CC BY
12
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики и синтеза механизмов.
Петрова Татьяна Евгеньевна, аспирантка кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ.
УДК 519.6:539.3 С. А. ЧЕРНОВ
АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ НА ЭВМ
Рассмотрена численная реализация МКЭ в расчётах свободных колебаний. Приведены матрицы жёсткости, масс, преобразования координат КЭ, функциональные возможности разработанной программы, табуляграмма расчёта примера на свободные колебания.
Ключевые слова: матрица, частота колебаний, программа для ЭВМ.
В алгоритме программы [3] используется следующее уравнение движения системы [1, 2]:
М0 ^0 ]г0 }=Р0}, (1)
где К0 ], |м 0 ] - матрицы жёсткости и масс конструкции; 0 } - вектор амплитудных значений
узловых перемещений; р0 } - вектор ускорений узлов; {р0 } - вектор узловых динамических сил. Для гармонических колебаний
р0 }= Р08шюГ; {г0 }= г^ш Ш , (2)
где ю - частота возмущающей силы.
Подставив (2) в (1), получим систему линейных уравнений задачи вынужденных колебаний:
ЦК0 ]-ю2 м 0 Ъ0 }=Р0}, (3)
В конечно-элементной постановке вектор } внутренних узловых сил конструкции, состоящий из векторов } внутренних узловых сил КЭ, можно представить в виде:
К0 }=К0 ]К Г Р0 }=[к0 1А]{г0},
где
К
], к ]
квазидиагональные матрицы жёсткости и масс конструкции
; [а] -
матрица
соответствий конструкции;
к „
[А]Т К0 ]-ю2 к0 й.
Вектор амплитудных значений внутренних узловых сил КЭ в местной системе координат:
к № &0},
где \ГГ ] - матрица ортогонального преобразования координат КЭ.
Ниже приведены матрицы жёсткости и масс балочного КЭ, работающего на растяжение-сжатие и изгиб, и используемого для моделирования произвольной плоской стержневой системы.
© Чернов С. А., 2013
Матрица жёсткости балочного КЭ
[Кг ] =
о о
£ 0
о
12 Ш2
£3 6 ЕЗг
£ 2
о
12 ЦЗг
£3 6
£ 2
Симметрично 4 ЕЛ
Y
£ о
6 ЕЗ^
£2 2 ЕЗг
£
Е¥ £ о
12 ЕЗг
о
£3
6 ЕЗ^
£
2
4 ЕЗг
£
где Е - модуль упругости материала; ^ - площадь сечения стержня; £ - длина стержня; - момент инерции сечения относительно главной оси Z .
Матрицы жёсткости КЭ с шарнирами в узлах вычисляются с помощью процесса конденсации.
Матрица масс балочного КЭ
£ 3 0
[Мг ]=|
13£ 35
Симметрично
11£2 А
210 105 £
0 0 3
9£ 13£2 0 13£
70 420 35
13£2 £3 0 11£ 2
140 140 210
105
где ц - погонная масса КЭ стержня.
Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в начале стержня
[Мг ] = ,
£
3
0 33£
140
0 0 0
£ 6 0 0 £ 3
0 39£ 280 0 0 17£ 35
0 11£2 280 0 0 6£2 70
Матрица масс с шарниром по углу поворота сечения в конце стержня
3
о
35
[Мг ] =
0 3£2 2£2
35 105
£ 0 0 £
6 3
0 39£ 11£2 0 33£
280 280 140
0 0 0 0 0
2£2 105
Матрица \ТГ ] ортогонального преобразования координат КЭ имеет вид:
X
[Т] =
г 0 0 г
[г] = [х] =
X 0
XX ху
X 0 X 0
Ух уу
X
X 0
X 0
хг
X 0
Уг
X 0
0
0
0
Направляющие косинусы осей Z, X и Y , соответственно:
К 0
К zx0
К 0 zy
К xz0 К xx0 К xy0
t
1—2
0
0 0 x2 — xi
00 У2 — У1
К yz0
К yx0 К yy0
t
1—2
— (y2 - yi0)
0 0 x2 xi
где x , y - координаты узлов КЭ в общей системе координат; t1—2 - длина КЭ:
tl-2 =4° — x0 f + ( — у0 f .
Сосредоточенные массы учитываются путём их суммирования с соответствующими компонентами матрицы масс конструкции, расположенными на главной диагонали. Из уравнения (3) следует ряд частных случаев. Например, приняв частоту ш = 0 возмущающей силы, выполняется статический расчёт. Приравняв нулю погонную массу ц, получим расчёт при динамическом воздействии только от сосредоточенных масс.
Общая характеристика программы [3].
ЭВМ: IBM PC-совместимый ПК; Язык: Fortran; ОС: Windows; Объём: 21,0 Кб исходного текста.
Программа обеспечивает выполнение следующих функций:
- расчёт произвольной плоской стержневой системы,
- расчёт с распределёнными параметрами масс КЭ и (или) с учётом сосредоточенных масс,
- определение амплитудных значений перемещений, внутренних силовых факторов в узлах и соответствующих нормальных напряжений в сечениях начала и конца стержневых КЭ.
На рисунке приведена конечно-элементная модель теста рамы, образованная шестью балочными КЭ. Во втором и шестом узлах расположены сосредоточенные матрицы.
®
I Pcosm
7г
®
Xе
Конечно-элементная модель и схема деформирования рамы
Единицы измерений силы и длины могут быть выбраны расчётчиком и определяются соответствующими единицами измерений модуля упругости материала.
