Односторонние интегральные операторы с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 3, С. 70-82

УДК 517.982, 517.983

ОДНОСТОРОННИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ В ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

С. М. Умархаджиев

Посвящается 80-летию со дня рождения профессора А. Б. Шаба,та

Получены достаточные и необходимые условия на ядро и грандизатор для ограниченности односторонних интегральных операторов с однородными ядрами в гранд-пространствах Лебега на и К", а также получены двусторонние оценки гранд-норм таких операторов. Кроме того, в случае радиального ядра получены двусторонние оценки для норм многомерных операторов в терминах сферических средних и показано, что этот результат сильнее, чем неравенства для норм операторов с нерадиальным ядром.

Ключевые слова: односторонний интегральный оператор, оператор с однородными ядрами, гранд-пространство Лебега, двусторонние оценки, сферические средние.

1. Введение

Мы рассматриваем многомерные интегральные операторы

К-/(ж):= У К-(ж,у)/(у) ¿у, К+/ (ж):= У К +(ж,у)/(у) ¿у, ж £ Ж", п ^ 2, |укм м>м

с ядрами К-(ж,у) и К + (ж, у) однородными степени —п, а при п = 1 — их версии для полуоси:

x со

К-/(ж) := У К- (ж, у)/(у) ¿у, К+/(ж) := у К +(ж, у)/(у) ¿у, ж £ М+,

0 х

в гранд-пространствах Ь^М") и соответственно.

Гранд-пространства Лебега 1 < р < го, по ограниченному множеству ^ С Ж"

ввели Т. 1\уашес и С. ЭЬогёопе [6] в связи с приложениями в дифференциальных уравнениях. Операторы гармонического анализа интенсивно исследовались в таких пространствах и они продолжают привлекать внимание исследователей в связи с различными их приложениями. Некоторые из этих результатов отражены в книгах [8] и [9].

В статьях [3, 11, 12] предложен подход, позволяющий ввести гранд-пространства Лебега ^(Ю), 1 < р < го, на множествах ^ С Ж" не обязательно конечной меры. Этот

© 2017 Умархаджиев С. М.

подход основан на введении в норму гранд-пространства малой степени неотрицательной функции a(x) (см. (1)). Эту функцию, определяющую гранд-пространство Lp)(fi), называем грандизатором. Такие гранд-пространства LPa (fi) и действия в них некоторых операторов гармонического анализа исследовались в работах [2, 4, 5, 15]. Предложенные в этих работах подходы позволили рассматривать в гранд-пространствах такие операторы, как потенциал Рисса, операторы Харди и др. В работе [13] были найдены условия на грандизатор a(x), обеспечивающие справедливость теоремы Соболева для потенциала Рисса в гранд-пространствах L^R"), и исследовано их взаимодействие с гиперсингулярными интегралами (см. [10] относительно гиперсингулярных интегралов).

Интерес к интегральным операторам с однородными ядрами связан с тем, что класс таких операторов содержит огромное количество разнообразных классических операторов, возникающих в приложениях, например, операторы Харди, оператор Гильберта, весовые потенциалы Рисса, мажоранты коммутантов сингулярных операторов Кальде-рона — Зигмунда со степенными весами и многие другие.

a

щие ограниченность односторонних интегралных операторов одномерных с однородными ядрами степени — 1 и многомерных с радиальными однородными ядрами степени — n в гранд-пространствах Лебега, а также получены оценки сверху их норм. Основные результаты содержатся в теореме 3.1 в одномерном случае, в теореме 4.4 в случае радиального грандизатора и в теореме 4.5 в случае нерадиального грандизатора.

Обозначения. R" — n-мерное евклидово пространство, R+ = (0, то); Sn-1 — единичная сфера в R" с центром в начале координат, |Sn-1| — ее площадь; Sn-1 = {x G R" :

n

|ж| = 1}, IS™"1! = f^fy; B(xo,r) — шар в R™ радиуса г с центром в точке жо; р' =

2. Предварительные сведения 2.1. Гранд-пространства Лебега. Обозначим Lp(fi,w) := {/ : || / ||Lp(n,w) < то} ,

где

1

V

II/IlLP(n,w) = | I |/(x)lpw(x) dx \n

В случае w = 1 будем писать Lp(fi,w) = Lp(fi).

