Научная статья на тему 'Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом'

Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
295
48
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ДИФРАКЦИЯ / ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ / УПРУГИЙ СФЕРОИД / СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Толоконников Лев Алексеевич

Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 169-175 Механика

УДК 539.3:534.26

Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.

Исследованию дифракции плоских звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических телах с неконцентрическими полостями той же формы посвящены работы [1, 2]. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.

Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса Я, расположенную произвольным образом. Полуось вращения сфероида равна а, а вторая полуось — Ь. Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной сжимаемой и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.

Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен

Ф0 = А0 ехр[г(к • г — шЩ,

где Ао — амплитуда; к — волновой вектор падающей волны; г — радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.

Введем прямоугольные системы координат х\,у\,г\ и х2,у2,^2 с началами в центре упругого сфероида и центре сферической полости так,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-

а).

чтобы оси z\ и Z2 были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси zi.

Свяжем с декартовыми системами координат Xj,yj, Zj сферические системы координат rj, 6j, фj (j = 1, 2).

Тогда в сферической системе координат r1,01, ф1

к • r = kr1 [cos в1 cos во + sin 91 sin во cos(^1 — фо)],

где во и фо — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны к соответственно; k = u/c — волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить фо = 0.

Плоская волна в системе координат п,в1,ф1 может быть представлена разложением [3]

ГО П

Фо = 2 2 Ynjn(kr1) Pm (cos в1)вгш^, (1)

п=о m=-n

где п

Ymn = 2 ——Pnm(cos во);

Nmn

Pm(x) — присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m;

jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n; Nmn =

— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.

Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.

В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны Ф5 является решением уравнения Гельмгольца

[4]

ДФs + k Ф3 = 0. (2)

Потенциал скоростей Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде

оо n

Фs = 2 2 Amnhn(kr1)Pm(cos в1)вгт^, (3)

п=о m=-n

где hn(x) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n. Потенциал скоростей полного акустического поля Ф равен

Ф = Фо + Фs. (4)

Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам

v = gradФ; p = 1ршФ. (5)

2 (n + m)!

(2n + 1) (n — m)!

Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся

режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями

Гельмгольца [4]

ДФ1 + к?Ф1 = 0; (6)

ДФ + к2ТФ = 0, (7)

где Ф1 и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; к\ = и/с\

— волновое число продольных упругих волн; кТ = и/ст — волновое число поперечных упругих волн.

При этом вектор смещения и определяется по формуле

и = gradФ1 + гЫФ, ё1уФ = 0, (8)

а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны

С1 = у/(Л + 2^)/р1'; Ст = у/ ц/р1,

где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе; р1 — равновесная плотность материала упругого сфероида.

Решение уравнения (6) будем искать в виде

фі = Е Е В™Шт^Р^оов + Б^пЫадРЛсов в2)егт^

п=0 т=—п

(9)

Представим векторный потенциал смещения Ф в виде [5]

Ф = гс^гс^(т^ ег) + кТ гс^(тУ ег), (10)

где ег — орт сферической координатной оси г; и, V — некоторые скалярные функции.

В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций

Ди + к^и = 0;

Д V + к^У = 0.

Функции и и V будем искать в виде

оо п

и0 = Е Е [С(г!пЗп(ктТі)Рпт(0О8 ві)е^1 +

п=0 т=—п

+с£ПЬп(ктТ2)Рп(('О8 в2)егт1р2 ; (11)

о п

V(о) = Е Е [в(1пЗп(ктті)Рпт(0О8 ві)е^1 + п=0 т=—п

+о(2п К(кт Т2)РГ(со8 в2)егш^21 . (12)

Коэффициенты Amn,Bmn,Cmn, D^L (j = 1, 2) разложений (3), (9), (11) и (12) подлежат определению из граничных условий.

Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид

r1(91) = a(1 — e sin2 9i)-1/2, причем для вытянутого сфероида (a > b)

£2 , b2 N 1/2

Є =1------:г

є2 — 1 ’ \ a2

а для сплюснутого сфероида (a < b)

2. I. a2 \1/2

e = £ ; 5 = (/ — #)

Здесь e — эксцентриситет сфероида.

Граничные условия на поверхности сфероида r1 = r1(e1) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при r1 = r1(e1)

iuun = vn; ann = p; Опт = 0; Onf = 0- (13)

На границе полости r2 = R должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:

при r2 = R

Orr = 0; are = 0; OrV = 0. (14)

Нормальные компоненты вектора скорости v и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам

vn = vr cos y + ve sin y; un = ur cos 7 + ue sin 7, (15)

а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений — по формулам

ann = arr cos2 y + 2are sin y cos 7 + aee sin2 7;

Опт = (—Orr + Oee) sin 7 cos 7 + Ore (cos2 7 — sin2 7); (16)

Onp = OrV cos 7 + Oev sin 7,

где y — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором r.

