CC BY
93
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 102-109
Механика =
УДК 539.3:534.26
Определение радиуса концентрической полости упругого цилиндра по известному рассеянному акустическому полю &
Л. А. Толоконников, Е. В. Ходюшина
Аннотация. Решена обратная задача об определении радиуса концентрической полости упругого цилиндра по известному рассеянному акустическому полю с использованием решения прямой задачи рассеянии плоской звуковой волны.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий цилиндр, концентрическая полость, обратная задача рассеяния.
Рассеяние гармонических звуковых волн на круговых упругих полых цилиндрах бесконечной протяженности при разной геометрии фронта падающей волны рассматривалось в ряде работ, например, [1-11]. При этом решались прямые задачи, когда об упругом теле известно все заранее.
Значительный интерес представляют обратные задачи, когда об упругом теле известно не все, и по решению прямой задачи требуется найти неизвестные величины.
В настоящей работе решается задача об определении радиуса концентрической полости упругого цилиндра по известному рассеянному акустическому полю с использованием решения прямой задачи рассеянии плоской монохроматической звуковой волны.
Рассмотрим круговой бесконечный однородный упругий цилиндр радиуса Т\, материал которого характеризуется плотностью р и упругими постоянными Л и р. Цилиндр имеет концентрическую полость радиуса Т2. Окружающая цилиндр и находящаяся в полости жидкости являются идеальными. Их плотности и скорости звука соответственно равны р1, в\ и р2, С2.
Свяжем с цилиндром прямоугольную и цилиндрическую системы координат х, у, г и т, р, г. Координатные системы введены таким образом,
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-97514) и Министерства образования и науки (государственное задание № 1.1333.2014К).
что координатная ось z является осью вращения цилиндра. направление падения плоской волны совпадает с направлением оси x.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно его оси в направлении оси x падает плоская монохроматическая звуковая волна, потенциал скоростей которой в цилиндрической системе координат запишется в виде
Ф0 = A0 exp(i(kir cos p — wt)),
где Ao — амплитуда волны; ki = w/ci — волновое число во внешней области; w — круговая частота; t — время.
Все перечисленные выше параметры, относящиеся к упругому цилиндру, содержащей среде и заполнителю полости, являются известными за исключением радиуса полости.
Приведем решение прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны полым упругим однородным цилиндром с жидким заполнителем.
Рассматриваемая задача является двумерной. Волновые поля во внешнем пространстве, упругом теле и его полости не зависят от координаты z. Временной множитель е~ш1 в дальнейшем будем опускать. Потенциал скоростей падающей волны представим в виде
те
Фо(r, p) = Ao (2 — $0n)inJn(kir) cos np,
n=0
где 50n — символ Кронекера.
Потенциалы скоростей акустических полей в окружающей среде Ф1 и полости Ф2 являются решениями уравнений Гельмгольца
ДФ, (r, p) + k^- (r, p) = 0 (j = 1,2),
где k2 = w/c2 — волновое число в полости цилиндра. При этом
Ф1 = Фо + Ф5,
где Ф5 — потенциал скоростей рассеянной волны, удовлетворяющий уравнению Гельмгольца
ДФs(r,p) + k2Фs(r,p) = 0.
Учитывая условия излучения на бесконечности, потенциал скоростей Ф5 будем искать в виде
те
Фs(r, p) = AnHn(kir) cos np, (1)
n=0
где Hn(x) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка n.
Потенциал скоростей Ф2 с учетом условия ограниченности будем искать в виде
Ф2(r,p) = ^ BnJn(&2r)cos up, (2)
n=0
где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка и.
Скорость частиц vj и акустическое давление pj во внешней среде (j = 1) и в жидкости, находящейся в полости цилиндра (j = 2), определяются по формулам
vj = gradФj, pj = ipj шФj.
Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом цилиндре.
Представляя вектор смещения u частиц упругого изотропного однородного цилиндра в виде
u = gradФ + го1Ф,
где Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, которые для установившегося режима движения удовлетворяют скалярному и векторному волновым уравнениям Гельмгольца
дф + &2ф = о, дф + &2ф = 0,
где ki = ш/ci — волновое число продольных упругих волн; kT = ш/ст — волновое число поперечных упругих волн; ci = л/(Л2 + 2p2)/p2 и ст = л/р2/р2 — скорости продольных и поперечных волн соответственно.
