Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 114-122

^ Механика ^

УДК 534.26

Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью

Л. А. Толоконников, Ю. М. Филатова

Аннотация. Получено строгое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью.

Ключевые слова: звуковая волна, упругий шар, дифракция звука, идеальная жидкость.

Исследованию рассеяния звука упругими сферическими оболочками (тонкими и произвольной толщины) посвящено большое число работ. При этом полагалось, что тела сферической формы имеют концентрические полости. В настоящей работе рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной полостью.

Рассмотрим изотропный однородный упругий шар с внешним радиусом ^1, содержащий произвольно расположенную сферическую полость с радиусом ^2.

Будем считать, что окружающая шар и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности Р1,Р2 и скорости звука С1,С2 соответственно.

Свяжем со сферическим препятствием и его полостью прямоугольные системы координат Ж1, у1, ¿1 и Ж2, У2, ¿2 соответственно так, чтобы соответствующие оси обеих систем координат были параллельны. С декартовыми системами координат Ж1, У1, ¿1 и Ж2, У2, ¿2 свяжем сферические координаты Г1, 01, ^1 и Г2, 02, ^2.

Пусть из внешнего пространства на упругий шар произвольным образом падает плоская гармоническая звуковая волна.

Потенциал скоростей падающей волны может быть представлен в виде

Фг = Лг ехр[г(к1г! — ШЬ)},

где Лг — амплитуда волны; &1 — волновой вектор; г\ — радиус-вектор; и — радиус-вектор; Ь — время.

В дальнейшем временную зависимость в-ш* опускаем.

В сферической системе координат п, 01, потенциал скоростей падаю-

щей волны представим в виде [1]

Ф,

то

п=0 т=—п

^2 7птІп(кіГі)РПг(соя0і) ехр(гт^і),

где к\ = — — волновое число во внешней среде; ^га(ж) — сферическая С1

функция Бесселя порядка п; Р™(ж) — присоединенная функция Лежандра степени п порядка т;

7пт = (2п + 1)г” Д Р™(с°8 #о) 00 — угол между вектором к1 и осью ^1.

Определим отраженные от шара и возбужденные в его полости волны, а также найдем поле смещений в упругом материале шара.

В установившемся режиме колебаний задача определения акустических полей вне упругого препятствия и внутри его полости заключается в нахождении решений уравнения Гельмгольца [2]

ДФі + к^Ф1 = 0; ДФ2 + А|Ф2 = 0,

(1)

(2)

где Ф1 — потенциал скоростей полного акустического поля во внешней среде;

—

Ф2 — потенциал скоростей акустического поля в полости шара; = — —

С2

волновое число жидкости в полости тела.

В силу линейной постановки задачи

Ф1 = Ф* + Ф5,

где Ф5 — потенциал скоростей рассеянной звуковой волны. Тогда из (1) с учетом того, что Ф* удовлетворяет уравнению Гельмгольца, получаем уравнение для нахождения Ф5:

ДФ5 + А?ФЯ = 0.

(3)

Уравнения (3) и (2) запишем в в сферических системах координат гі, 0і, ^1 и Г2, 02, ^2 соответственно [3]:

1А

г2 дгі

1 3

г2 г2

г2 дФ

і Згі

і 2 аФЛ

г2 Зг2

+

+

1

____________д Фз

г2 вій2 0і 3^>2

1 дФ2

+

+

г2 йіп 0і 30і

( йіп 0і

дФз

д0і

1

д

Зг2 / г2 йіп2 02 3^2 г2 йіп 02 302

• 0 дФ2\

8Ш 02 жу

+ А2Ф5 — 0,

+ — 0.

Отраженная волна Ф5 должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности [2], а звуковая волна в полости шара Ф2 — условию ограниченности.

1

Поэтому потенциалы Ф* и Ф2 будем искать в виде:

то п

Ф* = Е Е АптМкт)РП"(с°8 01)е^; (4)

п=0 т=-п то п

Ф2 = Е Е Впт^п(к2Г2)РГ(с°8 02)е^2 , (5)

п=0 т=-п

где Л,п(ж) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка п.

