Плотность пространства Лизоркина в гранд-пространствах Лебега Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 3, С. 75^83

УДК 517.518.2

ПЛОТНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ЛИЗОРКИНА В ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

С. М. Умархаджиев

Семёну Самсоновичу Кутателадзе к его семидесятилетию

Доказана плотность пространства Лпзоркпна в некотором подпространстве гранд-пространства Лебега на открытом множестве О С К".

Ключевые слова: гранд-пространство Лебега, пространство Лизоркина, плотность бесконечно

дифференцируемых функций.

1. Введение

Рассматриваются модификации пространств Лебега, называемые гран-пространствами Лебега. Такие пространства 1 < р < оо, по ограниченному множеству

0 С Кп ввели в 1992 г. Т. Ьуашес и С. БЬогёопе [11]. Операторы гармонического анализа интенсивно исследовались в таких пространствах в последние годы и они продолжают привлекать внимание исследователей в связи с различными их приложениями (см. [5-10], [13-15]).

В статьях [2, 17, 18, 20] предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега £?(О), 1

< р < оо, а € ЬР(О), на открытых, не обязательно ограниченных, множествах О С Мга. Действия максимального оператора Харди — Литтлвуда, операторов Кальдерона — Зигмунда и потенциала Рисса в гранд-пространства Лебега £$(0) исследованы в работах [1, 3, 19].

Известно, что класс О0°(О) плотен в пространствах Лебега Ьа(О), 1 ^ р < о. В статье доказано, что в гранд-пространствах Лебега (О) множество «хороших» функций не является плотным, но оно плотно в некотором подмножестве пространства ЬРа (О) (лемма 2.6).

При изучении операторов типа потенциала оказались полезными основные пространства Ф — пространства Лизоркина. В книгах [4, 16] доказана плотность класса Ф в Ьа(0),

1 < р < о. Теорема 3.1 распространяет это утверждение на некоторое подпространство гранд-пространства Лебега (О).

©2015 Умархаджиев С. М.

2.1. Гранд-пространства Лебега !^(О) и ¿?^(О)

2.1. Основные определения и некоторые свойства. Пусть О — открытое подмножество пространства Мга и и> — тес на О, т. е. неотрицательная локально интегрируемая функция, определенная и неравная нулю почти всюду на О. Весовые пространства Лебега £р(О,-ш) определяются нормой

II/llLP(n,w) = S J If (x)|pw(x) dx ^ , 1 < p < то.

^ П ^

При w = 1 мы пишем Lp(Q).

Гранд-пространства Лебега по ограниченному множеству Q определяются

нормой

II/IIlp)(q) := SUP £^11/11ьр-£(п)-

0<e<p-1

Пространства Lp)(Q) были введены и изучены в вышеуказанных работах для функций, определенных на ограниченных множествах Q С Кга. В статьях [2, 17, 18, 20] был предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега на множествах произвольной (неограниченной) меры посредством некоторой неотрицательной функции a:

L^fi) := < / : sup е / |/(x)|p-£a(x)£ dx < то L I 0<£<p-1 J I

^ ^ (1)

^hp)(n):= SUP £~SWf\\Lv-{n,a-)-a ( ) 0<£<p-1

Обозначим через ¿^(П) (Lp)(Q) при a = 1) подпространство пространства ^(П),

состоящее из функций f € L^^), для которых

lim е |f (x)|p-£[a(x)]£ dx = 0. £^0 J п

При a € Lp(Q) имеет место цепочка вложений

Lp(Q) с ¿a)(Q) С Lp)(Q) С Lp-£1 (Q,a£1) С Lp-£2 (Q,a£2), 0 < ei < е2 <p - 1. (2)

Приведем примеры функций, подтверждающих строгость первых двух вложений в (2).

