CC BY
18
УДК 517.983 DOI 10.18522/0321-3005-2016-1-35-38
ОГРАНИЧЕННОСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА НА Rn
© 2016 г. С.М. Умархаджиев
Умархаджиев Салаудин Мусаевич - кандидат физико- Umarkhadzhiev Salaudin Musaevich - Candidate of Physical
математических наук, доцент, заведующий отделом приклад- and Mathematical Science, Associate Professor, Head of the
ной семиотики, Академия наук Чеченской Республики, пр. им. Applied Semiotics Department, Academy of Sciences of the
М. Эсамбаева, 13, г. Грозный, 364024, e-mail: umsa- Chechen Republic, Esambaev Ave, 13, Grozny, Chechen Re-
laudin@gmail.com public, 364024, Russia, e-mail: umsalaudin@gmail.com
Найдены условия на способ расширения классического пространства Лебега до гранд-пространства Лебега на множествах бесконечной меры, при которых максимальный оператор остается ограниченным в получаемом гранд-пространстве.
Ключевые слова: гранд-пространство Лебега, максимальный оператор, сублинейный оператор, интерполяционная теорема, ограниченный оператор.
The conditions on the way to expand the classical Lebesgue space to grand Lebesgue spaces on the set of infinite measure, under which the maximum operator remains limited in the resulting grand space.
Keywords: grand Lebesgue space, maximal operator, sublinear operator, interpolation theorem, bounded operator.
Ограниченность максимального оператора Хар-ди - Литтлвуда
М(х) = 8иРытЦ Я1(У
г >0 \В(Х,г) В(х,г)
в пространстве Лебега Ьр , 1 < р , хорошо известна (см., например, книгу И. Стейна [1, р. 1518]). Описание весов, допускающих ограниченность максимального оператора в пространстве Лебега с весом, также хорошо известно [2-4]: оператор М ограничен в весовом пространстве
Ьр тогда и только тогда, когда вес w при-
надлежит классу Макенхаупта Ар (см. определение класса Ар ниже).
Действие максимального оператора в гранд-пространствах Лебега на ограниченном множестве (пространствах Иванеца - Сбордоне) изучалось в [5-7].
В данной статье находятся условия расширения классического пространства Лебега до гранд-пространства Лебега на множестве бесконечной меры, при которых максимальный оператор остается ограниченным в получаемом гранд-пространстве. Мы основываемся на общем подходе к расширению пространства Лебега до гранд-пространств Лебега посредством введения в определение гранд-пространства малой степени весовой функции, что позволяет рассматривать гранд-пространства на множествах, которые могут иметь бесконечную ме-
ру. Указанная весовая функция достаточно произвольна, и ее выбор может определяться решаемой задачей. Такой подход к построению гранд-пространств развивался в работах [8-13].
Вспомогательные сведения и утверждения
Следующая теорема известна как интерполяционная теорема Рисса - Торина - Стейна - Вейса с изменением меры [14, 15]. Мы формулируем ее в весовых терминах.
Те°рема L Пусть pk, qk e[l, да); vk, wk -веса на О, k = l, 2; T - сублинейный оператор,
определенный на LPl (О, wi)^LP2 (О, w2).
Если T: LPl (О, w1)a Lqi (О, v1) с нормой K1
и T: LP2 (О, w2)a Lq2 (О,v2) с нормой K2 ,
то T: LPt (О, wt)a Lq' (О,vt) с нормой K < k1~'k'2, где
t + 1 _1 -1 t Pt Pi P2' qt qi q2'
(l-t)Il tPL (l-tq tb-wt = w Pi WP2 , vt = v qi v1q2, 0 < t < i.
Нам понадобится вспомогательная лемма о свойствах весов Макенхаупта — весов, удовлетворяющих Ap -условию: существует число C > 0 такое, что
Q Qwdx
\p-1
1--
Л f w p-1dx
< C , 1 < p <X ,
для всех кубов Q с Я" с рёбрами, параллельными осям координат;
А» = У Ар . (1)
р >1
Лемма 1. Пусть w - вес на Я" и 1 < р <». Если существует V > 0 такое, что wv е Ар, то существует 8 > 0 такое, что w8 е А(1_8)р.
Доказательство. В силу свойств весов Макен-хаупта из того, что wv е Ар, следует, что существует е > 0 такое, что wv е Ар_Е . Если е > vp, то р _е<(1 _v)p , из чего следует (1). В случае, когда е < vp , воспользовавшись тем, что wav е Ар_е для
любого а е (0,1), возьмем а = — и 8 = av .
vp
Лемма доказана.
Гранд-пространства Ь^ е(о) и Ь p), е(о)
Пусть О - открытое подмножество пространства Я" ; w - вес на О , т.е. неотрицательная локально интегрируемая функция, определенная и неравная нулю почти всюду на О. Весовые пространства Лебега Ьр (О, w) определяются нормой
\\А\ьр (о^)=|/ I / (х) р р, 1 < р < ».
При w = 1 мы пишем Ьр (о) .
