CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 2, С. 95-108
УДК 517.982+517.983
1Э01 10.23671 /УГГС.2018.2.14726
ОБ ОПИСАНИИ ПРОСТРАНСТВА РИССОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИЙ ИЗ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С НЕКОТОРЫМИ АПРИОРНЫМИ СВОЙСТВАМИ1
Аннотация. Рассматривается задача описания пространства Iа(Х) функций, представимых риссо-вым потенциалом Iс плотностью <£> из заданного пространства X. Предполагается, что X С Ф', где Ф' — пространство распределений над основным классом Ф Лизоркина, инвариантным относительно риссова интегрирования, и образ Iа(Х) понимается в смысле распределений. В такой общей постановке поясняется вопрос, при каких предположениях о пространстве X принадлежность элемента / из образа Iа(Х) эквивалентна сходимости усеченных гнперсингулярных интегралов Ю/ в пространстве X. Для этой цели вначале указанный вопрос исследуется в контексте топологии пространства Ф. Именно, показывается, что для любого линейного подмножества X в Ф' принадлежность элемента / образу I"(X) эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов на множестве X в топологии пространства Ф'. Если X — банахово пространство, то переход от принадлежности образу к сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов по норме доказывается с точностью до аддитивного многочлена в предположении, что некоторая специальная конволюция является аппроксимацией единицы в пространстве X. Известно, что последнее выполняется для многих банаховых функциональных пространств и справедливо для всех тех функциональных пространств X, в которых ограничен максимальный оператор. Обратный переход доказывается для функционального пространства Банаха X, обладающего тем свойством, что ассоциированное с ним пространство X' содержит основной класс Лизоркина.
Ключевые слова: потенциал Рисса, пространство риссовых потенциалов, гиперсингулярный интеграл, распределения, гранд-пространство Лебега, пространство Лизоркина основных функций, аппроксимация единицы, пространство Орлича, пространство Лебега переменного порядка.
Рассматривается вопрос об описании пространства Iа(Х) функций, представимых риссовым потенциалом
© 2018 Самко С. Г., Умархаджиев С. М.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований обоих авторов, проект № 18-01-00094А, а также второго автора — проект № 17-301-50023 мол-нр.
С. Г. Самко, С. М. Умархаджиев
Посвящается 65-летию профессора, Анатолия Георгиевича Кусраева
1. Введение
(1)
с плотностью ^ из того или иного функционального пространства X. Риссово ядро ка (ж) определяется, как известно, равенством
1 [\х\а~п, а -п ф 0,2,4,6,... ;
\х\--
ка^ 7п(си) 1 \х\а~п In А, а -п = 0,2,4,6,...,
где 7га(а) — известная нормировочная константа (см., например, [1]).
Заметим, что в случае когда X — пространство функций, обладающих некоторой гладкостью, например, X = Нш(Rn, (1 + |ж|)7) — весовое обобщенное пространство Гель дера, определяемое заданным модулем непрерывности ш, такое описание возможно в терминах пространств той же серии, т. е. Ia(Нш(Rn, (1 + |ж|)7)) = НШа (Rn, (1 + |ж|)7а), где ша и 7« строятся по ш и 7 соответственно; ссылки на работы с такими результатами при а < 1 можно найти в обзоре [2, п. 2.3.1]. X
Лебега, Орлича, их весовые версии или иные модификации, подобное точное описание образа Ia(X) невозможно, так как функции f £ Ia(X) обладают некоторой слабой глад-
X
серии пространств. В этом случае описание функций f £ Ia (X) дается фактически
а,
гиперсингулярных интегралов этого порядка.
Подобное описание для X = Lp(Rn) впервые было дан о при а < 2 в [3] для бесселевых потенциалов, которые в отличие от риссовых потенциалов сохраняют, вообще говоря, исходное пространство X. Для произвольного а > 0 такое описание было дано в [4], что потребовало использование гиперсингулярных интегралов с разностями высших порядков. Для риссовых потенциалов подобное описание в случае X = Lp(Mn) и а > 0
X.
В данной работе предлагается некоторый общий подход для подобного описания распределений f, являющихся риссовыми потенциалами функций на из абстрактного X,
рассматриваются над основным классом Лизоркина Ф и оператор Ia трактуется в смысле обобщенных функций.
