О БАЗИСНОСТИ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ В ВЕСОВЫХ ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА Текст научной статьи по специальности «Математика»

16. Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильто-новых и диссипативных систем // Фунд. и прикл. матем. 2010. 16. вып. 4. 3 229.

17. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // Докл. АН СССР. 1980. 254. № 6. 1349 1353.

Поступила в редакцию 11.05.2022

УДК 517.5

О БАЗИСНОСТИ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ В ВЕСОВЫХ ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

М. И. Исмайлов1, И. Ф. Алиярова2

Работа посвящена базисности системы экспонент и тригонометрических систем синусов и косинусов в сепарабельном подпространстве весового гранд-пространства Лебега, порожденном оператором сдвига. Посредством оператора сдвига определяется сепарабельиое подпространство Gp)p(a, b) весового гранд-пространств а Лебега Lp)p(a, b). Изучена плотность множества G§°([a, b]) бесконечно дифференцируемых, финитных на [a, b] функций в Gp)p(a, ^.Доказывав тся, что если весовая функция р удовлетворяет условию Макенхо-упта, то система экспонент {emi}neZ является базисом в Gp) p(-п, п), а тригонометрические системы синусов {sinnt}n^1 и косинусов {cosnt}n^0 — базисами в Gp) p(0, п).

Ключевые слова: система экспонент, базпсность, весовое гранд-пространство Лебега, условие Макенхоупта, оператор сдвига.

The paper is focused on the basis property of the system of exponentials and trigonometric systems of sine and cosine functions in a separable subspace of the weighted grand Lcbesgue space generated by the shift operator. In this paper, with the help of the shift operator, a separable subspace Gp),p(a, b) of the weighted space of the grand Lebesgue space Lp),p(a, b) is defined. The density in Gp),p(a, b) of the set G§°([a, b]) of infinitely differentiable and finite on [a, b] ч с р

condition, then the system of exponentials {emi}neZ forms a basis in Gp) p(— п, п), and trigonometric systems of sine {sin nt}n^ 1 and cosine {cos nt}n^0 functions form bases in Gp) p(0, п).

Key words: exponential system, basis, weighted grand Lebesgne space, Mackenhonpt condition, shift operator.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-2

1. Введение. В последнее время в связи с важными приложениями сильно возрос интерес к решению различных задач в нестандартных пространствах, таких, как лебеговы пространства с неременным показателем суммируемости, пространства Морри, гранд-пространства Лебега и др. Базисность системы экспонент и ее возмущений в пространствах Лебега с переменным показателем суммируемости и в пространствах Морри изучалась в работах [1 4|. Отметим, что вопросу базисности возмущенной системы экспонент в лебеговых пространствах посвящены работы [5 11], а в весовых лебеговых пространствах со степенным весом статьи [12 15] и др. В настоящей работе изучается базисность системы экспонент в весовых гранд-пространствах Лебега Lp)p(-п,п) с весом общего вида. В работе К. И. Бабенко [16] устанавливается, что система {|t|a emt}neZ образует базис

1 Исмайлов Мигдад Имдад оглы доктор мат. паук, доцепт каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та Вакип. гос. ун-та., e-mail: migdad-ismailovOrambler.ru.

Ismailov Migdad Imdad oglu Doctor of Mathematical Sciences, Associate Professor, Baku State University, Faulty of Mechanics and Mathematics, Department of Theory of Functions and Functional Analysis.

1 Алиярова Илаха Фалах кьшы асп. каф. общей математики физ.-мат. ф-та Нахичевап. гос. у-та, e-mail: ilaliealiyarovaOgmail.com.

Aliyarova Ilaha Falah kizi Postgraduate, Nakhichevan State University, Faculty of Physics and Mathematics, Department of General Mathematics.

© Исмайлов M.M.. Алиярова И.Ф., "2024 © Ismailov М.1., Aliyarova 1. F., 2024

(cc)

в пространстве 7г,7г) в случае, когда |а| < и является базисом Рисса только при а = 0. Обобщение этого результата в пространстве L2(-п, п) для общего веса, т.е. для системы {p(t)emt}n&z, было изучено В.Ф. Гапошкиным в [17]. Из результатов работ [18, 19] следует, что в пространстве Lp(-n, п) критерием базисности системы {p(t)eint}n^z является выполнение условия Макенхоупта весовой функции. Фреймовые свойства системы {|t|a emt}n&z, а также базисные свойства системы, полученной из нее при исключении произвольного элемента, исследовались в [20]. Эти вопросы в пространствах Lp(-n,n) для весовых систем экспонент и тригонометрических систем синусов и косинусов изучались в случае степенного веса в работах [21, 22], а для общего веса — в [23, 24].

