Анализ свободных колебаний произвольной плоской стержневой системы на ЭВМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Поступила 20.03.2015 г.

УДК 519.6:539.3

С. А. ЧЕРНОВ

АНАЛИЗ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ЭВМ

Рассмотрена численная реализация МКЭ в расчётах свободных колебаний. Приведены матрицы жёсткости, масс, преобразования координат КЭ, функциональные возможности разработанной программы, табуляграмма расчёта примера на свободные колебания.

Ключевые слова: матрица, частота колебаний, программа для ЭВМ.

Матричное уравнение метода конечных элементов (МКЭ) в перемещениях задачи свободных колебаний имеет вид [1]:

21,^0 1^0

где

К

([к0 ]-ф2 |м° № }= 0, (1)

- матрица жёсткости конструкции в общей системе координат X0У0Z0 ; [м0 ] - матрица

¿сткости конструкции в общей системе координат X0^ • I»'0

|70} - -масс конструкции; Ь / - вектор амплитудных значений узловых перемещений конструкции.

Выражение (1) представляет собой систему линейных однородных уравнений относительно узловых перемещений {ь 0 }. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю:

det ([к0]-ф2[м01

)=0.

(2)

Значения ф, удовлетворяющие уравнению (2), представляют собой круговые частоты (за 2 л сек.) свободных колебаний системы. Каждой частоте соответствует своя форма колебаний. При нахождении собственных значений не прибегают к записи определителя в виде полинома, а решается частная

задача уравнений собственных значений. С этой целью выражение (2) делится на ф2 и умножается на обратную матрицу [к0 ] :

V [к0 ][к0 ]-[к0 ]>0 ]){0}

= 0

ф

или

Введя обозначения

[к0 ] М0 Ъ0 К Ь0}.

ф

х =

-фг, [я]=[к0 [У ] ф

получим уравнения собственных значений:

[я ]{ь0 }=Х{ь0},

где [я ] - характеристическая матрица; X - собственные числа (соответствующие собственным частотам колебаний).

© Чернов С. А., 2015

С математической стороны задачи устойчивости и свободных колебаний полностью совпадают. Формирование матриц жёсткости и масс конструкции выполняется в стандартной для конечно-элементной процедуры форме, т. е.

к0 ]=[лТ К0 1а] ; к ]-[л] к 1а] .

Сосредоточенные массы учитываются их суммированием с соответствующими компонентами матрицы масс конструкции, расположенными на главной диагонали. В задаче свободных колебаний собственные числа и собственные векторы определяются итерационным методом. Ниже приведены матрицы жёсткости и масс балочного КЭ, работающего на растяжение-сжатие и изгиб и используемого для моделирования плоской стержневой системы [1, 2].

[К, ] =

Матрица жёсткости балочного КЭ

ЕЕ £ 0

0

ЕЕ

£

0 0

12 Е/.

£3

6 Е/. 4 Е/.

£ 2 £

0 0

12 Е/. 6 Е/.

£3 £ 2

6 Е/. 2 Е/.

£ 2

£

ЕЕ £ 0

И

12 Е/^

0

£

6 Е/^

X

£2

4/

£

где Е - модуль упругости материала; Е - площадь сечения стержня; £ - длина стержня; Л. момент инерции сечения относительно главной оси Z .

Матрицы жёсткости КЭ с произвольными шарнирами в узлах вычисляются с помощью процесса

конденсации. Матрица жёсткости КЭ с одним или несколькими шарнирами узловых перемещений определяется выражением:

Vй

кг

по направлениям

Кг

[Мг ]=|

0 0 0 Кш

; [к ш ]-[КББ ]~[КБЛ 1клл ] 1[клв ] . Матрица масс балочного КЭ

13£ 35 11£ 2 Симметрично

210 0 105 0 £

9£ 13£ 2 0 0 13£

70 13£ 2 420 35 11£ 2 £ 2

140 140 210 105.

г

0

где ц - погонная масса КЭ стержня.

Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в начале стержня

Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в конце стержня

К ] =

о 331

14о

о о о

i 6 о о i 3

о 39i 28о о о 17i 35

о 11i2 28о о о 6i2 7о

2Г

[Mr ] =

171

35

3i2 2i2

35 Ю5 i

о о 3

39 i 11i2 о 33i

28о 28о 14о

о о о о

Матрица [Tr ] ортогонального преобразования координат КЭ имеет вид:

, м = [X]=

[Tr] =

t о

0 t

X о X о X

xx xy xz

X о X о X yz

yx УУ yz

X о X о X

zx zy zz

Направляющие косинусы осей Z, X и Y соответственно:

X

X о

zy

X

X о

xy

1-2

о

о - о x2 x1 оо

y2 -yi

X о

yz

X о

yx

X о

yy

-1-2

-( у2- У1о)

x^ xi

где x0 , у0 - координаты узлов КЭ в общей системе координат; - длина КЭ:

V(x§ - J + (у2- У1о J .

А- 2 =■

Общая характеристика программы [3]. ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК; Язык: Fortran; ОС: Windows; Объём: 21,3 Кб исходного текста.

Программа обеспечивает выполнение следующих функций:

- расчёт произвольной плоской стержневой системы,

- расчёт с распределёнными параметрами масс КЭ и (или) с учётом сосредоточенных масс,

- определение частот свободных колебаний и соответствующих собственных векторов.

