Научная статья на тему 'Анализ вынужденных колебаний произвольной плоской стержневой системы на ЭВМ'

Анализ вынужденных колебаний произвольной плоской стержневой системы на ЭВМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
101
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МАТРИЦА / ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ / ПРОГРАММА ДЛЯ ЭВМ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Чернов Сергей Анатольевич

Рассмотрена численная реализация МКЭ в расчётах свободных колебаний. Приведены матрицы жёсткости, масс, преобразования координат КЭ, функциональные возможности разработанной программы, табуляграмма расчёта примера на свободные колебания

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Анализ вынужденных колебаний произвольной плоской стержневой системы на ЭВМ»

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики и синтеза механизмов.

Петрова Татьяна Евгеньевна, аспирантка кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.

УДК 519.6:539.3 С. А. ЧЕРНОВ

АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ЭВМ

Рассмотрена численная реализация МКЭ в расчётах свободных колебаний. Приведены матрицы жёсткости, масс, преобразования координат КЭ, функциональные возможности разработанной программы, табуляграмма расчёта примера на свободные колебания.

Ключевые слова: матрица, частота колебаний, программа для ЭВМ.

В алгоритме программы [3] используется следующее уравнение движения системы [1, 2]:

М0 ^0 ]г0 }=Р0}, (1)

где К0 ], |м 0 ] - матрицы жёсткости и масс конструкции; 0 } - вектор амплитудных значений

узловых перемещений; р0 } - вектор ускорений узлов; {р0 } - вектор узловых динамических сил. Для гармонических колебаний

р0 }= Р08шюГ; {г0 }= г^ш Ш , (2)

где ю - частота возмущающей силы.

Подставив (2) в (1), получим систему линейных уравнений задачи вынужденных колебаний:

ЦК0 ]-ю2 м 0 Ъ0 }=Р0}, (3)

В конечно-элементной постановке вектор } внутренних узловых сил конструкции, состоящий из векторов } внутренних узловых сил КЭ, можно представить в виде:

К0 }=К0 ]К Г Р0 }=[к0 1А]{г0},

где

К

], к ]

квазидиагональные матрицы жёсткости и масс конструкции

; [а] -

матрица

соответствий конструкции;

к „

[А]Т К0 ]-ю2 к0 й.

Вектор амплитудных значений внутренних узловых сил КЭ в местной системе координат:

к № &0},

где \ГГ ] - матрица ортогонального преобразования координат КЭ.

Ниже приведены матрицы жёсткости и масс балочного КЭ, работающего на растяжение-сжатие и изгиб, и используемого для моделирования произвольной плоской стержневой системы.

© Чернов С. А., 2013

Матрица жёсткости балочного КЭ

[Кг ] =

о о

£ 0

о

12 Ш2

£3 6 ЕЗг

£ 2

о

12 ЦЗг

£3 6

£ 2

Симметрично 4 ЕЛ

Y

£ о

6 ЕЗ^

£2 2 ЕЗг

£

Е¥ £ о

12 ЕЗг

о

£3

6 ЕЗ^

£

2

4 ЕЗг

£

где Е - модуль упругости материала; ^ - площадь сечения стержня; £ - длина стержня; - момент инерции сечения относительно главной оси Z .

Матрицы жёсткости КЭ с шарнирами в узлах вычисляются с помощью процесса конденсации.

Матрица масс балочного КЭ

£ 3 0

[Мг ]=|

13£ 35

Симметрично

11£2 А

210 105 £

0 0 3

9£ 13£2 0 13£

70 420 35

13£2 £3 0 11£ 2

140 140 210

105

где ц - погонная масса КЭ стержня.

Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в начале стержня

[Мг ] = ,

£

3

0 33£

140

0 0 0

£ 6 0 0 £ 3

0 39£ 280 0 0 17£ 35

0 11£2 280 0 0 6£2 70

Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в конце стержня

3

о

35

[Мг ] =

0 3£2 2£2

35 105

£ 0 0 £

6 3

0 39£ 11£2 0 33£

280 280 140

0 0 0 0 0

2£2 105

Матрица \ТГ ] ортогонального преобразования координат КЭ имеет вид:

X

[Т] =

г 0 0 г

[г] = [х] =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X 0

XX ху

X 0 X 0

Ух уу

X

X 0

X 0

хг

X 0

Уг

X 0

0

0

0

Направляющие косинусы осей Z, X и Y , соответственно:

К 0

К zx0

К 0 zy

К xz0 К xx0 К xy0

t

1—2

0

0 0 x2 — xi

00 У2 — У1

К yz0

К yx0 К yy0

t

1—2

— (y2 - yi0)

0 0 x2 xi

где x , y - координаты узлов КЭ в общей системе координат; t1—2 - длина КЭ:

tl-2 =4° — x0 f + ( — у0 f .

Сосредоточенные массы учитываются путём их суммирования с соответствующими компонентами матрицы масс конструкции, расположенными на главной диагонали. Из уравнения (3) следует ряд частных случаев. Например, приняв частоту ш = 0 возмущающей силы, выполняется статический расчёт. Приравняв нулю погонную массу ц, получим расчёт при динамическом воздействии только от сосредоточенных масс.

Общая характеристика программы [3].

ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК; Язык: Fortran; ОС: Windows; Объём: 21,0 Кб исходного текста.