В настоящей работе рассматривается сепарабельное подпространство Ср),р(-п,п) гранд-пространства Лебега, порожденное оператором сдвига. При определенных условиях на весовую функцию устанавливается плотность множества бесконечно дифференцируемых финитных функций, а также строгое непрерывное вложение весового пространства Лебега Lp,p(-n,n) в подпространство Gp)pp(-п, п). Доказывается базисность системы экспонент {emt}n&z и тригонометрических систем синусов {sin nt}n> 1 и косинусов {cos nt}n>0 в подпространствах Gp),p(-п,п) и Ср),р(0,п) соответственно в случае весовой функции, удовлетворяющей условию Макенхоупта.

2. Подпространство весового гранд-пространства Лебега, порожденное оператором сдвига. Пусть p € L1(a,b) — весовая функция, p(x) > 0 Р > 1 Lp),p(a,b) — весовое гранд-пространство Лебега, т.е. пространство измеримых на [a, b] функций f с конечной нормой

Wf\\p),p= SUP \h n

0<e<p-i V b — a

\f (t)\p-e p(t)dt

Пространство Ьр)р(а,Ъ) является нерефлексивным, несепарабельным и несимметричным банаховым функциональным пространством. Связь этих пространств с весовыми пространствами Лебега выражается следующим непрерывным вложением:

Ьрр(а,Ъ) С Ьр)>р(а, Ъ) С Ьр-£,р(а,Ъ), е € (0,р - 1),

таким, что

ap(e)

p-£,p

<

llf llp),p < bp ||f ||p,p ,f € Lp,p(a,b),

(1)

где ар(е) = [^ J , bp = sup , b_a ||П11 , . ^p)

V 7 0<£<p-1 \ /

неравенства (1) очевидны. Далее, для любой функции f € Lp,p(a,b) имеем

éJPlIÍ

i

р-Е

Вложение Lp),p(a, b) С Lp-ep(a, b) и левая сторона

p-£,p

\f (t)\p-e p(t)dt

i

■р-Е

1

Р-Е Е \ Р-£

I Р~£ (Л ^/íUíl <

\f(t)\P~£p Р (t)pP(t)dt

<

Отсюда получаем

\f (t)\p P(t)dt

ba

fb \ p(p-E)

p(t)dt

^ bpí f и . p-e,p^~ p II Ilp,p

P,PM¡(P-£)

Следовательно, Ьр>р(а,Ъ) С Ьр),р(а,Ъ) и ||/||р);р ^ Ър ир>р. Также имеет место следующая

Лемма. Пусть существует число е € (0,р — 1), такое, что р~1 € Ь 1 (а,Ь), 0 < ео < е —

р—Е—1

некоторое число. Тогда при любом г € [1, ^^г] верны вложение Ьр^р(а,Ь) С Ьг(а,Ь) и неравенство

<

cp(^0,Г) ||f l\p)pp ,f € Lp),p(a,b),

где cp(e0,r) = ( ^Г IIР Ч

Р-Е0-

1

О

Р

1

Р-Е

Г

Доказательство. Пусть / € Ьр^р(а,Ь) — произвольная функция. Положим го = . Тогда для любого числа г € [1, г0 ]

г Го

р - ео - г р - ео - го р - е - 1 Поэтому из условия р~1 € Ь 1 (а, Ъ) следует, что р~1 € /- г (д И). Значит, используя неравен

р-Е-1 " Р-Е0-г

ство Гёльдера с показателем р~£°, получим

гЬ гЪ г г

/ Iт\гм= / I№\гр—о®р-™№<

'a Ja

r P-EQ-r

/ fb \ P-£0 í fb t \ P-£0

< Ц \mre°p(t)dt) Ц

Итак,

1 ! ||Л|-4 (ií^í l/(í)l""(í)<ii)"° (^T11"-'11^)^ ^«''WW-

Лемма доказана.

Из доказанной леммы, в частности, следует, что если р~1 € L i (а, Ъ) при некотором е €

р—Е—1

(0,p - 1), то Lp)tp(a, b) С Li(a, b).