§§2 и 3 содержат необходимые предварительные сведения и вспомогательные результаты, в § 4 даны основные результаты. В § 5 рассматривается вопрос о выполнимости введенных априорных свойств для конкретных функциональных пространств и дается некоторый обзор результатов, относящихся к описанию образа риссова потенциала.
2. Предварительные сведения
Класс Лизоркина Ф, инвариантный относительно оператора Iа, есть подпространство пространства S шварцевых функций, ортогональных многочленам:
J ш(ж) dx = 0, |j| =0,1,2,..., = ж^1 ■ ■ ■ жП, |j| = ji + ■ ■ ■ +
Множество Ф плотно в весовом пространстве Lp(Rn,w), w £ Ap [1, теорема 7.34].
Гиперсингулярный интеграл Da как предел Da := lim В?, вде В? —
усеченный гиперсингулярный интеграл
1 Г iKf) (х)
dn,e(a) J \у\т !у!>£
В"/(ж) = , . . / 4 ,у ' dy, а> 0, (2)
' п (а) I y n+a w
где Д/(х) = Ек=о(-!)^ ^ ) /(ж — кЬ) — конечная разность порядка I > а функции /
и йп^(а) — нормировочная константа, выбранная так, чтобы построение в (2) не зависело от I (подробности см. в [1]).
При фиксированном е > 0 усеченные гиперсингулярные интегралы имеют вид
■®«Пх) = СШ(х) + У£ск(е) I (3)
к= Щ>ке
получаемый очевидными преобразованиями.
/
(д/) (х) = ! (Дг,а) (х — у, Ь) /(у) йу, I > а, (4)
К"
где равенство Д^а(х, Ь) = Д^ ка (х) справедливое, то крайней мере, на функциях / е Ф, хотя оно верно для более широкого класса функций, см. [1, (3.64)].
Усеченные гиперсингулярные интегралы В/ выражаются через свой предел р = Ва/ с помощью аппроксимации единицы:
(Ре Л (х) = ^ [ ^ Ш ¿У =: К1е'ач>, (5)
е JRn V е
где
= dn/(a)\x I (6)
In ^ |y|<|x|
ktta(x) = Ae,a(x, ei), ei = (1,0,..., 0) (см. [1, (3.63)1). Ядро Kita имеет оценку [1, лемма 3.16]
{|x|min{a-n,0} , а = n.
, 2 ' ПРИ |x| < 1,
a = n, (7)
IKita (|X|) | ^ c|x|a-n-^-1, При |x| > 1.
Для ядра K^>a(|x|) известна формула [1, (3.66)]
= I (8)
|y|>i
где (Fip)(x) = p(x) — преобразование Фурье функции р.
Топология в шварцевом пространстве S задается счетным набором (полу) норм
vkj(ш) = sup (1 + |x|)k|(Dju)(x)|, k £ No, j £ N0n, ш £ S.
Сходимость последовательности um ^ ш в топологии S означает, что
lim Vk,j (um - ш) = 0
k j.
Пространство Лизоркина Ф основных функций и двойственное пространство Ф = F (Ф) являются замкнутыми подпространствамп в S относительно указанной топологии, при этом на функциях ш £ S эта топология эквивалентна топологии, задаваемой полунормами
vk,i,j(ш) = sup |ж|1(1 + |x|)k|(Djш)(ж)|, k £ N0, l £ Z, j £ N0n, ш £ S.
жекп
Напомним, что Ф' = S'/P, где S'/P есть фактор-пространство пространства S' по множеству P всех многочленов (см. [1, с. 41]).
Ф
сингулярного интегрирования В^, £ ^ 0, и оператора свертки K'a, е > 0. < Доказательство леммы см. в работе [5]. >
3. Вспомогательные утверждения
Лемма 3.1. Оператор Ке'а = к|'а|е=1 непрерывен в прострапстве Ф.
< Покажем, прежде всего, что оператор К1,а сохраняет пространство Ф. Достаточно показать, что умножение на преобразование Фурье ядер этих операторов сохраняет двойственное пространство Ф = ¥ (Ф).