Следуя работе [3], определяем гранд-пространства Лебега на множествах fi произвольной (не обязательно конечной) меры равенством

:= {/ : ||/||L?(n) := ^\\f\\<оо], 1<р<оо, (1)

где a(x) — произвольная измеримая неотрицательная функция на fi, которую мы называем грандизатором. Выбор грандизатора для определения гранд-пространства может диктоваться задачами для исследования таких пространств. В работах [3, 11, 12] предполагалось, что a G L1 (fi), что гарантирует вложение Lp(fi) ^ L1a)(fi). В данной статье мы имеем дело с fi = R+ или fi = R" и при рассмотрении операторов с однородными ядрами мы находим удобным не обязательно предполагать интегрируемость грандизатора в начале координат и на бесконечности, но всегда предполагаем его локальную интегрируемость вне начала координат:

a(x) G L1(B5N) для любых 0 < ô < N < то,

где Д^ = {ж : 6 < |ж| < N}, с заменой слоя на интервал (6, N) в одномерном случае.

Определенное таким образом гранд-пространство зависит, вообще говоря, от выбора грапдизатора, хотя разный выбор грандизаторов может привести к одному и тому же гранд-пространству (см. [14]).

При а £ Ь1 (П) имеет место цепочка вложений

ЬР(П) ^ ^ Ьр~Е1(П,а^) ^ 0 < в! < е2 < р - 1. (2)

Замечание 2.1. При обычно используемом определении гранд-пространства Лебега на ограниченных множествах с а(ж) = 1 всегда справедливо вложение ЬР(П) ^ Ьр)(П), т. е. в этом смысле гранд-пространство является расширением классического пространства Лебега. Согласно (2), аналогичное вложение на множествах бесконечной меры гарантируется условием а £ Ь1 (П). Это условие часто предполагается при рассмотрении гранд-пространств на неограниченных множествах (см., например, [3, 13]), хотя гранд-пространства на таких множествах могут рассматриваться и без этого условия.

Пусть а(ж) — положительная всюду конечная на полуоси Ж+ функция. Функцию

аМ) = яир . . (3)

х>о а(ж)

а

жений:

(ао) Если функция ж7а(ж), 7 £ Ж, не возрастает на М+, то а*(£) ^ для £ > 1.

(Ьо) Если функция ж7а(ж), 7 £ Ж, не убывает на то а*(£) ^ Для ^ < 1-

Пример 2.1. Для функции а(ж) = ж"

"л(1 + ж)л-7, А,7 £ Ж, ж £ Ж+, имеем

_л (1 + ¿ж\л-7 IV тах{л'7>, 0 <4 ^ 1, аЛ')=Г 11Ро{—) ¿>1.

2.2. Об операторах с однородными ядрами. Будем рассматривать одномерные операторы К в предположении однородности ядра К (ж, у) степени —1 и многомерные операторы К в следующих предположениях на ядро К (ж, у):

(а1) К (ж, у) однородно степени —п;

(61) К (ж, у) инвариантно относительно вращений К (ш(ж),ш(у)) = К (ж, у), где ш — произвольное вращение в

В книге [7, с. 69] доказано, что интегралы

I \Ж(а,у)\\у\-иу, а £ й"7--1, я"

! \Х{у,в)\\у\~% йу, в £ Бп~1, О <р^оо,

я"

при условиях (а1) и (61) те зависят от а £ 5га-1 и в £ 5га-1 соответственно и

Г п Г п , Г)

/ К(а,у)||уГ^у= / К(у,0)||у| *>с1у, р' =

р — 1

я" я"

Легко видеть, что в рассматриваем случае

/п { I i —Л.

\,^-(а,у)\\у\-р(1у= у \Ж~(у,в)\\у\ р' с1у. (4)

Ы^М М^М"1

Мы будем пользоваться обозначениями

со 1

:= J\,Ж~(1,у)\ у~р <1у, ■.= J\,Ж+(у,1)\у р' <1у, п = 1. 1 0

Для удобства изложения материла статьи в случае радиальных ядер:

К-(х,у) = к-(|х|, |у|), К+(х,у) = к+(|х|, |у|), и в одномерном случае введем две функции

1 со

01

Отметим, что к-(1) = к- и к+(1) = к+.