Так как векторный потенциал смешения Ф = Ф(г, p)ez, где ez — единичный вектор координатной оси z, то от векторного уравнения Гельмгольца приходим к одному скалярному уравнению относительно функции Ф(г, p)
ДФ + k2 Ф = 0.
Поле продольных волн в упругом теле будем искать в виде
те
Ф(г,р) = ^[CnJn(kir) + DnHn(kir)] cos up, (3)
n=0
А поле поперечных волн — в виде
те
Ф(г, p) = Y^En Jn(krr) + Hn(kTr)] sin up. (4)
n=0
Граничные условия на внешней и внутренней поверхностях упругого цилиндра заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормальных напряжений и акустических
давлений, отсутствии касательных напряжений: при r = ri
—iWUn = Vin, Orr = —pi, Orf = 0;
при r = r2
—iWUn = V2n, Orr = —P2, Orf = 0.
Подставляя разложения (1)—(4) в граничные условия, находим коэффициенты An, Bn, Cn, Dn, En и Fn.
Заметим, что в выражения для коэффициентов An и, следовательно, в выражение для акустического давления pi входит радиус цилиндрической полости. Поэтому теоретические значения An и |pi/Ao| будем обозначать An(r2) и p(R; r2). Здесь R — радиус-вектор точки внешнего пространства с координатами r, r2 — некоторое значение радиуса полости (r2 < r1).
Для определения радиуса полости цилиндра по известному рассеянному акустическому полю воспользуемся подходом, предложенным в работе [12], где предлагается вариационная постановка обратной задачи рассеяния звука по определению положения полости в упругом шаре.
Пусть цилиндр облучается гармоническим источником звука с круговой частотой w. Расстояние от источника до тела много больше длины звуковой волны. Тогда можно считать, что первичное поле возмущений представляет собой плоскую волну. Источник расположим так, чтобы плоская волна распространялась вдоль оси ж.
Проведем измерения акустического давления в M точках пространства вне цилиндрического препятствия или на его поверхности. Обозначим множество этих точек через V = {Ri, R2, • • •, Rm}, а измеренную амплитуду акустического давления в точке с координатами r, отнесенную к амплитуде падающей волны A0, — через P(R; r2). Здесь r2 — действительный радиус полости, который требуется определить. Тогда совокупность безразмерных измеренных давлений в M точках запишется в виде вектора P = (Pi,P2,...,Pm ), где Pk = P (Rk ; r2) (k = 1, 2,... M ).
Измеренные значения акустического давления должны совпадать с расчетными (теоретическими) значениями при r2 = r2 во всех M точках:
p(Rk; r2) = Pk (k = 1, 2,... M).
Тогда задачу определения радиуса полости цилиндра можно сформулировать следующим образом: найти такое значение r2, равное r|, при котором совокупное отклонение расчетных значений акустического давления от измеренных значений будет минимальным.
Совокупное отклонение расчетных значений от измеренных на всем множестве точек V будем оценивать по евклидовой норме
D(f2) = ||p — P|| = [(pi — Pi)2 + (P2 — P2)2 + ... + (pM — Pm )2]i/2,
где p = (pi,p2,... ,pM) — вектор расчетных значений с безразмерными компонентами pk = p(Rk; r2) (k = 1, 2,..., M).
Таким образом,
^(г2) = шт^(г2),
где 0 < г2 < Т\.
Сформулированная оптимизационная задача является нелинейной. Ее решение Г2 = г| является оценкой действительного радиуса полости Г2.
Точность решения зависит от количества и расположения точек, в которых производится измерение акустического давления, от точности измерений, от выбора частоты ш в падающей волне.
Действительно, информация об упругом теле в рассеянном акустическом поле распределена различным образом. Желательно иметь точки наблюдения как в освещенной области, так и в области тени. Точки наблюдения должны по возможности располагаться вокруг рассеивателя, и быть в достаточно большом количестве. Кроме того, желательно провести измерения при разных значениях частоты звука. Все это приводит к увеличению размерности векторов р и Р и, следовательно, к увеличению объема вычислений и измерений.
Следует отметить, что по изложенной выше схеме можно решать рассмотренную задачу в случаях неоднородного упругого цилиндра и однородного упругого цилиндра с неоднородным покрытием.
