CC BY
10
УДК 519.6:539.3
С. А. ЧЕРНОВ
КОМПЛЕКС ПРОГРАММ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЁННЫХ ТОНКОСТЕННЫМИ СТЕРЖНЯМИ
Приведена основная информация о разработанном объектно-ориентированном комплексе программ для статического расчёта конструкций с использованием в конечно-элементных моделях балочных, тонкостенных стержневых, треугольных и прямоугольных конечных элементов, а также функциональные возможности программ и способы их реализации.
Ключевые слова: программы для ЭВМ, стержневые КЭ, треугольные и прямоугольные КЭ.
Комплекс программ содержит вспомогательные программы подготовки исходных данных и программы целевого назначения для расчёта конкретных конструкций. Вспомогательные программы подготовки данных следующие:
- COOR: генерирование узлов с их координата-
ми по площади панели;
- INDPR: генерирование прямоугольных конеч-
ных элементов (КЭ) с их типом, матрицами индексов, толщиной элементов и распределённой нагрузкой;
- INDST: генерирование стержневых КЭ с их типом и матрицами индексов;
- GXS: вычисление геометрических характери-
стик сечений.
Программы генерирования исходной информации особенно эффективны при решении задач, содержащих многие сотни узлов и КЭ. Выходные файлы OUT программ генерирования узлов и КЭ модели конструкции являются входными файлами INP программ, реализующих метод конечных элементов (МКЭ), т. е. у операторов вывода вспомогательных программ генерирования и у операторов ввода программ, реализующих МКЭ, один и тот же оператор FORMAT. Такая организация входных и выходных данных значительно сокращает трудоёмкость подготовки исходной информации и решения задачи в целом. Программа вычисления геометрических характеристик сечений реализует метод интегрирования произвольных эпюр [1]. Предложенная усовершенствованная матричная форма метода позволила при незначительном количестве исходной информации разработать и реализовать алгоритм вычисления геометрических характеристик произвольного открытого и одноконтурного
© Чернов С. А., 2014
закрытого тонкостенного сечения. Дискретная расчётная схема сечения представляет собой его контур по средней линии сечения. Секториальные координаты узлов сечения вычисляются непосредственно по их определению [2, 3].
Матричный аппарата МКЭ носит стандартный характер для КЭ различного типа и предусматривает применение ЭВМ на всех этапах расчёта. В программах [4-6] используется следующая матричная зависимость
определения вектора | внутренних узловых
сил конструкции в общей системе координат [7]:
к }=к Ко 0},
где К0 ] - квазидиагональная матрица жёсткости конструкции, состоящая из блоков матриц жёсткости КЭ; [А] - матрица соответствий конструкции, состоящая из блоков матриц соответствий КЭ; ¡Р°} - вектор узловой
У 0 }
нагрузки конструкции; у с - вектор узловых перемещений конструкции.
Библиотека КЭ (таблица) программ позволяет выполнять расчёты при стержневой, пластинчато-стержневой и оболочечно-стержневой идеализации конструкций. Различие программ заключается в типах КЭ, в исходной информации и в следующих матрицах КЭ: жёсткости, направляющих косинусов, преобразования координат. Матрица жёсткости треугольного КЭ, работающего в своей плоскости, построена в предположении постоянства деформаций. Такой КЭ часто называют С$>Т-элементом. Аппроксимирующие полиномы:
и = а! + а2 х + а3 у, V = а4 + а5 х + а6у.
У матрицы жёсткости прямоугольного КЭ поля перемещений и, V изменяются линейно вдоль сторон элемента:
и = ах + а2 х + а3 у +а4 х у, V = а5 + а6 х + а7 у +а8 х у.
Таблица
Условие межэлементной непрерывности перемещений в плоской задаче будет выполнено, если в модели конструкции использовать только эти прямоугольные КЭ, или данные элементы соединяются с КЭ, у которых постоянные деформации: КЭ фермы и приведённые треугольные КЭ.
Для матрицы жёсткости треугольного КЭ, работающего на изгиб, используется полный аппроксимирующий полином третьей степени, содержащий десять членов (согласованный КЭ):
м = а1 + а2 х
а3 у +а4 х а8 х2 у
2
а5 ху + а6 у2 + а7 х3 + а9 х у2 + аю у3.
Для матрицы жёсткости прямоугольного КЭ, работающего на изгиб, используется аппроксимирующий полином, содержащий двенадцать членов (несогласованный КЭ):
2
23
м = а1 + а2 х + а3 у +а4 х + а5 ху + а6 у + а7 х +
2 2 3 3 3
+ а8 ху + а9ху + а10у + ап ху + а12 х у .
Так как перемещения, вызванные мембранными и изгибающими силами, не влияют друг на друга, то матрицы жёсткости треугольного и прямоугольного КЭ оболочки будут комбинацией соответствующих матриц жёсткости.
Матрицы жёсткости балочных и тонкостенных стержневых КЭ приведены в явном виде в работах [7-10].