При этом

cos 7

■ а л \ 2i _1/2

1 e sin в\ cos в\

+ 1 — e sin2 в\

На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов V и и в сферической системе координат:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

vr =

д Ф

дг ’

ve =

1 дФ;

r дв ’

(17)

Ur = + kT

дг

1 дФ i кт

ue = —яТГ +

r дв r

дрц (rV)+ кт2(rV)

кт д (rU) + ^ (rV)

Uф ----

1 дФ1 кт

-------------1 + —

r sin в др r

sin в др ' 1 д2

OrOe

д

• а я я (rV) - кттт^ (rU) s i n в drdp дв

Компоненты тензора напряжений в упругом теле в сферической системе координат записываются в виде [6]:

. dur X / дне 1 дию

Orr = (X + -1--( 2ur +—t¡7T + ctg eue +—:——

дг r \ дв s i — в ар

. dur 2(X + а) (X + 2a) дне X í 1 диф

оее = ^^ur +K------^ + - ctgeue + s— —^

ar r r дв r \ s i— в ар

. дщ 2(X + а) X дщ (X + 2а) { 1 0uv

OW = X-¿r + „ ur + - + -----^-^(ctg eue + v

dr

r

r дв

r

s i nв др

ОгЄ — ß

О гф — ß

1 dur ue + дщ^

r дв 1 dur

r

ß

r sin в др 1 due du,

- иФ + r

dr j ’

диФ

dr

(18)

r sin в др

дв

Используя выражения (4), (5), (15)—(18), запишем граничные условия (13) и (14) через искомые функции Ф5, Ф1, и, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11) и (12).

В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат обеих систем Г 1,01 ,Р1 и Г2,02,Р2. На внешней границе Г1 = Г 1(^1) необходимо все функции записать в первой координатной системе, а на границе полости Г2 = Я — во второй.

Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [3], которые имеют следующий вид:

Зи(кт ri)Pnm(cos ві )вгтф1 = 2 2 Яряти^^в^р^ ,кт )jq (кт r2 )Pp (cos в2)е%Рф2 ;

q=0 p=-q

К(ктr2)Pm(cOs в2)вгтф2 =

Ё 2 Ярдтп(Г21,в21,^21,кт)Ьд(ктТ^Р^ Р(0О8 вг)ег(т р)ф1,

я=0р=—я

где

гя—п я+п

' ут—р(

^РЯ , ,

а=\д—п\

Яряшп = 2 (кт т12)Р<т—Р(0О8 впУ^^12;

я+п

Яряшп = 2гя—п^ ^ЪЯр^и(ктТ21)РР(0О8 в21)егр^21.

а=\д—п\ 1Ура

Здесь через т3з ,в3з обозначаются сферические координаты начала О^ в

системе с началом О8 (Э,в = 1,2), а коэффициенты ЪотярР определяются

через коэффициенты Клебша—Гордана [3].

В результате для нахождения коэффициентов Атп, В^п,,С(^пОтп (Э = = 0,1) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида

оо Я

У^ а(*) а + в(н) В(1) + в(2^ В(2) + ^(н) С(1) + ^(2^ С(2) +

/ ; / ; ^тпря ря 1 Утпря ря ^тпря ря /тпря ря ¡тпря РЯ

я=0р=—я

+ е (10 П(1) + £(20 П(2) = а(^)

тпРя Ря тпРя Ря тп

г = 1,2,..., 7; ш = 0, ±1,...; п = \ш\,\ш\ + 1,___

Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.

Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [9]. При этом приближенные значения неизвестных коэффициентов разложений находятся с заданной степенью точности путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из бесконечной системы путем ее усечения с возрастающими значениями порядка усечения.

Определив коэффициенты Атп,Вттп,Стп(Э = 0,1), получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3), а также поля смещений в упругом теле с помощью выражений (8)—(12).

Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [7]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [8] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза

Рэлея справедлива при е < , а для сплюснутого сфероида сходимость

2

будет всюду, кроме плоскости Ж1 Оу1.

Список литературы

1. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.

2. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 115-123.

3. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

5. Морс Ф, Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

7. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.

8. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. № 7. С. 1275-1284.

9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор,

кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный

университет.

Diffraction of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity

L. A. Tolokonnikov

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Abstract. The analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity is received. Keywords : diffraction, sound waves, elastic spheroid, spherical vacuity.

Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 06.06.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.