; многомерная краевая задача Ри-мана; волновая факторизация; сложная граница.
Описывается конструкция общего решения модельного эллиптического псевдодифференциального уравнения в области многомерного пространства, представляющей собой объединение выпуклых конусов.
1. При исследовании псевдодифференциальных уравнений на многообразиях с краем важную роль играет локальный принцип, утверждающий, грубо говоря, что фредгольмо-вость уравнения вытекает из обратимости локальных представителей оператора, входящего в уравнение. Таким образом, для описания фредгольмовости уравнения нужно знание локальных представителей оператора, входящего в уравнение, в каждой точке многообразия (включая край) и условия обратимости этих локальных операторов. Такие локальные представители мы называем модельными, а области т -мерного пространства, диффеоморфные окрестности точки многообразия - каноническими. В зависимости от типа точки многообразия каноническая область выглядит по-разному, возможные варианты: И,™ для внутренней точки, К™ для граничной точки гладкости, С+ = {х € И,™ : х = = (х',хт),хт >а|х'|,а> 0}, х' = (х1,хт—1), для конуса и т.д.
2. Нас будет интересовать разрешимость уравнения
(Аи)(х) = /(х), х € С+, (1)
в пространствах Соболева-Слободецкого НЯ(С+) , где С+ - т -мерный конус, состоящий из объединения непересекающихся выпуклых конусов, С+ = ип=1 С^ , где конус Cj имеет вид С++ после поворота на соответствующий угол aj , А - модельный эллиптический псевдодифференциальный оператор с символом А(£) порядка а [1, 2]:
(Au)(x) = | J A(e)S(e)ei(x-y)-«didy.
C+ Rm
Для каждого конуса Cj, j = 1,... ,n, определим далее специальный многомерный сингулярный интеграл с помощью ядра Бохнера [1] формулой
(Bju)(x) = lim / Bj(x' - y', xm — ym + ir)u(y', ym)dy'dym. T ^0+ J
Rm
Этот сингулярный интеграл возникает как преобразование Фурье произведения характеристической функции конуса и некоторой суммируемой функции и тесно связан с многомерной задачей Римана в ее простейшем варианте. Он представляет собой одно из возможных многомерных обобщений интеграла типа Коши и соответственно преобразования Гильберта.
Приведем здесь основной результат для уравнения (1), опуская детали (их можно найти в [2, 3, 4] для случая одного выпуклого конуса). Общее решение может быть сконструировано следующим образом. Обозначим Qn(£) многочлен степени n, удовлетворяющий условию,
(1 + l£l)n,
обозначим (m — 1) -мерное преобразование Фурье (y' ^ £' в смысле распределений) функции e-m|y посредством Ea(£',£m) и определим оператор
(VaЙ)(С) = (Ea * u)(0 = J Ea(e — П, CmW, UW.
Rm-1
Обозначим Tk - вращение пространства Rm, переводящий конус Ck в конус C+k . Составим n вспомогательных многомерных задач Римана [1], предполагая, что W(£) = = 0, V{ € Rm :
~ ~ 1 / n — 1х -1 Ufc(О = W(C)Vk(0 + w(£), k = 1,..., n, W(0 = — - A(0 —
nn
с произвольно выбранными правыми частями {(£) € Н5(Кт) . Предположим, что Ш(£) допускает волновую факторизацию относительно С к с индексом Жк, Жк — в = Пк + 5,щ € € N |£| < 1/2 , и обозначим элементы волновой факторизации [1] символа Ш(£) относительно конуса Ск посредством Шк;=({), Шк,=({).
Теорема. Общее 'решение уравнения (1) в образах Фурье выражается формулой
«+(0 = Е W-= (C)Qnfc(№Q-1(0W-1= (£)w(0 + k=1
п пк
+ Е Шк-= (ШТ1^^ [ £ ](X
к=1 у=1
где С] (х') € Н(Кт-1) - произвольные функции, в] = в — Жк +. — 1/2, . = 1, 2,..., Пк, к = = 1,... ,п, I/ - произвольное продолжение / на Н5-а(Кт) .
Таким образом, чтобы описать конструкцию решения уравнения (1), нужно решить соответствующую вспомогательную задачу для каждого конуса Ск,к = 1,...,п, отдельно, причем для специального «составного» символа потребуется волновая факторизация относительно каждого конуса Ск с индексом Жк . Отметим, что этот символ Ш(£) по своей структуре напоминает исходный символ А(£) . Кроме этого, вычисления, проведенные в
[5], позволяют надеяться на получение содержательных результатов о разрешимости модельного уравнения (1) для случая сложных особенностей, содержащих «тонкие» конусы меньшей размерности, чем размерность пространства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев В.Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения. волнова-яфакторизация. краевые задачи. 2-е изд. М.: КомКнига, 2010.
2. Васильев В.Б. Обратимость псевдодифференциальных операторов в многомерных конусах // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. № 5. С. 24682470.
3. Vasilyev V.B. On certain elliptic problems for pseudo differential equations in a polyhedral cone // Adv. Dyn. Syst. Appl. 2014. V. 9. № 2. P. 227-237.
4. Vasilyev V.B. New constructions in the theory of elliptic boundary value problems // In: Integral Methods in Science and Engineering. Proc. IMSE Conference, Karlsruhe, Germany, 2014. Birkhauser, Basel, 2015. P. 573584.
5. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения, сингулярные интегралы и распределения // Прикладная математика и математическая физика. Москва, 2015. Т. 1. № 1. С. 3-18.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Липецкой области, проект № 14-41-03595-р-центр-а.
Поступила в редакцию 7 мая 2015 г.
Vasilyev V.B. PSEUDO DIFFERENTIAL EQUATIONS ON MANIFOLDS WITH COMPLICATED BOUNDARY
One describes the framework of a general solution of a model elliptic pseudo differential equation in a domain of a multidimensional space, which is a union of convex cones.
Key words: pseudo differential equation; multivariable Riemann boundary value problem; wave factorization; complicated boundary.
Васильев Владимир Борисович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: vbv57@inbox.ru
Vasilyev Vladimir Borisovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: vbv57@inbox.ru
УДК 517.935
О РЕКОНСТРУКЦИИ ВОЗДЕЙСТВИЯ В СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© А.Ю. Вдовин, С.С. Рублева
Ключевые слова: динамический регуляризирующий алгоритм; обратные задачи динамики.
Предлагается динамический подход построения воздействия в существенно нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом для его реализации указываются дополнительные условия, которыми должна обладать система.