N М у м ст1,5 = + ТГ" — "777
у
ст 2,6 = +-^ + -^77-
ст 3,7 = + +
М2 В ш
— '
М2 Ви
+ Ж ш
М2 Ви
— Ж ш
М2 В ш
+ Ж ш
ст 4 8 = +-—-
4,8 р Ж
Формирование матрицы жёсткости конструкции с помощью матрицы индексов, с последующей модификацией матриц жёсткости КЭ с меньшим числом степеней свободы в узлах, использовано при разработке комплекса программ, что позволило уменьшить исходную информацию и упростить её подготовку: процесс генерирования матрицы индексов КЭ. При использовании в расчётной схеме конструкции различных КЭ, в том числе и тонкостенных стержневых, в программах выполняется модификация матриц жёсткости тех КЭ, у которых число степеней свободы в узле меньше, чем в узле тонкостенного стержневого элемента, путём введения фиктивной нулевой степени свободы в узлы КЭ. В этом случае легко определяется порядок системы разрешающих уравнений равновесия задачи и значительно упрощается алгоритм её решения и реализации на ЭВМ методом исключения Гаусса, так как число уравнений во всех узлах задачи одинаковое. Однако такой подход несколько увеличивает порядок системы уравнений и,
следовательно, объём памяти ЭВМ, необходимый для её решения.
Матрица коэффициентов при неизвестных системы уравнений равновесия является симметричной, положительно определённой и ленточной. Память экономится благодаря тому, что только ненулевую часть матрицы требуется хранить в ЭВМ. Эта часть ленточной матрицы располагается в памяти в виде прямоугольного массива.
Для решения методом исключения Гаусса больших систем уравнений, которые не могут быть размещены в оперативной памяти ЭВМ, используется внешняя память, т. е. в оперативной памяти хранится только часть матрицы коэффициентов и выполняется процесс решения по частям. С помощью такого алгоритма можно решить практически неограниченное число уравнений при условии конечности ширины ленты [7].
Вычисление нормальных напряжений в узлах стержневого КЭ (начало - первый номер узла в матрице индексов) выполняется в четырёх точках сечения согласно принятым положительным направлениям узловых перемещений, сил и моментов:
6
7
Верхний знак в формулах относится к точкам сечения начала стержня (1-4), а нижний знак относится к точкам сечения конца стержня (5-8). Напряжения в плоских КЭ определяются в их центрах тяжести.
Расчёт при заданных перемещениях выполняются следующим образом. Например, при известном перемещении, положим /1 , элементы первой строки и первого столбца матрицы жёсткости конструкции становятся нулевыми, а элемент главной диагонали - единичным. При этом элементы вектора-столбца нагрузки становятся равными:
п п п п
I = 2, 3, ..., п.
р0 = 7 о р1 = 71
р0 = Р° - <7°;
Очевидно, при кинематическом закреплении (пусть Z° = 0) необходимо изменить матрицу жёсткости описанным выше способом. Элементы вектора нагрузки остаются неизменными, кроме P1 = 0 .
Моделирование конструкций, подкреплённых стержнями, выполняется согласно подходу, рассмотренному в работах [11-13].
Общая характеристика программ. ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК; Язык: Fortran; ОС: Windows; Объём: 152,7 Кб исходного текста.
Программы обеспечивают выполнение следующих функций:
- вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и закрытого профилей,
- расчёт тонкой пластины и оболочки, подкреплённой стержнями сплошного сечения и (или) тонкостенными стержнями открытого или закрытого профилей,
- расчёт от заданной нагрузки и (или) от заданных линейных и угловых перемещений,
- расчёт с учётом податливости опор.
Структура программ построена по модульному принципу, что обеспечивает возможность библиотеке КЭ быть открытой и достаточно просто пополняемой.
При вводе исходных данных единицы измерений силы и длины могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала. Результаты расчёта будут в выбранных единицах измерений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бычков, Д. Б. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций / Д. Б. Бычков. - М. : Госстройиздат, 1962. - 475 с.
2. Чернов, С. А. Автоматизация вычисления геометрических характеристик тонкостенного сечения / С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. - 2011. - №8. - С. 10-13.
3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2005610795. Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и закрытого профиля / Чернов С. А., Булыжёв Е. М. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005610202; заявл. 08.02.2005; зарегистр. 06.04.2005.
4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013617905. Плоско-напряжённая и плоско-деформированная пластины, подкреплённые стержнями / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013615769; заявл. 09.07.2013; за-регистр. 27.08.2013.
5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012617590. Изгиб пластины, подкреплённой тонкостенными стержнями / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2012615327; заявл. 26.06.2012; зарегистр. 22.08.2012.
6. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013618718. Статика оболочки, подкреплённой тонкостенными стержнями / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013616241; заявл. 19.07.2013; зарегистр. 17.09.2013.
7. Мяченков, В. И. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник / В. И. Мяченков, В. П. Мальцев, В. П. Майборода. - М. : Машиностроение, 1989. - 520 с.
8. Дьяков, И. Ф. Метод конечных элементов в расчётах стержневых систем : учебное пособие / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов, А. Н. Чёрный. -Ульяновск : УлГТУ, 2010. - 133 с.
9. Чернов, С. А. К расчёту пространственной тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов, И. Ф. Дьяков // Автоматизация и современные технологии. - 2008. - №2. - С. 3-7.
10. Дьяков, И. Ф. Автоматизация анализа тонкостенных подкреплённых металлоконструкций / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов, А. Н. Чёрный. -Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 173 с.
11. Чернов, С. А. О расчёте методом конечных элементов ёмкости-реактора на стадии проектирования / С. А. Чернов, И. Ф. Дьяков // Известия вузов. Машиностроение. - 2007. - №3. -С.16-20.
12. Дьяков, И. Ф. К расчёту оболочки, укреплённой тонкостенными стержнями / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. - 2008. - №1. - С. 16-20.
13. Чернов, С. А. Моделирование тонкостенных конструкций, подкреплённых стержнями коробчатого сечения / С. А. Чернов // Известия вузов. Поволжский регион. Технические науки. -2014. - №1(29). - С. 102-111.
Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа.
