Периодический аналог краевой задачи Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ АНАЛОГ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА © А.В. Васильев

Ключевые слова: краевая задача Римана; индекс.

Рассматривается периодический аналог классической краевой задачи Римана для верхней и нижней полуплоскости и приводятся теоремы о разрешимости в зависимости от индекса этой задачи.

1. Классическая краевая задача Римана на прямой [1, 2] заключается в нахождении пары функций Ф±^)^ € R, допускающих аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) комплексную полуплоскость C±, соответственно, граничные значения которой на вещественной прямой удовлетворяют линейному соотношению

$+(z) = G(t)$—(t) + g(t), t € R. (1)

Давно известны многочисленные применения этой задачи в различных физических и технических вопросах [1, 2]. Ключевую роль в решении задачи (1) играет интеграл типа Коши

Ф(г) = ^dr, z € C±, (2)

2ni у z — т

— Ж

с помощью которого решение задачи (1) дается в явном виде [1,2].

Существует и другая разновидность краевой задачи Римана (ее называют задачей Римана - Гильберта), где линейное соотношение типа (1) связывает граничные значения действительной и мнимой части аналитической в единичном круге функции [1, 2]. Эта задача решается с помощью другого сингулярного интеграла с ядром ctg x, именно

2п

-П / Ф(т )ctg T——t dT> (3)

0

понимаемого в смысле главного значения. Мы покажем, что сингулярный интеграл (3) можно использовать в качестве инструмента для решения другой задачи (мы называем ее периодической задачей Римана), которая возникает при исследовании дискретных сверток на полуоси [3].

2. Рассмотрим в комплексной плоскости C верхнюю и нижнюю полу-полосы

П± = {z € C : z = x + iy, x € [—п, п], ±y > 0}

и сформулируем следующую краевую задачу: найти пару функций $±(z) , аналитических в полу-полосе П±, соответственно, граничные значения которых удовлетворяют линейному соотношению

<S>+(t) = G(t)<^—(t)+ g(t), t € [—п,п], (4)

где G(t),g(t) - заданные на отрезке [—п,п] функции, G(—п) = G(n),g(—п) = д(п).

2466

Можно определить целое число ж, называемое индексом задачи

п

ж = J d arg G(t),

— п

в терминах которого описывается картина разрешимости уравнения (4). В общем, она аналогична картине разрешимости классической краевой задачи Римана, и получается переходом от полу-полосы к единичному кругу. В случае G(t) = 1 задача (4) называется задачей скачка.

Теорема 1. Если функция g(t) удовлетворяют условию Гёльдера на отрезке [—п, п], то единственное решение задачи скачка, исчезающее на ж, дается формулой

п

1 [ Т — z

Ф(г) = ш1 Ф(т)ctg“Т~dT, z е П±'

—п

Теорема 2. Если ж = n, n Є N , то задача (4) имеет только такие решения, которые описываются формулой

Ф+Z = Sn (z)er+ (z), Ф-(z) = e-izn Sn(z)er-(z),

где

П П n

1 It / _int ^--4 / . \ \ t Z 1

r(z) = 4- / ln(e intG(t)) ■ ctgdt + 4- / ln(e intG(t))dt, Sn(z) = cke ikz

J n J k=o

со, сі,сп - произвольные постоянные.

Теорема 3. Если ж = —п, п Є N , то для разрешимости задачи (4) необходимо и достаточно выполнения условий

П

j e~it(k~l)dt = 0 k = 1,2,3, ...\n\, (5)

J X+(t)

где X+^) = вГ+(:г).

При выполнении условий (5) решение задачи (4) единственно.

3. Эта задача может быть с успехом использована для изучения некоторых классов многомерных дискретных уравнений. Начальные результаты в этом направлении приведены в [4, 5].

ЛИТЕРАТУРА

1.Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

3. Vasilyev V.B. Discrete convolutions and difference equations // Proceedings of Dynamic Systems and Applications. 2008. V. 5. P. 474-480.

4. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. On some discrete equations in a half-space //ARGESIM Report no. S38: Preprints MATHMOD 2012, 15-17 February 2012. Vienna. Abstract Volume. Editors: Inge Troch, Felix Breitenecker. P. 384.

5. Васильев А.В., Васильев В.Б. Дискретные уравнения и периодические задачи // Труды 55-й научной конференции МФТИ. 19-25 ноября 2012. Москва - Долгопрудный - Жуковский. Управление и прикладная математика. M, 2012. Т. 1. С. 25-26.

Vasilyev A.V. PERIODIC ANALOGUE OF RIEMANN BOUNDARY PROBLEM

2467

A periodic analogue of classical Riemann boundary problem for upper and lower half-plane and describes solvability theorems depending on the index of the problem is considered.

Key words: Riemann boundary problem; index.

УДК 517.983

ОБРАТИМОСТЬ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В МНОГОМЕРНЫХ КОНУСАХ

© В.Б. Васильев

Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение; конус; обратимость; условие Дирихле.

Рассматривается модельное псевдодифференциальное уравнение в многомерном конусе и при некоторых дополнительных условиях описывается структура общего решения псевдодифференциального уравнения в пространствах Соболева-Слободецкого.

1. При изучении разрешимости псевдодифференциальных уравнений в областях с негладкой границей одним из ключевых моментов является описание условий обратимости модельного оператора в канонической негладкой области. Если граница содержит коническую точку жо, то речь идет об обратимости оператора

и(х) ——> I [ А(хо,£)ехй(№, (1)

с+ к™

где А(х,£) - символ оператора А; С+ = {х Є И,™ : х = (х1, ...,хт),хт >а\х'\,а> 0,Х = = (жі,..., жт_і), другими словами, требуется обратимость оператора (1) с замороженным полюсом х, т. е. с символом А(-,£), не зависящим от х.

Мы рассматриваем псевдодифференциальное уравнение вида

(Аи)(х) = f (х), х Є С+, (2)

в многомерном конусе С+ в пространствах Соболева-Слободецкого Н5(С“), где А - псев-додифференциальный оператор с символом А(£),£ Є И™.

Уравнение (2) - типичное модельное уравнение при исследовании разрешимости псевдо-дифференциальных уравнений на многообразиях, граница которых содержит конические точи (ситуация с гладкой границей подробно описана в [1]). Для решения этой задачи автор [2] ввел понятие волновой факторизации символа эллиптического оператора относительно конуса С+ и в двумерном случае описал условия обратимости оператора (1) при наличии такой факторизации. Здесь рассматривается существенно многомерная ситуация (т ^ 3) и специальные типы граничных условий в пространствах Соболева-Слободецкого Н5(С“).

Пространство Соболева-Слободецкого Н5(И™) - это гильбертово пространство (обобщенных) функций с конечной нормой [1]

\\и\\2 = / \и(0\2(1 + \е\)2^.

и™

2468