Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 126-136 Механика

УДК 539.3:534.26

Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью *

Л. А. Толоконников, А. В. Лобанов

Аннотация. Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, неоднородный упругий эллиптический цилиндр.

Исследованию дифракции звука на упругих эллиптических цилиндрах, находящихся в идеальной жидкости, посвящены работы [1,2]. Для решения дифракционной задачи в работе [1] использовался метод Т — матриц, а в работе [2] — метод граничных интегральных уравнений. В работах [3,4] рассматривались задачи дифракции звуковых волн на упругих эллиптических цилиндрах, помещенных в вязкую жидкость. В [3] получено строгое решение задачи с использованием функции Матье для цилиндра с произвольным эллиптическим сечением. В [4] методом возмущений найдено приближенное аналитическое решение решение задачи в случае, когда квадрат эксцентриситета эллиптического цилиндра является малой величиной. Однако во всех приведенных работах материал рассеивателя полагался однородным.

Дифракция звука на неоднородных изотропных упругих цилиндрах кругового сечения изучалась в работах [5-9]. В [5] методом тензорных импедансов решена задача дифракции плоских волн на радиально-слоистом упругом цилиндре. В работе [6] задача о дифракции акустической волны на неоднородном цилиндрическом теле сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений. Использование импедансного метода для определения виброакустических характеристик радиально-слоистых упругих цилиндрических тел рассмотрено в [7]. В [8] получено решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости. В [9] изучена дифракция плоской волны на

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-97509-р-центр-

а).

неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями.

Исследование рассеяния звуковых волн неоднородными анизотропными круговыми цилиндрами проводилось в работах [10-12]. Рассеяние плоских волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем изучено в [10]. Задача дифракции плоской волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии решена в [11]. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке рассмотрена в [12].

В настоящей работе находится приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре.

Рассмотрим бесконечный неоднородный упругий эллиптический цилиндр, имеющий круговую цилиндрическую полость радиуса Г2. Будем считать, что окружающая цилиндр и находящаяся в его полости жидкости являются идеальными сжимаемыми и однородными, имеющими в невозмущенном состоянии плотности р1, р2 и скорости звука С1,С2 соответственно.

Свяжем с цилиндрическим телом прямоугольную систему координат х, у, г таким образом, чтобы ось г совпадала с осью цилиндра, ось х была направлена вдоль большой оси эллиптического сечения цилиндра, ось у дополняла систему координат до правой.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно оси г падает плоская монохроматическая звуковая волна с временным множителем е-гш*. Будем полагать, что волновой вектор кх плоской волны лежит в плоскости хОу и составляет угол во с осью х. Тогда потенциал скоростей падающей волны имеет вид

где Лі — амплитуда; r — радиус-вектор; и — круговая частота; ki • r = k(x cos в0 + y sin во); kl = u/cl — волновое число внешней среды.

Временной множитель exp(—iut) в дальнейшем будем опускать.

Определим отраженную от цилиндра и возбужденную в его полости звуковые волны, а также найдем поле деформаций в упругом слое.

В цилиндрической системе координат г, в, z, связанной с системой координат x,y, z, падающая волна записывается в виде

Фі = Лі exp[i(k1 • r — iut)],

Фі = Лі exp{ikl[r cos(e — в0)]}.

Плоская волна может быть представлена разложением [13]

ГО

где Yn = Ai(2 — 50n)in; Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n; ¿On — символ Кронекера.

Уравнение эллиптического цилиндра в цилиндрической системе координат имеет вид

т(9) = a(1 — еsin2 9)-1/2, (2)

Е2 Í Ь2 \ 1/2

где е = ----; е =1-------~ — эксцентриситет эллиптического сечения

е2 — 1 \ a2 J

цилиндра; a и Ь — большая и малая полуось эллиптического сечения

цилиндра соответственно.