3. Одномерный случай

Обозначим

с (а) := sup I (ж,1)|ж (р-£У а^(х)р(р-ЕЫх, 0<£<p-\J 1

1

с+(а) := sup / |jf+ (ж, 1)|ж (р-£У dx.

0<£<p—1 J 0

Теорема 3.1. Пусть 1 < p < ж, функции K— (ж,y) и K+ (x,y) однородны степени —1 и a — гранднзатор на R+.

I. Если выполнены условия c—(a) < ж и c+(a) < ж, то операторы K— и K + соответственно ограничены в гранд-пространстве Лебега L1a)(R+), при этом

IK—) < c— (a), \\K +yLa)(R+) < c+(a). (5)

II. Если xYa(x) не возрастает на R+ для некоторого 7 G R такого, что к— (min{1,7}) < ж, то \\K— \\ тР)ш ч ^ к— (min{1,7}). Если жх a(x) не убывает на R+ для некотор ого A G R

такого, что K+(max{1, A}) < ж, то \\K + \LP)(R ) ^ к

+ (max{1, A}).

III. Пусть a G L^R+). Если K— (x, y) ^ 0 в случае оператора K— и K +(x, y) ^ 0 в случае оператора Kто условия к— < ж и < ж необходимы для ограниченности операторов K— и K + соответственно в гранд-пространстве L^(R+) и при этом

к— < I|K — IIlS)(R+), < \\K +\lS)(r+). (ß)

1

IV. В случае грандизатора а(ж) = ж-л (1 + ж)л-7, А, 7 £ Ж, условия к- (тш{1, А, 7}) < го и к+ (тах{1,А, 7}) < го достаточны, при К-(ж,у) ^ 0 и К + (ж, у) ^ 0 условия к-(тах{1,А}) < го и к+(тт{1,7}) < го необходимы для ограниченности операторов К-и К + соответственно в гранд-пространстве Ьр)(Ж+) и при этом справедливы оценки

К (тах{1,А}) ^ ||К ||iS)(R+) < (min{l,A,7}),

(min{1,7}) < ||К +|iS)(R+) < к+(тах{1,А,7}).

(7)

(8)

В частности, при А = 7 = 1 K (x, y) ^ 0 ж K + (x,y) ^ О операторы К и К + ограничены в гранд-пространстве Lp)(M+) тогда и только тогда, когда

к < го ж К+ < го

соответственно, при этом ||К || р) = к и ||К +1| Р),

= к+.

< I. Докажем первое неравенство в (5), второе доказывается аналогично. Так как о1

К"/(x) = /d K"(1,t)/(xt) dt, то силу неравенства Минковского в Lp 6 получим

1

р-е

>of) < / |JT-(l,i)| <( / |/(ty)rea(y)i dy J> dt

1

1

p-e

0

1 ( t»

1

= J l J \f(x)\p~ea(x)p

0 10

1 K

°(f)

a(x)

1

p-E

dx > dt

1

___ OO ^

< J \Jr~(l,t)\r^a* (j)^^ diW |/(ж)|р"еа(ж)р dx 0 10

После инверсии в первом интеграле можно получить доказываемое неравенство.

II. Докажем оценку для ||К- Ц^?)^ у В силу свойства растяжения (ао) имеем а*(4) ^ 4 -7 при 4 ^ 1. Поэтому

после чего требуемая оценка получается прямым вычислением интеграла и нахождением максимума.

Оценка для ||К +Hlp)(r ) получается аналогично.

К-

ство функций в виде

, , \ I х~р+5, 0 < ж ^ 1,

Л(x) =

0,

X > 1.

Так как /5 G Lp(M+) и a G L^R^, то /5 G Lp)(M+) в силу (2). Из ограниченности оператора К" в гранд-пространстве Lp)(M+) следует, что он определен на функции /5.

1

p

1

При х < 1 имеем

1

К/(х) = У К-(1,/(х4) ^ ^ кр(5)/5(х),

где кр(5) = /д К (1,4)/(4) Следовательно,

0

ЦК/1| гР)

Остается перейти к пределу при 5 ^ 0 под знаком интеграла, определяющего кр(5), что обосновывается теоремой Леви.

