CC BY
61
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 157-164 Механика
УДК 539.3:534.26
__ и и
рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром
5к
с несколькими полостями *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром с несколькими полостями.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий
эллиптический цилиндр, цилиндрические полости.
Исследованию дифракции звука на сплошных упругих однородных эллиптических цилиндрах, находящихся в идеальной жидкости, посвящены работы [1,2]. Для решения дифракционной задачи в работе [1] использовался метод Т-матриц, а в работе [2] — метод граничных интегральных уравнений. В работах [3, 4] рассмотрены задачи дифракции звуковых волн на упругих эллиптических цилиндрах, помещенных в вязкую жидкость. В [3] получено строгое решение задачи с использованием функции Матье для цилиндра с произвольным эллиптическим сечением. В [4] методом возмущений найдено приближенное аналитическое решение решение задачи в случае, когда квадрат эксцентриситета эллиптического цилиндра является малой величиной.
Дифракция звуковых волн на упругом однородном круговом цилиндре с неконцентрической полостью рассмотрена в [5].
В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны однородным упругим эллиптическим цилиндром с несколькими цилиндрическими полостями кругового сечения.
Рассмотрим бесконечный однородный изотропный упругий эллиптический цилиндр, имеющий N круговых цилиндрических полостей радиусов Я1,Я2,---,Ям, расположенных произвольным образом. При этом оси полостей и тела являются параллельными. Будем считать, что окружающая цилиндр жидкость является идеальной и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-а).
Свяжем с цилиндрическим телом прямоугольную систему координат х,у, г таким образом, чтобы ось г совпадала с осью цилиндра, ось х была направлена вдоль большой оси эллиптического сечения цилиндра, ось у дополняла систему координат до правой. Кроме того, введем прямоугольные системы координат х^ ,уу ,Ху = 1, 2), связанные с полостями, так, чтобы соответствующие оси всех декартовых координат были параллельными и одинаково ориентированными.
Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно оси г падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*. Будем полагать, что волновой вектор к плоской волны лежит в плоскости хОу и составляет угол во с осью х. Тогда потенциал скоростей падающей волны имеет вид
где А0 — амплитуда; r — радиус-вектор; и — круговая частота; k • r = k(x cos в0 + y sin во); k = u/c — волновое число внешней среды.
Временной множитель exp(—iut) в дальнейшем будем опускать.
Определим акустическое поле, рассеянное эллиптическим цилиндром, и поле смещений в упругом теле.
Свяжем с основной системой координат x,y,z и локальными системами координат Xj,yj, Zj цилиндрические системы координат г, в, z и rj, в^, Zj (j =
В цилиндрической системе координат г, в, г падающая волна записывается в виде
Плоская волна в системе координат г, в, г может быть представлена разложением [6]
где ,1п(х) — цилиндрическая функция Бесселя порядка п.
Уравнение эллиптического цилиндра в цилиндрической системе координат имеет вид
цилиндра; а и Ь — большая и малая полуось эллиптического сечения цилиндра соответственно.
В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от эллиптического цилиндра звуковой волны является решением
Ф0 = А0 exp[i(k • r — iut)],
1, 2,...,N).
Ф0 = A0 exp[ikr cos(e — в0)].
Ж
(1)
г(в) = a(1 — e sin2 в) 1/2,
уравнения Гельмгольца [7]
ДФ* + кТФ* = 0. (2)
Потенциал скоростей Ф* должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде
ГО
Ф* = АпНп(Ьг)ет(в-во), (3)
п=—го
где Нп(х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п.
В силу линейной постановки задачи потенциал скоростей полного акустического поля ф равен
Ф = Фо + Ф*. (4)
Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам
V = gradФ; р = гршФ. (5)
Распространение упругих волн в упругом эллиптическом цилиндре в установившемся режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [7]
ДФг + к^Фг = 0; (6)
ДФ + к2т Ф = 0, (7)
где Фг и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; кг = и/вг
— волновое число продольных упругих волн; кт = и/вт — волновое число поперечных упругих волн.
При этом вектор смещения и определяется по формуле
и = gradФг + гЫФ, divФ = 0, (8)
а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны
вг = \/(Х + 2 ц)/р1; вт = V ц/р1,
где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе; р1 — равновесная плотность материала упругого цилиндра.
Волновые поля вне и внутри тела не зависят от координаты г. При этом
Фг = Фг(г, в); Ф = Ф(г, в)в2,
где в2 — орт координатной оси г. Тогда векторное уравнение (7) приводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца относительно функции Ф(г, в). Будем иметь
ДФ + кТ Ф = 0. (9)
Решение уравнения (6) будем искать в виде
N
Ф1 = у^Ф^'),
(10)
j=0
где
Ф(0) =2 B(0)Jn(kir)em[U~°
П= — Ж
Ж
Ф(j) = Y, BÍnj)Hn(ki rj )ein(ej—Єо) (j = 1, 2,..
п=—ж
Решение уравнения (9) будем искать в виде
N
.,N).
(11)
где
ф = '^2 ^(j), j=0
Ж
Ф(0) = J2 c{n)Jn(kTr)ein(e—eo);
n= —Ж
Ж
фСО = C(j)Hn(krrj)ein(e—Єо) (j = 1, 2,..., N).
Коэффициенты разложений Ап,Б<>П\Сп'> (] = 0,1,...,Ж) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на поверхности эллиптического цилиндра т = г(в) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при т = г(в)
ШЧп = Уп; @пп = р; @пт = °- (12)
На границах полостей должны выполняться граничные условия,
заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:
при т] = К (2 = 1, 2,..., N)
= 0; = 0.
(13)
Граничные условия (12) записаны в основной системе координат, а условия (13) — в j - ой локальной системе.