В установившемся режиме колебаний потенциалы скоростей отраженной

от эллиптического цилиндра Ф, и возбужденной в его полости Ф2 звуковых

волн являются решениями уравнений Гельмгольца [14]

ДФ, + k^s = 0; (3)

ДФ2 + к|Ф2 = 0, (4)

где к2 = и/в2 — волновое число жидкости в полости цилиндра.

Потенциал скоростей Ф, должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности [14], а потенциал Ф2 — условию ограниченности.

Потенциал скоростей полного акустического поля Ф1 равен

Ф1 = Фi + Ф,. (5)

Скорости частиц и акустические давления во внешней среде (j = 1) ив полости тела (j = 2) определяются соответственно по формулам

vj = gradФj; pj = ipj шФj. (6)

Распространение упругих волн в неоднородном слое описывается общими уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося

режима движения в цилиндрической системе координат имеют следующий вид [15]:

д&тт 1 д°тв . Стт @вв . 2

—7-----1 777—I = —ipu ит;

дт т о0 т

я + 777—I &тв — -іршгЩ; (7)

дт т дд т

где ит ,и$ — компоненты вектора смещения и в цилиндрической системе координат; OiJ — компоненты тензора напряжений; р— равновесная плотность упругого материала цилиндра.

Используя связь компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука), а также выражения компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [15], получаем в цилиндрической системе координат следующие соотношения:

. дит X ( диа

0тт — (Х + 2^)_7---1---\ит + ~7777

дт т \ дд

dur + (Л + 2а) + (Л + 2а) дщ (

Oee = Л—- +-------------------------------------------Ur +-----------—; (8)

dr r r dd

( 1 dur щ див

OrO = а I - -ТГ7. + -T¡—

\r ад r dr

Будем полагать, что плотность материала цилиндра описывается непрерывной функцией, а модули упругости — дифференцируемыми

функциями координаты r:

Р = P(r); Л = Л(г); а = №(r).

Подставим выражения (8) в уравнения (7). Получим систему

дифференциальных уравнений

/w / Л + 2а ч dur . d2ur 1 Л 2а,

(Л + 2а +-------)^ + (Л + 2№)^г2г + - (Л'------------------------------------^)ur+

r dr dr2 r r r

i , л 2а, due к а2щ а а2u а дщ . 2

+ -(Л-------------)^û + (Л + а) я яа + 2 ~яо2-2 ~яо~ = —гри ur■

r r r dd r drdd r2 dd2 r2 dd

1 , Л + 3^ dur . , a .due , № № л , Л + a d2ur

-(а + )^7Г+(а + )^-+ (-------2 )ue + 0 0/1 +

r r dd r dr r r2 r drdd

+ d2щ + Л + 2а d2щ = . 2 (9)

+а^Т^ + r2 "9^ = —грш ue■ (9)

Здесь штрихами обозначено дифференцирование по радиальной координате r.

Искомые функции Ф5, Ф2, ur,щ должны удовлетворять граничным условиям на внешней поверхности цилиндра r = r(d) и на поверхности его полости r = r2. Граничные условия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на обеих поверхностях, отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений, равенстве на них нормального напряжения и акустического давления: при r = r(d)

vin = -iœun'; onn = -pi ; Pur = 0; (10)

при r = r2

V2r = -iuu,r ; Orr = —P2; Ргв = 0. (11)

Нормальные компоненты вектора скорости vi и вектора смещения u определяются через соответствующие компоненты в цилиндрической системе координат по формулам

v1n = v1r cos y + vie sin y ; un = ur cos 7 + щ sin 7, (12)

а нормальные и касательные компоненты тензора напряжений — по

формулам

22 ,2~, I I oee sin2-

22

Onu = Orr cos2 7 + 2ore sin 7 cos 7 + Oee sin2 7; (13)

onT = (—orr + Oee ) sin y cos y + ore (cos2 y — sin2 y),

где 7 — угол между внешней нормалью п к поверхности цилиндра и радиус-вектором г.