Оценка нормы оператора К + доказывается аналогично.

IV. Правые оценки в (7) и в (8) получается из (5) непосредственными вычислениями с учетом того, что в этом случае справедливо равенство (см. пример 2.1)

( ) Г шах{^>7}, о <4 < 1,

(1* = | тмл>7}, ¿> 1.

Получим оценку снизу нормы ЦК-Ц^р)(К )• Возьмем минимизирующее семейство функций в виде

„ , х [х-^+5, 0 < х < 1, /5(х) = Г

10, х > 1,

где 5 > 0, V = 1 — тах^;1'Л) _ Имеем

1

{1 ^ ~в

Г йх

О

Отсюда простыми рассуждениями получаем, что / € .а)(М+)- Оценим Кпоточечно снизу. Имеем при 0 < х ^ 1

К(х) = I К-(1,/(х4) ^ = К-(М)Г*+5

= /(х) J К-(М)Г*+5 ^ ^ /(х) J К-(М)Г*+5 о о

Отсюда получаем

ЦК-/зЦгр)(к ,) 1 > и/ и > / ^"(МГ^-

'¿а (К+)

11 ""'¿а (к+)

Чтобы получить оценку снизу для ЦК-ЦгР)(к ) остается перейти к пределу при 5 ^ 0.

¿а (к+)

Предельный переход под знаком интеграла возможен в силу теоремы Леви.

1

1

Оценка снизу для ||К ) получается аналогично посредством функции

/5 (ж) = , 0 <ж < 1,

' [ж-^-5, ж> 1,

где 5 > 0, р = 1 — . >

4. Многомерный случай

4.1. Случай радиального ядра. Оценки через сферические средние. В этом пункте мы рассмотрим случай радильных ядер к-(|ж|, |у|) и к+(|ж|, |у|). В этом случае мы получим утверждение более сильное, чем просто ограниченность операторов К- и К + в гранд-пространстве. Именно, мы получим оценки для норм ||К-/1| т?)ш^ и ||К+/1| т?)ш через сферические средние

я"-1 /

а

А(р) ■= У (Ар°)(1(т, рем+.

я"-1

Многомерные оператор К- и К + сводятся к одномерным операторам К- и К + с ядрами и по формулам

К-/(ж) = К(|ж|), К+/(ж) = (|ж|), (9)

где (р,г) = |5га-1|р"-1 к-(р, г) и /+(р,г) = |5га-1|рга-1к+(р,г), что позволит воспользоваться результатами для одномерного случая на основании доказываемой ниже леммы 4.1. Отметим следующие следствия из неравенства Несена:

У а(ра)л йа < |5га-1|А(р)л, 0 <А< 1, (10)

я"-1

1

я"- 1

(11)

Лемма 4.1. Справедливы неравенства

где

1К-/ И^«") < ИК^ Ц(«+), ^К+/И^Л«") < Н*^Ц)(«+У (12)

СЮ сю

К(р) = У &-(р,г)^(г) йг, (р) = У &+(р,г)^(г) йг,

о о

~ I 1 12. 1 ~ I 111

^(р) = 5я"1 ЖР) = Р ЖР),

_11 / i _ ~ I _i I / i J_\ra_1 ,

к (p,r) = \Sn \{рргр'\ к (p,r), k+{p,r) = \Sn \[рргр'\ к+{р,г). < Согласно (9) имеем

со

J \К~ f(x)\p~£a(x)p dx = j pn-1\R-F{p)\p~e J a(p£)p d£dp.

Rn 0 Sn-1

Тогда в силу (10)

со

f \K-f(x)\p~ea(x)pdx < Is™"1! /pra-1|K-F(p)|p"eA(p)p dp.

Отсюда прямыми преобразованиями приходим к первому неравенству в (12). Второе неравенство доказывается аналогично. >

/

La)(Rn) ^ II/HLp)(Kn)>

где А(ж) := |gn-i| /s,n_1 а(1ж1сг) d<7.

< Для доказательства достаточно в левой части применить неравенство (10), перейдя к полярным координатам. >

Следующая лемма доказывается аналогично с помощью неравенства (11).

Лемма 4.3. Пусть A (ж) = А(|ж|). Тогда

||F ^ (Rn) < У/^(Rn), (13)

где := JSn-i /(|ж|сг) da.