Через Gp)pp(a,b) обозначим замыкание в Lp),p(a,b) линейного многообразия функций f €Lp)¡p(a,b), таких, что

\\T f - f \\p),p ^ 0 при 5 ^ +0,

где T¿ — оператор сдвига, т.е. T¿f (x) = f (x + 5), x + 5 € [a,b] и T¿f (x) =0 x + 5 € [a,b]. Ясно, что множество C[a, b] непрерывных на [a, b] функций вложено в Gp)pp(a,b). Известно [25, с. 822, теорема 14.105], что замыкание C^°([a, b]) в Lp),p(a, b) состоит го функций f € Lp),p(a, b), удовлетворяющих условию

lime / |f (t)lp-e p(t)dt = 0. Ja

В следующем утверждении находится условие на весовую функцию, при котором Ор),р(а,Ъ) совпадает с замыканием множества СЖ([а,Ъ]) в Ьр),р(а,Ъ).

Теорема 1. Пусть существует число е € (0,р — 1), такое, что р~1 € Ь 1 (а, Ь). Тогда

р—Е—1

множество СЖ([а, Ъ]) плотно в Ср)р(а,Ъ).

Доказательство. Пусть п > 0 — произвольное число, / € Ор)р(а,Ъ) — произвольная функция

П \0, |t| >П,

где постоянная е^ такова, что Шп(£)М = 1. В силу леммы имеем / € Ь\(а,Ъ). Тогда можно рассмотреть /п — свертку / с ядром шп, т.е.

/+ж г+ж

/(г - в)шп(8)ёв = \ шп(г - в)/(в)йв.

-ж ■) — ж

Очевидно, что /(г) — бесконечно дифференцируемая функция. Используя интегральное неравенство Минковского, получим

\f-f

п Wp),p

f+ж

[f (•) - f (•- s)]uv(s)ds

p),p

1

SUP 1-

0<£<p-i \ b — a

f+те

[f(t-s)-f(t)]p—(t)ujv(s)ds

p—e \ p-s

£

/+те

uv(s) sup

-те 0<£<p-l \ b — a

If (t — s) — f (t)|p-£ p(t)dt ds <

dt

i

p-e

<

< sup ||f (■ — s) — f(.)||p)>p ^ 0, n ^ 0.

Следовательно, множество бесконечно дифференцируемых функций C^[a, b] плотно в Gp)jp(a,b). Пусть функция g € C^[a, b] такова, что

II/" 9\\Р),Р <

(2)

При достаточно малом 5 > 0 рас смотрим интер вал Е$ = (а + 5,Ь — 5) и определим фун кцию д$ (¿) = 9&)Хе6Так как СЕ$ = [а, а + 5] У[Ь — 5, Ь] и |СЕг| ^ 0 при 5 ^ 0, то существует достаточно малое

число 5 > 0, такое, что fCE p(t)dt < где е = ЦдЦ^ sup

5 0<£<p-l

а

Тогда

9S\\Р),Р = п™Р лХъ_а

0<£<p-l

1

\Р-£ p(t)dt\ P-S <

'CES

тг£ P(t)dt

<

Положим

loo SUP U „

0<£<p-l v b — a JCES

/+те

(t — s)wr(s)ds,T € R+.

-те

p(t)dt

i

p-£ fl <3-

(3)

Ясно, что при т < 2 имеет место € Со°[а, 6]. Так как — дб,т\\р^ р ► 0 при т —>■ 0, то существует

число т < g) такое, что

II#<5 ~ 9&,Лр),р < з'

(4)

Следовательно, используя (2)-(4), получим ||f — 9s,т 11р)>р

< II/ ~ 9\\р),р + I\д - 9&\\р),р + I\gs - 9&,т\\р),р <? + ? + ? = V,

т.е. С0°[а, Ь] плотно в Ср),р(а,Ь). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть существует число е € (0,р — 1), такое, что р~1 € Ь 1 (а, Ь). Тогда

р—Е— 1

множество Ьр,р(а,Ь) плотно в Ср)р(а,Ь).

Доказательство. Возьмем произвольную функцию f € Ьр,р(а, Ь). В силу плотности множества С ([а, Ь]) в Ьррр(а, Ь) для любого числа п > 0 существует функция д € С ([а, Ь]), такая, что

|f — 9^p,p <П.