Программа обеспечивает выполнение следующих функций:

- расчёт произвольной плоской стержневой системы,

- расчёт с распределёнными параметрами масс КЭ и (или) с учётом сосредоточенных масс,

- определение амплитудных значений перемещений, внутренних силовых факторов в узлах и соответствующих нормальных напряжений в сечениях начала и конца стержневых КЭ.

На рисунке приведена конечно-элементная модель теста рамы, образованная шестью балочными КЭ. Во втором и шестом узлах расположены сосредоточенные матрицы.

®

I Pcosm

®

Конечно-элементная модель и схема деформирования рамы

Единицы измерений силы и длины могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала.

1

1

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

ТЕСТ: РАМА

И С X О Д Н Ы Е Д А Н Н Ы Е ****************************

Узлов: 7

Ст. св. в узле: 3 Элементов: 6

Mатериалов: 1

Полулента MЖK: 12

Частота возмущающей силы (с-1): 12.00

Hомер материала Mодуль упругости Уд. вес 1 2000000.00 0.00785

Узлов с возмущающими силами: 1

Узлов с сосредоточенным весом: 2

Координаты Возмущающие силы Вес

Узел X У Рх РУ Рх Ру

1 0.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00

2 200.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 100.00

3 400.00 0.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00

4 400.00 200.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00

5 400.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00

6 700.00 400.00 0. 00 -200.00 0. 00 100.00

7 1000.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00

Число различных сечений КЭ: 1

Геометрические характеристики сечений КЭ Сечение Е Wz

1 24.00 72.00 17.00

Балочных КЭ с шарнирами: 0

Элемент Тип Матрица индексов Е Материал Сечение

1 2 1 2 24 .00 72. 00 1 1

2 2 2 5 24 .00 72. 00 1 1

3 2 3 4 24 .00 72. 00 1 1

4 2 4 5 24 .00 72. 00 1 1

5 2 5 6 24 .00 72. 00 1 1

6 2 6 7 24 .00 72. 00 1 1

ПРОВЕРКА

Лента МЖК: 12

КЭ фермы: 0

Балочных КЭ: 6

Узлов с закреплениями: 3 Условия закреплений: 0 - связь

1 - свобода

Узел Бх Бу Р^

1 0 0 0

3 0 0 0

7 0 0 0

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р А С Ч Е Т А

***********************************

Перемещения узлов (*10 -5)

Узел Бх Бу

1 0. 00 0. 00 0. 00

2 6. 48 26194. 52 125. 16

3 0. 00 0. 00 0. 00

4 -25348. 27 -58. 17 125. 55

5 12. 95 -116. 34 -501. 48

6 6. 48 -231997. 66 126. 83

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

7 0. 00 0. 00 0. 00

Амплитудные значения ВСФ и напряжения в верхней полке

Элемент Матрица индексов Ых <2У Mz Ох в. п.

1 1 -15. 54 -29 .69 -3862. 68 -226. 57

2 15. 54 29 .08 -2040. 81 120 . 70

2 2 -15. 54 -25 .23 2040. 81 120 . 70

5 15. 54 23 .94 -6935. 66 408 . 63

3 3 139. 61 -27 .77 -3674. 00 -221. 93

4 -139. 61 27 .19 -1847. 33 102 . 85

4 4 139. 61 -27 .19 1847. 33 102 . 85

6

5

5

6 6

-139.60 25.91 -7135.41 413.91

10.36 115.67 14071.08 827.28

-10.36 -104.74 19543.21 -1150.03

10.36 129.32 -19543.21 -1150.03

7

-10.36 138.68 -21226.18 1248.17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич; пер. с англ. под ред. Б. Е. По-бедри. - М. : Мир, 1975. - 541 с.

2. Масленников, А. М. Расчёт строительных конструкций численными методами / А. М. Масленников. - Л. : ЛГУ, 1987. - 225 с.

3. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006610253. Вынужденные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Дьяков И. Ф.; заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. - №2005612859; заявл. 3.11.2005; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 10.01.2006. - М. : Роспатент, 2006.

Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа. Имеет публикации по моделированию и численной реализации задач анализа стержневых систем, пластин и оболочек.

УДК 519.688:621.372.41 А. Ф. САВИН

ПРОГРАММА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СУПЕРКОНДЕНСАТОРОВ С ОПТИМАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Разработана компьютерная программа, позволяющая рассчитать параметры суперконденсатора на основе супракристаллических нанотрубок.

Ключевые слова: суперконденсатор, супракристаллические нанотрубки.

Потребности современной микроэлектроники в устройствах хранения энергии с большой электроёмкостью привели к созданию суперконденсаторов. В отличие от обычных конденсаторов суперконденсаторы имеют на несколько порядков большую электроёмкость при сравнимых габаритах.

В работе [1] была показана возможность создания высокоэффективных суперконденсаторов на основе диэлектрических и металлических супракристаллических нанотрубок. Предложенный суперконденсатор представляет собой систему из параллельно соединённых цилиндрических суперконденсаторов. Каждый цилиндрический суперконденсатор состоит из четырёх поочередно вложенных друг в друга металлических и диэлектрических супракристаллических нанотрубок подходящего диаметра. При этом внешняя диэлектрическая нанотрубка (рис. 1) служит футляром, позволяющим обеспечить создание плотной упаковки системы цилиндрических конденсаторов. В такой плотной сборке внутренние электроды конденсаторов привариваются термокомпрессионным методом к одной пластине, а внешние - к другой пластине суперконденсатора.

Удельная ёмкость описанного выше суперконденсатора

© Савин А. Ф., 2013

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.