Скорости частиц жидкости и акустические давления вне (^ = 1) и внутри (^ =2) шара определяются по следующим формулам соответственно:

и] = §гааФ^; р- = гр-—Ф- (^ = 1, 2).

Распространение малых возмущений в упругом теле для установившегося режима движения частиц тела описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца [2]:

ДФ + к|Ф = 0;

ДФ + = 0,

——

где кз = — и к4 = — — волновые числа продольных (со скоростью распро-

С Ст______

странения 01 = \/(А + 2р)/р) и поперечных (со скоростью распространения Ст = у/р/р)упругих волн соответственно; Ф и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения соответственно.

Вектор смещения и частиц упругого тела определяется по формуле

и = gradФ + го1Ф.

Потенциал смещения Ф будем искать в виде суммы двух слагаемых

Ф = Ф(1) + Ф(2),

каждое из которых представляется в виде ряда по локальным сферическим функциям:

ОО П

Ф(1) = Е Е Спт^п(кзГ1)Р,т(с°8 01)в^1

п=0 т=-п то п

Ф(2) = Е Е ^птЛп(кзГ2)РГ(с°8 02)е^2 .

п=0 т=-п

Таким образом,

Ф = Е Е [Спт^п(кзГ1)Р™(с°8 01)^ + (6)

п=0 т=-п

+^пт^п(кзГ2)РГ(с°8 02)е^2] . (7)

Векторный потенциал Ф может быть представлен в виде суммы [4, 5]:

Ф = rerФі + rot (rerФ2), где функции Фі и Ф2 удовлетворяют скалярным уравнениям Гельмгольца

ДФ1 + к|Ф1 = 0,

ДФ2 + к|Ф2 = 0,

er — орт координатной оси r сферической системы координат г, 0, Функции Фі и Ф2 будем искать в виде:

Фі = Е Е [Enmjn(k4ri)Pm(cOS 0i)eim^1 + (8)

n=0 m=-n

+F„mh„(k4r2)pm(cos 02)eim^2] ; (9)

Ф2 = E E [Gnmjn(k4ri)Pm(cOS + (10)

n=0 m=-n

+H„mh„(k4r2)P„m(cOS 02)eim^2] . (11)

КоэффиЦиенты разложений Anmj Bramj Cnmj Dram,jEram,j Fnm Gramj Hnm

подлежат определению из граничных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях полого шара; равенстве на них нормального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:

при ri = Ri — iwur = uir; arr = —pi; ar0 = 0; = 0;

при Г2 = R2 — iwur = U2r; CTrr = —P2; ^r0 = 0; Oy^ = 0,

где Ujr = д/dr — радиальная компонента скорости частиц в j-ой жидкости (j = 1, 2).

В сферической системе координат компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора деформаций следующим образом [6]:

0>r A (£rr + ^00 + ^^^)) ; ^У0 2^^r0; ^ 2P^r^.

При этом компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещения следующими соотношениями:

dur 1 due ur 1/1 du„

Єгг = т;—; Є00 =--------— +---; £ии = — І ——2І “п------+ u# ctg в + u

dr r dp r r y sin 0 d^>

1 / due dur

£r0 = 2r V"dT - ue + Ив

В сферических координатах вектор смещения запишем в виде: u = gradФ + rot (rerФі) + rot rot (rerФ2) .

Для физических компонентов вектора смещения и получаем выражения:

иг = а* + а /г2 ) + к2г2Ф2,

Зг Зг у Зг2 у

1 / ЗФ д Ф2 \ 1 д Ф1 д 2Ф2

и0 = I "оТТ +-оТГ +-----:—л “о-----+

r у 30 д0 у sin 0 3^> дгд0 ’

1 /1 дФ 1 дФ2 д2Ф2 \ дФі

sin 0 yr д^> + r + Згд^У д0 '

Подставим в граничные условия разложения (4)—(8) и воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [7]:

ГО Р

hn(kar2)Pm(cos02)eim^2 = ^ ^ A^ (r,0',<¿ka) hp(kari)Ppq(cos 0i)eiq^;

p=0 q=-p

oo p

jn(kari)pm(cos 0i)eim^ = £ £ A^ (R,0,#a) jp(kar2)Ppq(cos 02)eiq^2,

p=0 q=-p

где

A”m fR,0' ,<p', ka) = V is+p-n (2s + 1)(s m + p)! bpnms’m-q)x pq V ’ ^ aZ (s + m - p)! p

|p-nl

x js (kaR) Psm-q(cos 0')ei(m-q)^';

A^™ (R,0,^,ka) = (2p +1)(p)! q)! ¿ is+p-nb(nmpq)x

(p + q)! |p-n|

xj (kaR) Pm-q(cos 0)ei(m-q)^;

R, 0;, ^ — координаты точки Oi (начала координат первой локальной системы) в системе (r2,02,^2), (R, 0, ^) — координаты начала координат O2 в системе (ri,0i,^i).

Коэффициенты bnnimin2m2) определяются по формуле

b(nimin2m2) = ^ 1)Щ^ / (ni + mi)!(n2 + m2)!(n — mi + m2)! \ i/2

n ( у (ni — mi)!(n2 — m2)!(n + mi — m2)ly

x (nin200|n0) (nin2mi, —m2|n,mi — m2).

Выражения в скобках вида (nin2mim2|nm) представляют собой коэффициенты Клебша—Гордана [1,8] и определяются так

(nin2mim2|n, mi + m2) =

(2п + 1)(п2 + п — п1)!(п + п1 — п2)!(п1 + п2 — п)!(п1 — т1)!

(п + П1 + П2 + 1)!

(п1 + т1)!(п2 + т2)!(п2 — т2)!(п + т1 + т2)!(п — т1 — т2)! 1/2

М2

^ (—1)к [к!(п1 + п2 — п — к)!(к + п — п1 — т2)!(п2 + т2 — к)! х

к=М1

х (к + п — п2 + т1)!(п1 — т1 — к)!]-1 ,

где М1 = тах{0, т2 + п1 — п, п2 — п — т1},

М2 = т1п{п1 + п2 — п, п2 + т2, п1 — т1}.

Для определения коэффициентов Апт, £гато, СПт, Сп

Нпт получаем бесконечную систему уравнений:

то р

а1п А пт + с1пСпт + ЕЕ 4п^р9 (#> 0> V' ,кз) + 51 пСпт+

р=0 ?=—р

то р

р=0 ч=-р

тор

а2пА пт + с2гаСпт + ЕЕ АПт (я,0 V ,кз) + 52пСпт+

р=0 Ч=—р

то р

+ 4пЯрчАПт (^> 0' > V > кз) = а2п;

р=0 ч=-р

то р

ез„Епт + ^ ^ /зп^рчАпт. 0 > ^ кз) = 0;

р=0 ч=-р

то р

с4пСпт + ЕЕ ^4п^р9Апчп 0 > ^ , к3^ + 54пСпт+

р=0 ч=-р то р

+ Е Е ^4пНрчАПт (я,0 ^' ,кз) =0;

р=0 ч=-р

то р

Ь5пВпт + ЕЕ с5пСрчАпт (^, 0, V, к3) + ^5п^пт+

р=0 ч=-р то р

+ 55пСрчАпт (^, 0, V, к3) + ^5пНпт = 0;

р=0 ч=-р

то p

b6nBnm + ЕЕ e6„CpqAm (R,0,^,k3) + d6nDnm+

p=0 q=-p то p

+EE g6nGpqAnm (R, V, k3) + h6nHnm = 0;

p=0 q=-p то p

У1 У~! e7nEpqAram (R> Ö > V k3^ + /7nFnm = 0; p=0 q=-p

то p

У1 У~! e8nCpq(R ^ V k3) + d8nDnm+

p=0 q=-p

то p

+EE g8nGpqAnm (R, V, k3) + h8nHnm = 0,

p=0 q=-p

где a'ln = жі^П(жі); ein = г^жз^жз); d'^ = г^жзЛ^жз); gln = и(и + 1)Іп(ж4); ^ ^ ^

