О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ ИМПРИМИТИВНЫХ ГРУПП G(m, p, n),Bm n ,Dm n Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 514.7

MSC2020: 51F15, 14L24

О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ ИМПРИМИТИВНЫХ ГРУПП

© О. И. Рудницкий

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

е-ма1ы огтив,58@дтай. сот

On a basic invariants of the imprimitive groups G(m,p,n),Bm,Dm.

Rudnitskii O. I.

Abstract. In n-dimensional unitary space Un we introduce an coordinate system with

__n

origin O and the orthonormal basis vectors ei (i = 1,n); vector x = xiei•■ Let G be a finite

i=1

irreducible unitary group generated by reflections with respect to hyperplanes with the common point O. A polynomial f = f (x) = f (xi) £ C[xi, ■ ■ ■ ,xn] is called a invariant (G-invariant) of the group G if

a ■ f = a ■ f (x) = f (a-1x) = f, V a £ G.

The set of all G—invariants forms an algebra, with is generated by n algebraically independent polynomials of degrees mi, i = 1,n, called a basic invariants of group G (Shephard G. C., Todd J. A.).

In this paper, we study the properties of basic invariants of the imprimitive group G (the group of number 2 in the list of Shephard and Todd). These are the symmetry group G(m,p,n) of the complex polytope 1 yI? and the symmetry group G(m, 1,n) = of the generalized n-cube y?, as well as its subgroup G(m,m,n) = D? C B?.

In the paper provides an overview of known approaches to constructing in explicit form the basis invariants of these groups of the methods of Shephard-Todd, of the Pogorelov polynomials, of the «vertex problem». Also in the paper we present a new method for constructing in explicit form the basis invariants of groups G(m,p, n), B?, D?\ This method is based on the use of the differential operator for constructing in explicit form the basis invariants of the odd degrees.

Keywords: Unitary space, reflection,invariant, basic invariant, complex polytope.

Введение

Пусть в п-мерном унитарном пространстве ип задана система координат нача-

__п

лом О и ортонормированным базисом е (г = 1, п); вектор X = ^ ХА- Отражением

'¡=1

а порядка I > 2 в пространстве ип называется унитарное преобразование порядка I, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (плоскостью размерности п — 1). Обозначим через С конечную неприводимую группу, порождённую отражениями а относительно гиперплоскостей с общей точкой О. Классификация групп С впервые получена в работе [1].

Действие группы С в кольце Я = С[х1, ... ,хп] многочленов от п переменных над полем комплексных чисел определим с помощью равенства

а ■ / = а ■ /(X) = /(а-1Х), а е С, / (X) = /(хг) е Я.

Многочлен / е Я называется инвариантом группы С (С—инвариантом), если а ■ / = / для всех а е С. Известно, что множество всех С-инвариантных многочленов / е Я образует алгебру I°, порождённую п алгебраически независимыми однородными многочленами (базисными инвариантами) / степеней т', г = 1,п [1]. Отметим, что числа т' для заданной группы С определяются однозначно, а сами базисные инварианты нет. Поэтому представляет интерес разработка и реализация конструктивных методов базиных инвариантов групп С, удовлетворяющих различным, наперед заданным, условиям.

Цель работы рассмотреть разничные подходы к построению в явном виде базисных инвариантов унитарных импримитивных групп С(т,р,п), как ранее известные так и новые, с использованием дифференциального оператора.

1. Постановка задачи

В 1954 году Шепард и Тодд [1] впервые опубликовали список всех конечных уни-

тарных неприводимых групп С, поржденных отражениями относительно гиперплос-

костей пространства ип. В этой классификации отдельно изучаются импримитивные

и примитивные группы С .

Настоящая статья посвящена изучению инвариантов трехпараметрического се-

мейства импримитивных групп С, известных как С(т,р, п) в обозначениях Шепарда

и Тодда [1](группа № 2 в списке Шепарда-Тодда [1]).

