CC BY
38
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 211-218 Механика
УДК 539.3:534.26
Определение радиуса концентрической полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю *
Л. А. Толоконников, Е. В. Ходюшина
Аннотация. Решена обратная задача об определении радиуса концентрической полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю с использованием решения прямой задачи рассеяния плоской звуковой волны.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругая сфера, концентрическая полость, обратная задача рассеяния.
Рассеяние гармонических звуковых волн на однородных изотропных упругих сплошных сферических телах и сферических оболочках, находящихся в жидкости, рассматривалось в ряде работ, например, [1-9]. При этом решались прямые задачи, когда об упругом теле известно все заранее.
Значительный интерес представляют обратные задачи, когда об упругом теле известно не все, и по решению прямой задачи требуется найти неизвестные величины.
В настоящей работе решается задача об определении радиуса концентрической полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю с использованием решения прямой задачи рассеянии плоской монохроматической звуковой волны.
Рассмотрим однородную упругую сферу радиуса Т\, материал которой характеризуется плотностью р и упругими постоянными Л и Сфера имеет концентрическую полость радиуса г2. Окружающая сферу и находящаяся в полости жидкости являются идеальными. Их плотности и скорости звука соответственно равны р1, в\ и р2, С2.
Свяжем со сферой прямоугольную х,у,г и сферическую системы координат г, ф, 9. Координатные системы введены таким образом, что центр сферы совпадает с центром систем координат.
Пусть из внешнего пространства на сферу произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна, потенциал скоростей которой в
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
прямоугольной системе координат запишется в виде
Ф0 = А0 exp[¿(ki • r — wt)j,
где Ао — амплитуда волны; ш — круговая частота; t — время; ki = = (k1 sin 90 cos ф0, k1 sin 90 sin ф0, k1 cos 90) — волновой вектор во внешней среде; ki = ш/ci — волновое число внешней среды; 00 и ф0 — полярный и азимутальный углы падения плоской волны; r = (r sin 0 cos ф, r sin 0 sin ф, r cos 0) — радиус-вектор.
Все перечисленные выше параметры, относящиеся к упругой сфере, содержащей среде и заполнителю полости, являются известными за исключением радиуса полости Г2. Временной множитель в-гш* в дальнейшем будем опускать.
Приведем решение прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны полой упругой однородной сферой с жидким заполнителем. Решение этой задачи более просто получить в осесимметричном случае. Однако общий случай произвольного падения волны представляет интерес, если имеются подстилающая поверхность или несколько рассеивателей.
Потенциал скоростей падающей волны в сферической системе координат представим в виде [10]
те n
Ф0(г,ф,0) = А0^ ]Т(2 — Ó0n)injn(kir)Pnm(cos 0)Pnm(cos 00) cos т(ф — ф0),
n=0 m=0
где 60n — символ Кронекера; jn — сферическая функция Бесселя порядка n; Pm — присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m.
Потенциалы скоростей акустических полей в окружающей среде Ф! и полости Ф2 являются решениями уравнений Гельмгольца [11]
ДФ, + k2^j = 0 (j = 1, 2),
где k2 = ш/с2 — волновое число жидкости в полости сферы. При этом
Фl = Ф0 + Фв,
где Фв — потенциал скоростей рассеянной волны, удовлетворяющий уравнению Гельмгольца
д + ki TS
ДФ5 + k2Фs = 0.
Учитывая условия излучения на бесконечности, потенциал скоростей Ф5 будем искать в виде
Фэ(г,ф,0) = Amnhn(kir)Pm(cos 0) cos т(ф — Ф0), (1)
n=0 m=0
где hn(x) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка n.
Потенциал скоростей Ф2 с учетом условия ограниченности будем искать в виде
те n
Ф2(г,ф,0) = Y1 Bmnjn(k2r)Pnm(cos в) cos т(ф - фо). (2)
n=0 m=0
Скорость частиц vj и акустическое давление pj во внешней среде (j = 1) и в жидкости, находящейся в полости цилиндра (j = 2), определяются по формулам
vj = gradФj, pj = ipj wФj.
Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругой сфере.
Представим вектор смещения u частиц упругой изотропной однородной сферы в виде _
u = gradФ + rot$,
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, удовлетворяющие скалярному и векторному волновым уравнениям Гельмгольца [11]
ДФ + kf Ф = 0, ДФ + k?¥ = 0.
Здесь k = w/ci и kT = w/cT — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; ci = л/(Л2 + 2^2)/р2 и cT = л/\i2/p2 — скорости продольных и поперечных волн.