Пример 2.1. /0(ж) = х~р (in Q))", х е (0, .

fo €Lp(0,1/e), Л> 1; fo €L0)(0, 1/e), Л> 0; fo €Lp)(0, 1/e), Л ^ 0.

i

Действительно, для Л > 1 имеем ||/о||ьр(о,1/е) = < 00•

При Л = 0 получим

II/o|Ilp)(o 1/е) = SUP \е I х~1+~Ых\ = sup (ре~р)р~£ <00.

к ' ' п<£<Р-1 / п<£<г>—1 V /

х!е л —

I Р~£ 1

Л rt rvt \ --nil т~\ ( /-">

0<£<р-1 .1 0<£<р-1 4 о '

Пусть 0 < Л ^ 1. Тогда

1//е 00 Г ~(р-£)

£ [ 1/о(ж)Г"£ (1х = ер{р~е) [ е~уу-р{р-е) <1у~\£рР с' Л < 1 -»• 0, е -»• 0. .! .! 1 — в?, А = 1

0 £ ^

Благодаря следующей лемме в дальнейшем некоторые выкладки будут существенно упрощены.

Лемма 2.2. Пусть а € £а(О). Нормы II/II р) и II/Ц р), где с — положительная

Ьа (п) Ьса(\1)

константа, эквивалентны.

а

гранд-пространства (О) будем рассматривать неотрицательные и неравные нулю почти всюду на О функции из класса ЬР(О) такие, что

1М1ьр (п) = 1

Пусть 5 € (0,р — 1) В гранд-пространстве Лебега £^(О) кроме нормы (1) рассмотрим еще норму

1

Ьа (П'0) 0<£^й

ны.

Лемма 2.3. Пусть а — вес из ЬР(О). Тогда нормы \\/ЦгР)(п) и Ц/ЦьР)(п.А) эквивалент

Ьа (п) Ьа (п.^)

< Неравенство Ц/Н^)^ < II/1 существует число С > 0 такое, что

< Неравенство Ц/ЦР),~х, ^ II/У,р)^ очевидно. Пусть 5 € (0,р — 1), покажем, что

Ьа (п;о) Ьа (п)

¿Р)(П) < C II/llLP) (П;й)- (3)

Имеем

ьа) (п) =

ШаХ{ llf ||ьа)(П;й)'В4

где

1

BS = sup EP-S \\/\\ьР-£(П,а£)-&<£<p-l

Применив неравенство Гёльдера с показателями г = > 1, г' = получим

/ \ 1 , ч 1

p — S / г \ p —S

г 6 Г 6

-— ^ С---

^ r a r

lp-W) =1^1 \f\p-£a£dxj £ = \f\p-£a~ra£--rdx

, ч __

f Г \ (p-s)(p-S)

< ||f уьр—«(п,о«)( aP = ||f уьр—«(п,о«)

Следовательно,

1

в& < sup £p-£\\f\\lp-s(n,at) S<£<p-1

1__i_ 1 __i_

= sup EP-e5 p-SÖp-S\\f\\LP-Hn,at) < (p- 1)5 р_411/11гр)го.лг

6<£<p—1 a ( ' )

Это дает оценку (3) с константой

Cs = max jl, (p — I . \>

Лемма 2.4. Множество есть банахово пространство относительно нормы (1).

Доказательство леммы проводится стандартными рассуждениями. Для полноты изложения мы приводим его в приложении.

p)

Лемма 2.5. Пространство La (П) замкнуто относительно нормы (1) и, следовательно, есть подпространство пространства La^H); La)(ü) £ La)(ü).

< Тот факт, что La)(n) £ La)(n) видно из примера 2.1. Чтобы доказать, что множество La)(n) замкнуто по норме (1), рассмотрим последовательность {Д} элементов из La) (П) сходящуюся к некоторой функции Д В силу вложения La)(n) С La)(n) и полноты пространства La)(H) функция f принадлежит La)(H). Осталось показать, что

f € La)(H) т. е.

lim e / |f (x)|p—е[а(ж)]е dx = 0.