Для натуральных т,р (т ^ 2, т = рд) группа С(т, р, п) (р = 1, т) имеет порядок

дтп-1 ■ п! и порождается в пространстве ип(п > 1) отражениями порядка д = тр-1

относительно гиперплоскостей

xi = 0, i = 1, n, (1)

и отражениями второго порядка относительно гиперплоскостей

xi - вкxj = 0 (i, j = 1,n, i < j). (2)

где в — первообразный корень степени ш из единицы, к = 1,ш.

Степени базисных инвариантов ш^ = ш, 2ш,..., (п — 1)ш, пд [1].

Так как р делитель ш, то естественно выделяют два случая р =1 и р = ш.

При р =1, группа С(ш, 1,п), обозначаемая также В^, имеет порядок шп ■ п! и порождается отражениями порядка ш относительно гиперплоскостей с уравнениями (1) и отражениями второго порядка относительно гиперплоскостей (2) [2]. Это группа симметрий правильного комплесного многогранника пространства ип, называемого обобщённым п-кубом [1, 3]. Его шп вершин можно задать векторами [1]

n

— = ^ eki el, (3)

pk

i=1

где к = 1,ш, г = 1,шп.

Обобщенный п-куб является естественным обобщением п-куба 7п на унитарное пространство и при ш = 2 совпадает с ним: 7П = 7п. Соответственно, группа вп = Вп [3]

Числа ш^ для группы Вт равны ш, 2ш,..., (п — 1)ш, пш [1].

Отметим, что группа С(ш,р, п) является группой симметрий полуправильного комплесного многогранника Р7^. Его дшп-1 вершин могут быть заданы вектора-

ми (3) при условии ki = 0 (mod p) и r = 1,qmn 1 [1].

i=1

Если p = m, то группа G(m,m,n), обозначаемая также D^, является подгруппой группы симметрий B^ обобщенного n—куба, совпадающей при m = 2 с группой Dn С Bn. Она порождается отражениями второго порядка относительно гиперплоскостей (2), степени базисных инвариантов mi = m, 2m,..., (n — 1)m, n [1].

Разичные подходы к построению в явном виде базисных инвариантов групп G(m,p,n), Bm, Dm рассмтривались в целом ряде работ, например, в [1, 2, 4-6].

В этой статье будет дан обзор ранее известных подходов к построению в явном виде базисных инвариантов указанных групп, а также предложен новый метод.

2. Различные методы построения базисных инвариантов групп

С(т,р,п), ВБЩ

1. Шепард-Тодд. Впервые базисные инварианты групп С(т,р,п), ВЩ, БЩ были найдены в работе [1]. Суть метода состоит в следующем. Проанализировав преобразования содержащиеся в группе С(т,р,п), Шепард и Тодд установили, что они порождаются преобразованиями следующих двух типов (см. также [7]):

1) преобразование переставляющие базисные векторы е.;

2) преобразование д вида: дё. = в.ё. (г = 1, п), где в™ = 1, (вх... вп)9 = 1. Отсюда следует вывод: множество базисных инвариантов группы С(т,р,п)

состоит из элементарных симметрических функций от хЩ, хЩ, ••• , хЩ, степеней 1, 2, ■ ■ ■ , п — 1, и многочлена (ххх2 ... хп)9. Таким образом, степенные суммы

п

4 = ^, (к = 1~п—Т) (4)

г=1

и 1п = (ххх2 ... хп)9 являются базисными инвариантами для группы С(т,р, п).

п

Степенные суммы (4) и 1п = (ххх2 ... хп)т или 1п = ^ х.тп — базисные инвари-

. =1

анты для группы ВЩ .

Степенные суммы (4) и 1п = ххх2 ... хп — базисные инварианты для группы БЩ.

2. Многочлены Погорелова. В. Ф. Игнатенко (см., например, [8], [9]) построил, на основе многочленов Погорелова, геометрическую теорию инвариантов вещественных групп С и поставил задачу перенести результаты этой теории на случай унитарных групп С пространства ип, а именно, применить многочлены Погорелова для построения базисных инвариантов унитарных групп С. Другими словами — найти все базисные инварианты групп С вида

% = £ (х, аа)*, (5)

где а — отражения относительно гиперплоскостей, 8 — единичный вектор нормали (с

п

началом О) одной из них, (х, в) = ^ х.в. — скалярное произведение векторов х = (х.)