(5)

Используя (1) и (5), получаем

|f — 9^р),р < bP |f — 9b,p <bPП.

Это означает, что ^ замыканию С ([а, Ь]) в Ьр),р(а, Ь), т.е. f € Ср),р(а, Ь). Следовательно,

Ьр,р(а,Ь) С Ср),р(а, Ь) и го плотности С ([а, Ь]) в Ср),р (а, Ь) получаем плотность Ьр,р(а,Ь) в Ср)р(а,Ь). Теорема доказана.

Касательно строгого вложения Ьр,р(а, Ь) С Ср),р(а, Ь) имеет место следующее

I

Замечание 1. Пусть существует число е € (0,р—1), такое, что р € Ь 1 (а, Ъ) и рр € Ьг(а, Ъ), г > р. Тогда вложение Ьрр(а, Ь) С Ср),р(а, Ь) строгое.

p—£— 1

1

£

Не ограничивая общности, рассмотрим случай [0,1]. Предположим противное. Тогда в силу полноты пространств Ьр>р(0,1) и Ср),р(0,1) относительно их норм с учетом неравенства (1) существует

ар > 0

V 11р,р

<

11р),р ^ € Ьр,р(0,1).

(6)

Возьмем 5 € (0,1) и рассмотрим функцию

& (*) =

* рр е [5,1];

0,* € [0,5).

Имеем

С другой стороны,

р,р

1\р

\\fsWpip = 0<йир Д е Ь р р р (*)р(*)£Й ] <

р-Е

1__Г —£

/ р-Е г \ г(р-£)

^ вир Iе / £ р рр(£)сЙ] ^ вир [е t р 'г-£<И

0<£<р—1 \ Л) ) 0<£<р-1 \ ->0

. . ,'р(г — е) \ г(р-£)

4 Ср(р) вир --= СрДр).

1

_ г(р-Е)

е I рр(г)м) ^

0<£<р—1 \ Г — р

(7)

Из (6) н (7) вытекает неравенство

1п

^ р < Ср,г(р)

5

Ьрр(0,1) С Ср),р(0,1).

Пример. Построим функцию f € Ср),р(0,1), те лежащую в пространстве Ьрр(0,1). Рассмотрим последовательность функций

\Г1рр-1р^)^е[е-^, 1]; 1п( )\0,Ь € [0,е—п2р).

„—п2Р

Имеем

\\к

)п\\р,р -

Далее, используя (7), получим

1

е-п2Р

Г^-^рфмУ = (1пе""2р ' р --2

п

И/пИр),«< г рр р(г) ^Ср;Г(р). ' р),р

Следовательно, ряд сходится в Ьр^р(0,1). Поскольку при любом т € N имеет место

п=1

получаем, что сумма ряда f € Ср)р(0,1) Осталось показать, что f € Ърр(0,1). Ясно, что последовательность |£т}теМ сходится к ^ ^и т ^ то в Ьр—£,р(0,1). Тогда можно выделить подпоследовательность {Бтксходящуюся почти всюду к f(í). При этом последовательность {|Бтк(*)|р р(Ь)}к£И почти всюду сходится к |f (*)|р р(Ь). Поэтому по теореме Леви

Г1

|f(*)|рр№ = Ит / 1Бтк(*)|рр(1)й1. ) у0

д

1

Однако

Г \Бтк(г)\рр№ = Г

/о ./о

тк

Е

п=1

/п(г)

п2

р(г)(г ^

/о

1 тк г р(г)

Е =

п=1

п

тк

£

п=1

1

тк

ир,р

п=1

п2р

^ / п2р

п=1

и значит, ^Лт /д1 \Бтк(г)\р р(г)М = В результате, используя (8), получаем \/(г)\р р(г)(г =

т.е. / /Ьр<р(0,1).

Замечание 2. Отметим, что в качестве примера весовой функции, удовлетворяющей условиям замечания 1, можно взять произвольную весовую функцию, принадлежащую классу Ар, р > 1, — класс Макенхоупта, т.е. класс весов р : Я ^ [0, +гс>), удовлетворяющих условию

вирщ ! ! р р-1(*)£Й

р-1

где верхняя грань берется по всем интервалам I вещественной оси Я. Действительно, пусть р € Ар. Обозначим через Ар(а, Ъ) класс сужений на (а, Ъ) весов из Ар. Так как р € Ар(а,Ъ), существует [25, с. 748, лемма 14.6] число е € (0,р — 1), такое, что р € Ар_е(а,Ь). Поэтому р~1 € Ь 1 (а,Ь).