£^0 I

Имеем

i i p —£ I /* I

^ I/(х)Г£|а(х)Г ¿х < II/ - Д||ьа)( п) + еу |Д(х)Г£|а(х)Г ¿х •

^ п > ^ п >

Первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым для достаточно больших к в силу полноты пространства .¿^(О), а второе — для достаточно малых е в силу того, что Д € ¿р)(О). >

2.2. Плотность множества гладких функций

Теорема 2.6. Пусть О С Мга, а — вес из .р(О), 1 < р < то. Тогда множество С0°(О)

о р)

плотно в Ьа (О).

о р)

< Докажем сначала, что множество ограниченных функций плотно в ¿а(О). Потом докажем, что любую ограниченную функцию можно приблизить по норме пространства ¿а)(О) бесконечно дифференцируемыми финитными функциями.

1. Пусть / € ¿а)(О). Нужно доказать, что существует последовательность ограниченных функций /^ такая, что

(У5> 0)(ЗДГо) ||/-/^||ьр)(п)<^ (УЛГ^ЛГо). (4)

Построим такую последовательность с помощью «срезок» /^ данной функции /:

, ,, //(X), I/(х)| « N (*)= 0, |/(х)| > N.

По определению класса имеем Нт£^0 е /п |/(ж)|р £[а(ж)]£ ^ж = 0. Следователь-

но,

1

(Зео>0) \е]м(х)\Р-е[а(х)]ебх\* * <5- (Уе^во), (5)

5

Тогда

II/ — /мИьр)(п) = 0 й<р I е I |/(ж)|а £[а(ж)]£ йЛ = тах{51,52}

0<£<р—1 I Ем )

где = {ж € О : |/(ж)| > N} и

51 (Ж)= вир \е [ |/(ж)|р—£[а(ж)]£¿ж

Ем '

52(Ж)= вир \е [ |/(ж)|а—£[а(ж)]£йж £0 <£<Р—1 J Ем

1

1£

1

1£

е0

Для 51 (Ж) в силу (5) и вложения Ем С О получим

1

51 (Ж) < вир <|е/ |/(ж)|а—£[а(ж)]£ йж<

0<£^£0 I У I

Для оценки величины 52 (Ж) воспользуемся неравенством Гёльдера с показателем г = £=£о>1:

а— £

{ 1 р(£-£О)

[■ I Р-£0 I г I (р-£о)(р-£)

/ |Дж)|р-£0[а(ж)]£0(й4 / [а(ж)]р (1х >

У У

Ем ^ Ем ^

1 Г /■ 1 Г /■ 1

< вир \!{х)\р-£0[а{х)]£0 (1х) < (р - Ш / |/(ж)|р"£о[а(ж)]£° (1х )

£0<£<р—1 У У

Ем Ем

Следовательно, существует натуральное число N0 такое, что

Ш)^8^ ^N>N0).

Таким образом,

11/-Ы1№)(п)<^ (У N ^ Щ),

что и требовалось доказать.

а)

2. Пусть теперь / — ограниченна я на О функция из (О). Следовательно, / € £(О, а£) для любого е € (0,р — 1). В силу плотности множества 60°(О) в £(О),

<7^1, можно выбрать функцию ср € Со°(Г2) такой, что ||/ — <^>\\ьр-£(п,аЕ) < 2(р-1) • Тогда

а \ ' 0<£<»-1 2

получим

„ 5

0<е<р-1

И, наконец,

||/ - (П) ^ ||/ - ^(П) + ||/м0 - И^П) < 6 >

3. Пространство Ф

Выделим в пространстве Шварца 5(К") подпространство

Ф = {ф : ф € (^ф)(0) =0, =0,1, 2... }

функций, исчезающих в начале координат вместе со всеми своими производными.

Рассмотрим теперь класс Ф, двойственный к Ф, состоящий из преобразований Фурье функций из Ф:

Ф = {( : ( = ф, ф € Ф}• Ф

функций, которые ортогональны многочленам:

J X ((ж) ^ж = 0, Л =0,1, 2,...

