CC BY
51
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 73-80 Механика
УДК 539.3:534.26
Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.
Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.
В работе [1] решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.
Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, содержащий N сферических полостей радиусов Е1,Е2,...,Ем, расположенных произвольным образом. Полуось вращения сфероида равна а, а вторая полуось — Ь.
Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.
Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен
Ф0 = А0 ехр[г(к • г — шЩ,
где Ао — амплитуда; к — волновой вектор падающей волны; г — радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.
Введем прямоугольные системы координат х,у,г с началом в центре сфероида и х^,у^, (з = 1, 2,..., N) с началами в центрах сферических
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-а).
полостей так, чтобы соответствующие оси всех декартовых координат были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси z.
Свяжем с основной системой координат x,y,z и локальными системами координат Xj ,yj, Zj сферические системы координат г,в,ф и rj ,0j ,pj (j = = 1, 2,..., N).
Тогда в основной сферической системе координат г, в, ф будем иметь
k • Г = kr [cos в cos во + sin в sin во COs(^> — фо)],
где во и фо — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны k соответственно; k = u/c — волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить фо = 0.
Плоская волна в системе координат г, в, ф может быть представлена разложением [2]
ГО П
-)Ш( П
п=о m=-n
фо = Е Е Ynjn(kr)Pnm(cos ву™*, (1)
где
1ши = 2 N—РЛссв во);
^шп
РШ(х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т;
• 1 тл ,т 2 (п + т)!
Зп(х) — сферическая функция Бесселя порядка п; Nшn = -------------- ------—
(2п + 1) (п — т)!
— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.
Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.
В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны Ф5 является решением уравнения Гельмгольца
[3] 2
ДФ5 + k2Фs = 0. (2)
Потенциал скоростей Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде
оо п
Ф° = Е Е АшпЬп(кт)РШ(со8 в)вгш^, (3)
п=0 ш=-п
где Нп(х) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п. Потенциал скоростей полного акустического поля Ф равен
Ф = Фо + Фз- (4)
Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам
V = gradФ; р = гршФ. (5)
Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся
режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями
Гельмгольца [3]
ДФ1 + к2Ф1 = 0; (6)
ДФ + к2Ф = 0, (7)
где Ф1 и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; к\ = и/с\
— волновое число продольных упругих волн; кТ = и/ст — волновое число поперечных упругих волн.
При этом вектор смещения и определяется по формуле
и = gradФ1 + гс^Ф, divФ = 0, (8)
а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны
С1 = у/(Л + 2^)/р1'; Ст = у/ ц/р1,
где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе; р1 — равновесная плотность материала упругого сфероида.
Решение уравнения (6), то есть поле продольных волн в упругом теле, будем искать в виде
N
Ф1 = Еф(Л, (9)
3=0
где
оп
Ф(0) = Е Е ВШ1зп(к1 г)РпШ(0О8 в)ешр;
п=0 ш=-п
оп
Ф(3) = Е Е В3 Ьп(кг )Рпш(со8 вз Ушр- (3 = 1,2,..., N).
п=0 ш=-п
Для отыскания поля поперечных волн представим векторный потенциал смещения Ф в виде [4]
Ф = гс^го^ти ег) + кт го1(тУ ег), (10)
где ег — орт сферической координатной оси г; и, У — некоторые скалярные функции.
В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций
Ди + к?и = 0;
ДУ + к2тУ = 0.
Функции U и V будем искать в виде
N N
и = Еи(j); v = Еv(j), (її)
j=0 j=0
где
СЮ n
U(0) = E E ClSjnkr)-C(cos «)e'm»;
n=0 m=-n
ro n
U(j) = E E «mU»* rj )íT(cos 6j )ér"f¡ (j = 1,2,... ,N);
n=0 m=-n
ro n
V(0) = £ E ^01jn(fcrr)Pnm(cos 6)eimp;
n=0 m=-n
n
v(j) = E E ds.^rj)pnm(cos«j)emn j = 1,2,...,n).
n=0 m=-n
Коэффициенты разложений Amn, B^n ,0^1. ,Dmn (j = 0,1,...,N) подлежат определению из граничных условий.
Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид
r(6) = а(1 — e sin2 6)-1/2 Причем для вытянутого сфероида (a > b)
Є2 f b2 N 1/2
e = є^г; Є = (1 — a2
а для сплюснутого сфероида (a < b) —
a2 \ 1/2
е = ^; е =^ — ^2)
Здесь е — эксцентриситет сфероида.
Граничные условия на поверхности сфероида т = т(в) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при т = т(в)
ШЧп = Уп; @пп = р; @пт = 0; &пр = °- (12)
На границах полостей тз = Кз должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:
<7$ = 0; arJ = 0; °
гв иТ(р (13)
Граничные условия (12) записаны в основной системе координат, а условия (13) — в ] - ой локальной системе.
Нормальные компоненты вектора скорости V и вектора смещения и определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам
(14) по
vn = vr cos 7 + ve sin y; un = ur cos 7 + ue sin 7,
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжении формулам
апп = arr cos2 7 + 2are sin 7 cos 7 + авв sin2 7;
Vnr = ( Orr + авв) sin 7 cos 7 + Огв(cos2 7 - sin2 7); (15)
On^ = OrV cos 7 + авф sin 7,
где 7 — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором г.