р — £ — 1

С другой стороны, из условия р € Ар(а,Ъ) следует, что р € Ьд(а, Ъ) при некотором д > 1 [26, с. 49,

1

теорема 1.3.1]. Положив г = рд, получим, что г > р и рр € Ьг(а, Ъ).

Нам понадобится следующее утверждение, вытекающее из результатов работы [18]. Утверждение 1. Пусть весовая функция р(г) 2п-периодична на Я. Тогда, система экспонент {егпг}п&г образует базис в Ьрр(-п,п) в том и только в том случае, когда р € Ар.

3. Базисность системы экспонент в Ср)р(-ж, ж). Пусть существует число е € (0,р - 1), такое, что р~1 € Ь 1 (а,Ь). Рассмотрим систему функционалов

р —£ —1

мл = € ср)>д-7г,7г),п € я.

(9)

Покажем ограниченность функционала ип. Имеем

1

К(/)\ =

2п

/ (г)е-гп1(г

<

2п

\/(г)\(г =

1 Г __к. 1

\/(г)\р— р(г)(г

1

р — £ — 1 1 \ Р~Е

'р-^^сИ I ^

1 и 1,

р — £ — 1

1

р-Е

II/Пр),.

т.е. функционал ип ограничен. С другой стороны,

= Г е-г(-п~т»сИ = 5пт, 2п 7-п

т.е. системы {егп1~'}п&г и {ип}п&2 биортогональны. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Пусть для некоторого числа е € (0,р — 1) выполняется р~1 € Ь 1 (а,Ь). Тогда

р — Е — 1

система {вгп1}п&2 минимальна в Ср)р(-п,п) и система (9) является ее биортогональной системой.

Из утверждения 1 следует, что если 2п-периодический на Я тес р удовлетворяет условию Ар, то система {егп1}п^ полна в пространстве Ьр,р(-п, ж). При этом по теореме 2 она тркже полна

в пространстве Ор),р(-п, к). Этот факт сохраняется и в случае базисности системы {егп1}п&г, а именно справедлива

П

1

— П

— П

П

р

П

Теорема 4. Пусть весовая функция р(*) 2п-периодична на К и р € Лр. Тогда, система экспонент {етг}п&г образует, базис в Ср),р(—ж,ж).

Доказательство. В силу утвержееним 1 систем а {егп*}пе2 образует базис в Ьр,р(—к,к). Поэтому согласно вышесказанному система {егп1}полна в Ор),р(—п, п). Далее, го условия р € Лр(—п, п) следует, что р € Ар_е(—7г,7г) для некоторого е € (0,р — 1). Тогда р~1 € Ь 1 (а, Ь) и по теореме 3

р—Е— 1

система {егпг}п&2 минимальна в Ор),р(—п,п) с сопряженной системой (9). Остается показать равномерную ограниченность последовательности проекторов

т

Sm(f)(Х)= )егп,f € Ср)р(—П,к),т €

п= — т

где — множество целых неотрицательных чисел. В силу базисности системы {егп1}п&2 в пространствах Ьрр(—ж,ж) ж Ьр—£;р(—п, п) существуют чпела ср > 0 и ср—£ > 0, такие, что

\\Smf )\р,р < Ср \\р,р

И

\\Smf )\р—£,р < Ср—£ \\f\\р—£р .

Тогда согласно теореме Рисса-Торина в весовых лебеговых пространствах [25] при п: 0 < п ^ е имеем

\\Smf )\р—п,р < С1(р,е) \\р—^рр. (10)

Следовательно,

||5та(/)||р_ч>р<С1(р>е) \\П\Р),Р-

Пусть е < п < р — 1- Используя неравенство Гёльдера, получим

i i - / /*7Г \ -

Р —П í ¡ P—П П—£ \ Р—П

II Ap_v ÍL-l , . , . . \

'm(

\ f ' I II У ' I ' I ° \ f ' I

i sm(fmr*> P№) =[ i sm(/)(í)rv-e(í)pp-e(w <

' —П

1 r¡-

^ ( / |Sm(f)(t)|p—£p(t)dt) / p(í)dí

' — П

Отсюда следует, что

||Sm(f )Ур—< C2^) ||/||p—e>p , (11)

откуда получим

\\Sm(f)\\P-v,P < cafas) ll/llp)>, < c3(p>£) ll/llp)>,.