. =1

и в = (е.).

Многочлены 32г получили название многочленов Погорелова [9]. Нетрудно понять, что ненулевые многочлены Погорелова, подходящих четных степеней т., — инварианты группы С. Следовательно, решение поставленной задачи сводится к доказательству их алгебраической независимости. Эта задача для всех групп С была решена в работе [2].

Приведем здесь основные результаты, касающиеся инвариантов групп С(ш,р, п), Вт, ^П™. Так мы рассматриваем невещественные группы С(ш,р, п), то ш > 2.

Так как группа С(ш,р, п) порождается отражениями относительно гиперплоскостей с уравнениями (1), (2), то С(ш,р, п) — инвариантное множество Б = {о"з} состоит из векторов [2], [6]

вЛег ,г = 1~п,й = 1~ш (6)

и

вк

±(е — вкё}), г,^ = 1, п (г < ^), Л,, к = 1,ш. (7)

Таким образом, многочлены Погорелова (5) четных степеней для группы С(ш,р, п), (р = 1,ш), с точностью до постоянного множителя, могут быть записаны в виде [6]

2 т-1 п

^^ = (2- + п — 1) £ ХГ1 + Да4. (8)

т —'

4- 1 п

где яат = е Е (—1)касткхт(4-к)хтк.

к~1 ¿,^=1

Здесь а = 0, если ш четное и £ = 1,п — 1; а = 1, если ш нечетное и £ = 2,4, 6, ■ ■ ■ , п — 1 — р, где р = 0(1) при нечетном (четном) п.

Отметим, что в случае четного пд многочлен (пд = £ш) равен 0 или совпадает с (8), если пд = (£ ^ п — 1).

Инвариант </^(т,Р,п) — базисный, если его нельзя представить в виде многочлена от степенных сумм (4) степеней шк < ш£. Чтобы в этом убедиться преобразуем Я^4:

4—1 п 4—1 п

п» V _1)к«сткхт(4—к)хтк \ Л(_1)к«стк \ Л хт(4—к)хтк =

Ят4 = / , / Л 1) Ст4 хг Х = / 1) ст4 / ^ хг Х =

к=1 ¿,5'=1 к=1 ¿,5 = 1

1 4—1 п п

2 1)кастк (£ хт(4—к)хтк — Е хт4) к=1 ¿,5=1 ¿=1

..4—1 п п ..4—1

1 X / - \ X т (4—к) X ™ и 1

2 £(—1)кастк £ хт(4—хт к — 2 5>1)к- стк £ хт к=1 ¿=1 ¿=1 к=1 ¿=1

гр тС(т,р,п)

Тогда многочлен лт4 можно записать в виде

п

т С(т,р,п) = , хт4 . Б а

^т4 = ь / ^ хг + Бт4,

х

¿=1

где для четного ш

г-т-1

0mi_ i 2 .

2 2 1 ^ , т mt

ь _ n -1 + — - г Е cmk - -omt,

fc=i

S0 _ г Y^ Cmfc V^ xm(t-fc) V^ + ICт ^ xm )2

Smt _ г / j Cmt / v xi / v xi +2Cmi (/ v Xi ) '

к=1 г=1 г=1 ¿=1

и для нечетного ш и четного Ь

t—2

0mt_ i 2 / i\ml ^

2 2 1 , , (—1) 2 mt

ь _ n - 1 + — - г £(-1)kcm - Cm,

fc=1

г-2

2 п п / 1 \ т! п

Б1 _ 0 v4(_1 ) кХт(*-к) + ( —-Ц 2 С¥ Хт )2.

_ 0 ( 1)1 Х' + 2 * Х ) . к=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1

здесь 0 _ 0(1) при Ь _ 1, 2(> 2) и т _ 1(0) при четном (нечетном) Ь.

