CC BY
15
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
удк 519.6:539.3 с. а. чернов
О ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрены особенности численной реализации метода конечных элементов (КЭ) в расчётах вынужденных колебаний. В явном виде приведена матрица ортогонального преобразования координат пространственного балочного конечного элемента, характеристика разработанной программы и результаты расчёта пространственной консоли с распределённой массой конечных элементов.
Ключевые слова: вынужденные колебания, балочный КЭ, пример, табуляграмма расчёта. Матричное уравнение движения системы в конечно-элементной постановке имеет вид [1]:
M0 Z }+[к0 ]z 0 }={р0 },
где {z0 } - вектор ускорений узлов конструкции; {р0 } -Для гармонических колебаний
{р0 }= P0sinrat, {z0 }= Z0 sinrat.
Подставив (2) в (1), получим
(K0 ]-ra2 M 0 hZ 0 }={p 0 },
где ш - частота возмущающей силы.
Узловые силы {s"° } конечного элемента (КЭ) определяются по формуле
вектор узловых динамических сил.
(1)
(2) (3)
где
вектор
}=(к° Ь2 к0 },
- матрица жёсткости КЭ в общей системе координат; [к0 ] - матрица масс; X0 } " амплитудных значений узловых перемещений КЭ. Узловые силы & } КЭ в местной системе координат будут
}=[ТГ },
где [Тг ] - матрица ортогонального преобразования координат КЭ.
Матрицы жёсткости и масс балочного КЭ приведены в явном виде в работах [1]. Вычисление матрицы [Т] выполняется с использованием угла а, определяющего положение главной оси X [2].:
[T] =
" t 0" "X 0"
; [t] = X
0 t 0
[x]=
X
X
X 0
xx xy xz
X 0 X 0 X 0
yx yy yz
X 0 X 0 X 0
zx zy zz
где направляющие косинусы осей X, У и X вычисляются по следующим формулам:
X 0
xx
X 0
xy X0
-1-2
x2
у2 0 z2
x10
-yi0 0 "z1
1
© Чернов С. А., 2016
X о — УУ
X о —
1 — X2 „ 8т а
ху
X о X о
хг гу
ух
X о — —
X о X о
х^ уу
X о X о X о
хх ху уу
М — X2 о М — X2 о
V ху V ху
X о X о X о
хх ху гу
М — X2 о М — X2 о
V ху V ху
гу
X о —
уг
1 — X
2
о
008 а;
ху
X о X о
ху уг
X о X о
- хх уу X о —-
X о X о X о
ху хг уу
М — X2 о М — X2 о
V ху V ху
X о X о X о
ху хг гу
М — X2 о М — X2 о
V ху V ху
Угол а определяет положение главной оси Z местной системы координат XXX балочного КЭ по отношению к оси у - вспомогательной системы координат ущ (рис. 1).
г0
Zo
а)
б)
Рис. 1. К определению угла а положения главной оси X балочного КЭ: г - ось X стержня не совпадает с осью У0; б - ось X стержня совпадает с осью У
1,5
2,6
N ± Му ± Мг. ■
"^у
N Му ± Мг.
> + W V
Му Мг
> + W " V + ^
± Му -гМ,
■4,8
Е Г,
у
W,
Рис. 2. К вычислению напряжений в сечениях стержневого КЭ
Если X хуО — ±1 (рис. 1, б), то матрица направляющих косинусов имеет вид
[X] —
— X о 8т а
ху I I — 008 а
X о
ху
о о
— X о 008 а
ху
Ьт а|
гх
У
£
/
3,7
о
о
На рис. 2 приведены номера точек в узловых сечениях начала и конца КЭ, в которых вычисляются нормальные напряжения, а также формулы их вычисления.
Общая характеристика программы [3].
ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК; Язык: Fortran; ОС: Windows; Объём: 26,4 Кб исходного текста. Используются КЭ фермы, балочный и тонкостенный стержневой КЭ. Инерция кручения КЭ в матрице масс не учитывается. Сосредоточенные массы учитываются путём их суммирования с соответствующими компонентами матрицы масс конструкции, расположенными на главной диагонали. Расчёт стержневой системы может быть выполнен с распределённой массой КЭ и (или) с учётом сосредоточенных масс. Из уравнения (3) следует: при нулевой частоте (ю = 0) возмущающей силы выполняется статический расчёт, а при нулевой погонной массе получаем расчёт при динамическом воздействии только сосредоточенных масс. Моделирование недеформируемых узловых соединений и реализация произвольных шарниров в узле соединения выполняется согласно [4, 5]. При вводе исходных данных единицы измерений силы и длины могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала. Единицы измерений результатов расчёта будут те же, что и выбранные в исходных данных задачи.