Обозначив т(£) := переходя в (8) к полярным координатам, после замен
подобия и вращения получаем
со
= (9)
где Е(р) = 4 ^ /6,п_1(1 — егра1)е<1<7. Легко видеть, что т £ С°°(Жа \ {0}), все производные функции т стремятся к 0 при |£| ^ то и имеют не более, чем степенной рост при |£| ^ 0, что и гарантирует указанное сохранение пространства Ф при умножении на т(£).
Доказательство непрерывности умножения на т(£) требует более аккуратных рассуждений. Пусть последовательность функций ^5(ж), в £ Ж, из Ф сходится к 0 в топологии пространства ^ : = 0 для всех к ж Нужно проверить, что ) = 0 для того же множества индексов к и > Имеем
В(т(ж)^(ж)) = Е ( ^ ) В*т(ж)В'->я(ж),
г
D,Mx) = Е(= ЕЙ Е (и-1"")D*-k~hE(\xI),
^ |ж| \|ж|1+а/ ^ |ж| ^ V h |k|=1 1 1 41 1 7 |k|=1 1 1 0<h<i-k 4
Dh (|ж|-1-а) = |x|-1-a-|h|Ph(x), где Ph(x) — однородный многочлен степени |h|. Так как |Dh (|ж|-1-а) | < C|x|-1-a-|h| и |DjE(|ж|)| < C|x|^-|j|, то
|Dim(x)| < C|x|1-a-|h|+^-|i|+1+|h| ^ C|x|-a+^-|i|. (10)
Отсюда |^гт(ж)| ^ С|ж|-1-[а1+^-|г|, где [а] — целая часть числа а. Следовательно, (то^з) ^ ^ о^г^^ С (г, Отсюда в силу эквивалентности ТОПОЛОГИЙ, задаваемых полунормами ^^ и , получим = 0, что и требовалось. >
Следствие 3.2. Оператор непрерывен в пространстве Ф для любого е > 0.
< Достаточно заметить, что в образах Фурье имеем В0?ш(£) = |£|агде
является мультипликатором в Ф, коль скоро m является там мультипликатором в силу леммы 3.1. >
Лемма 3.3. Операторы Ke'a сходятся при е ^ 0 в пространстве Ф к единичному оператору.
< Нужно доказать, что для произвольной функции ш £ Ф выполняется
lim vkj (K' аш - ш) = 0, k £ No, j £ NJ. (11)
Напомним, что согласно лемме 3.1 операторы K' a сохраняют пространство Ф. Так как топология в пространстве F (S), индуцированная из пространств а Шварца S, совпадает с топологией пространства S, то (11) равносильно соотношениям
lim Vk j([m(ex) - 1]ф(ж)) =0, k £ No, j £ NJ, (12)
Где m — функция (9) и ф = ш £ Ф.
Рассмотрим сначала случай j = 0. Надо показать, что lime^0 supxeRn(1 + |x|)k|m(ex)-1||ф(ж)| = 0. Имеем supxeRn(1 + |x|)k|m(ex) — 1||ф(ж)| = max|Si(e),S2(е)} , где
Si(e) := sup (1 + |x|)k|m(ex) — 1||ф(ж)|, S2(e) := sup (1 + |x|)k|m(ex) — 1||ф(ж)|.
|x| <1 |ж|>1
Для Si(е) имеем S1(e) ^ vk ,j(ф)sup|x|<1 |m(ex) — 1|. Так как m(0) = J^)Q;(0) = 1 и m(x) непрерывна, то lime^0 S1 (е) = 0.
Для S2^), учитывая, что для любого числа ß > 0 справедлива оценка |ф(ж)| ^ C|x|-k-^, где выбором ß распорядимся позже, получим
S2(e) < С sup \x\-^\m(£x) - 1| = Се11 sup |т(£Ж) ~ И |x|>1 |x|>1 (е|ж|Г
Остается показать, что при некотором выборе ß функция |m(y) — 1||y— ограничена. При |y| ^ 1 эта ограниченность очевидна для любого ß > 0. Когдa |y| < 1 воспользуемся формулой (9) и тем фактом, что 1 = J^ a(0), в силу чего
Щ-Ц 1 JE^ № № J ßl+a
о
Легко видеть, что здесь правая часть ограничена при выборе ß ^ I — а.
