CC BY
13
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 519.6:539.3 С. А. ЧЕРНОВ
КОМПЛЕКС ПРОГРАММ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ И ДИНАМИКИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Приведена основная информация о разработанном объектно-ориентированном комплексе программ для расчёта произвольных стержневых систем с использованием в конечно-элементных моделях балочных и тонкостенных стержневых КЭ, а также функциональные возможности программ и способы их реализации.
Ключевые слова: балочный КЭ, тонкостенный стержневой КЭ, программы для ЭВМ.
Для численной реализации задачи устойчивости используется следующее матричное уравнение метода конечных элементов (КЭ) в перемещениях [1]:
([^0 ]-[(0 ^ 0 }= 0, где К0 ] - матрица жёсткости конструкции в общей системе координат; G0 ] - матрица по-
У 0 }
тенциала нагрузки конструкции; ( - вектор узловых перемещений.
Выражение (1) представляет собой систему линейных однородных уравнений относительно
узловых перемещений 0 }. При решении системы заданная нагрузка приводится к одному параметру Р, который выносится из матрицы
потенциала (0
т. е.
-0
К 0 ]-Р[( 0 0 }
= 0.
При нахождении собственных значений не прибегают к записи определителя в виде полинома, а решается частная задача уравнений собственных значений. В задаче устойчивости интересует только наибольшее собственное число из всего спектра собственных чисел, которое соответствует критической силе. Наибольшее собственное число определяется простым итерационным методом (последовательным приближением).
С математической стороны задачи устойчивости и свободных колебаний полностью совпадают. В алгоритме программ расчёта на свободные колебания используется следующее уравне-
ние метода конечных элементов в перемещениях в общей системе координат [1]:
(К0 ]-ф2 М0 0 }=0,
где ф - собственные частоты колебаний;
[м 0 ] - матрица масс конструкции; 0 } - вектор амплитудных значений узловых перемещений.
При расчёте на свободные колебания вычисляется весь спектр собственных чисел и соответствующих собственных векторов путём продолжения итерационного процесса.
Для гармонических колебаний уравнение движения системы имеет вид
(к0 ]-ю2 |м 0 ]{? 0 }={Р 0 }, где ю - частота возмущающей силы. Вектор } внутренних узловых сил конструкции можно представить в виде
к }=[к0 № ]>0 }=[к0 №0},
где [к° ], \м° ] - квазидиагональные матрицы жёсткости и масс конструкции; [А] - матрица соответствий (связи узлов) конструкции:
к 0
[А]Т (к0 ]-ю2 М й.
© Чернов С. А., 2017
Библиотека КЭ программ приведена в следующей таблице.
Комплекс программ кинематического анализа произвольных стержневых систем содержит объектно-ориентированные программы расчёта на устойчивость [2-4], свободные и вынужденные колебания [5-12]. КЭ библиотеки используются в программах в зависимости от их следующих функциональных назначений.
Таблица
Библиотека КЭ
№ Характеристика и вид КЭ № Характеристика и вид КЭ
1 КЭ фермы: растяжение-сжатие 2 Балочный КЭ: растяжение-сжатие, изгиб г
3 Балочный КЭ: изгиб, кручение А X 2 у г 4 Тонкостенный КЭ: изгиб, кручение 2 у г
5 Пространственный балочный КЭ у 6 Пространственный тонкостенный стержневой КЭ 2 у г
КЭ №1 плоской фермы, работающий на растяжение-сжатие, используется для решения задач динамики плоской и пространственной ферм. Балочный КЭ №2, работающий на растяжение-сжатие и изгиб, используется для решения задач устойчивости и динамики плоской стержневой системы. КЭ №3 и №4, работающие на изгиб и кручение, используются для решения задач динамики произвольной плоскопространственной стержневой системы. Пространственные КЭ №5 и №6 используются для решения задач устойчивости и динамики произвольной пространственной стержневой системы.
Матрицы жёсткости, потенциала нагрузки и масс различных балочных и тонкостенных стержневых КЭ рассмотрены в работах [13-18]. Матрицы жёсткости КЭ с произвольными шарнирами в узлах вычисляются с помощью процесса конденсации (редуцирования). В этом слу-
чае матрица жёсткости КЭ с одним или несколькими шарнирами [кЩ ] по направлениям узловых перемещений {¿А } вычисляется по формуле
"0 0
К
о к
где
[Кш ] - [КББ ] - [КБА \КАА Г1 [КАБ ] .
Процедура конденсации используется и для получения матриц потенциала нагрузки и матриц масс К Э с шарнирами в узлах, которая приближённая, но достаточно точная.
При нахождении собственных значений применяется стандартная конечно-элементная процедура решения линейной задачи устойчивости (свободных колебаний). В отличие от [1] используется следующий подход к формированию
системы линейных алгебраических уравнений вычисления характеристической матрицы [Н ]:
[к*0 ] [Н ] = [( ],
- матрица коэффициентов системы
где
К
а
- матрица свобод-
уравнений равновесия; ных членов.