1
1
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ
ТЕСТ: РАМА
И С X О Д Н Ы Е Д А Н Н Ы Е ****************************
Узлов: 7
Ст. св. в узле: 3 Элементов: 6
Mатериалов: 1
Полулента MЖK: 12
Частота возмущающей силы (с-1): 12.00
Hомер материала Mодуль упругости Уд. вес 1 2000000.00 0.00785
Узлов с возмущающими силами: 1
Узлов с сосредоточенным весом: 2
Координаты Возмущающие силы Вес
Узел X У Рх РУ Рх Ру
1 0.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00
2 200.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 100.00
3 400.00 0.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00
4 400.00 200.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00
5 400.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00
6 700.00 400.00 0. 00 -200.00 0. 00 100.00
7 1000.00 400.00 0. 00 0.00 0. 00 0.00
Число различных сечений КЭ: 1
Геометрические характеристики сечений КЭ Сечение Е Wz
1 24.00 72.00 17.00
Балочных КЭ с шарнирами: 0
Элемент Тип Матрица индексов Е Материал Сечение
1 2 1 2 24 .00 72. 00 1 1
2 2 2 5 24 .00 72. 00 1 1
3 2 3 4 24 .00 72. 00 1 1
4 2 4 5 24 .00 72. 00 1 1
5 2 5 6 24 .00 72. 00 1 1
6 2 6 7 24 .00 72. 00 1 1
ПРОВЕРКА
Лента МЖК: 12
КЭ фермы: 0
Балочных КЭ: 6
Узлов с закреплениями: 3 Условия закреплений: 0 - связь
1 - свобода
Узел Бх Бу Р^
1 0 0 0
3 0 0 0
7 0 0 0
Р Е З У Л Ь Т А Т Ы Р А С Ч Е Т А
***********************************
Перемещения узлов (*10 -5)
Узел Бх Бу
1 0. 00 0. 00 0. 00
2 6. 48 26194. 52 125. 16
3 0. 00 0. 00 0. 00
4 -25348. 27 -58. 17 125. 55
5 12. 95 -116. 34 -501. 48
6 6. 48 -231997. 66 126. 83
7 0. 00 0. 00 0. 00
Амплитудные значения ВСФ и напряжения в верхней полке
Элемент Матрица индексов Ых <2У Mz Ох в. п.
1 1 -15. 54 -29 .69 -3862. 68 -226. 57
2 15. 54 29 .08 -2040. 81 120 . 70
2 2 -15. 54 -25 .23 2040. 81 120 . 70
5 15. 54 23 .94 -6935. 66 408 . 63
3 3 139. 61 -27 .77 -3674. 00 -221. 93
4 -139. 61 27 .19 -1847. 33 102 . 85
4 4 139. 61 -27 .19 1847. 33 102 . 85
6
5
5
6 6
-139.60 25.91 -7135.41 413.91
10.36 115.67 14071.08 827.28
-10.36 -104.74 19543.21 -1150.03
10.36 129.32 -19543.21 -1150.03
7
-10.36 138.68 -21226.18 1248.17
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич; пер. с англ. под ред. Б. Е. По-бедри. - М. : Мир, 1975. - 541 с.
2. Масленников, А. М. Расчёт строительных конструкций численными методами / А. М. Масленников. - Л. : ЛГУ, 1987. - 225 с.
3. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006610253. Вынужденные колебания произвольной плоской стержневой системы / Чернов С. А., Дьяков И. Ф.; заявитель и правообладатель Ульян. гос. техн. ун-т. - №2005612859; заявл. 3.11.2005; зарегистр. в Реестре программ для ЭВМ 10.01.2006. - М. : Роспатент, 2006.
Чернов Сергей Анатольевич, кандидат технических наук, преподаватель Ульяновского строительного колледжа. Имеет публикации по моделированию и численной реализации задач анализа стержневых систем, пластин и оболочек.
УДК 519.688:621.372.41 А. Ф. САВИН
ПРОГРАММА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА СУПРАКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СУПЕРКОНДЕНСАТОРОВ С ОПТИМАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Разработана компьютерная программа, позволяющая рассчитать параметры суперконденсатора на основе супракристаллических нанотрубок.
Ключевые слова: суперконденсатор, супракристаллические нанотрубки.
Потребности современной микроэлектроники в устройствах хранения энергии с большой электроёмкостью привели к созданию суперконденсаторов. В отличие от обычных конденсаторов суперконденсаторы имеют на несколько порядков большую электроёмкость при сравнимых габаритах.
В работе [1] была показана возможность создания высокоэффективных суперконденсаторов на основе диэлектрических и металлических супракристаллических нанотрубок. Предложенный суперконденсатор представляет собой систему из параллельно соединённых цилиндрических суперконденсаторов. Каждый цилиндрический суперконденсатор состоит из четырёх поочередно вложенных друг в друга металлических и диэлектрических супракристаллических нанотрубок подходящего диаметра. При этом внешняя диэлектрическая нанотрубка (рис. 1) служит футляром, позволяющим обеспечить создание плотной упаковки системы цилиндрических конденсаторов. В такой плотной сборке внутренние электроды конденсаторов привариваются термокомпрессионным методом к одной пластине, а внешние - к другой пластине суперконденсатора.
Удельная ёмкость описанного выше суперконденсатора
© Савин А. Ф., 2013
