Научная статья на тему 'Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями'

Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
263
46
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
РАССЕЯНИЕ / ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ / УПРУГИЙ СФЕРОИД / СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Толоконников Лев Алексеевич

Получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Толоконников Лев Алексеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 73-80 Механика

УДК 539.3:534.26

Определение акустического поля, рассеянного упругим сфероидом с несколькими сферическими полостями *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.

В работе [1] решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи рассеяния плоской звуковой волны на упругом сфероиде с несколькими сферическими полостями.

Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, содержащий N сферических полостей радиусов Е1,Е2,...,Ем, расположенных произвольным образом. Полуось вращения сфероида равна а, а вторая полуось — Ь.

Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.

Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен

Ф0 = А0 ехр[г(к • г — шЩ,

где Ао — амплитуда; к — волновой вектор падающей волны; г — радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.

Введем прямоугольные системы координат х,у,г с началом в центре сфероида и х^,у^, (з = 1, 2,..., N) с началами в центрах сферических

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-а).

полостей так, чтобы соответствующие оси всех декартовых координат были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси z.

Свяжем с основной системой координат x,y,z и локальными системами координат Xj ,yj, Zj сферические системы координат г,в,ф и rj ,0j ,pj (j = = 1, 2,..., N).

Тогда в основной сферической системе координат г, в, ф будем иметь

k • Г = kr [cos в cos во + sin в sin во COs(^> — фо)],

где во и фо — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны k соответственно; k = u/c — волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить фо = 0.

Плоская волна в системе координат г, в, ф может быть представлена разложением [2]

ГО П

-)Ш( П

п=о m=-n

фо = Е Е Ynjn(kr)Pnm(cos ву™*, (1)

где

1ши = 2 N—РЛссв во);

^шп

РШ(х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т;

• 1 тл ,т 2 (п + т)!

Зп(х) — сферическая функция Бесселя порядка п; Nшn = -------------- ------—

(2п + 1) (п — т)!

— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.

Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.

В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны Ф5 является решением уравнения Гельмгольца

[3] 2

ДФ5 + k2Фs = 0. (2)

Потенциал скоростей Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде

оо п

Ф° = Е Е АшпЬп(кт)РШ(со8 в)вгш^, (3)

п=0 ш=-п

где Нп(х) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п. Потенциал скоростей полного акустического поля Ф равен

Ф = Фо + Фз- (4)

Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам

V = gradФ; р = гршФ. (5)

Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся

режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями

Гельмгольца [3]

ДФ1 + к2Ф1 = 0; (6)

ДФ + к2Ф = 0, (7)

где Ф1 и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; к\ = и/с\

— волновое число продольных упругих волн; кТ = и/ст — волновое число поперечных упругих волн.

При этом вектор смещения и определяется по формуле

и = gradФ1 + гс^Ф, divФ = 0, (8)

а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны

С1 = у/(Л + 2^)/р1'; Ст = у/ ц/р1,

где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе; р1 — равновесная плотность материала упругого сфероида.

Решение уравнения (6), то есть поле продольных волн в упругом теле, будем искать в виде

N

Ф1 = Еф(Л, (9)

3=0

где

оп

Ф(0) = Е Е ВШ1зп(к1 г)РпШ(0О8 в)ешр;

п=0 ш=-п

оп

Ф(3) = Е Е В3 Ьп(кг )Рпш(со8 вз Ушр- (3 = 1,2,..., N).

п=0 ш=-п

Для отыскания поля поперечных волн представим векторный потенциал смещения Ф в виде [4]

Ф = гс^го^ти ег) + кт го1(тУ ег), (10)

где ег — орт сферической координатной оси г; и, У — некоторые скалярные функции.

В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций

Ди + к?и = 0;

ДУ + к2тУ = 0.

Функции U и V будем искать в виде

N N

и = Еи(j); v = Еv(j), (її)

j=0 j=0

где

СЮ n

U(0) = E E ClSjnkr)-C(cos «)e'm»;

n=0 m=-n

ro n

U(j) = E E «mU»* rj )íT(cos 6j )ér"f¡ (j = 1,2,... ,N);

n=0 m=-n

ro n

V(0) = £ E ^01jn(fcrr)Pnm(cos 6)eimp;

n=0 m=-n

n

v(j) = E E ds.^rj)pnm(cos«j)emn j = 1,2,...,n).

n=0 m=-n

Коэффициенты разложений Amn, B^n ,0^1. ,Dmn (j = 0,1,...,N) подлежат определению из граничных условий.

Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид

r(6) = а(1 — e sin2 6)-1/2 Причем для вытянутого сфероида (a > b)

Є2 f b2 N 1/2

e = є^г; Є = (1 — a2

а для сплюснутого сфероида (a < b) —

a2 \ 1/2

е = ^; е =^ — ^2)

Здесь е — эксцентриситет сфероида.

Граничные условия на поверхности сфероида т = т(в) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при т = т(в)

ШЧп = Уп; @пп = р; @пт = 0; &пр = °- (12)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

На границах полостей тз = Кз должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:

<7$ = 0; arJ = 0; °

гв иТ(р (13)

Граничные условия (12) записаны в основной системе координат, а условия (13) — в ] - ой локальной системе.

Нормальные компоненты вектора скорости V и вектора смещения и определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам

(14) по

vn = vr cos 7 + ve sin y; un = ur cos 7 + ue sin 7,

а нормальные и касательные компоненты тензора напряжении формулам

апп = arr cos2 7 + 2are sin 7 cos 7 + авв sin2 7;

Vnr = ( Orr + авв) sin 7 cos 7 + Огв(cos2 7 - sin2 7); (15)

On^ = OrV cos 7 + авф sin 7,

где 7 — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором г.