Следовательно, </^(т'р'п) — базисный только при тех значениях ш, Ь, п, которые не удовлетворяют условию Ь _ 0. Так как п — натуральное, то условие Ь _ 0, которое можно преобразовать к виду

1 * 2 т -1 п - —, (9)

к*=0

справедливо только в случае ш _ 21 (1 _ 2, 3,...).

Таким образом, справедливо следующее утверждение [2]

Утверждение 1. Многочлены (5) являются базисными инвариантами четных степеней шЬ группы С(ш,р,п) при всех соответствующих значениях Ь, если ш _ 21, и при Ь _ 1,п — 1, не удовлетворяющих условию (9), если ш _ 21.

Отметим, что в случае группы ВТ (р _ 1), множество Б _ {о"з} совпадает с (6), (7), а многочлены — с (8).

Таким образом, для группы ВТ справедливо Утверждение 1 при Ь _ 1,п [2]. В случае группы БТ (р _ ш) множество Б _ {о"з} совпадает (7), и многочлены

\т

n

Dm

Jmn имеют вид

JDtl _ (n 1) 7 v xi + Rmt-i=1

Как и ранее, нетрудно доказать справедливость утверждения

t-Т- 1

Утверждение 2. Многочлены (5) являются базисными инвариантами четных степеней группы ^т при всех значениях £ = 1,п — 1 (ш четно) и при £ = 2,4,..., п — 1 — р (ш нечетно), не удовлетворяющих условию

14

п = ^Е(—1)тк стк. к=0

Отметим [4], что формы Ят4 (см. (8)) — базисные инварианты четных степеней

групп С(ш,р, п), Вт, ^т при всех соответствующих значениях ш и

При рассмотрении многочленов Погорелова в вещественных пространствах важным, необходимым, условием была четность их степени. Это обусловлено тем, что для всех вещественных групп С множество Б = {о"5}-, которое инвариантно относительно С, обладает следующим свойством: если вектор в € Б, то и вектор —в € Б. Поэтому многочлены Погорелова нечетной степени для вещественных групп С тожественно равны 0.

Для невещественных групп С множество Б = {о"5} не всегда обладает этим свойством. Это дает возможность рассмотрения многочленов Погорелова произвольной, не обязательно четной, степени г [6].

В работе [6] было введено понятие ш-множества. Множество Б называется ш-множеством при выполнении следующего условия: если вектор в € Б, то и вектор вкв € Б (к = 1, ш), где в, как и ранее, — первообразный корень степени ш из единицы. Для вещественных групп С множество Б — 2-множество.

Лемма. [6] Многочлены Погорелова степеней г = являются ненулевыми инвариантами группы С тогда и только тогда, когда множество Б = {о"5} группы С есть ш—множеством.

Применяя Лемму к группе С(ш,р, п) можно сделать следуюшие выводы.

Множество векторов (6), (7) — ш-множество. Следовательно, многочлены ^т(т,Р,п) (£ = 1,п — 1) степеней являются ненулевыми инвариантами группы С(ш,р, п).

тт 4. уС(т,р,п)

При этом, если — нечетно, многочлены <Ут4 , с точностью до постоянного множителя, совпадают со степенными суммами /4 (см.(4)), и, следовательно, являются базисными для любых ш, п. Таким образом, Утверждение 1 может быть преобразовано к виду [6]

Утверждение 3. Многочлены </^(т,Р,п) являются базисными инвариантами степеней группы С(ш,р, п) при любом п, если ш = 21, и при £ = 1,п — 1, не удовлетворяющих условию (9), если ш = 2г.

3. «Проблема вершин». Пусть Мп — правильный п-мерный многогранник с центром в начале координат О и вершинами Уг ,г _ 1,р. Его группа симметрий С есть конечная группа, порождённая отражениями относительно гиперплоскостей с началом О [3]. Тогда многочлены

р

vGi _$>,—Р )m (io)

р=1

инварианты группы С.