Решение системы уравнений обеспечивается не исключением зависимых уравнений в матри-
цах
К
а
жёсткости и потенциала нагрузки (матрицы масс) конструкции, соответствующих условиям кинематического закрепления задачи, а связями, накладываемыми на узловые перемещения. Этот способ заключается в том,
что размер матриц
К0
и
а0
не изменяется, а
сами матрицы модифицируются путём присваивания строкам и столбцам, соответствующим кинематическим закреплениям задачи, нулевых значений, а компоненту главной диагонали присваивается единица.
К*
а*
В результате получим матрицы Нулевые строки характеристической матрицы [Н ] не участвуют в итерационном процессе определения собственных значений, но это обстоятельство должно быть предусмотрено в соответствующей подпрограмме. Следует отметить, что при исключении зависимых уравнений в матрицах жёсткости и потенциала нагрузки конструкции [1], можно использовать практически все стандартные программы определения собственных значений.
Динамические расчёты стержневой системы могут быть выполнены с распределённой массой КЭ и (или) с учётом сосредоточенных масс. Из уравнения движения системы следует ряд частных случаев. Например, приняв частоту ю = 0 возмущающей силы, выполняется статический расчёт. Приравняв нулю погонную массу ц, получим расчёт при динамическом воздействии только от сосредоточенных масс. При расчётах стержневой системы на вынужденные колебания нормальные напряжения в узлах балочного и тонкостенного стержневого КЭ вычисляются в четырёх точках сечений в начале и конце КЭ. Расчётная схема стержневой конструкции представляет собой систему, образованную осями стержней, проходящими через центры тяжести поперечных сечений при использовании балочных КЭ или через центры изгиба при использовании тонкостенных стержневых КЭ. В разработанных программах не определены какие-либо единицы измерений величин. При вводе исходных данных единицы измерений силы и длины
могут быть выбраны расчётчиком и определяются единицами измерений модуля упругости материала. Единицы измерений результатов расчёта будут те же, что и выбранные единицы измерений в исходных данных задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Расчёты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник / В. И. Мяченков [и др.] - М. : Машиностроение, 1989. - 520 с.
2. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005611973. Устойчивость произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Дьяков И. Ф. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005611973; заявл. 07.06.2005; зарегистр.
05.08.2005.
3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012618597. Устойчивость произвольной плоской тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2012618597; заявл. 31.07.2012; зарегистр.
21.09.2012.
4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013617912. Устойчивость пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013615832; заявл. 09.07.2013; зарегистр.
27.08.2013.
5. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006611072. Свободные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005613264; заявл. 09.12.2005; зарегистр.
21.03.2006.
6. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006610253. Вынужденные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Дьяков. И. Ф. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. № 2005612859; заявл. 03.11.2005; зарегистр. 10.01.2006.
7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619735. Свободные колебания произвольной плоскопространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2012617584; заявл. 10.09.2012; зарегистр. 26.10.2012.
8. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012619736. Вынужденные колебания произвольной
плоско-пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2012617585; заявл. 10.09.2012; зарегистр. 26.10.2012.
9. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013661171. Свободные колебания произвольной пространственной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013619070; заявл. 10.10.2013; зарегистр. 29.11.2013.
10. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013661174. Вынужденные колебания произвольной пространственной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2013619079; заявл. 10.10.2013; зарегистр.
29.11.2013.
11. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014616771. Свободные колебания пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2014614353; заявл. 12.05.2014; зарегистр.
03.07.2014.
12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014616858. Вынужденные колебания пространственной тонкостенной стержневой системы / Чернов С. А. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. № 2014614343; заявл. 12.05.2014; зарегистр. 07.07.2014.
13. Чернов С. А. О расчёте методом конечных элементов ёмкости-реактора на стадии проектирования / С. А. Чернов, И. Ф Дьяков // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. -2007. - №3. - С. 16-20.
14. Чернов С. А. Конечный элемент стержня коробчатого сечения с узлами по контуру сечения / С. А. Чернов // Автоматизация. Современные технологии. - 2014. - №2. - С. 9-12.
15. Чернов С. А. К расчёту пространственной тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов, И. Ф. Дьяков // Автоматизация. Современные технологии. - 2008. - №2. - С. 3-6.
16. Дьяков И. Ф. К расчёту оболочки, подкрепленной тонкостенными стержнями / И. Ф. Дьяков, С. А. Чернов // Автоматизация. Современные технологии. - 2008. - №1. - С. 16-20.
17. Чернов С. А. К расчёту на устойчивость тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. - 2013. - №2 (21). -С.162-170.
18. Чернов С. А. Моделирование задач динамики тонкостенной стержневой системы / С. А. Чернов // Программные продукты и системы. -2014. - №2 (106). - С. 171-176.
19. Дьяков И. Ф., Чернов С. А., Чёрный А. Н. Автоматизация анализа тонкостенных металлоконструкций на стадии проектирования. - Ульяновск : УлГТУ, 2007. - 173 с.
Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа;УлГТУ.
Поступила 10.02.2017 г.