Учитывая (10) и (11) для любого числа 0 < п < p — 1, заключаем, что

\\Sm(f)\\p-VíP ^ с(р,е) ||/||p)i„,

где c(p,e) = max|ci(p,e),c3(p,e)}. Таким образом,

\\Sm(f)\\p),p= SUP \\Sm(f)\\p-v,p^c(p,s)\\f\\p)íp,

0<£<p—1 \ '

т.е. ||Sm|| ^ c(p,e). Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть p € Ap(0, п). Тогда, система синусов {sinnt}n>1 образует базис в Gp),p(0,n). Доказательство. Пусть 0(t) — четное продолжение p(t) на [—п,п], т.е.

fí(t) = Ip(t),t € [0,п];

y(t) \ p(—t),t € [—п, 0].

П

— П

Продолжим в(г) 2п-периодически иа Я. Установим принадлежность в € Ар. Возьмем произвольный интервал ■] = (а, в) С Я. Пусть сначала выполнено условие 1) \J\ < 2п. При этом возможен один из следующих случаев:

(г) J С [кп, (к + 2)к] при некотором к € Z;

(гг) J = (а, кп][] [кп, в) С [(к - 2)п, (к + 2) к] при некотором к € Z. В случае (г) положим

I = (а - (к + 1)п,в - (к + 1)п) = (а, Ъ) С [-п,п].

Обозначим 11 = 1Р|[0,п] и 12 = 1П[-п, 0]. Пусть

h, \h\ * \h| h, \h\ * \h\

I+ = rl' \T:\ * r! 'I+ = {t : -t € I+} .

Тогда

wLmdt (й//('г*лГ=viLmdt {w\Lm~**"~l

1 f _ Л / 1 if_____L_ , f_____L_

p-

(J em+J em) .(t)-^))"" <

\Il\ + \ I2\ V Jli Jl2 J V\Il\ -^V Jh

p-1

p- '

^TTlif 0(t)dt+ [ 0(t)dt) [[ [ 0{t)-^dt+ [ 0{t)-^dt

ic I \ \ \ \ /1+ Л+

I+ \ \Ji+ Ji+ J v \ I+ \

2 f ( 2 f \p_1 2 p f (If XP_1

e(t)dt(-^- [ e(t)~^dtY =7^7 / 0{t)dt(-^- [ e(t)~^dtY <

\ \ Ji+ W\ Ji+ J \ \ Ji+ W\ Ji+ J

sup ^ [ p{t)dt(^- [ p(i)"?W ic[on] \I \ Ji WI\ Ji

Пусть теперь промежуток J удовлетворяет уеловию (ii). В этом случае положим I =[-п,в - (к + 1)п) ^J (а - (к - 1)п,п] = [-n,a){J(b'n]= Ii [JI2. Предположим, что \I2 \ * \Ii \ ■ Имеем

= штш (Lmdt+Lmu) (ira 4

< Ш (/.^ЧН (и (j,m-** + j4m-**)J <

2 Г , ч (2 Г ____L. V"1 2Р { , ч ( 1 f ____L. ХР_1

1 Г , ч / 1 Г____L.

sup — / p(t)dt — / p(t) p-ult

i С[0,п] \ I \ Ji W I\ Ji

Теперь рассмотрим случай 2) \ J\ ^ 2п. Имеет место одно из условий:

(iii) J С [(к — 2)п, (к + 2)п] при некотором к € Z ;

(iv) [кп, (к + 2ш)п] С J С [(к — 2)п, (к + 2m + 2)п] при некоторых к € Z и m € N.