Гранд-пространства Лебега (пространства Ива-неца - Сбордоне) е(о), е > 0, по ограниченному множеству Ос Я" определяются нормой
:= sup 5
0<5< p-1
p-51
ILp-5(Q,a5 p ) •
M5(/)=S p9 j|/(x)| p-5 a{xfpd* , 0 <8< p-1.
Q
Обозначим через Lpp>'6(q) множество функций /, для которых
sup Mg(/)<rc,
0<5< p-1
и введем на нем норму по формуле
1
IHU9(q) := SUP lM*(f . (2)
Lp (Q) 0<5< p-1 Полученное банахово пространство называем гранд-пространством Лебега Lp^ S(q). Отметим, что
М/ м pi5/ p).
(3)
Суть подхода, позволяющего ввести гранд-пространства Лебега на множествах произвольной (неограниченной) меры, состоит в следующем. Пусть О — произвольное измеримое подмножество
пространства Я"; а — вес на О , 1 < р <» и е> 0.
Для локально интегрируемой функции / введем в
рассмотрение модуля р
Отметим также эквивалентность sup [м5(/)]p-5 « sup 5е||/||,Р-5(а «Р)
0<5<p-1 0<5<p-1 L \Q,a )
и то, что при а = 1 равенство (3) задает норму только в случае ограниченного множества Q, и при этом Lp)' e(Q)= Lp)' ep (q).
Гранд-пространство Лебега LPph e(Q) является расширением классического пространства Лебега Lp (Q), 1 < p < x, тогда и только тогда, когда
а £ L1 (Q) •
Как известно, гранд-пространства несепара-бельны, и замыкание гладких функций по норме
пространства LPph e(Q) дает собственное подпространство в Llp>'e(Q), определяемое дополнительным условием
lim M5(/) = 0 •
5^0
Это подпространство будем обозначать
L ^ e(Q) •
Соотношения между классическими пространствами и гранд-пространствами Лебега приведены в лемме 2.
Лемма 2. Пусть p > 1. Если а £ iL (q) , то имеют
место непрерывное вложение
о N „
Lp(Q)a Lp)' e(Q), e> 0 , и цепочка вложений
L p(q)C L p)'e(Q) с L p)'e(Q) с L p-5Q a5P ),
0 <5 < p-1, e > 0 .
1
Ограниченность максимального оператора
Основным утверждением данной статьи является Теорема 2. Пусть 1 < p , 6> 0, a - вес на
Rn и a е L1 (о) . Если существует число v> 0 такое, что av е Ap , то максимальный оператор M ограничен: 1) в гранд-пространстве LP'^ eRn);
p), е
(Rn).
2) в гранд-пространстве Ь
Доказательство. Сначала получим вспомогательную оценку для нормы максимального оператора в некотором классическом весовом пространстве Лебега.
В силу леммы 1 существует число X е I 0, —
I Р'
такое, что
A(i-X)p.
(4)
Возьмем число р0 таким, чтобы Р Р0 = X, т.е.
Р
Ро = р(1_ X) и ро е (1, р). Тогда условие (4) при-
Р - Ро
нимает вид a p е A^ , и в силу теоремы Макенхаупта мы придем к ограниченности оператора M
(
в весовом пространстве LPo
Р - Ро
Rn, a p
. Кроме
того, оператор М ограничен и в безвесовом пространстве Ьр). Следовательно, воспользовавшись интерполяционной теоремой 1, получим
\Mf\\
Lpt
Än
,a
Lpt
Än
, a
1 1 -1 t n где — =--1--, 0 < t < 1, и константа C не за-
pt p Po
висит от функции f . Эта оценка в силу (2) равносильна
M5(Mf)< CM5(f), (5)
где 8 = p - pt и 5 е (0, p - p0 ).
Теперь перейдем к доказательству утверждения 1) теоремы. Имеем
1
\MA\l p),e(Rn) = sup [M5 (f)]p-8 = max {A, Б],
0<8<p-1
где
A = sup [M5 (f)] p-8
B = sup [М5 (/)Jp-5 .
P-P0 <S< P-1
Оценка величины A . В силу оценки (5) получаем
A < C sup [M5(/-)]pb< C||/|| ),e(Rn).
0<5<P-P0 La \R )
Оценка величины B . Воспользовавшись неравен-
ством Гёльдера с показателем
po p -8 1 1
>1, получим
Б < sup 8
p-po <8<p-1
pe
p-8|U |p-8 ,po
(Rn)
[M8(Mf )]p-5<
< (p - 1)pe max
1, INI ,po\
11 "l1 (Rn)
• A .
o<5<p-po
Объединяя оценки для A и B , получим утверждение 1) теоремы.
Утверждение 2) вытекает из 1) и неравенства (5). Теорема доказана.
Автор выражает благодарность профессору С.Г. Самко за полезное обсуждение результатов работы.
Литература
1. Stein I.M. Singular Integrals and Differentiability Properties
of Functions. Princeton, 1970. 304 p.
2. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy
maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 165. P. 207-226.