Перейдем к случаю ] = 0. Имеем
В ([т(еж) - 1]^(ж)) = [т(еж) - 1]В ^(ж) + ^ (О Л*(е,ж), (13)
¿=0
где Лг(е,ж) := е|г|(Вгт)(еж)В-г^(ж). Первое слагаемое в (13) уже оценено выше поскольку В^(ж) £ Ф, ] £ Ху. Для Л(е,ж) с учетом оценки (10) получим
|Л(е,ж)| < |ж^-а-^В-^(ж)|.
Отсюда приходим к оценке (Л(е,ж)) ^ Се^-1—[а]—|*, вде [а] — целая часть числа а.
Резюмируя, приходим к (12). >
4. Основные утверждения 4.1. Описание в терминах распределений.
Определение 4.1. Пусть X — линейное подмножество в Ф' и / £ Ф'. Будем говорить, что / £ Та (X), а > 0, если существует распределение р £ X такое, что
(/,ш) = (р,Та ш) (14)
для всех ш £ Ф (напомним, что пространство Ф инвариантно относительно оператора /а).
В последующем усеченные гиперсингулярные интегралы (2) обощенной функции / £ Ф'
(ва/, ш) := (/, ваш) (15)
с учетом инвариантности пространства Ф относительно оператора ва, е > 0, см. лемму 2.1.
Теорема 4.2. Пусть X — линейное подмножество пространства Ф'. Следующие утверждения равносильны: (Р) / £ Iа(X);
(Рг) существует элемент ф £ X такой, что ва/ сходится к ф в Ф' :
11ш(Ва/,ш) = (ф,ш), ш £ Ф,
при этом элемент ф и элемент р из (14) совпадают как элементы иространства Ф'.
< Покажем, что (Р1) ^ (Р2). В силу (3) и следствия 3.2 при любом фиксированном е > 0 имеем (Ва/, ш) = (/, Ваш) = (/, Ва/аВаш), где мы воспользовались тем, что ш = IаВаш для ш £ Ф.
Тогда в силу формулы (5) имеем (Ва/, ш) = (/, К'аВаш). Так как К'аВаш £ Ф в силу леммы 2.1 и операторы Ке'а и Ва коммутируют на функциях из Ф, то по определению образа Т^^) существует функция р £ X, такая что
(Ва/,ш) = (р,к,аш). (16)
В силу леммы 3.3 получаем Иш(Ва/, ш) = (р, ИшКе'аш) = (р, ш). Следовательно,
е^0 (У)
ф = р и (Р2) получено.
Докажем (P2) ^ (Pi )• Рассуждая как и в предыдущем пункте, только в обратном направлении, имеем
(ф,ш) = lim (Df, ш) = lim (f, D» = lim(f, D^D^)
e^ü e^ü e^ü
= lim(f, К'аВаш) = (f, lim Kj'aDaw) = (f, Daw).
(S)
Таким образом, (f, Daш) = (ф,ш). Следовательно, (ф, Iaш) = (f, ш), ш G Ф, что завершает доказательство теоремы. >
4.2. Об априорных предположениях о банаховом пространстве X. В следующем пункте мы изучаем образ Ia (X) потенциала Рисса, трактуемый в смысле распределений, где X — произвольное банахово пространство функций на Rn, удовлетворяющее некоторым априорным предположениям.
В различных утверждениях ниже будет использоваться одно или несколько из сле-
X
(51) Пространство X обладает свойством решетки: если р G X и |ф(х)| ^ |р(х)|, х G то ф G X и ||ф||х < ||р||х•
(52) Пространство X те содержит многочлен.
(53) Максимальный оператор Мр(ж) := ^ \(p(y)\dy ограничен в X.
(54) Операторы K'a являются аппроксимацией единицы: lime^o ||К'ар — р||х = 0 для всех р G X.
(55) Пространство X ^ассоциированное с X, содержит класс Ф.
Напомним, что ассоциированным с X называется пространство X 'функций ф на таких, что
р(х)ф(х) dx < то (Vр G X), ||ф||х' = sup
НИ1х=i
р(х)ф(х)dx
см. [6, с. 9].
