CC BY
40
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 134-141
= Механика =
УДК 534.26
О дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной полостью
Ю.М. Филатова
Аннотация. Получено строгое решение задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной полостью.
Ключевые слова: звуковая волна, упругий шар, дифракция звука, идеальная жидкость.
Исследованию рассеяния звука упругими сферическими оболочками (тонкими и произвольной толщины) посвящено большое число работ. При этом полагалось, что тела сферической формы имеют концентрические полости. В настоящей работе рассматривается задача дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной полостью.
Рассмотрим изотропный однородный упругий шар с внешним радиусом К\, содержащий произвольно расположенную сферическую полость с радиусом Я 2.
Будем считать, что окружающая шар и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности р1, р2 и скорости звука С1, С1 соответственно.
Свяжем со сферическим препятствием и его полостью прямоугольные системы координат Х1, у1, ¿1 и Х2, У2, ¿2 соответственно так, чтобы соответствующие оси обеих систем координат были параллельны. С декартовыми системами координат Х1, У1, ¿1 и Х2, У2, ¿2 свяжем сферические координаты Г1, 01, Щ и Г2, ^2, ^2.
Пусть из внешнего пространства на упругий шар падает цилиндрическая звуковая волна, излучаемая бесконечно длинным линейным источником, который в цилиндрической системе координат р, щ, г с началом в центре шара имеет координаты р = рг, щ = Щг и параллелен оси г. Потенциал скоростей в акустической волне, излучаемой таким источником, имеет вид [1]:
Фг = ЛгИо^Я),
(1)
где Лг — амплитуда падающей волны; Но(х) — цилиндрическая функция
и
Ханкеля первого рода нулевого порядка; к\ =-----------волновое число во внеш-
С2
ней среде; Я - расстояние от источника до произвольной точки пространства вне тела
Я =[р2 + р2 - 2 рргСОв(<£ - ^г)}1/2 Цилиндрическая волна (1) может быть представлена следующим разложе-
ГО
^ ПтЗт(к1 р)сов(ш(р 1 - <рг)), р < рг;
т=0
ГО
нием:
/ ГО
Фг =
птНт(к1 р)сОв(ш(^1 - уг)), р > рг,
V т=
где Пт = Лг(2 - 5от)Нт(к1 рг); пт = Лг(2 - 5от)^(к1 рг), 5от — символ Кро-некера.
Определим отраженные от шара и возбужденные в его полости волны, а также найдем поле смещений в упругом материале шара.
В установившемся режиме колебаний задача определения акустических полей вне упругого препятствия и внутри его полости заключается в нахождении решений уравнения Гельмгольца [2]
ДФ1 + к2Ф1 = 0; (2)
ДФ2 + к|Ф2 = 0, (3)
где Ф1 - потенциал скоростей полного акустического поля во внешней среде;
7 Ш
Ф2 — потенциал скоростей акустического поля в полости шара; к2 = — —
С2
волновое число жидкости в полости тела.
В силу линейной постановки задачи
Ф1 = Фг + Ф,,
где Ф, — потенциал скоростей рассеянной звуковой волны. Тогда из (1) с учетом того, что Фг удовлетворяет уравнению Гельмгольца, получаем уравнение для нахождения Ф,:
ДФ, + к2Ф, = 0. (4)
Отраженная волна Ф, должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности [2], а звуковая волна в полости шара Ф2 — условию ограниченности.
Поэтому потенциалы Ф, и Ф2 будем искать в виде:
ГО П
Ф8 = Е Е ЛптК(к1Т1)Рт(СС8 в1)вгт^ ; (5)
п=0 т=—п
Ф2 = Е Е ВптЗп(к2Т2)РПт(сО* 62)^, (6)
п=0 т=-п
где ]п(х) — сферическая функция Бесселя порядка п; Нп(х) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п.
Скорости частиц жидкости и акустические давления вне (] = 1) и внутри (] = 2) шара определяются по следующим формулам соответственно:
V] = gradФj; р] = Iр]шФ] (] = 1, 2).
Распространение малых возмущений в упругом теле для установившегося режима движения частиц тела описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [2]:
ДФ + к32Ф = 0;
ДФ + к4Ф = 0,
где кз = — и к4 = — — волновые числа продольных (со скоростью распро-
С1 Сг_______
странения С1 = л/(\ + 2ц)/р) и поперечных (со скоростью распространения сТ = у/ц/р)упругих волн соответственно; Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно.
Вектор смещения и частиц упругого тела определяется по формуле
и = gradФ + го1Ф.
