CC BY
11
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 519.6:539.3
А. Н. ЧЁРНЫЙ, С. А. ЧЕРНОВ
КОМПЛЕКС ПРОГРАММ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Приведена основная информация о разработанном объектно-ориентированном комплексе программ для расчёта произвольных стержневых систем с использованием в конечно-элементных моделях балочных и тонкостенных стержневых КЭ, а также функциональные возможности программ и способы их реализации.
Ключевые слова: КЭ-конечный элемент, балочный КЭ, тонкостенный стержневой КЭ, программы для ЭВМ.
Комплекс программ для расчёта произвольных стержневых систем содержит вспомогательную программу подготовки исходных данных и четыре объектно-ориентированные программы, т. е. программы целевого назначения для расчёта конкретных конструкций.
Вспомогательная программа «Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей» реализует метод интегрирования произвольных эпюр. Предложенная усовершенствованная матричная форма метода интегрирования произвольных эпюр позволила при незначительном количестве исходной информации о задаче и её простоте разработать и реализовать алгоритм вычисления всего спектра геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и одноконтурного закрытого профилей [1]. Структура исходных данных программы следующая: линейные координаты узлов, матрица индексов, элементы которой - номера узлов участков сечения, толщина участка [2].
В программах [3-6] расчёта стержневых систем методом конечных элементов используется прямой метод в форме перемещений, т. е. реализована следующая матричная зависимость опре-
S о }
деления вектора pk ( внутренних узловых сил конструкции в общей системе координат [7, 8]:
}= [к0 ь ]([л J [ко \л {р0 }
где
ко
© Чёрный А. Н., Чернов С. А., 2014
квазидиагональная матрица жесткости конструкции, состоящая из блоков матриц жёсткости КЭ; [а] - матрица соответствий конструкции, состоящая из блоков матриц соответствий КЭ; р0 ] - вектор узловой нагрузки; ^01 - вектор узловых перемещений.
При расчёте с выделением подконструкций (двухуровневая процедура метода суперэлементов) в конечно-элементной модели задачи выделяются несколько подструктур со своей нумерацией узлов и КЭ [9]. Формируется матрица жёсткости граничных узлов конструкции и вычисляются перемещения граничных узлов конструкции и граничных узлов подконструкций. Формирование матрицы жёсткости граничных узлов, вектора граничной узловой нагрузки конструкции выполняется аналогично прямой методу.
Расчётная схема стержневой конструкции представляет собой систему, образованную осями стержней, проходящими через центры тяжести поперечных сечений при использовании балочных КЭ или через центры изгиба при использовании тонкостенных стержневых КЭ.
Вектор р01 узловой нагрузки в общей системе координат формируется из заданных сосредоточенных сил, моментов, линейных и угловых перемещений, приложенных к узлам сопряжения КЭ расчётной схемы конструкции, а также из узловых сил и моментов, которые статически эквивалентны действующим на КЭ распределённым нагрузкам. Такой приём замены распределённой нагрузки q на эквивалентные узловые сосредоточенные силы р и моменты м приближённый, но достаточно точный, широко распространён и не требует никаких изменений в алгоритме расчёта при его реализации.
Таблица 1
Библиотека КЭ
КЭ библиотеки программ используются в программах в зависимости от их функционального назначения (табл. 1).
Матрицы [к] жёсткости КЭ с произвольными шарнирами в узлах вычисляются с помощью процесса конденсации. Узловые силы {р} и соответствующие им узловые перемещения } КЭ а - в связаны между собой уравнением равновесия в блочном виде следующим образом:
\к ]
к
АА
к
АВ
КВА К
ВВ
Выполнив умножение элементов матриц, получим
[КАА Ьа }ЛКАВ Ь }4а }; КВА Ь }+\КВВ к }4в }.
х
В
В
Пусть по направлениям узловых перемещений {а } расположены шарниры, тогда {р } = 0, и из 1-го уравнения (1) будет
\Каа]{А} = -КАВ]{В};
{а}=-\Каа ]1\Кав ]{в }.
Подставив {а} во 2-е уравнение (1), получим следующее выражение:
\вв ]-\КвА \аа ]1\Кав ]{в }={Рв}.
Таким образом, матрица К" ] жёсткости КЭ с одним или несколькими шарнирами по направлениям узловых перемещений {а } будет
"0 0
К,
0 Кш
где
На рис. 1 представлены плоские шарнирные соединения стержней.
В табл. 2 приведены варианты наиболее распространённых шарнирных соединений при свободном угловом перемещении и их конечно-элементные модели.
Реализация этих вариантов шарнирных соединений стержней может быть выполнена следующим образом.
Простой шарнир: КЭ 1-2 с шарниром в узле 2. КЭ 2-3 без шарнира.