К"

Ф

Лебега ¿р(М"), 1 < р < то. В следующей теореме мы распространяем это утверждение на ¿а)(Кга).

Ф

^^угр^^ ^ ^щ^р^^грр^^^гр^^ .а (К") пространства

1 < р < то.

0 р)

< Пусть / € .а (К") и 6 > 0. Нужно показать, что существует последовательность функций € Ф такая, что для всякого 6 > 0 неравенство ||/ — ||гр)(ш>п) < 6 выпол-

Ьа (К )

няется при всех N больших некоторого N0.

о р)

Так как по лемме 2.6 множество С0°(М") плотно в ¿а (К"), то существует функция /о € С§°(М") такая, что

6

II/-/о 11^(к») < 2' /0 Ф

последовательность, рассуждая аналогично приведенным в [4, с. 22, 23] и [16, с. 42] рассуждениям. Для /о € С0 (К") рассмотрим последовательность функций

(М(ж) = /о(ж) - У к(*)/о(ж - т)

где к(£) — прообраз Фурье функции 1 - ^^|ж|) € Со°(М"), ^(г) = 1 при г ^ 2 Мг) = 0 при 0 ^ г ^ 1 и 0 ^ ^(г) ^ 1. Фуикц ии принадлежат к лассу Ф, и последовательность

} сходится по норме пространства £р(Мга), 1 < р < оо, к функции /0. Следовательно, существует номер N0, такой что

5

||/о " < _ ^ > ЛГо).

Переходя к норме в пространстве (Кп) и применив неравенство Гёльдера, получим

У/0 — УЬа)(кп) = 0<£<Р ^ е^ |/0(ж) — (ж)|а—£[а(ж)]£ йж

1

р-Е

0<£<p—1

" кп

< sup £р-£||/о -yjv||lp(r") < о' 0<£<p—1 2

что завершает доказательство. >

4. Приложение

Доказательство леммы 2.4. Воспользуемся схемой доказательства из [12]. Пусть {Д}, k = 1, 2,..., — последовательность Коши из LO^O), т. е. для любого 5 > 0 существует натуральное число N такое, что для всех k, m ^ N выполняется неравенство

IIД - /mllLP)(n) < 3-

Имеем

1 5

IIД - Дг II тр)/q\ = SUp £Р-= || Д - /m||Lp-e(n,o=) < о" ь° (п) 0<£<p—1 v ; 3

Следовательно, { Д} — последовательность Коши в пространстве Lp—£(Q, а£) для любого £ € (0,p — 1) и пусть / есть его предел в Lp—£(Q, а£).

Пусть k > N По определению супремума существует число £о, зависящее от k, 0 < £0(n) < p — 1, такое, что

— 5

ii/ - fk\\LP)(n) = sup £P-= II/ - fk\\LP-Hn,a-) < £q E° ii/ - л11ьр-ео(п,оео) + о • a( ) 0<£<p—1 3

Nl m > Nl

1

0

г

— /m||LP-£o(n,a£o) + ^

Поэтому

1

||f — /^|ЬР)(П) ^ £0 0 ||fm — Д Уьр—S0(n,oSo) 1 5 5 5 5

+£0 II fm - f\\bP-so(n,aso) + + o +

3 3 3 3

Таким образом,

||f — HbS>(п) <*

k>N

Автор выражает благодарность профессору С. Г. Самко за полезное обсуждение результатов работы и рецензенту за замечания к первоначальному тексту статьи.

Литература

1. Умархаджиев С. М. Ограниченность линейных операторов в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Вестн. АН Чеченской республики.—2013.—Т. 2, № 19.—С. 5-9.

2. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Изв. вузов. Математика.— 2011. Т. 4.—С. 42-51.

3. Умархаджиев С. М. Ограниченность потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Владикавк. мат. журн.—2014.—Т. 16, № 2.—С. 62-68.

4. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов-н/Д.: Изд-во РГУ, 1984.— 208 с.