Рассмотрим случай, когда квадрат эксцентриситета цилиндра есть малая величина. Используя в качестве малого параметра величину е, искомые функции Ф5, Ф2, иг, и$ представим в виде разложений по степеням е, ограничиваясь при этом линейными относительно е членами:

Подставим разложение (15) в уравнение (3), разложение (16) — в уравнение (4), а разложения (17) — в систему (9), и приравняем члены с одинаковыми степенями е, стоящие в левой и правой частях каждого из полученных равенств. В результате получим для нахождения функций Ф0 и Ф] уравнения Гельмгольца вида (3), функций Ф0 и Фг, — уравнения Гельмгольца вида (4), а для нахождения функций и0, и0 и и], и2 — системы уравнений вида (9).

Так как потенциал Ф8 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности, то функции Ф^ (д = 0,1) будем искать в виде

где Нп(х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п.

При этом вид зависимостей от 9 в разложениях (18)—(20) определяется соображениями симметрии уг, иг и антисимметрии у$ и и$.

При этом

(14)

Ф5 = Ф0 + еФ] + ...;

Ф2 = Ф2 + еФ] + ...;

иг = и0 + еи] + ...; ив = и0 + еи2 +____

(15)

(16) (17)

ГО

(18)

п=0

Учитывая условие ограниченности для потенциала Ф2, функции Ф2 (д

0,1) будем искать в виде

ГО

п=0

Функции иГ, ив (д = 0,1) будем искать в виде

ГОГО

иГ (г, в) = ^ иПМесе пв; ив (г, в) = ^ и|п(г) 8Іп пв. (20)

п=0 п=0

Коэффициенты АП (q = 0,1), ВП и функции U<[n(r), U2¿n(r) (q = 0,1) подлежат определению из граничных условий.

С выбранной степенью точности получаем

cos 7 = 1 + O(e2); sin 7 = —e sin в cos в + O(e2). (21)

Тогда с учетом формул (21) граничные условия (10) при r = г(в) примут вид

V1r — e sin в cos ву\в = —iu(ur — e sin в cos вив);

arr — 2e sin в cos вагв = —p1; (22)

агв + e sin в cos в(агг — авв) = 0.

Запишем граничные условия (22) через функции Ф^, иГ, ив (q = 0,1). Для этого подставим в уравнения (22) разложения (15) и (17), учитывая при этом выражения (5),(6),(8),(14) и приравняем члены с одинаковыми степенями e, стоящие в правой и левой частях каждого равенства. В

полученных уравнениях параметр e будет входить как явно, так и неявно

(в аргумент функций r). Поэтому предварительно разложим все функции в ряды Тейлора в окрестности точки r = a. Проделав указанные операции и сохранив только линейные относительно e члены, получим две системы для нулевой и первой степеней e, состоящие из трех уравнений каждая: при r = a

д (Ф + Ф

д (Ф* + Ф0) п.

dr

= —гшиг;

(А+2") ^ + a (u0 + Ц) = —грМф' + ф0);

1 ди0 ди0 1

adr + d"— аив = 0; (23)

дФ1 ,,..„.1 a 5„2Лд2(Ф* + Ф0) , 1 , г,ад(Ф* + Ф0)

= sin2 в

„ + гшиг = — -sin в----------—^—— + - sin в cos в-

dr 2 dr2 a дв

. fa . 2 ди0 \

—гш{ - sin2 в —-------sin в cos вив ;

V 2 dr )

, ди1 А ( 1 д^\ т 1

(А+2^ ~от + a (и + ~w) +гр1Шф* =

a д2и0 a / , П/ А \ ди0 1 (А , \ 0

—2(А+2"> dí — 2 А'+v+ahr + 2a -А'|<-

А д2и0 1( А Л ди0 a. (д Ф0 д Ф*

+ Й(7 — А')^К — о гр1^^^Г +

2 drdв 2V a ' дв 2 V dr dr

п,1 диг див0 1 0.

+2^ sin в cos в(-— + —"------------и0);

a дв dr a

+

1 ди1 ди1 1 i 1 2 /1 ди0 д2и0 ди0 д2и0 1 0\

+ ^Г — “и1 = - sin2 в - —r — —r + ^ — a—в — -и0 +

a дв dr a 2 \a дв дв dr dr dr2 a )

„, ди0 1 0 1 ди0. . ,.