Представим векторный потенциал Ф в виде [12,13]
Ф = rer Ф1 + rot(rërФ2),
где еГ — единичный вектор координатной оси r. Скалярные функции Ф1 и Ф2 удовлетворяют скалярным уравнениям Гельмгольца:
ДФ1 + k2 Ф1 = 0, ДФ2 + kf Ф2 = 0.
Поле продольных волн в упругом теле будем искать в виде
те n
Ф(г, ф, в) = ^ ^ [Cmnjn(kir) + Dmnhn (kir)]Pnm(cos в) cos т(ф - фо), (3)
n=0 m=0
а поле поперечных волн — в виде
те n
Ф1(г, ф, в) = ^ ^ [Emn jn(kT r) + Fmn hnk r)]Pm(cos в) cos т(ф - фо), (4)
n=0 m=0 те n
Ф2 (r, ф, в) = ^ ^[Gmnjn (kT r) + Hmnhnk r)]Pm(cos в) cos т(ф - ф0). (5)
n=0 m=0
Граничные условия на внешней и внутренней поверхностях упругой сферы заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормальных напряжений и акустических давлений,
отсутствии касательных напряжений: при r = r1
-гшпп = v\n, orr = —pi, ore = 0, аГф = 0,
при r = r2
—ЪШПп = V2n, Orr = —P2, Ore = 0, OrV = 0.
Подставляя разложения (1)—(5) в граничные условия, находим коэффициенты Атп Втп, Стт Dmni Етп, Fmn, Gmn и Hmn-
Таким образом, получили аналитическое описание рассеянного акустического поля в виде (1). В выражение для коэффициентов Amn и, следовательно, в выражение для акустического давления pi входит радиус сферической полости. Теоретические значения Amn и |pi/Ao| будем обозначать Amn(r2) и p(R; F2). Здесь R — радиус-вектор точки внешнего пространства с координатами r, в, ф; Р2 — некоторое значение радиуса полости (r2 < r1).
Для определения радиуса полости сферы по известному рассеянному акустическому полю воспользуемся подходом, предложенным в работе [14], где предлагается вариационная постановка обратной задачи рассеяния звука по определению положения полости в упругом шаре. Обратную задачу будем решать по той же схеме, что и в [15].
Пусть сфера облучается гармоническим источником звука с круговой частотой ш. Расстояние от источника до тела много больше длины звуковой волны, чтобы падающую волну можно было считать плоской.
Проведем измерения акустического давления в N точках пространства вне сферического препятствия или на его поверхности. Обозначим множество этих точек через V = {Ri, R2,..., Rn}, а измеренную амплитуду акустического давления в точке с координатами r, в, ф, отнесенную к амплитуде падающей волны A0, — через P(R; r2). Здесь r2 — действительный радиус полости, который требуется определить. Тогда совокупность безразмерных измеренных давлений в N точках запишется в виде вектора P = (Pi ,P2,...,Pn ), где Pk = P (Rk; r2) (к = 1, 2,...N).
Измеренные значения акустического давления должны совпадать с расчетными (теоретическими) значениями при ?2 = r2 во всех N точках:
p(Rk; r2) = Pk (к = 1, 2,... N).
Тогда задачу определения радиуса полости сферы можно сформулировать следующим образом: найти такое значение Р2, равное r|, при котором совокупное отклонение расчетных значений акустического давления от измеренных значений будет минимальным.
Совокупное отклонение расчетных значений от измеренных на всем множестве точек V будем оценивать по евклидовой норме
D(?2) = ||p — P|| = [(pi — Pi)2 + (p2 — P2)2 + ... + (PN — PN )2]1/2,
где p = (pi,p2,... ,Pn) — вектор расчетных значений с безразмерными компонентами pk = p(Rk; г2) (к = 1, 2,..., N).
Таким образом,
D(r2) = minD(P2) (0 < Р2 < r1).
Решение сформулированной оптимизационной задачи F2 = r2 является оценкой действительного радиуса полости r2.
Для повышения точности нахождения размера полости точки наблюдения должны по возможности располагаться вокруг рассеивателя, и их должно быть достаточно много. Кроме того, желательно провести измерения при разных значениях частоты звука. Однако все это приводит к увеличению размерности векторов p и P и, следовательно, к увеличению объема вычислений и измерений.
Были проведены численные расчеты для алюминиевой сферы (р = 2.7 • 103 кг/м3, Л = 5.3 • 1010 Н/м2, ц = 2.6 • 1010Н/м2), находящейся в воде (р1 = = 103 кг/м3, c1 = 1485 м/с).
Полость сферы заполнена воздухом (р2 = 1.292 кг/м3, c2 = 330 м/с). Полагалось, что амплитуда падающей волны равна единице, радиус сферы r1 = 1 м, а волновой размер сферы k1 r1 = 3.