Замечание 4.3. При наличии свойства (й!)в свойстве ) достаточно потребовать, чтобы константы, отличные от нуля, не принадлежали бы пространству X.
Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения об ограниченности операторов свертки в пространстве X.
Обозначим через К класс яд ер к (ж), удовлетворяющих уел овиям |к(ж)| ^ К (|ж|), где К (ж) е Ь1(Жга), К (г), г е Ж+, убывает, и
Ке<Р
К"
Хорошо известно (см., например, [7, гл. 5, §2.1] поточечное неравенство |Кер(ж)| ^ сМр(ж), где к е К. Из этого неравенства следует утверждение.
Предложение 4.4. Пусть к е К.. Операторы Ке равномерно ограничены в любом пространстве X со свойствами (й!) и (£3).
Для нас более содержательным является следующее утверждение:
Лемма 4.5. Пусть 0 < а < ж и ^ > а. Тогда е К.
< Утверждение леммы следует из оценки (7). >
4.3. Описание в терминах сходимости по норме пространства X. В дальнейшем считаем, что X — банахово пространство фу нкций на Ж" с норм о й || ■ Ух.
Определение 4.6. Будем говорить, что значение параметра а > 0 является естественно соответствующим пространству X, если функционал f £ Ia(X) является регулярным и с точностью до многочлена совпадает со сходящимся интегралом (1) для всех р £ X таких, что f (x) = JRn ka(x — у)р(у) dy + P(ж), р £ X. В этом случае первое слагаемое в правой части будем называть интегральным представителем функционала
f £ Ia(X).
Например, в случае X = Lp(Rn), 1 < p < сю, значениями а, естественно соответствующими пространству РР(М""), являются а £ (0, В случае весового пространства
Lp(Rn) := i р : У |р(ж)|р(1 + |x|)Ydx < ю, y > — n, l Rn J
указанный интервал заменяется интервалом а; £ (0, В случае когда X есть про-
а
получен в терминах индексов Матушевской — Орлича и условия сходимости интеграла в
X
так называемое гранд-пространство Лебега ¿a?(Rn) с грандизатором а(ж) (см. определение в (22)). Такие пространства исследовались в работах [5, 8, 9, 10]. В этом случае ин-
а
Лебега при условиях а £ L1(Rn) и
а5 £ A^ (17)
при некотором 6 > 0, где A^ известный класс Макенхаупта.
Теорема 4.7 (Необходимые условия). Пусть X удовлетворяет предположению (S4) и f £ Ia(X) в смысле определения 4.1 Тогда Df есть регулярный функционал, совпа-
X
D?f = ре(x) + Pe(ж), ре £ X, (18)
ж существует функция р £ X такая, что
lim ||ре — р||х =0. (19)
Если пространство X обладает свойством (S2) и f означает интегральный представитель функционала f £ Ia(X), то
lim ||Df — р||х =0. (20)
< Воспользуемся представлением (16). Условие (S4) подразумевает ограниченность оператора Ke'a в пространстве X (по крайней мере для малых е). Поэтому из (16) имеем (Daf, w) = (Ке'ар,о>). Так как Ке'ар является регулярным функционалом, то Df так~ же регулярный функционал. Тогда функции Daf и К'ар, совпадающие как элементы пространства Ф', различаются разве лишь многочленом:
Daf = К'ар + Pe (ж). (21)
Отсюда следует утверждение (18) с ре = К'ар, а также в силу свойства (S4) и утверждение (19).
Пусть теперь а — значение, естественно соответствующее пространству X. Так как
оператор сохраняет пространство X, то в силу свойства (й^) функционал К'ар
не может содержать полиномиального слагаемого. Покажем, что левая часть также не содержит полиномиального слагаемого, что будет означать Ре (ж) = 0. Так как в левой части / есть интегральный представитель функционала / £ /а(X), то / представима обычным интегралом, т. е. как свертка функции р £ X с ядром ка(ж). Тогда ни при каких а функция /(ж) не может вести себя на бесконечности как многочлен. Следовательно, равенство (21) возможно только когда Ре (ж) = 0, и мы получаем (20). >
Рассмотрим отдельно случай когда пространство X инвариантно относительно сдвига: ||т^р||х ^ С (Н)||р||х, где т^р = р(ж — Н), Н £ Ж", и С (Н) локально ограничена: йиР|ь|<м С(Н) =: С^ < го. В этом случае для функций / £ /"(X) можно дать дополнительную информацию о поведении их конечных разностей. Конечные разности обобщенных функций / £ Ф' определяются обычным образом: (Д/, ш) := (/, Д-^ш).