Естественно возникает вопрос: являются ли многочлены (10) базисными инвариантами группы или, другими словами, являются ли многочлены (10) алгебраически независимыми?

Впервые такая задача («проблема вершин») была сформулирована в работах Леопольда Флатто (см. [10-12]). Там же он дал ее положительное решение для групп С симметрий правильных вещественных многогранников, отличных от группы Вп симметрий п-куба 7п, и высказал предположение об алгебраической независимости многочленов (10) в случае С _ Вп. Его подтвердил Хейслейн [13], а также другим методом В. Ф. Игнатенко [14].

В [5] автор решил указанную задачу для групп симметрий правильных комплексных многогранников, при этом для решения задачи в случае группы С(ш, 1, п) _ ВТ симметрий обобщенного п-куба 7^ был использован метод работы [14](см., также [15]). А именно, доказано: если С _ ВТ, то многочлены (10) степеней ш' _ шЬ (Ь _ 1,п) алгебраически независимы и, следовательно, являются базисными для группы ВТ.

Отметим, что для полуправильного многогранника Р7^ с группой симметрий С(ш,р,п) задача «проблема вершин» не имеет полного решения. В работе [15] дано решение этой задача для частного случая, доказано

Утверждение 4. Если С _ С(ш,р,п) есть группа симметрий многогранника Р7Т (п > 2), где п и р — взаимно простые, то многочлены (10) степеней ш' _ шЬ (Ь _ 1,п — 1) алгебраически независимы, то есть являются базисными инвариантами группы С(ш,р,п).

4. Применение дифференциального оператора. Рассмотрим еще один, ранее не применяемый для групп С(ш,р,п), ВТ, БТ, способ построения базисных инвариантов. В п. 2 настоящей статьи (см. также [4]), установлено, что формы ЯТ (см.(8)) четных степеней шЬ являются базисными инвариантами групп С(ш,р,п), ВТ, ПГГТ для всех соответствующих значений ш,Ь.

Пусть т — нечетное. Тогда многочлены являются базисными инвариантами группы С(т, р, п) для £ = 2,4, 6, ■ ■ ■ , п — 1 — р, где р = 0(1) при нечетном (четном) п. Найдем остальные базисные инварианты группы С(т,р, п) нечетных степеней т£, то есть для £ = 1, 3, 5, ■ ■ ■ , п — 2 — р.

п

Вычислим 5(Л1*) = X] дт(Лт*) при £ = 2,4,..., п — 1 — р (т нечетно).

1=1 Жг

Для этого форму Лт* представим в виде

1

лт = - Е Е (ж—9к х )т — (п—1) £ х

„т(

Таким образом,

5(д1) = £

д1

^ дхт 1=1 1

1

к=1 г,.з=1

— 9к X,-)

г=1

т

1 к=1 г,,=1

V г<?

лт*

/

п Лт / п \

е ^ (<п—1) Е

Вычислим первое слагаемое. Для этого найдем

дт

а = -д-

дхт

(ж — 9к х )т* = в(ж — 9кж,- )т(*-1)

и

_ дт * = дж™

(х — 9к ж, )т* = в (—9к )т(х — 9кж, )т(*-1),

где в = т£ ■ (т£ — 1) ■ (т£ — 1) ■ ... ■ (т£ — т + 1)).

Так как (—9к)т при нечетном т равно —1, то А = — А,, следовательно, первое слагаемое равно 0.

Вычислим второе слагаемое:

п т п £ (п — 1) £ Я

1=1 1 \ г=1 /

= —(п—1)в£ хт(*-1).

г=1

Следовательно, 5(Лт*), с точностью до постоянного множителя, совпадает со степенной суммой /к, нечетной степени к = т(£ — 1), а значит является базисным.

Таким образом, используя дифференциальный оператор 5, получены не достающие базисные инварианты группы С(т,р, п) нечетных степеней т£ (£ = 1, 3, 5, ■ ■ ■ , п — 2 — р, т — нечетное). Следовательно, для нечетного т, инварианты Дт (£ = 2,4, 6, ■ ■ ■ , п — 1 — р,) и 5(Лт*) (£ =1, 3, 5, ■ ■ ■ , п — 2 — р) — базиные для группы С(т,р, п).