В следующей теореме мы рассматриваем неравенства вида

IK-/lLa)(Rn) < C -|IF II^ (Rn), IK+/ILa)(Rn) < C + IIF II^ (Rn)' (14)

где F(ж) = F(|ж|), a — произвольный грандизатор на сферическая средняя которого равна функции A(ж) = А(|ж|), а также даем оценки снизу и сверху для наилучших констант C- и C+ в (14). Обозначим

со

d~(A) := \Sn~l\ sup [\k~ (i,l)| dt,

0<e<p-lJ 1

1

d+(A) := \Sn~l\ sup [ |A;+(i,l)| A^t)^) dt, 0<£<p-1J 0

со 1

/— I — —1 -I- f I 4- I — —1

A; {l,y)\yp' dy, ^ := \k+(y,l)\yp dy. 10

Теорема 4.1. Пусть 1 < p < го, А(|ж|) — грандизатор на Ж", функции к-(|ж|, |y|) и к+(|ж|, |y|) однородны степени —n.

I. Если d-(A) < го, d+(A) < го, то неравенства (14) выполняются с C- = d- (A) и C + = d+ (A) соответственно.

II. Если A(t) не возрастает на Ж+ для некоторого y G Ж такого, что к- (min{n, 7}) < го, то C- ^ |S"-1 |к—(min{n, 7}). Если ¿л A(t) не убывает на Ж+ для некотор ого А G Ж такого, что K+(max{n, А}) < го, то C + ^ |S"-1 |к+(тах{п, А}).

III. Если A G L1(R") и k-(|x|, |y|) ^ 0 к+(|ж|, |y|) ^ 0, то условия к- < го, к+ < го необходимы для ограниченности операторов K- и K- соответственно в гранд-пространстве Lp)(R+). При этом для наилучших констант в неравенствах (14) справедливы оценки

| S"-11 к- < C-, | S"-11 к+ < C+. (15)

IV. При а(ж) = |ж|-л(1 + |ж|)л"7, А, y G Ж, и неотрицательных ядер наилучшие константы в (14) удовлетворяют неравенствам

|S"-1 |к- (max{n, А}) < C- < |Sra-1 |K-(min{n,A,7}), (16)

|S"-1|K+(min{n,Y}) < C+ < |S""_1 |K+(max{n, А, 7}). (17)

В частности, при А = 7 = n имеют место равенства

C - = | S | к- , C + = | S | к+.

< Доказательство теоремы подготовлено леммой 4.1. Применяя теорему 3.1 в правых частях неравенств (12), после ряда простых преобразований получаем утверждение теоремы в достаточной части.

Для получения оценок норм снизу в пунктах III и IV неравенства (12) неприменимы. Но мы воспользуемся тем, что на радиальных функциях неравенства (10) и (11), а следовательно, и неравенства (12), превращаются в равенства.

Получим первую оценку из (15). Рассмотрим минимизующую функцию

iN"t+5, o<M<i,

/5(ж) = \0, |ж| > 1,

где § > 0. Очевидно /5 G Lp(Rra) и, следовательно, в силу включения A G L1(Wl), /5 G La)(R"')• Ввиду радиальности /5 имеем

llK-/5 IIlA)(R") = ||KЦ(к+) ,

~ ~ -, ^ 1 n—1

где A(p) = \Sn-l\pn-lA{p), Fs(p) = f5(pa) da = \Sn~l\vp~ f5(p).

Воспользовавшись первым из неравенств (6), после несложных преобразований получим

HK "/5 IL^Rn) ^ K-||F5 |Ц(К+) = |Sra_1 КУЛ llip) (Rn).

Тем самым первое из неравенств (15) доказано. Второе получается аналогично посредством функции

ff^_f0, 0 < |ж| < 1,

J5\x) — \ , 1-^-5 . .__

I |ж| Р , |ж| > 1,

где § > 0.

Доказательство неравенств (16) и (17) аналогично доказательству неравенств (7) и (8). >

4.2. Общий случай. Обозначим

i 1

K/p I j ~ dxj

J \x\p

|x|<1

£

■ / ч f [a* (|ж|)Н^> [a) := sup / \Jt (ж,ei) - n —ax.

n

0<£<P-1 J ' ' \x\ (p-£)

|x|>1 1 1

Заметим, что t (a) ^ f, ,>1 (ж,ei)|max^ [а*(|ж|)]г/ ,—— dx, что получается вы-

1 |ж|~ '

числением 1— п —.