(iii)

1 Г _ / 1 f_____L. ЧР_1

v\J/mmLm~~dt]

л г(k+2)n ( . f(k+2)n ± Y 1

2п J(k—2)n \2п J(k—2)n J

1 Г3ж /1 Г3ж 1 \p_1 2 Г /2 Г 1 V

- sfLem ЫLm,] =«Ipit)dt uI pitrJ~idt) *

1 /• _ / 1 /•____5_ ^^

=<:2p sup — / P(i)di — / p(i) p-idi

iC[0,n] 111 JI V111 JI

Наконец, если выполнено условие (iv), заключаем, что

1 /•_____5_ ^

i /• (k+2m+2)n / i /• (k+2m+2)n 1

<- / 0(í)dí - / e(t)~~ult

2пт J(k—2)n \2пт J(k—2)n

m + 2 Г Л. . , /т + 2 Л __l. , \p_1

0(i)di -- / 0(í) p-1dt

p-1

2пт —П V 2пт

-П П

т + 2 Г . . , f т + 2 Г , ,\P_1

p(t)dt - / p(í) p-1dt

пт j0 \ пт j0

m + 2\p 1 Г ^ , /1 Г , 4P_1

- / p(t)dt - / p(i) p-idi <

m J п Jo \п Jo

1 Г , x / 1 Г____3_ ^P"1

=<:3p sup — / p(i)di — / p(i) p-idi

iC[0,n] 111 JI V111 JI

В итоге из полученных соотношений следует, что для любого интервала J С R справедливо

1 Г_____* V"1 1 Г,,,/ 1 Г____з_

и 7/(i),ft < iPsuwiJ/mt vltr'-iM

Теперь покажем однозначное разложение в Gp),p(0,n) произвольной функции / € Gp),p(0, п) по {sinnt}n>1 / [—п, п]

функцию через

F(t) = f /(t),t € [0, п];

F (t) I — /(—t),t € [—п, 0].

Будем иметь

i i

\\F\\p),e= sup (f Г \F(t)rs 9(t)dt)P~S = sup (- =

' 0<£<p—i\2п J—П J 0<£<p—i\п Jo J

= sup (- Г \f(t)\p-£p(t)dt) P~£ = \\f\\p) < +oo, 0<£<p-l\ п J0 )

т.е. F € Lp),g(—п, п). Более того, из условия f € Gp),p(0, п) получаем F € Gp(—п,п). Рассмотрим систему функционалов

2 Г

№n{f) = — / f(t)s'mntdt,n£Z. п0

Ясно, что pra(sin mt) = 5nm. Также, используя (9), получим

2 гп eint _ e-int

м/) = -/ т——dt =

п J0 2i

П

1

г0

1

-г- I f(—t)e~ dt + г- / f(t)e~ dt = п J-п п Jo

1

0

1

= i- / F(t)e~ dt + i— / F(t)e~mtdt = 2ivn(F). п J-п п J0

Поэтому функционал непрерывен в Gp),p(0, п), и значит, система {^n}n€N является биортого-нальной системой для системы {sinnt}n>i- Далее, учитывая равенство v-n(F) = -vn(F), n € N, для любого m € N получим

E Vn (f) sin nt = Vn (F)

n=1

n=1

eint_e-int

2i

m

- int

Y^Vn(F)eint ^Vn(F)e

n=1 n=1

-1 m

int

J^Vn(F)eint - V-n(F)eint = Vn(F)e

n= - m n= - m

n=1

int

Следовательно, при m ^ ж по теореме 4 имеем

p),p

F - E Vn(F)

f -J2 Vn (f )sin nt

n=1

т.е. в Gp),p(0,n) справедливо разложение

f = E Vn (f )sin nt

int

v),e

n=1

Единственность разложения следует из минимальности системы {sin nt}n>v Значит, система {sin nt}n>1 образует базис в пространстве Gp),p(0,n). Теорема доказана.

Совершенно аналогичным образом доказывается следующая

Теорема 6. Пусть р € Ap(0, п). Тогда система косинусов {cos nt}n&z+ образует базис в Gp)p(0,n).

список литературы

1. Sharapudtnov I.I. Some problems of approximation theory in spaces Lp(x) (E) // Anal. Math. 2007. 33, N 2. 135-153.

2. Bilalov В. Т., Guseynov Z.G. Basicity of a system of exponents with a piece-wise linear phase in variable spaces 11 Mediterr. J. Math. 2012. 9, N 3. 487-498.

3. Билалов Б. Т. О базисности возмущенной системы экспонент в пространствах типа Морри // Сиб. матем. журн. 2019. 60, № 2. 323-350.

4. Bilalov В. Т., Guliyeva A.A. On basicity of the perturbed systems of exponents in Morrey-Lebesgue space // Inter. J. Math. 2014. 25, N 1450054. 1-10.

5. Винер H., Пели P. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

6. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в L2(—n,n) // Зап. матем. отд. физ.-мат. ф-та ХГУ и ХМО. Сер. 4. 1961. № 27. 39-48.

7. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979. 247. 37-40.

8. Никольский Н.К., Павлов Б. С., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. Препринты ЛОМИ. Л., 1980. 8-80.

9. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. 23, № 1. 177-179.

10. Седлецкий A.M. О сходимости негармонических рядов Фурье по системам экспонент, косинусов и синусов // Докл. АН СССР. 1988. 301, № 5. 501-504.

11. Билалов Б. Т. Базисность некоторых систем экспонент, косинусов и синусов // Дифференц. уравнения. 1990. 26, № 1. 10-16.

12. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. 34. № 1. 40 44.

13. Пухов С. С., СеОлецшй A.M. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. РАН. 2009. 425. № 4. 452 455.

14. Юхименко А.А. Базисы из экспонент в весовых пространствах L2(—n,n) // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 2. 36 38.

15. Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75, № 2. 195 224. '

16. Бабенка К.И. О сопряженных функциях // Докл. АН СССР. 1948. 62, № 2. 157 160.

17. Гапошкин В.Ф. Одно обобщение теоремы М. Рисса о сопряженных функциях // Матем. сб. 1958. 46 (88). № 3. 111 115.

18. Hunt R.A., Muckenhoupt В., Wheeden R.L. Weighed norm inequalities for the conjugated function and Hilbert transform // Trans. Amor. Math. Soc. 1973. 176. 227 251.

19. Hunt R.A., Young W.S. A weighted norm inequality for Fourier series // Bull. Amor. Math. Soc. 1974. 80. 274 277.

20. Голубева E. С. Фреймы экспонент со степенным весом // Вестн. СамГУ. Естоственнонауч. сор. 2011. Вып. 2. № 83. 15 25.

21. Bilalov В. Т., Guliyeva A.A. On the frame properties of degenerate system of sines // J. Funct. Spaces Appl. 2012. Art. ID 184186.

22. Bilalov B.T., Mamedova Z.V. On the frame properties of some degenerate trigonometric systems // Dokl. Nats. Akad. Nauk Azerb. 2012. 68, N 5. 14 18.

23. Шукюров A.HI. О базисных свойствах взвешенных экспоненциальных систем с избытком // Вестн. СамГУ. Естоственнонауч. сер. 2018. Вып. 24, № 5. 14 19.

24. Shukurov A.Sh. On basicity of the degenerate trigonometric system with excess // Acta Comment. Univ. Tartu. Math. 2017. 21, N 2.'249 257.

25. Kokilashvili V.M., Meskhi A., Rafeiro H., Samko S. Integral Operators in Non-Standart Function Spaces // Variable Exponent Holder, Morrey-Companato and Grand Spaces. Vol. 2. Switzerland: Birkhauser, 2016.

26. Дынькин E.M., Осиленкер Б.П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения // Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ. 1983. 21. 42 129.

Поступила в редакцию 22.07.2022

УДК 511

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ МНОГОЧЛЕНОВ / С ПЕРИОДИЧЕСКИМ РАЗЛОЖЕНИЕМ sff В НЕПРЕРЫВНУЮ ДРОБЬ

Г. В. Федоров1

Для каждого n ^ 3 ранее были построены три неэквивалентных многочлена f € Q[x] степени п, для которых y/f имеет периодическое разложение в непрорывную дробь в поло Q((x)). В работе для каждого n ^ 5 найдены то два новых многочлена f € K[x] степени п, которые определены над полем К, [К : Q] = [(?? — 1)/2], и для которых \fj имеет периодическое разложение в непрерывную дробь в поле K((x)).

Ключевые слова: гиперэллиптическое поле, проблема периодичности функциональных непрерывных дробей, функциональное уравнение типа Пелля, фундаментальные S-единицы.

For each n > 3 three nonequivalent polynomials f € Q [x] of degrее n were previously constructed for which a/7 has a periodic continued fraction expansion in the field Q((.x)). In this paper, for each n > 5, two new polyno mials f € K [x] of degr ее n are found, defined over

1 Федоров Глеб Владимирович капд. физ.-мат. паук, доцепт АНО ВО "Университет Сириус", e-mail: fedorov О mecli. mat li. msu. su.

Faluruv Gleb Vlatlimirovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Sirius University.

© Федоров Г. В., "2024 © Fndorov G. V., 2024

(cc)