5. Di Fratta G., Fiorenza A. A direct approach to the duality of grand and small Lebesgue spaces // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications—2009 —Vol. 70, № 7—P. 2582-2592.

6. Fiorenza A. Duality and reflexivity in grand Lebesgue spaces // Collect. Math.—2000.—Vol. 51, № 2.— P. 131-148.

7. Fiorenza A., Gupta В., and Jain P. The maximal theorem in weighted grand Lebesgue spaces // Stud. Math.—2008.—Vol. 188, № 2.-P. 123-133.

8. Fiorenza A. and Karadzhov G. E. Grand and small Lebesgue spaces and their analogs // J. Anal, and its Appl.—2004.—Vol. 23, № 4.-P. 657-681.

9. Fiorenza A. and Rakotoson J. M. Petits espaces de Lebesgue et leurs applications // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I.-2001.-Vol. ЗЗЗ.^Р. 1-4.

10. Greco L., Iwaniec Т., and Sbordone C. Inverting the p-harmonic operator // Manuscripta Math.— 1997,—Vol. 92.^P. 249-258.

11. Iwaniec T. and Sbordone C. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses I I Arch. Rational Mech. Annl. 1992. Vol. 119—P. 129-143.

12. Kokilashvili V. Weighted problems for operators of harmonic analysis in some Banach function spaces. Lecture course of Summer School and Workshop «Harmonic Analysis and Related Topics» (HART2010): Lisbon; [cited 2010 June 21 25|. ПЛ.: http://www.math.ist. utl.pt/hart2010/kokilash-vili.pdf.

13. Kokilashvili V. Boundedness criterion for the Cauchy singular integraloperator in weighted grand Lebesgue spaces and application to the Riemannproblem // Proc. A. Razmadze Math. Inst.^2009.^ Vol. 151.—P. 129-133.

14. Kokilashvili V. The Riemann boundary value problem for analytic functions in the frame ofgrand Lp) spaces I I Bull. Georgian Nat. Acad. Sci—2010—Vol. 4, № 1—P. 5-7.

15. Kokilashvili V. and Meskhi A. A note on the boundedness of the Hilberttransform in weighted grand Lebesgue spaces // Georgian Math. J—2009 —Vol. 16, № 3—P. 547-551.

16. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications.^London-N. Y.: Taylor & Francis, 2002.^ xvii+358 p.^(Ser. Analytical Methods and Special Functions; Vol. 5).

17. Samko S. G. and Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure // Azerb. J. Math—2011—Vol. 1, № 1—P. 67-84.

18. Samko S. G. and Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure: addendum // Azerb. J. Math.—2011—Vol. 1, № 2.—P. 143-144.

19. Umarkhadzhiev S. M. The boundedness of the Riesz potential operator from generalized grand Lebesgue spaces to generalized grand Morrey spaces // Operator Theory: Advances and Applications.^ Birkhauser: Basel, 2014,-Vol. 242.^P. 363-373.

20. Umarkhadzhiev S. M. A generalization concept of grand Lebesgue space // Russian Math. (Iz. VUZ).— 2014.—Vol. 58, № 4.-P. 35-43.

Статья поступила Ц декабря 20Ц г.

Умархаджиев Салаудин Мусаевич Академия наук Чеченской республики, заведующий отделом прикладной семиотики РОССИЯ, 364024, Грозный, пр. М. Эсамбаева, 13;

Чеченский государственный университет,

НИИ Математической физики и сейсмодинамики,

ведущий научный сотрудник

РОССИЯ, 364037, Грозный, ул. А. Шерипова, 32

E-mail: umsalaudin@gmail. com

DENSENESS OF THE LIZORKIN SPACE IN GRAND LEBESGUE SPACES

Umarkhadzhiev S. M.

Denseness of the Lizorkin space in some subspace of a grand Lebesgue space on an open set О С Rn is proved.

Key words: Grand Lebesgue space, Lizorkin space, denseness of infinitely differentiable functions.