При этом

cos y

1 +

e sin в1 cos в

п

1 — e sin2 ві

2-і

-1/2

На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов V и и в основной сферической системе координат:

3Ф 1 3Ф

Ут дг ’ Ув г 30 ’

дГ2 (гУ)+ кт2(гУ)

ur = ~дт +кт

dr

1 дФ1 кт

ue = —яТГ + r дв r

1 дФ1 кт

uip r sin в dp + r

кт d (rU) + ^ (rV)

sin в dp 1

(Ьдв

(16)

д2 д

~~в дГдГ (rV) — кт дв (rU) sin в drop дв

Компоненты тензора напряжений в упругом теле в основной сферической системе координат записываются в виде [5]:

. dur X / дне 1 дчш

Orr = (X + 2^)-^----------І-( 2ur +-7— + ctg 6u0 +--;—

dr r \ дв si— в др

. dur 2(X + а) (X + 2а) due X í 1 duV

оее = ^^ur +К----------------^ + - ctgeue + s— —V

ar r r ав r \ si— в ар

dur + 2(Л + ß) dr

Л due (Л + 2ß)

r дв

. . _ 1 duv

aw = ^^7 +------- ---ur + -^7г+-------1--- (ctg вщ +

sin в dp

/1 dur щ дщ\

а’> = ß\71» ' r + irr) ' (17)

( 1 dur um dum

Vry = ß I ----:—ä ~ä------------+ “я—

\r sin в dp r dr

ß ( 1 дщ i dum

"S— + -dr _ ctg в^

r \ sin в dp дв

В локальной сферической системе координат rj ,ej ,Pj (j = 1, 2,...,N) компоненты вектора смещений и компоненты тензора напряжений имеют аналогичные выражения (компоненты вектора смещений, компоненты тензора напряжений должны быть записаны с индексом j).

Используя выражения (4), (5), (14) - (17), запишем граничные условия (12) и (13) через искомые функции Ф5, Фі,и, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11).

В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат основной r,e,p и локальных систем rj ,ej ,Pj (j = 1, 2,...,N). На внешней границе r = r(e) необходимо все функции записать в основной сферической координатной системе, а на границах полостей rj = Rj (j = 1, 2,..., N) — в локальных сферических координатах.

Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [2], которые имеют следующий вид:

го q

jn(kT rj )Pnm(cOS ej )eimmj =E É Qpqmn(rjl,ejl ,Pjl, kT )jq (kT rl)PP(cOS ві )eWl;

q=0 p=-q

hn(kTr3)pm(cOS в3)eimm =

Ё ¿ Rpqmn (r jl, в jl, Pjl, кт ) hq (кт П )P^ P(cOS ві )ei(m ,

q=0 p=-q

где

.д-п д+п

ЯРЯшп = 2 — ]Т га Ъ(Птдр)За (кТ га )Pm-P(cos вя)вг(т-р)^;

^Рд а=\д-п\

д+п га

Вт = 2гд-п Е ^—ЪдПтар)За к гл)РР(^ вЛ )вгр^;

а=\д-п\ 1Ура

(3,1 = 0,).

Здесь через та1,0а1,ра1 обозначаются сферические координаты начала 0\

в системе с началом 03, а коэффициенты Ъ(птдр') определяются через коэффициенты Клебша-Гордана [2].

Приведенные выше теоремы сложения позволяют функции, записанные в 3 - ой системе координат, выразить в I - ой координатной системе. При этом нулевой индекс относится к основной системе координат.

В результате для нахождения коэффициентов Атп, В^п,,Стп0^ (з = = 0,1,..., N) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида

со д N

ЕГ А + \^(в(А) ВА) + ^(а) СА) + £(а) 0(а))] =

/ у У^тпрд^ рд 1 / Л^тпрд рд 1 ¡тпрд^рд 1 ътпрд рд п Чтп'>

д=0р=-д А=0

г = 1, 2,..., 7; т = 0, ±1,...; п = |т|,\ш\ + 1,

Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.

Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [8].

Определив коэффициенты Атп,вт1 ,СтпО^п (з = 0,1,..., N),

получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3).

Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [6]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [7] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза

Рэлея справедлива при е < , а для сплюснутого сфероида сходимость

2

будет всюду, кроме плоскости хОу.

Рассмотрим дальнюю зону рассеянного акустического поля. Используя асимптотическую формулу при кг >> 1 [9]

Акт

Нп(кт) - (-»"+’ 1Г,

из (3) находим

= 2“ ехр(гкг)^(9,р),

где 2 о п

Р(°,р) = ка^ ^ Н)п+1АтпРпт(-в)егт*. п=0 т= - п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С помощью выражения для амплитуды рассеяния \Р(в, р)\ изучаются угловые и частотные характеристики рассеянного акустического поля.

Список литературы

1. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып.2. С.169-175.

2. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

3. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

4. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

6. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.

7. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. №7. С.1275-1284.

8. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

9. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И. М.: Наука, 1979. 832 с.

Толоконников Лев Алексеевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Definition of the acoustic field scattered by an elastic spheroid with several spherical cavities

L. A. Tolokonnikov

Abstract. The analytical decision of a problem scattering of a plane sound wave by an elastic spheroid with several spherical cavities is received.

Keywords: scattering, sound waves, elastic spheroid, spherical cavity.

Tolokonnikov Lev ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 02.02.2012

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.