Потенциал смещения Ф будем искать в виде суммы двух слагаемых
Ф = Ф(1) + Ф(2),
каждое из которых представляется в виде ряда по локальным сферическим функциям:
ф(1) = Е Е Cnmjn(k3r1)Pm(ccs
n=0 m=-n го n
ф(2) = Е Е Dnmhn(k3r2)Pm(caS в2)вгт^.
n=0 m=-n
Таким образом
го n
Ф = Е Е [Cnmjn(k3ri)Pnl(cOS в1)вгт^ + Dnmhn(k3r2)Pnl(cOS в2)ё'ГП'р2\ .
n=0 m=-n
_ (7)
Векторный потенциал Ф может быть представлен в виде суммы [3, 4]:
Ф = rerФг + rot (rerФ2) ,
где функции Фі и Ф2 удовлетворяют скалярным уравнениям Гельмгольца
ДФі + кІФ1 = 0,
ДФ2 + кІФ 2 = 0,
ег — орт координатной оси г сферической системы координат г, 9, ф. Функции Фі и Ф2 будем искать в виде:
Фі = 2 2 [Enmjn(k4r1)Pm(coS Єі)егтрі +
n=0 m=-n
+Fnmhn(k4r2)Poicos в2)егтір2] ; (8)
П
П
-)Ш(
Фі =2 2 Gnmjnikr )Pm(cOS 9l)eimlpi +
n
n=0 m=-n
+Hnmhu(k4r2)Pni(cosв2)вгт^] ; (9)
Коэффициенты разложений Anm, Bnm, Cnm, Dnm,Enm, Fnm Gnm, Hnm подлежат определению из граничных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях полого шара; равенстве на них нормального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:
при ri = Ri — íuur — v\r; Orr — —pi; &тв — 0; оТф — 0;
при Г2 = R2 — í^Ur — U2r; Orr = —Р2] &гв = 0; Ortp — 0,
где Ujr — dtyj/дг — радиальная компонента скорости частиц в j-ой жидкости (j = 1, 2).
В сферической системе координат компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций следующим образом [5]:
Orr — ^ (£rr + £99 + ; Or9 — 2ߣr9; °гф — 2^£гф-
При этом компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещения следующими соотношениями:
dur 1 ди9 ur 1(1 диф
£rr — T¡ ; £99 — ТТТГ + ; £фф — _ I -; ~7, T¡ + u9 ctg в + u
дг r дв r r \ sin в др
If дие dur
£r9 = 2ї{Г-дГ - Щ + ~дв
В сферических координатах вектор смещения запишем в виде:
U = gradФ + rot (rerФі) + rot rot (rerФ2) •
Для физических компонентов вектора смещения U получаем выражения:
дФ д ( 2 д2Ф2 \ ,2 2л-
Ur = r -—2- + k4r Ф2,
дг дг \ дг2 )
= lí дФ дФ^\ дф1 д2 Ф2
U r \дв + дв ) + sin в др + дтдв1
1 /1 дФ 1 дФ2 д2Ф2 \ дФ1
Uip sin в \r др + r др + дгдр J дв
Подставим выражения Ф^, (5), (6), (7), (8), (9) в граничные условия. Используя условия ортогональности косинусов, синусов и присоединенных функций многочленов Лежандра, заменяя цилиндрическую координату р ее выражением r1 sin в1 в сферических координатах r1, в1, р1, а также применяя интегральные соотношения [4]
ГП
/ Jm(x sin в)Poicos в) sin вйв = 2in-mjn(x)Pm(0)',
J 0
ГП
/ J'm(x sin в)P^(cos в) sin2 вйв = 2in-mj'n(x)Pm(0),
0
получим для каждой пары индексов n и m систему 8 уравнений в безразмерных величинах. При этом
0; (n — m) — нечетное;
P™(0) = ^ (—1) — (n + m)!
2n( n-m )!( n+m )!
; (n — m) — четное.
