CC BY
49
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 169-175 Механика
УДК 539.3:534.26
Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде со сферической полостью, расположенной произвольным образом *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий сфероид, сферическая полость.
Исследованию дифракции плоских звуковых волн на упругих цилиндрических и сферических телах с неконцентрическими полостями той же формы посвящены работы [1, 2]. В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с произвольно расположенной сферической полостью.
Рассмотрим однородный изотропный упругий сфероид, имеющий сферическую полость радиуса Я, расположенную произвольным образом. Полуось вращения сфероида равна а, а вторая полуось — Ь. Будем считать, что окружающая упругий сфероид жидкость является идеальной сжимаемой и имеет в невозмущенном состоянии плотность р и скорость звука с.
Пусть из внешнего пространства на сфероид произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем в-гш*, потенциал скоростей которой равен
Ф0 = А0 ехр[г(к • г — шЩ,
где Ао — амплитуда; к — волновой вектор падающей волны; г — радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.
Введем прямоугольные системы координат х\,у\,г\ и х2,у2,^2 с началами в центре упругого сфероида и центре сферической полости так,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-
а).
чтобы оси z\ и Z2 были параллельными и одинаково ориентированными, а ось вращения сфероида располагалась на оси zi.
Свяжем с декартовыми системами координат Xj,yj, Zj сферические системы координат rj, 6j, фj (j = 1, 2).
Тогда в сферической системе координат r1,01, ф1
к • r = kr1 [cos в1 cos во + sin 91 sin во cos(^1 — фо)],
где во и фо — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны к соответственно; k = u/c — волновое число внешней среды. Без ограничения общности можно положить фо = 0.
Плоская волна в системе координат п,в1,ф1 может быть представлена разложением [3]
ГО П
Фо = 2 2 Ynjn(kr1) Pm (cos в1)вгш^, (1)
п=о m=-n
где п
Ymn = 2 ——Pnm(cos во);
Nmn
Pm(x) — присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m;
jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n; Nmn =
— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра.
Определим акустическое поле, рассеянное сфероидом, и поле смещений в упругом теле.
В установившемся режиме колебаний потенциал скоростей отраженной от сфероида звуковой волны Ф5 является решением уравнения Гельмгольца
[4]
ДФs + k Ф3 = 0. (2)
Потенциал скоростей Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Поэтому решение уравнения (2) будем искать в виде
оо n
Фs = 2 2 Amnhn(kr1)Pm(cos в1)вгт^, (3)
п=о m=-n
где hn(x) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n. Потенциал скоростей полного акустического поля Ф равен
Ф = Фо + Фs. (4)
Скорость частиц и акустическое давление во внешней среде определяются соответственно по формулам
v = gradФ; p = 1ршФ. (5)
2 (n + m)!
(2n + 1) (n — m)!
Распространение упругих волн в упругом сфероиде в установившемся
режиме движения описывается скалярным и векторным уравнениями
Гельмгольца [4]
ДФ1 + к?Ф1 = 0; (6)
ДФ + к2ТФ = 0, (7)
где Ф1 и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; к\ = и/с\
— волновое число продольных упругих волн; кТ = и/ст — волновое число поперечных упругих волн.
При этом вектор смещения и определяется по формуле
и = gradФ1 + гЫФ, ё1уФ = 0, (8)
а скорости продольных и поперечных волн соответственно равны
С1 = у/(Л + 2^)/р1'; Ст = у/ ц/р1,
где Л и ц — упругие коэффициенты Ламе; р1 — равновесная плотность материала упругого сфероида.
Решение уравнения (6) будем искать в виде
фі = Е Е В™Шт^Р^оов + Б^пЫадРЛсов в2)егт^
п=0 т=—п
(9)
Представим векторный потенциал смещения Ф в виде [5]
Ф = гс^гс^(т^ ег) + кТ гс^(тУ ег), (10)
где ег — орт сферической координатной оси г; и, V — некоторые скалярные функции.
В результате вместо векторного уравнения (7) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных выше скалярных функций
Ди + к^и = 0;
Д V + к^У = 0.
Функции и и V будем искать в виде
оо п
и0 = Е Е [С(г!пЗп(ктТі)Рпт(0О8 ві)е^1 +
п=0 т=—п
+с£ПЬп(ктТ2)Рп(('О8 в2)егт1р2 ; (11)
о п
V(о) = Е Е [в(1пЗп(ктті)Рпт(0О8 ві)е^1 + п=0 т=—п
+о(2п К(кт Т2)РГ(со8 в2)егш^21 . (12)
Коэффициенты Amn,Bmn,Cmn, D^L (j = 1, 2) разложений (3), (9), (11) и (12) подлежат определению из граничных условий.
Уравнение сфероидальной поверхности в сферической системе координат имеет вид
r1(91) = a(1 — e sin2 9i)-1/2, причем для вытянутого сфероида (a > b)
£2 , b2 N 1/2
Є =1------:г
є2 — 1 ’ \ a2
а для сплюснутого сфероида (a < b)
2. I. a2 \1/2
e = £ ; 5 = (/ — #)
Здесь e — эксцентриситет сфероида.
Граничные условия на поверхности сфероида r1 = r1(e1) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при r1 = r1(e1)
iuun = vn; ann = p; Опт = 0; Onf = 0- (13)
На границе полости r2 = R должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:
при r2 = R
Orr = 0; are = 0; OrV = 0. (14)
Нормальные компоненты вектора скорости v и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты векторов в сферической системе координат по формулам
vn = vr cos y + ve sin y; un = ur cos 7 + ue sin 7, (15)
а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений — по формулам
ann = arr cos2 y + 2are sin y cos 7 + aee sin2 7;
Опт = (—Orr + Oee) sin 7 cos 7 + Ore (cos2 7 — sin2 7); (16)
Onp = OrV cos 7 + Oev sin 7,
где y — угол между внешней нормалью n к поверхности сфероида и радиус-вектором r.