+2 sin в cos в——^ + - и0 + - —в). (24)

r a a в

Запишем граничные условия (11) при r = r2 через функции Ф2, иГ, ив

(q = 0,1).

Для этого подставим в уравнения (11) разложения (16) и (17), учитывая при этом выражения (6),(8),(14), и приравняем члены с одинаковыми степенями e, стоящие в правой и левой частях каждого уравнения.

В результате получим две системы для нулевой и первой степеней e, состоящие из трех уравнений каждая:

при r = r2

дФ2 • 0

—- = —гшиг; dr

(А + 2,1) Пт + rí (и° + ~ве') = —гр'2Шф°' (25)

1 М — 1 и0 + дА =0;

r2 в r2 r

дФ2 . i

—- = —гши1; dr

(А+2^ 'dr + (и1 + дв!) = —гр2^ф2; (26)

1 ди1 1 i ди1

— - и1 + 1Г =0.

r2 в r2 r

Подставим разложения (20) в системы уравнений (9), записанные для функций и0, и0 и и1 и?. Затем умножим левые и правые части полученных первых равенств на cos тв, а вторых — на sin тв и проинтегрируем по в от 0 до 2п. При этом воспользуемся условиями ортогональности косинусов и синусов

[ cos пв cos твйв = { 01 + Л П)= т;

J 1(1 + °0n)n, п = т;

0

2^

í sin пв sin твйв = { °! . п)= т;

J { (1 — Ó0n)n, п = т.

0

В результате получим две системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций U10n(r), U20n(r) и U11n(r), U2n(r):

Aq Uq'' + Bq Uq' + Cq Uq = 0 (q = 0,1), (27)

где и0 = (и0п, и0п)т; и1 = (ип Щп)т;

«11 0 \ 1 / Ьц Ь12 \ 1 ( Сц С12

а9 Н О ; в0 = - Г1 Г2 ; с = -2 I

\ 0 а22 ) Г \ Ь21 Ь22 / Г2 \ С21 С22

ац = Л + 2а; а22 = а;

Ьц = т(Л' + 2а') + Л + 2а; Ь12 = и(Л + а);

Ь21 = —и(Л + а); Ь22 = -(га' + а); с11 = Т2ри2 — (Л + 2а) + тЛ' — п2а; с12 = и(тЛ' — Л — 3а);

С21 = —и(та' + л + 3а); С22 = т2рш2 + та' + а — и2(Л + 2а).

Теперь подставим разложения (1), (18)—(20) в граничные условия (23),(24) при т = а и (25),(26) при т = т2. Воспользовавшись условиями ортогональности для косинусов и синусов, для каждого и получим систему шести уравнений для отыскания функций с индексом д = 0 и систему шести уравнений для отыскания функций с индексом д = 1.

Из первой системы находим выражения для коэффициентов АЛ, ВП

АП = —\^пХ13'п (Х1) + шаи0п(а)]/[ж!ДП (х1)],

ВП = —*^т2и?п(т2)]/[х2 3.'п (х2)]

и четыре условия для нахождения частного решения системы (27),

записанной при д = 0:

[БИ0' + ЕИ0]г=а = С»; (28)

[БИ0' + ^И0]Г=Г2 = 0. (29)

Из второй системы находим выражения для коэффициентов Ап, В^

А1 = _ шаи1п(а) + _1;

п х1И’п (Х1) + п;

В1 = —гШт2и1п (т2)]/[х2 3'п (х2)]

и четыре условия для нахождения частного решения системы (27),

записанной при д = 1:

[БИ1' + ЕИ1]^ = С1; (30)

[БИ1' + ^И1]Г=Г2 = 0. (31)

Здесь х1 = к1а; х2 = к2т2; штрихи у функций Бесселя означают дифференцирование по аргументу;

Б / Л(т) + 2а(т) 0%\; Е =( еи е12

0 т ) ’ у —и —1

р = | /н /12;. с» = (2 , ■ 0;т

—и —1) V х^И^(х1)