3. Duoandikoetxea J. Fourier Analysis // Amer. Math. Soc.
2001. Vol. 29.
4. Garcia-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted norm
inequalities and related topics. Amsterdam, 1985.
5. Fiorenza A., Gupta B., Jain P. The maximal theorem in
weighted grand Lebesgue spaces // Studia Math. 2008. Vol. 188 (2). Р. 123-133.
6. Kokilashvili V. Boundedness criteria for singular integrals in
weighted Grand Lebesgue spaces // J. Math. Sci. 2010. Vol. 170 (1). Р. 20-33.
7. Kokilashvili V., Meskhi A. Trace inequalities for fractional
integrals in grand Lebesgue spaces // Studia Math. 2012. Vol. 210 (2). Р. 159-176.
8. Samko S.G., Umarkhadzhiev S.M. On Iwaniec-Sbordone
spaces on sets which may have infinite measure // Azerb. J. Math. 2011. Vol. 1(1). Р. 67-84.
9. Samko S.G., Umarkhadzhiev S.M. On Iwaniec-Sbordone
spaces on sets which may have infinite measure: addendum // Azerb. J. Math. 2011. Vol. 1(2). Р. 143-144.
10. Умархаджиев С.М. Ограниченность линейных операто-
ров в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Вестн. Академии наук Чеченской Республики. 2013. T. 19(2). С. 5-9.
11. Умархаджиев С.М. Обобщение понятия гранд-
пространства Лебега // Изв. вузов. Математика. 2014. № 4. С. 42-51.
p- pt
p-pt
12. Умархаджиев С.М. Ограниченность потенциала Рисса в
весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Владикавк. мат. журн. 2014. Вып. 16 (2). С. 62-68.
13. Umarkhadzhiev S.M. The Boundedness of the Riesz Poten-
tial Operator from Generalized Grand Lebesgue Spaces to Generalized Grand Morrey Spaces // Operator Theory: Advances and Applications. 2014. Vol. 242. Р. 363-373.
14. Bergh J., Lofstrom J. Interpolation spaces. An Introduction.
Berlin, 1976.
15. Stein E.M., Weiss G. Interpolation of operators with change
of measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. Vol. 87. Р. 159-172.
References
1. Stein I.M. Singular integrals and differentiability properties
of functions. Princeton, 1970, 304 p.
2. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy
maximal function. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 165, pp. 207-226.
3. Duoandikoetxea J. Fourier Analysis. Amer. Math. Soc.,
2001, vol. 29.
4. Garcia-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted norm
inequalities and related topics. Amsterdam, 1985.
5. Fiorenza A., Gupta B., Jain P. The maximal theorem in
weighted grand Lebesgue spaces. Studia Math., 2008, vol. 188 (2), pp. 123-133.
6. Kokilashvili V. Boundedness criteria for singular integrals
in weighted Grand Lebesgue spaces. J. Math. Sci., 2010, vol. 170 (1), pp. 20-33.
Поступила в редакцию
7. Kokilashvili V., Meskhi A. Trace inequalities for fractional
integrals in grand Lebesgue spaces. Studia Math., 2012, vol. 210 (2), pp. 159-176.
8. Samko S.G., Umarkhadzhiev S.M. On Iwaniec-Sbordone
spaces on sets which may have infinite measure. Azerb. J. Math., 2011, vol. 1(1), pp. 67-84.
9. Samko S.G., Umarkhadzhiev S.M. On Iwaniec-Sbordone
spaces on sets which may have infinite measure: addendum. Azerb. J. Math., 2011, vol. 1(2), pp. 143-144.
10. Umarkhadzhiev S.M. Ogranichennost' lineinykh operatorov
v vesovykh obobshchennykh grand-prostranstvakh Lebega [Bounded linear operators in weighted generalized grand Lebesgue spaces]. Vestn. Akademii nauk Chechenskoi Respubliki, 2013, vol. 19 (2), pp. 5-9.
11. Umarkhadzhiev S.M. Obobshchenie ponyatiya grand-
prostranstva Lebega [The generalization of the concept of grand Lebesgue spaces]. Izv. vuzov. Matematika, 2014, no 4, pp. 42-51.
12. Umarkhadzhiev S.M. Ogranichennost' potentsiala Rissa v
vesovykh obobshchennykh grand-prostranstvakh Lebega [Capacity constraints Rice in weighted Lebesgue generalized grand spaces]. Vladikavk. mat. zhurn., 2014, vol. 16(2), pp. 62-68.
13. Umarkhadzhiev S.M. The boundedness of the Riesz poten-
tial operator from generalized grand Lebesgue spaces to generalized grand Morrey spaces. Operator Theory: Advances and Applications, 2014, vol. 242, pp. 363-373.
14. Bergh J., Lofstrom J. Interpolation spaces. An Introduction.
Berlin, 1976.
15. Stein E.M., Weiss G. Interpolation of operators with change
of measures. Trans. Amer. Math. Soc., 1958, vol. 87, pp. 159-172.
18 ноября 2015 г.