р \х\^У

Теорема 4.2. Пусть 1 < р < ж, а = а(|х|), ядро К-(х,у) однородно степени — п и инвариантно относительно вращений. Если ¿-(а) < ж, то оператор К- ограничен в гранд-пространстве .^(М™) и

ЦК-Цьа)(Кп) < ^-(а). (18)

Если К -(х, у) ^ 0 ж а € .1 (Мга), то у слов ие к- < ж необходимо для такой ограниченности и

к- < ЦК-цьр)(К"). ^

< Оценим \\К~сверху. Для этого представим К~/(х) в виде

\а(Ы)р/ \а(|ж|)г> /

Применяя неравенство Гёльдера, получим

1

|К"/(ж)К{Д}7

/ ( ^М^ ] |/(j/)|«dj/

\а(1ж1)р/

1

£ \ — - q

где А = ^у!^! \у\ 4 (х,у)\ ^ ^у_ Заменив д в выражении для А на р — е

сделав замену подобия у ^ |х|у, получим

и

п

М<1

В последнем интеграле сделаем замену вращения у = oj(z), при котором ш{е\) = -щ, где в1 = (1, 0,... , 0), и воспользуемся неравенством

a(t) (1 \

sup ——- ^ a* — , ж > 0,

t<1 а(ж£) \ж)

ь

и инвариантностью функции К относительно вращений:

п I п | |

Д<м J \у\ Р~Е (е\,у)

р(р-е)

йу.

Сделав в интеграле преобразование инверсии, получим А ^ |ж| р~£1е (а), где

£

4"(а):= [ \Ж~{х,е{)\

п

\х\(г>-£)

Таким образом, получаем

|К-/(ж)| <

_п_

(р-£)(Р-£)7

!уКМ

<\У\) ,а(1ж1)

» \ <

I/(у)!Р-£ йу

1

р-е

Далее, имеем

__п

|ж| О-*)' |^Г~(ж,у)|

!уКМ

а(\у\)]

(р-е)'

1

р-е

а(\х\)рёхёу

1

р-е

=[¿7 (а)] (р-У { I \!{у)\р~е\у\^-ЕУ а(\у\)^-У ! |ж| о»-*)' у)|а(|ж|)р(г>-£) <1х<1у

После замены ж ^ |у|ж и вращения во внутреннем интеграле, получим

X J \х\ (Р-£У \Ж (ж,е1)|а(|ж||у|)г,(г,-£)сгж

1

р-е

= [£-(а)] <*-*)'{ / |/(у)Г£а(|у|)^у х J |ж| &>->' \ЛГ~(х, е1)|

£

/а(|ж||у|)\ \ а(\у\) )

1

р-е

^ж

1

р-е

Отсюда с учетом (1), приходим к (18).

ь

а

1

1

71

1

П

1

X

1

£

п

п

£

1

£

п

1

п

1

п

1

Для доказательства оценки снизу в (19) возьмем минимизирующее семейство функций в виде /5 (ж) = |ж|"р+5(1 + |ж|)"25. Так как /5 £ £Р(МП) и а € Ь1{Жп), то /5 £ в силу (2). Из ограниченности оператора К- в гранд-пространстве следует, что

он определен на функции /5. Имеем

К/(ж)= / К-(в1 ,у/(|ж|у) йу. М<1

Легко проверить, что /5(жу) ^ /5(ж)/5(у). Тогда

К—/5(ж) ^ к-(5)/5(ж), где к- (5) = /|у|<1 К-(е1 , у)/(у) йу. Следовательно,

||K f5 llLP)(Rn)

in ll/5ll,

Остается перейти к пределу при 5 ^ 0 под знаком интеграла, определяющего кр (5), что обосновывается теоремой Леви. >

Аналогичное утверждение справедливо и для оператора К + с заменой к— и (а) на

/р — j ^х2б^^ dx

J \х\р'

\x\~p' jxj^l

¿+(а) = sup / (в1,ж) | |ж| [а* (|ж|)]г,(г,-£) (¿Ж

0<e<p-1 J

jxj<1

соответственно.