При этом
cos y
1 +
e sin в1 cos в
п
1 — e sin2 ві
2-і
-1/2
На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов V и и в основной сферической системе координат:
3Ф 1 3Ф
Ут дг ’ Ув г 30 ’
дГ2 (гУ)+ кт2(гУ)
ur = ~дт +кт
dr
1 дФ1 кт
ue = —яТГ + r дв r
1 дФ1 кт
uip r sin в dp + r
кт d (rU) + ^ (rV)
sin в dp 1
(Ьдв
(16)
д2 д
~~в дГдГ (rV) — кт дв (rU) sin в drop дв
Компоненты тензора напряжений в упругом теле в основной сферической системе координат записываются в виде [5]:
. dur X / дне 1 дчш
Orr = (X + 2^)-^----------І-( 2ur +-7— + ctg 6u0 +--;—
dr r \ дв si— в др
. dur 2(X + а) (X + 2а) due X í 1 duV
оее = ^^ur +К----------------^ + - ctgeue + s— —V
ar r r ав r \ si— в ар
dur + 2(Л + ß) dr
Л due (Л + 2ß)
r дв
. . _ 1 duv
aw = ^^7 +------- ---ur + -^7г+-------1--- (ctg вщ +
sin в dp
/1 dur щ дщ\
а’> = ß\71» ' r + irr) ' (17)
( 1 dur um dum
Vry = ß I ----:—ä ~ä------------+ “я—
\r sin в dp r dr
ß ( 1 дщ i dum
"S— + -dr _ ctg в^
r \ sin в dp дв
В локальной сферической системе координат rj ,ej ,Pj (j = 1, 2,...,N) компоненты вектора смещений и компоненты тензора напряжений имеют аналогичные выражения (компоненты вектора смещений, компоненты тензора напряжений должны быть записаны с индексом j).
Используя выражения (4), (5), (14) - (17), запишем граничные условия (12) и (13) через искомые функции Ф5, Фі,и, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат основной r,e,p и локальных систем rj ,ej ,Pj (j = 1, 2,...,N). На внешней границе r = r(e) необходимо все функции записать в основной сферической координатной системе, а на границах полостей rj = Rj (j = 1, 2,..., N) — в локальных сферических координатах.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [2], которые имеют следующий вид:
го q
jn(kT rj )Pnm(cOS ej )eimmj =E É Qpqmn(rjl,ejl ,Pjl, kT )jq (kT rl)PP(cOS ві )eWl;
q=0 p=-q
hn(kTr3)pm(cOS в3)eimm =
Ё ¿ Rpqmn (r jl, в jl, Pjl, кт ) hq (кт П )P^ P(cOS ві )ei(m ,
q=0 p=-q
где
.д-п д+п
ЯРЯшп = 2 — ]Т га Ъ(Птдр)За (кТ га )Pm-P(cos вя)вг(т-р)^;
^Рд а=\д-п\
д+п га
Вт = 2гд-п Е ^—ЪдПтар)За к гл)РР(^ вЛ )вгр^;
а=\д-п\ 1Ура
(3,1 = 0,).
Здесь через та1,0а1,ра1 обозначаются сферические координаты начала 0\
в системе с началом 03, а коэффициенты Ъ(птдр') определяются через коэффициенты Клебша-Гордана [2].
Приведенные выше теоремы сложения позволяют функции, записанные в 3 - ой системе координат, выразить в I - ой координатной системе. При этом нулевой индекс относится к основной системе координат.
В результате для нахождения коэффициентов Атп, В^п,,Стп0^ (з = = 0,1,..., N) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида
со д N
ЕГ А + \^(в(А) ВА) + ^(а) СА) + £(а) 0(а))] =
/ у У^тпрд^ рд 1 / Л^тпрд рд 1 ¡тпрд^рд 1 ътпрд рд п Чтп'>
д=0р=-д А=0
г = 1, 2,..., 7; т = 0, ±1,...; п = |т|,\ш\ + 1,
Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [8].
Определив коэффициенты Атп,вт1 ,СтпО^п (з = 0,1,..., N),
получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3).
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [6]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [7] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза
Рэлея справедлива при е < , а для сплюснутого сфероида сходимость
2
будет всюду, кроме плоскости хОу.
Рассмотрим дальнюю зону рассеянного акустического поля. Используя асимптотическую формулу при кг >> 1 [9]
Акт
Нп(кт) - (-»"+’ 1Г,
из (3) находим
= 2“ ехр(гкг)^(9,р),
2г
где 2 о п
Р(°,р) = ка^ ^ Н)п+1АтпРпт(-в)егт*. п=0 т= - п
С помощью выражения для амплитуды рассеяния \Р(в, р)\ изучаются угловые и частотные характеристики рассеянного акустического поля.
Список литературы
1. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.169-175.
2. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
3. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.
4. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
6. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
7. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. №7. С.1275-1284.
8. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
9. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Definition of the acoustic field scattered by an elastic spheroid with several spherical cavities
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical decision of a problem scattering of a plane sound wave by an elastic spheroid with several spherical cavities is received.
Keywords: scattering, sound waves, elastic spheroid, spherical cavity.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 02.02.2012