Присоединённый шарнир: КЭ 2-4 с шарниром в узле 2. КЭ 1-2, 2-3 без шарниров.
Кратный шарнир: КЭ 3-2, 4-2, 5-2 с шарнирами в узле 2. КЭ 1-2 без шарнира.
Групповой шарнир: КЭ 3-4 с шарниром в узле 4. Остальные КЭ без шарниров.
\Кш ] = \КВВ ] - \КВА ]\КАА ] 1 \КАВ ] .
а)
б)
-^Гт
X
в)
Рис.1. Схемы вариантов шарниров в узле: а - свободное перемещение по осиx; б - свободное перемещение по оси у; в - свободное угловое перемещение
Таблица 2
Шарнирные соединения стержней
№
Наименование
Схема
Конечно-элементная модель соединения
Простой шарнир
О
1
Присоединённый шарнир
1 2 3
гс\
Кратный шарнир, К = 3
X
Групповой шарнир
2 ч и
2
3
1
2
3
4
Моделирование недеформируемых узловых соединений в конструкциях стержневых системах и учёт эксцентриситетов осей стержней в узле соединения выполняется согласно [10, 11].
Вычисление нормальных напряжений в узлах балочного и тонкостенного стержневого КЭ выполняется в четырёх точках сечений в начале и конце КЭ. Расчёт при заданных перемещениях выполняется следующим образом. Например, при известном перемещении, положим
1° , элементы первой строки и первого столбца матрицы жёсткости становятся нулевыми, а элемент главной диагонали - единичным. Элементы вектора-столбца нагрузки следующие: подставив во 2-е уравнение (1), получим
такое выражение:
Р1° = р° = р° -г- = 2, 3, ..., и.
При закреплении (пусть = 0) изменяется матрица жёсткости описанным способом, а элементы вектора нагрузки остаются неизменными, кроме Р1 = 0 .
Программы обеспечивают выполнение следующих функций:
- вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и закрытого профиля,
- расчёт от заданной нагрузки и (или) от заданных линейных и угловых перемещений,
- учёт произвольных шарниров в начале и (или) в конце стержня в местной и (или) в общей системах координат,
- расчёт с учётом податливости опор.
Единицы измерений силы и длины в программах комплекса могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала.
Программы комплекса использовались в расчётах металлоконструкций, рассмотренных в работах [12, 13].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чернов, С. А. Автоматизация вычисления геометрических характеристик тонкостенного сечения / С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. - 2011. - №8. -С.10-13.
2. Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2005610795. Вычисление геометрических характеристик произвольного тонкостенного сечения открытого и закрытого профиля / Чернов С. А., Булыжёв Е. М. Заявитель и правообладатель Ульян. гос.
техн. ун-т. №2005610202; заявл. 8.02.2005; заре-гистр. в Реестре программ для ЭВМ 6.04.2005.
3. Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2005611943. Статика произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Чёрный А. Н. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005611339; заявл. 7.06.2005; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 3.08.2005.
4. Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012619737. Статика произвольной плоско-пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А., Чёрный А. Н. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2012617586; заявл. 10.09.2012; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 26.10.2012.
5. Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2006610529. Статика произвольной пространственной стержневой системы / Чернов С. А., Черный А. Н. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005613263; заявл. 9.12.2005; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 7.02.2006.
6. Свидетельство РФ о государственной регистрации программы для ЭВМ №2006611602. Статика произвольной пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А., Дьяков И. Ф. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2006610839; заявл. 21.03.2006; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 12.05.2006.
7. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер; пер. с англ. под ред. Н. В. Баничука. - М. : Мир, 1984. - 428 с.
8. Дьяков, И. Ф. Автоматизация анализа тонкостенных подкреплённых металлоконструкций / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов, А. Н. Чёрный. -Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 173 с.
9. Метод суперэлементов в расчётах инженерных сооружений / В. А. Постнов, С. А. Дмитриев, Б. К. Елтышев, А. А. Родионов; под общей ред. В. А. Постнова. - Л. : Судостроение, 1979. -287 с.
10. Чернов, С. А. Моделирование недеформи-руемых узловых соединений в стержневых системах / С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. - 2014. - №1. - С. 39-42.
11. Чернов, С. А. К учёту эксцентриситетов осей стержней в узле соединения / С. А. Чернов // Автоматизация и современные технологии. -2014. - №7. - С. 10-12.
12. Чернов, С. А. О расчёте методом конечных элементов ёмкости-реактора на стадии проектирования / С. А. Чернов, И. Ф Дьяков // Известия
высших учебных заведений. Машиностроение. -2007. - №3. - С. 16-20.
13. Дьяков, И. Ф. Пространственная модель узла, соединяющего поперечину рамы АТС с её лонжероном / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов //Автомобильная промышленность. - 2007. -№9. - С. 33-37.
Чёрный Анатолий Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа.