Автор выражает благодарность профессору С. Г. Самко за полезное обсуждение результатов работы и анонимному рецензенту за ценные замечания.

Литература

1. Крейн С. Г., Петунии К). И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.-499 с.

2. Умархаджиев С. М. Ограниченность линейных операторов в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Вестн. Акад. наук Чеченской респ.—2013.—Т. 19, № 2.—С. 5-9.

3. Умархаджиев С. М. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Изв. вузов. Математика.— 2014.—Т. 4.—С. 42-51; пер. на англ.: Generalization of the notion of grand Lebesgue space. Russian Math. (Iz. VUZ).—2014.—Vol. 58, № 4.-P. 35-43.

4. Умархаджиев С. M. Ограниченность потенциала Рисса в весовых обобщенных гранд-пространствах Лебега // Владикавк. мат. журн.—2014.—Т. 16, № 2.—С. 62-68.

5. Умархаджиев С. М. Плотность пространства Лизоркина в гранд-пространствах Лебега // Владикавк. мат. журн.—2015.—Т. 17, № З.-С. 75-83.

6. Iwaaiec Т., Sbordoae С. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses // Arch. Rational Mech. Anal.-1992.-Vol. 119.-P. 129-143.

7. Karapetiaats N. K., Samko S. G. Equations with Involutive Operators.—Boston: Birkhauser, 2001.

8. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., and Samko S. Integral Operators in Non-standard Function Spaces. Vol. I. Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces.—Basel: Birkhauser, 2016.-1-586 p.— (Operator Theory: Advances and Appl. 248).

9. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., and Samko S. Integral Operators in Non-Standard Function Spaces. Vol. II. Variable Exponent Holder, Morrey-Campanato and Grand Spaces.—Basel: Birkhauser, 2016.-587-1009 p.—(Operator Theory: Advances and Appl. 249).

10. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications. London-N. Y.: Taylor & Francis.—2002,— 358+xvii p.—(Ser. Analytical Methods and Special Functions. Vol. 5).

11. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure // Azerb. J. Math.-2011.-Vol. 1, № l.-P. 67-84.

12. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On Iwaniec-Sbordone spaces on sets which may have infinite measure: addendum // Azerb. J. Math.—2011.—Vol. 1, № 2.—P. 143-144.

13. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. Riesz fractional integrals in grand Lebesgue spaces // Fract. Calc. Appl. Anal.-2016.-Vol. 19, № 3.-P. 608-624.

14. Samko S. G., Umarkhadzhiev S. M. On grand Lebesgue spaces on sets of infinite measure // Math. Nachrichten.-2016.-URL: http://dx.doi.org/10.1002/mana.201600136.

15. Umarkhadzhiev S. M. The boundedness of the Riesz potential operator from generalized grand Lebesgue spaces to generalized grand Morrey spaces // Operator Theory, Operator Algebras and Appl.—Basel: Birkhauser/Springer, 2014.—P. 363-373.

Статья поступила 20 января 2017 г.

Умархаджиев Салаудин Мусаевич Комплексный научно-исследовательский институт им. X. И. Ибрагимова РАН, ведущий научный сотрудник

РОССИЯ, 364051, Грозный, Старопромысловское шоссе, 21а;

Академия наук Чеченской Республики РОССИЯ, 364024, Грозный, пр-кт им. М. Эсамбаева, 13 заведующий отделом прикладной семиотики E-mail: umsalaudinOgmail. com

ONE-SIDED INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS KERNELS IN GRAND LEBESGUE SPACES

Umarkhadzhiev S. M.

Sufficient conditions and necessary conditions for the kernel and the grandiser are obtained under which one-sided integral operators with homogeneous kernels are bounded in the grand Lebesgue spaces on R and Rn. Two-sided estimates for grand norms of these operators are also obtained. In addition, in the case of a radial kernel, we obtain two-sided estimates for the norms of multidimensional operators in terms of spherical means and show that this result is stronger than the inequalities for norms of operators with a nonradial kernel.

Key words: one-sided integral operators, operators with homogeneous kernels, the grand Lebesgue spaces, two-sided estimates, spherical means.