Система точек, в которых производится экспериментальное измерение акустического давления, размещалась на окружности радиуса 2r1 равномерно с постоянным шагом h = n/M по координате в и с постоянным шагом l = 2n/K по координате ф, начиная с точки, имеющей координаты (r = 2r1, в = п/2,ф = 0).
В качестве измеренных значений акустического давления взяты расчетные значения давления с учетом возможных ошибок измерения.
Поэтому величина измеренного давления определялась по формуле
Pk = p(r1; r2)+ е (k = 1,2,...,N),
где е — случайная величина с центрированным нормальным законом распределения со средним квадратическим отклонением а.
Здесь а — параметр, характеризующий погрешность измерения акустического давления.
Определение значения r|, дающего минимум D(p2), выполнялось поиском минимального значения в дискретном ряду значений D, вычисленных при изменении Р2 с шагом Дг = 0.01 в интервале 0 < Р2 < гь Поэтому точность определения радиуса полости не может превышать 0.01.
Для нахождения е при заданном значении а осуществлялась генерация ряда случайных чисел с помощью математического пакета Maple 13. Генерировалось 200 случайных чисел и вычислялось их усредненное значение е.
Было проведено моделирование различных случаев: для разных радиусов полости r2 (0.6 м, 0.4 м), при разных значениях а (0.01, 0.02, 0.05) и при разном количестве точек измерения (16, 24).
На рисунке представлена зависимость D(p2) при N = 16. Ось ординат имеет логарифмический масштаб (lg D). Сплошные линии соответствуют случаю а = 0.01. В таблице приведены результаты расчетов.
-10 -11 j /
\
-12 \ \ /
-13 /
-14 I | I
-15 1 1 1
-16 г 2
-17 1 r(
0.2 04 0« 0.8 1
Зависимость D(r2) при = 0-6 м Результаты расчетов
N a Г2/Т1 Т2/Т1 Ошибка
16 0.01 0.6 0.61 0.01
16 0.02 0.6 0.64 0.04
16 0.05 0.6 0.86 0.26
24 0.01 0.6 0.6 0
24 0.02 0.6 0.6 0
24 0.05 0.6 0.6 0
16 0.01 0.4 0.38 0.02
16 0.02 0.4 0.36 0.04
16 0.05 0.4 0.31 0.09
24 0.01 0.4 0.39 0.01
24 0.02 0.4 0.39 0.01
24 0.05 0.4 0.32 0.08
Предложенный подход дает возможность определить размеры полости с приемлемой точностью.
Список литературы
1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.
2. Junger M.C. Sound scattering by thin elastic shells // Acoust. Soc. Amer. 1952. V. 24. № 4. P. 366-373.
3. Goodman R.D., Stern R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells // Acoust. Soc. Amer. 1962. V. 34. № 3. P. 338-344. 3-10.
4. Hickling R. Echoes from spherical shells in air. // Acoust. Soc. Amer. 1967. V. 42. № 2. P. 388-390.
5. Плахов Д.Д., Саволайнен Г.Я. Дифракция сферической звуковой волны на упругой сферической оболочке // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 789-796.
6. Vogt R.H., Neubauer W.G. Relationship between acoustic reflection and vibrational modes of elastic spheres // Acoust. Soc. Amer. 1976. V. 60. № 1. P. 15-22.
7. Flax L, Dragonette L.R., Uberall H. Theory of elastic resonance excitation by sound scattering // Acoust. Soc. Amer. 1978. V. 63. № 3. P. 723-731.
8. Murphy J.D., George J., Nagl A., Uberall H. Isolation of the resonant component in acoustic scattering from fluid-loaded elastic spherical shells // Acoust. Soc. Amer. 1979. V. 65. № 2. P. 368-373.
9. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.
10. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с. 3-10.
11. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.
12. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2 М.: Изд. иностр. лит., 1960. 886 с.
13. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев: Наукова думка, 1978. 256 с.
14. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74-86.
15. Толоконников Л.А., Ходюшина Е.В. Определение радиуса концентрической полости упругого цилиндра по известному рассеянному акустическому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 102-109.
Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Ходюшина Екатерина Васильевна (hodyushina-katerina@yandex.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Reflection and refraction of a planar acoustic waves in an elastic planar layer with a non-uniform covering
L. A. Tolokonnikov, E. V. Hodyushina
Abstract. The inverse problem about definition of radius of a concentric vacuity of the elastic sphere on the known acoustic field with use of the solution of a direct problem on scattering of the plane sound wave is solved.
Keywords: scattering, sound waves, elastic sphere, concentric vacuity, inverse problem of scattering.
Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Hodyushina Ekaterina (hodyushina-katerina@yandex.ru), postgraduate student,department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 20.06.2015