Нормальные компоненты вектора скорости v и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты векторов в цилиндрической системе координат по формулам
vn = vr cos 7 + ve sin 7; un = ur cos 7 + ue sin 7, (14)
n=
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжении — по формулам
апп = arr cos2 7 + 2are sin 7 cos 7 + авв sin2 7;
Опт = ( Orr + авв) sin 7 cos 7 + Огв (cos2 7 - sin2 7); (15)
где 7 — угол между внешней нормалью n к поверхности эллиптического цилиндра и радиус-вектором г.
При этом
cos 7 =
1 +
e sin в cos в 1 — e sin2 в
2-І
-1/2
С учетом выражений (5) и (8) получим следующие формулы для компонент векторов V и и в цилиндрической системе координат:
vr =
ur
дф
dr
д Ф 1 дФ
dr ’ Ve ол ; r дв
1 д Ф; 1 д Фі дФ
r дв ’ ue = яа r дв дr
(16)
Компоненты тензора напряжений в упругом теле в цилиндрической системе координат записываются в виде [8]
Причем
л і • ^ dur
arr = Л div u + 2ц——;
dr
/1 due ur
aee = Л div u + 2ц - —— +--------------
\r дв r
(1 dur due ue
are = ц I - "7¡7г + ---------
\r дв dr r
div u = ДФі = -kf^i.
(17)
В локальных цилиндрических системах координат ,в^ (і = 1, 2,... N) компоненты вектора смещений и компоненты тензора напряжений имеют аналогичные (16) и (17) выражения (компоненты вектора смещений и тензора напряжений должны быть записаны с индексом і).
Используя выражения (4), (5), (14) - (17), запишем граничные условия (12) и (13) через искомые функции Ф5, Ф, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (10), (11).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат основной т,9 и локальных систем т^, (і = 1, 2,..., N). На внешней границе
т = т(в) необходимо все функции записать в основной цилиндрической координатной системе, а на границах полостей т^ (і = 1, 2,..., N) — в
локальных цилиндрических координатах.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для цилиндрических волновых функций, которые имеют следующий вид [6]:
те
Ип(кт3)етдз = Е Нп-т(кгм)Зт(ктяу(п-т)в"+гтв*;
Ш=-Ж
ОО
■1п(кт3)егпд1 = Е .1п-т(ктзя).1т(ктя)ег(п-т)в™+гтв*;
Ш= — Ж
0^ = 0,1,...
Здесь через т-я,в-я обозначаются цилиндрические координаты начала q
- ой системы координат Оя в j - ой системе с началом О-.
Приведенные выше теоремы сложения позволяют функции, записанные в j - ой системе координат, выразить в q - ой координатной системе. При этом нулевой индекс относится к основной системе координат.
После подстановки в граничные условия (12) и (13) разложений функций Ф°, Ф«, Ф*--^, Ф- 0 = 0,1,..., N) умножим полученные уравнения на е-гздз и проинтегрируем по в- в пределах от 0 до 2п.
В результате для нахождения коэффициентов Ап, В(0 = 0,1,...
..., N) получим бесконечную систему линейных уравнений
оо N ж ж
Е [а-Ап + ьпм0) + псп0 +Е Е (аыш«вп) + ^1^)]= Е ^;
п=-ж р=1 ш=—ж п=-Ж
ж N ж ж
Е [а^Ап + Ь^В^ + сЕС0 +Е Е (а2пш«вкр) + 0^«)]= £ д(2);
п=-ж р=1 ш=—ж п=-Ж
ж N ж
Е [Ь(3М0) + с(3)С(°) + Е Е (а^В^ + Р(£т«С(р))] = 0;
п=-ж р=1 ш=—ж
оо
йЦв- + е-)С- + Е [7(°1в(0) + Щс^ + Е^й^ + п(1с(р))] = 0;
п=-ж Р=-
оо
а-в«-) + е-С() + Е Лв<° ) + п^ск0 + Е(7£вр) + П^С^)] = 0;
п=-ж Р=-
в = 0, ±1, ±2,...; 0 = 1, 2,...^.
Выражения для коэффициентов при неизвестных и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [9].
Определив коэффициенты Ап,в^'),С^') (0 = 0,1,...^), получаем
аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3).
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность эллиптического цилиндра удовлетворяет гипотезе Рэлея [10]. Тогда ряд по цилиндрическим функциям Ханкеля будет сходящимися. В [11] показано, что для
эллиптического цилиндра гипотеза Рэлея справедлива при е < .
2
Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу при кт >> 1 [12]
Hn(kr)
2
nkr
exp
. nn П г (kr — -у - 4
из (3) находим
= а/27 ехР
г ( kr — 4
F (в),
где
F (в) = У2 (—in)An exp[in(e — во )]
Vnka п=Г^
С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля | ^(в) | строится диаграмма направленности и частотная характеристика рассеянного поля.
Список литературы
1. Pillai T.A.K., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J.Acoust.Soc.Amer. 1982. V. 72, № 3. P. 1032-1037.
2. Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических импульсов на упругих телах. М.: Наука, 1979. 240 с.
3. Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Деп. в ВИНИТИ, 1988. № 8296-В88. 15 с.
4. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С. 167-172.
5. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки, 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.
6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
7. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.
8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
10. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
11. Апельцын В.Ф. Метод неортогональных рядов и гипотеза Рэлея в теории дифракции // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. № 3. С. 329—347.
12. Справочник по специальным функциям / под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.
Толоконников Лев Алексеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Scattering of a plane sound wave by an elastic elliptical cylinder
with several cavities
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical decision of a problem scattering of a plane sound wave by an elastic elliptical cylinder with several cavities is received.
Keywords: scattering, sound waves, elastic elliptical cylinder, cylindrical cavities.
Tolokonnikov Lev ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 06.06.2012