Учёт эксцентриситетов осей стержней в узле их соединения и вычисление геометрических характеристик сечений выполняются согласно [4, 5].

На рисунке приведена конечно-элементная модель теста рамы, образованная шестью балочными КЭ. Во втором и шестом узлах расположены сосредоточенные массы.

®

. 5

т

I '

\

\

\

3\

■3>

т

Xе

Конечно-элементная модель и низшая форма колебаний рамы

о

о

о

о

о

1

1

X

X

о

о

zx

xx

Единицы измерений силы и длины могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала.

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

УЗЛOB:

СТ. CB. B УЗЛE: ЭЛEMEHTOB: MATEPИAЛOB: ПOЛУЛEHTA MЖK: HOMEP MATEPИAЛA 1

И C X O Д H Ы E 7 3 6 1 12

MOДУЛЬ УПPУГOCTИ 2000000.00

2

Д Л H H Ы E

УЗЛOB С СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ВЕСОМ: КООРДИНАТЫ

УД. ВЕС 0.00785

ВЕС

УЗЕЛ X У Рх РУ

1 0.00 400.00 0. 00 0.00

2 200.00 400.00 100. 00 100.00

3 400.00 0.00 0. 00 0.00

4 400.00 200.00 0. 00 0.00

5 400.00 400.00 0. 00 0.00

6 700.00 400.00 100. 00 100.00

7 1000.00 400.00 0. 00 0.00

ЧИСЛО РАЗЛИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ КЭ: 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ КЭ СЕЧЕНИЕ Г ^

1 24.00 72.00

БАЛОЧНЫХ КЭ С ШАРНИРАМИ: 0

МАТРИЦА ИНДЕКСОВ Г

ЭЛЕМЕНТ ТИП

1 2 1 2 2 2

3 2 3

4 2 4

5 2 5

6 2 6 УЗЛОВ С ЗАКРЕПЛЕНИЯМИ: УСЛОВИЯ ЗАКРЕПЛЕНИЙ: 0

1

2 5

4

5

6 7

24 24 24 24 24 24

00 00 00 00 00 00

72.00

72. 72. 72. 72. 72.

3

СВЯЗЬ СВОБОДА

КОЛИЧЕСТВО ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ: МАКСИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ: 50 ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА:

УЗЕЛ Бх Бу

1 0 0 0

3 0 0 0

7 0 0 0

МАТЕРИАЛ СЕЧЕНИЕ

00 00 00 00 00

0.00100

1

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р А С Ч Ё Т А

-1

1-Я КРУГОВАЯ ЧАСТОТА СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ (с ): 26.750 СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР (МОДА)

УЗЕЛ Бх Бу Кя

1 0. 000000 0. 000000 0. 000000

2 1. 000000 6097 581055 23 903526

3 0. 000000 0. 000000 0. 000000

4 -5025 .565918 -9 392917 23 967205

5 1. . 999696 -18 785833 -95 032211

6 1. 000076 -38884 386719 24 921558

7 0. 000000 0. 000000 0. 000000

ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ: 5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Масленников А. М. Расчёт строительных конструкций численными методами. - Л. : ЛГУ, 1987. - 225 с.

2. Чернов С. А. Математические модели и пакет программ для численного анализа тонкостенных стержневых систем и подкреплённых конструкций: дисс... канд. техн. наук / Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева. - Саранск, 2010.

3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2006611072. Свободные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Черный А. Н. Заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. №2005613264; заявл. 9.12.2005; зарегистр. 21.03.2006.

4. Чернов С. А. Автоматизация вычисления геометрических характеристик тонкостенного сечения // Автоматизация и современные технологии. - 2011. - №8. - С. 10-13.

5. Чернов С. А. Эксцентриситеты осей стержней в узле соединения // Автоматизация и современные технологии. - 2014. - №7. - С. 10-12.

Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа; УлГТУ.

Поступила 13.04.2015 г.

УДК 537.52 А. В. ПАРФЁНОВ

ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО СТОЛБА ДУГОВОГО РАЗРЯДА

Предлагается теория положительного столба дугового разряда, в основу которой положена известная в электродинамике закономерность: распределение стационарного тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии. Показано, как применять данную теорию на примере однородного цилиндрически симметричного положительного столба дугового разряда. Приводятся экспериментальные данные, подтверждающие полученные теоретические результаты.

Ключевые слова: дуговой разряд, вольт-амперная характеристика (ВАХ).

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшим моментом в построении теории положительного столба дугового разряда является вывод его вольт-амперной характеристики.

Как известно, ВАХ связывает ток и напряжение, но в отличие от твёрдых проводников, чья геометрия неизменна и не зависит от тока и напряжения, геометрия поверхности положительного столба дугового разряда является ещё одним неизвестным параметром, который связан с двумя другими параметрами разряда: током дугового разряда и напряжением на положительном столбе дугового разряда. Поэтому для отыскания ВАХ положительного столба необходимо иметь два уравнения, связывающих эти три параметра.

Первым уравнением, которое связывает эти параметры, является закон сохранения энергии, записанный для положительного столба. Таким образом, задача по отысканию ВАХ столба сводится к отысканию второго уравнения, связывающего указанные выше три параметра.

Второе уравнение должно быть основано на реально существующей закономерности, которой подчиняется стационарный ток, мы рассматриваем стационарный дуговой разряд. Но единственной

© Парфёнов А. В., 2015