На рис. 3 приведена расчётная схема пространственной консоли, образованной стержнями длиной
Рис. 3. Конечно-элементная модель консоли
Ниже приведена табуляграмма расчёта консоли с распределённой массой КЭ на вынужденные колебания (частота ю = 10с_1 возмущающих сил в 100 Н).
И С X О Д Н Ы Е Д А Н Н Ы Е *****************************
УЗЛОВ: 4
CT. CB. В УЗЛЕ: 6
ЭЛЕМЕНТОВ: 3
МАТЕРИАЛОВ: 1
ПОЛУЛЕНТА МЖК: 12
-1
ЧАСТОТА ВОЗМУЩАЮЩЕЙ СИЛЫ (C ):
10.00
НОМЕР МАТЕРИАЛА 1
МОДУЛЬ УПРУГОСТИ 2000000.00
МОДУЛЬ СДВИГА 800000.00
УД. ВЕС 0.00785
УЗЛОВ С ВОЗМУЩАЮЩИМИ СИЛАМИ: УЗЛОВ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ВЕСОМ:
КООРДИНАТЫ ВОЗМУЩАЮЩИЕ СИЛЫ ВЕС
УЗЕЛ X Y Z Рх Ру Pz Рх Ру Pz
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 0.00 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3 100.00 0.00 100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 100.00 100.00 100.00 -10.00 -10.00 -10.00 0.00 0.00 0.00
1
0
ЧИСЛО РАЗЛИЧНЫХ СЕЧЕНИИ КЭ: 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ КЭ СЕЧЕНИЕ F 1х 1у ^ Угол Юу ^
1 6.16 1.35 5.61 22.80 90.00 2.75 9.10
ЭЛEMEHT ТОП MATPИЦA ИHДEKCOB МАТЕРИАЛ СЕЧЕНИЕ
1 2 3
1 2 3
2
3
4
УЗЛOB C ЗAKPEПЛEHИЯMИ: 1 УCЛOBИЯ ЗAKPEПЛEHИЙ: 0 - связь
1 - свобода УЗEЛ Dx Dy Dz Rx Ry
1 0 0 0 0 0
Rz 0
Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р А С Ч Е Т А ************************************
-5
АМПЛИТУДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ (*10 ) Бх Бу Dz Ях Яу
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 29478.04 6640.45 -10.68 -168.02 734.96
29469.98 44305.19 -112543.41 -11720.70 1320.59 4 -22999.64 44297.16 -1321583.50 -12275.62 1320.59
УЗЕЛ 1 2 3
Rz 0.00 337.35 451.35 561.39
БАЛОЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
АМПЛИТУДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ BСФ
ЭЛЕМЕНТ MАТР. .ИНД. Ых 2У Qz Мх Му Mz
1 1 0.51 81.39 25.12 9839.61 -2560.82 8127.08
2 -0.51 -81.25 -24.98 -9839.61 48.29 9.75
2 2 -24.98 81.24 0.51 9.80 -48.29 9839.51
3 24.60 -56.91 -0.26 -9.80 -0.01 -2084.17
3 3 55.72 24.60 0.27 0.00 -9.83 2084.04
4 -9.60 0.00 0.00 0.00 -0.04 0.10
ЯАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКАХ СЕЧЕНИЙ НАЧАЛА И КОНЦА КЭ ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦА ИНДЕКСОВ G1 G3 G5 G7
1 1 2 -155.22 150.95 -616.95 612.68
2 2 3 -483.30 480.11 -111.94 108.69
3 3 4 -565.61 562.43 -1.62 -1.62
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник / В. И. Мяченков [и др.] - М. : Машиностроение, 1989. - 520 с.
2. Чернов С. А., Дьяков И. Ф. О расчёте методом конечных элементов ёмкости-реактора на стадии проектирования // Известия вузов. Машиностроение. - 2007. - №3. - С. 16-20.
3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013661174. Вынужденные колебания произвольной пространственной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013619079; заявл. 10.10.2013; зарегистр. 29.11.2013.
4. Чернов С. А. Моделирование недеформируемых узловых соединений в стержневых системах // Автоматизация. Современные технологии. - 2014. - №1. - С. 39-42.
5. Дьяков И. Ф., Чернов С. А., Черный А. Н. Автоматизация анализа тонкостенных металоконст-рукций на стадии проектирования. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 173 с
Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа; УлГТУ.
Поступила 14.12.2015 г.