При этом
cos 7
■ а л \ 2i _1/2
1 e sin в\ cos в\
+ 1 — e sin2 в\
На основании формул (5), (8) и (10) получим следующие выражения для компонент векторов V и и в сферической системе координат:
vr =
д Ф
дг ’
ve =
1 дФ;
r дв ’
(17)
Ur = + kT
дг
1 дФ i кт
ue = —яТГ +
r дв r
дрц (rV)+ кт2(rV)
кт д (rU) + ^ (rV)
Uф ----
1 дФ1 кт
-------------1 + —
r sin в др r
sin в др ' 1 д2
OrOe
д
• а я я (rV) - кттт^ (rU) s i n в drdp дв
Компоненты тензора напряжений в упругом теле в сферической системе координат записываются в виде [6]:
. dur X / дне 1 дию
Orr = (X + -1--( 2ur +—t¡7T + ctg eue +—:——
дг r \ дв s i — в ар
. dur 2(X + а) (X + 2a) дне X í 1 диф
оее = ^^ur +K------^ + - ctgeue + s— —^
ar r r дв r \ s i— в ар
. дщ 2(X + а) X дщ (X + 2а) { 1 0uv
OW = X-¿r + „ ur + - + -----^-^(ctg eue + v
dr
r
r дв
r
s i nв др
ОгЄ — ß
О гф — ß
1 dur ue + дщ^
r дв 1 dur
r
ß
r sin в др 1 due du,
- иФ + r
dr j ’
диФ
dr
(18)
r sin в др
дв
Используя выражения (4), (5), (15)—(18), запишем граничные условия (13) и (14) через искомые функции Ф5, Ф1, и, V, а затем подставим в эти условия разложения (1), (3), (9), (11) и (12).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат обеих систем Г 1,01 ,Р1 и Г2,02,Р2. На внешней границе Г1 = Г 1(^1) необходимо все функции записать в первой координатной системе, а на границе полости Г2 = Я — во второй.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [3], которые имеют следующий вид:
Зи(кт ri)Pnm(cos ві )вгтф1 = 2 2 Яряти^^в^р^ ,кт )jq (кт r2 )Pp (cos в2)е%Рф2 ;
q=0 p=-q
К(ктr2)Pm(cOs в2)вгтф2 =
Ё 2 Ярдтп(Г21,в21,^21,кт)Ьд(ктТ^Р^ Р(0О8 вг)ег(т р)ф1,
я=0р=—я
где
гя—п я+п
' ут—р(
^РЯ , ,
а=\д—п\
Яряшп = 2 (кт т12)Р<т—Р(0О8 впУ^^12;
я+п
Яряшп = 2гя—п^ ^ЪЯр^и(ктТ21)РР(0О8 в21)егр^21.
а=\д—п\ 1Ура
Здесь через т3з ,в3з обозначаются сферические координаты начала О^ в
системе с началом О8 (Э,в = 1,2), а коэффициенты ЪотярР определяются
через коэффициенты Клебша—Гордана [3].
В результате для нахождения коэффициентов Атп, В^п,,С(^пОтп (Э = = 0,1) приходим к бесконечным системам линейных уравнений вида
оо Я
У^ а(*) а + в(н) В(1) + в(2^ В(2) + ^(н) С(1) + ^(2^ С(2) +
/ ; / ; ^тпря ря 1 Утпря ря ^тпря ря /тпря ря ¡тпря РЯ
я=0р=—я
+ е (10 П(1) + £(20 П(2) = а(^)
тпРя Ря тпРя Ря тп
г = 1,2,..., 7; ш = 0, ±1,...; п = \ш\,\ш\ + 1,___
Выражения для элементов матриц и правых частей системы здесь не приводятся ввиду их громоздкости.
Решение бесконечной системы можно найти методом усечения [9]. При этом приближенные значения неизвестных коэффициентов разложений находятся с заданной степенью точности путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из бесконечной системы путем ее усечения с возрастающими значениями порядка усечения.
Определив коэффициенты Атп,Вттп,Стп(Э = 0,1), получаем аналитическое описание рассеянного акустического поля по формуле (3), а также поля смещений в упругом теле с помощью выражений (8)—(12).
Необходимо отметить, что представление рассеянного акустического поля в виде разложения (3) возможно, если поверхность упругого сфероида удовлетворяет гипотезе Рэлея [7]. Тогда ряды по сферическим функциям будут сходящимися. В [8] показано, что для вытянутого сфероида гипотеза
Рэлея справедлива при е < , а для сплюснутого сфероида сходимость
2
будет всюду, кроме плоскости Ж1 Оу1.
Список литературы
1. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.
2. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 115-123.
3. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.
5. Морс Ф, Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
7. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 302 с.
8. Кюркчан А.Г. Границы применимости представлений Рэлея и Зоммерфельда в трехмерных задачах дифракции волн // Радиотехн. и электрон. 1983. № 7. С. 1275-1284.
9. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор,
кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный
университет.
Diffraction of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity
L. A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on an elastic spheroid with arbitrary located spherical vacuity is received. Keywords : diffraction, sound waves, elastic spheroid, spherical vacuity.
Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 06.06.2011