Были проведены численные расчеты для алюминиевого цилиндра (р = = 2.7 ■ 103 кг/м3, Л = 5.3 ■ 1010 Н/м2, ц = 2.6 ■ 1010 Н/м2), находящегося в воде (р1 = 103 кг/м3, С1 = 1485 м/с). Полость цилиндра заполнена воздухом (р2 = 1.292 кг/м3, С2 = 330 м/с). Полагалось, что амплитуда падающей волны равна единице, радиус цилиндра г1 = 1 м, а волновой размер цилиндра к1г1 = = 3.
Система точек, в которых производится экспериментальное измерение акустического давления, размещалась равномерно с постоянным шагом Н = = 2п/М на окружности радиуса 2г1, начиная с точки, полярная координата которой р = 0.
В качестве измеренных значений акустического давления взяты расчетные значения давления с учетом возможных ошибок измерения. Поэтому величина измеренного давления определялась по формуле
Рк = Р(Г1; Г2)+ е (к = 1,2,...,М),
где е - случайная величина с центрированным нормальным законом распределения со средним квадратическим отклонением а = а. Здесь а — параметр, характеризующий погрешность измерения акустического давления.
Определение значения г|, дающего минимум ^(^2), выполнялось поиском минимального значения в дискретном ряду значений вычисленных при изменении г2 с шагом Дг = 0.01 в интервале 0 < Г2 < П. Поэтому точность определения радиуса полости не может превышать 0.01.
Для нахождения е при заданном значении а осуществлялась генерация ряда случайных чисел с помощью математического пакета Maple 13. Генерировалось 200 случайных чисел и вычислялось их усредненное значение е.
Было проведено моделирование различных случаев: для разных радиусов полости r2 (0.5 м, 0.3 м), при разных значениях а (0.01, 0.02, 0.05) и при разном количестве точек измерение (12, 36).
На рис. 1 и 2 представлены зависимости D(r2) при M = 12. Ось ординат имеет логарифмический масштаб (lg D). Сплошные линии соответствуют случаю а = 0.01. На рис. 2 для сравнения штриховой линией показан график, соответствующий случаю а = 0. В таблице приведены результаты расчетов.
-5-
/
-6-
/
/
-7-
\
\
0,1
ОД о!з 0,4 0^5 0,6 0,1 0.» 0,9
Рис. 1. Зависимости D(r2) при Г2 = 0.3 м
0,1 ОД 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Рис. 2. Зависимость D(r2) при Г2 = 0.5 м
Результаты расчетов
M а Г2/Г1 r2/r1 ошибка
12 0.01 0.5 0.5 0
12 0.02 0.5 0.51 0.01
12 0.05 0.5 0.52 0.02
36 0.01 0.5 0.51 0.01
36 0.02 0.5 0.51 0.01
36 0.05 0.5 0.52 0.02
12 0.01 0.3 0.28 0.02
12 0.02 0.3 0.25 0.05
12 0.05 0.3 0.18 0.12
36 0.01 0.3 0.32 0.02
36 0.02 0.3 0.34 0.04
36 0.05 0.3 0.47 0.17
Расчеты показывают, что предложенный подход дает возможность определить размеры полости с приемлемой точностью.
Список литературы
1. Doolittle R.D., Uberall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 39. №. 2. P. 272-275.
2. Векслер Н.Д. Стационарное рассеяние акустической волны толстослойным круговым упругим цилиндром // Изв. Академии наук Эстонской ССР. 1986. Т. 35. № 4. С. 381-389.
3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. Вып. 1. С. 134-138.
4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.
5. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.
6. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 106-114.
7. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.
8. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.
9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.
10. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Часть 2. С. 11-17.
11. Клещев А.А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акустический журнал. 2004. Т. 50. Вып. 1. С. 86-89.
12. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74-86.
Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Ходюшина Екатерина Васильевна (hodyushina-katerina@yandex.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Definition of radius of a concentric vacuity of the elastic cylinder on a known acoustic field
L. A. Tolokonnikov, E. V. Hodyushina
Abstract. The inverse problem about definition of radius of a concentric vacuity of the elastic cylinder on the known acoustic field with use of the solution of a direct problem on scattering of the plane sound wave is solved.
Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, concentric vacuity, inverse problem of scattering.
Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Hodyushina Ekaterina (hodyushina-katerina@yandex.ru), postgraduate student,department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 25.10.2014