Отметим, что все вышесказанное справедливо и для групп ВЩ(с соответствующими значениями £) и Б

т.

п

Заключение

В работе дан обзор известных подходов к построению в явном виде базисных инвариантов групп G(m,p, n), B^ и D^, а также предложен новый способ построения базисных инвариантов этих групп с использованием дифференциального оператора.

Список литературы

1. SHEPHARD, G. C. Finite unitary reflection groups / G. C. Shephard, J. A. Todd // Can. J. Math. - 1954. - Vol. 6. - № 2. - P. 274-304.

2. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симмет-рий в унитарном пространстве // Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1990. — 115 с.

RUDNITSKII, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk.

3. COXETER, H. S. M. Regular complex polytopes. — London Cambridge Univ. Press, 1974. - 185 p.

4. RUDNITSKII, O. I. Some properties of basis invariants of the symmetry groups G(m,p,n), , D^ //Journal of Mathematical Sciences - 1996. - V. 82. - № 2. -P. 3395-3398.

5. RUDNITSKII, O. I. On invariants of symmetry groups of regular polytopes //Journal of Mathematical Sciences - 1998. - V. 90. - № 6. - P. 2505-2508.

6. Рудницкий, О. И.Об одном классе многочленов Погорелова // Математическая физика, анализ, геометрия — 1996. — Т. 3 — № 1/2. — С. 142-145.

RUDNITSKII, O. I. (1996A) On a class of Pogorelov polynomials. Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. — 1996. -V. 3. — № 1/2. — P. 142-145.

7. Спрингер, Т. А. Теория инвариантов. — М.: Изд-во "Мир 1981. — 191 с. SPRINGER, T. A. (1981) Invariant theory. Moscow, 1981. - 191 p.

8. Игнатенко, В. Ф. Геометрия алгебраических поверхностей с симметриями // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1980. — Т. 11. — С. 203 - 240.

IGNATENKO, V. F. (1980) The geometry of algebraic surfaces with symmetries // Itogi Nauki I Tekhniki. Ser. Probl. Geom. - V. 11. - P. 203 - 240.

9. Игнатенко, В. Ф. Некоторые вопросыгеометрической теории инвариантов групп, порожденных ортогональными и косыми отражениями // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. - 1984. - Т. 16. - С. 195 - 229.

IGNATENKO, V. F. (1984) Some problems in the geometric theory of invariants of groups generated by orthogonal and oblique reflections // Itogi Nauki I Tekhniki. Ser. Probl. Geom. - 1984 - V. 16. - P. 195 - 229.

10. FLATTO, L. Functions with a mean value property // Amer. J. Math. — 1963. — V. 85. - № 2. - P. 248-270.

11. FLATTO, L. Basis sets of invariants for finite reflection groups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - V. 74. - № 4. - P. 730-734.

12. FLATTO, L. Regular polytopes and harmonic polynomials // Canad. J. Math. — 1970. - V. 22. - P. 7-21.

13. HAEUSLEIN, G. K. On the algebraic independence of symmetric functions // Proc. Am. Math. Soc. - 1970. - V. 25. - № 1. - P. 179-182.

14. Игнатенко, В. Ф. Об одной системе базисных инвариантов группы Bn //Укр. геом. сб. - 1986. - № 29. - P. 54-55.

IGNATENKO, V. F. (1986) A system of basic invariants of the group Bn // Ukr. Geometr. Sb. - 1986. - № 29. - P. 54-55.

15. Рудницкий, О. И. О базисных инвариантах группы симметрий многогранника 1// Таврический вестник информатики и математики. — 2021. — № 3(52). - С. 72-78.

RUDNITSKII, O. I. (2021) On a basic invariants of the symmetry group of polyhedron 1iH ■ TVIM. - 2021. - № 3(52). - С. 72-78.