G1 — (—wp\í'l]lHn{xi) + Q"n, ^П) ;

Л u2piaHn(xi) Ли

eii — —I---7777—Г-; ei2 =------------;

a x\Hn (xi) a

, — Л + U2p2f2Jn(X2) , — Ли

fii — Г2 + x2Ji(X2) ; fi2 — — 77;

1

Qn — xiH(xi)(1+ ¿Qn)n —x1 [Пт(xi) + (xi)]“™n +

a2 / /

+ [7mJm(xi)rn + A^Hm(xi)rn]a^n — iuу uim (a)alnn + iuaUQm (a)^

1 ^ i / Л \

^n — (1 + ¿ )П ^ 2 “nn{—a (Л + 2^) UQn (a) — a ( Л + 2^ + a ) UQm (a) +

m=Q ' '

(1 + ¿Qn)n

+2 (aa— Л^ uQn(a) — m Ли2П(a) — ^a — Л^ U2m(a)

i

ipiUaxi [7mJm (xi ) + AmHm (xi )] } + 2№amn(Uim + U2m a U2m);

1 1 m 1

^n — _ X/ 2 amn[ ~Uim(a) + mUim (a) + U2m (a) — aU2m (a) — “U2m(a)] +

П ' ^ 2 a a

m=i

+2«mn[ —UQm (a) + a UQm(a) + aU2Qm(a)];

2n 2n

аП — J sin2 0 cos u0 cos m0d0; o?mn — J sin 0 cos 0 cos u0 sin m0d0;

QQ

2n 2n

a?mn — J sin2 0 sin u0 sin m0d0; о.Пп — j sin 0 cos 0 sin u0 sin m0d0.

QQ

При получении краевых условий использовано выражение для вронскиана функций Бесселя [16]

Jn (x)H'n (x) — J'n (x)Hn(x) — 2i/nx.

Таким образом, для нахождения поля смещений в упругом цилиндре необходимо решить две краевые задачи (27),(28),(29) и (27),(30),(31). Эти задачи могут быть решены различными методами, например, методами, изложенными в [17].

Используя найденные функции Uln(r),Uln(r) (q — 0,1), определяем коэффициенты An,Bn. В результате получаем аналитическое описание акустических полей вне (18) и в полости (19) цилиндра, а также поля смещений в неоднородном упругом теле (20).

Список литературы

1. Pillai T.A.K., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. V.72, №3. P.1032-1037.

2. Метсавээр Я.А., Векслер Н.Д., Стулов А.С. Дифракция акустических импульсов на упругих телах. М.: Наука, 1979. 240 с.

3. Родионова Г.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллиптическим цилиндром, помещенным в вязкую жидкость. Деп. в ВИНИТИ, 1988. №8296-В88. 15 с.

4. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом эллиптическом цилиндре в вязкой среде // Прикладные задачи механики и газодинамики. Тула: ТулГУ, 1997. С.167-172.

5. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т.32. Вып.6. С.762-766.

6. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т.33. Вып.6. С.1060-1063.

7. Тютекин В.В. Импедансный метод расчета характеристик упругих неоднородных радиально-слоистых цилиндрических тел // Акуст. журн. 1983. Т.29. Вып.4. С.529-536.

8. Романов. А.Г, Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1. С.62-70.

9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. Вып.3. С.474-483.

10. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т.41. Вып.1. С.134-138.

11. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. №4-5. С.11-14.

12. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. №4-5. С.9-11.

13. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с.

14. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 c.

15. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

16. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

17. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: ТулГУ, 2008. 232 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Лобанов Алексей Викторович, аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic elliptical cylinder with a vacuity

L. A. Tolokonnikov, A. V. Lobanov

Abstract. The approached analytical decision of a problem diffractions of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic elliptical cylinder with a vacuity is received.

Keywords : diffraction, sound waves, inhomogeneous elastic elliptical cylinder.

Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Lobanov Alexey, postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 10.10.2011