hin = и(и + 1)^п(ж4); a'in = -7п«ж ^(жі); a^n = ¿piwR^n^i); c2n = 2p [2жзІп+і(жз) + (и(и + 1) - ж2(1 + b)) ^(жз)] ; d2n = 2p [2жзЛп+і(жз) + (и(и + 1) - ж2(1 + b)) Л™(жз)] ; g2n = 2р [ и(и + 1)ж4Іп+1 (ж4) + (и3 - и) Іп(ж4)] ; h'2n = 2р [ и(и + 1)ж4Лп+і(ж4) + (и3 - и) Лп(ж4)] ; a2n — ip1^7nmRl ^п(ж1); e3n = и(и + 1)ж4Іп+і(ж4) + (и3 - и) jn^);

/3n = и(и + 1)ж4Лп+і(ж4) + (и3 - и) Лп(ж4);

e4n = -и (и + 1)жзІп+і(жз) + (и3 - и) Іп(жз);

d4n = -и(и + 1)жзЛ«+і(жз) + (и3 - и) Л^(жз);

g4n = и(и + 1) [ж4Іп+і(ж4) + (и2 - 0.5ж4 - 1) Іп(ж4)] ;

h4n = и(и + 1) ^hn+l (ж4) + (и2 - 0.5ж2 - 1) Лте(ж4)] ;

b5n = ж2ІП(ж2); e5n = iwy3jn(У3); d5n = ^уз^Ы; g5n = и(и + 1)jn(y4); hj5n = и(и + 1)hn(y4); b6n = iP^Rjn^);

e6n = 2P [2y3jn+i(y3) + (и(и + 1) - Уз(1 + b)) jn(y3)] ;

d6n = 2p [2y3hn+i(y3) + (и(и + 1) - y2(1 + b)) Муз)] ; g(3n = 2p [ и(и + 1)y4jn+l(y4) + (и3 - и) jn(y4)] ; h6n = 2p [ и(и + 1)y4hn+i(y4) + (и3 - и) hn(y4)] ; e'rn = и(и + 1)y4jn+l(y4) + (и3 - и) jn(y4);

/7n = -и(и + 1)y4hn+l(y4) + (и3 - и) hn(y4);

e8n = -и(и + 1)y3jn+i(y3) + (и3 - и) ьЫ;

d8n = -и(и + 1)y3hn+i(y3) + (и3 - и) hn(y3);

£8« = п(п + 1) Ы'п+1 Ы + (и2 - 0.5у| - 1) ^„(у4)];

4п = и(п + 1) [У4^„+1(У4) + (и2 - 0.5у4 - 1) МУ4)] .

Здесь

к1Д1 = Ж1, к2Д2 = ж2, к3Д1 = ж3, к4Д1 = ж4, к3Д2 = у3, к4Д2 = у4.

Полученная система может быть разрешена методом усечения [2]. Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Воспользуемся асимптотической формулой при &1Г1 ^ 1 [1]

М*1-ч) ~ (-1)"+‘ехр^.

к1г1

Тогда для потенциала скоростей рассеянной звуковой волны при &1П ^ 1 получим следующее выражение:

^ ехр (г^1Г1) Е(01, ^ч),

2Г1

0 го п

где Е(01,^1) = Е Е (-1)п+1АптРГ(со8 01 )егт^.

п=0 т=—п

С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля |Е(01, ^1) можно построить диаграммы направленности рассеянного поля, а также исследовать частотные характеристики.

Список литературы

1. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

2. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1972. 720 с.

4. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: Изд. иностр. лит, 1960. 886 с.

5. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова Думка, 1988. 299 с.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

7. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения: Справочник. М.: Наука и техника, 1989. 255 с.

8. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: 1965. 588 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д. ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Филатова Юлия Михайловна (yumff@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of a plane sound wave by an elastic sphere with any way located spherical cavity

L. A. Tolokonnikov, Yu. M. Filatova

Abstract. In this paper strict solution of problem of diffraction of a plane sound wave by an elastic sphere with any way located spherical cavity is obtained.

Keywords: sound wave, elastic sphere, scattering of a sound, ideal liquid.

Tolokonnikov Leo (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Filatova Yulya (yumff@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 12.01.2010