Для определения коэффициентов Лпт, В пт, С пт, ОптЕпт, Р,Пт Опт, Нп получаем бесконечную систему уравнений:
те p
a1nAnm + clnCnm + "У ' ^ ' d1nDpqAnm (Ri в 1 р i k3) + g'nGnm + p=0q=-p
^ P
+ 22 h1nHpqAnL(R,в 1 р1 k3) = a'in;
p=0 q=-p
те p
a2nA nm + c2nCnm + ЕЕ d2nDpqAnm (Rl в'1 р'1 k3) + g2nGnm +
p=0 q=-p
те p
+ 22 h2nHpqAJnL (R в'1 P'1 k3) = a2n;
p=0 q=-p
те p
e3nEnm + 22 f3nFpqAffm (R в'1 Л) = 0;
p=0 q=-p
те р
С4пСпт + ЕЕ ^4п°РЯ Лпт (Я, в, Р’, кз) + §4пОпт +
р=0 Я=-р те р
+ Е Е к4пНрЯЛпт (Я, в’, р’, кз) = 0;
р=0я=-р
тер
Ъ5пВпт + ЕЕ С5пСРЯЛпт (Я, в, р, к3) + &5п°пт +
р=0я=-р
тер
+ ЕЕ §5пОРЯЛпт (Я, в, р, кз) + Н5пНпт 0;
р=0Я=-р
тер
Ъ6пВпт + ЕЕ С6пСРЧЛпт (Я, в, р, к3) + &6п°пт +
р=0я=-р
тер
+ ЕЕ §6пОРЯЛпт (Я, в, р, к3) + ЪбпНпт = 0;
р=0я=-р
тер
е7пЕРЯЛпт (Я, 6 , Р к3) + /7п^пт = 0;
р=0я=-р
тер
У] У] С8пСРЧЛпт (Я, в, р, к3) + й8п°пт +
р=0Я=-р тер
+ ЕЕ §8пОРЯЛпт (Я, О, Р, к3) + Ъ8пНпт = °,
р=0я=-р
где
а'ы = хф'пХ); с’ы = гшхзз'п (хз); ¿’ы = шхзЪ'п(хз);
§1 п = п(п + 1)3п(х4); Ъ'щ = п(п + 1)Ъп(х4);
а1п — ’У-птх1.]п (х1^; а2п — 'Ьр1иЯ1Ъп(х1);
С2п = 2ц- [2хзЗп+1(хз) + {п(п +1) - х3(1 + Ъ)) Зп(хз)] ; й!2п = 2ц [2хзЪп+1(хз) + (п(п + 1) - х3(1 + Ъ)) Ъп(хз)] ; §2п = 2ц [ п(п + 1)х4]п+1 (х4) + (п3 - п) Зп(х4)] '; Ъ’2п = 2ц [-п(п + 1)х4Ъп+1(х4) + (п3 - п) Ъп(х4)] ;
а2п — ^р1и^птЯ13п(х1);
е'зп = п(п + 1)х43п+1 (х4) + (п3 - п) 3п(х4);
/Зп = п(п + 1)х4Ъп+1(х4) + (п3 - п) Ъп(х4);
С4п = п(п + 1)х33п+1(х3) + п - п) 3п(х3);
$4п = п(п + 1)х3Ъп+1(х3) + (п3 - п) Ъп(х3);
§4п = п(п + 1) [х43п+1 (х4) + (п2 - 0.5х24 - 1) 3п(х4)] ;
Ъ’4п = п(п + 1) [х4Нп+1 (х4) + (п2 - 0.5х4 - 1) Ъп(х4)] ;
Ъ5п = х23'п (х2); С5п = ШУ33'п (У3); $5п = гшу3Ъ'п(У3);
§5п = п(п + 1)3п(У4); Кп = п(п + 1)Ъп(У4)
Ъ’бп = гръшЩ 3п(х2);
С’бп = 2ц [2У33п+1 (У3) + {п(п + ^ - У32(1 + Ъ)) Зп(У3)] ;
$6п = 2ц [2У3К+1 (У3) + {п(п + 1) -у3(1 + Ъ)) Ъп(У3)] ;
§6п = 2ц [-п(п + 1)У43п+1(У4) + (п3 - п) Зп(У4)] ;
Ъ’бп = 2ц [ п(п + 1)У4Ъп+1 (у4) + (п3 - п) Ъп(У4)] ; е7п = -п(п + 1)У43п+1(У4) + {п3 - п) 3п(У4);
/7п = -п(п + 1)У4Ъп+1(У4) + {п3 - п) Ъп(У4);
С8п = -п(п + 1)У33п+1(У:3) + (п3 - п) Зп(У:3);
$8п = -п(п + 1)У3Ъп+1(У3) + {п3 - п) Ъп(У3У;
§8п = п(п + ^ [У43п+1(У4) + {п2 - 0-5у1 - ^ Зп(У4)] ;
Ъ8п = п(п + 1) [у4Ъп+1(уа) + {п2 - 0.5у4 - 1) Ъп(У4)] .
Здесь
к1Я1 = х1, к2Я2 = х2, к3Я1 = х3, к4Я1 = х4, к3Я2 = У3, к4 Я2 = У4-
(2п + 1)ЛН-п(к1рг)
т = п,
, т = -п,
2пп !
7пт = { (2п + 1)(2п)!ЛНп(к1 рг)
2пп!
0, т = п.
Полученная система может быть разрешена методом усечения [2].
Список литературы
1. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.
2. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.
3. Методы теоретической физики. Т.2. М.: Изд. иностр. лит, 1960. 886 с.
4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова Думка, 1988. 299 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
Филатова Юлия Михайловна (yumff@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
About diffraction of a cylindrical sound wave by an elastic sphere with any way located cavity
Yu.M. Filatova
Abstract. In this paper strict solution of problem of diffraction of a cylindrical plane sound wave by an elastic sphere with any way located cavity is obtained.
Keywords: sound wave, elastic sphere, scattering of a sound, ideal liquid.
Filatova Yulya (yumff@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 23.05.2010