Теорема 4.8. Пусть пространство X инвариантно относительно сдвига и обладает свойствами (й!) и (йз). Если / £ /"(X), то конечные разности Д/ порядка £ > а являются регулярными функционалами и существует многочлен Р^ (ж) такой, что Д/ — Р^(ж) £ X при любом Н £ Ж".
< Стандартными перебросами на основные функции с учетом формулы (4), инвариантности класса Ф относительно потенциала Рисса и свертки с ядром Д^а(-, Н), получаем
(д/» = (/, д_Лш) = (р,/ а (Д_Лш)) = (р, Д_Л/°ш) = (р, Дг,а(-, —Н) * ш)) = (Д*>а(-,Н) * р,ш).
Следовательно, Д/ и Д^а(-, Н) * р совпадают как обобщенные функции из Ф', что и доказывает регулярность функционала Д/
Остается доказать, что Д^а(-, Н)*р £ X. Основываемся для этого на предложении 4.4, применимом при условиях теоремы. Заметим, что ядро Д^а(ж, Н) при больших значениях |ж| имеет оценку ([1, (3.51)]) |Д^а(ж, Н)| ^ с|Н|^(|ж| + |Н|)а_"_, |ж| ^ (£ +1)|Н|. Поэтому ядро Д^а(ж, Н) можно представить в виде
А^а(ж, К) = ( \ ) к°(х ~ (ж ~ ^ + ж е
где Хв(0,г) (ж) — характеристическая функция шара B (0, r), а ядро J(ж) имеет оценку
c\h -\х\)
| J(x)\ ^ > и) следовательно, принадлежит классу Я. Принадлежность функции
ка(х)хв^0 классу Я очевидна. Остается сослаться на инвариантность простран-
ства X относительно сдвига. >
Теорема 4.9 (Достаточные условия). Пусть а> 0 и f £ Ф'и Daf, е > 0, — обобщен-
X
(S5), Daf £ X и существует limDaf = р, то f £ Ia(X) в смысле определения 4.1 и
(X)
f = Iap.
< Имеем |(Daf — р,^)| ^ ||Daf — р||х||w||x' ^ 0 при е ^ 0 в силу свойства (S5).
Таким образом, lime^0(Daf, w) = (р, w) для всex w £ Ф и тогда f £ Ia(X) в силу эквивалентности утверждений (Pi) и (P2) теоремы 4.2. >
Следствие 4.10. Пусть пространство X обладает свойствами (S2), (S4) и (S5). Для того, чтобы f £ Ia(X), необходимо и достаточно, чтобы Daf £ X и Daf имело вид (18), где ре сходится в пространстве X при е ^ 0.
Подчеркнем, что в этом параграфе мы фактически полностью исследовали вопрос об описании образа /"(X), а > 0, для произвольного пространства X функций на Ж" при выполнении некоторых априорных предположений о пространстве X. Однако, это сделано при условии, что оператор /а понимается в смысле распределений. Существенный интерес представляет описание абсолютно сходящихся интегралов /ар, р £ X. Это, ода
от пространства X. В следующем параграфе мы касаемся этого вопроса для некоторых классических и нестандартных функциональных пространств. Кроме того, в следующем параграфе рассматривается вопрос о выполнимости для них свойств (¿^-(¿б).
5. О выполнимости свойств (й!)-^) и о пространстве /"(X) со значениями а, естественно соответствующими пространству X
В приведенной ниже теореме показано, что все свойства (й! )-(£б) выполняются для пространств XI из следующего списка при соответствующих предположениях о параметрах пространств:
• классические пространств а Лебега XI = РР(Ж""), 1 < р < то;
• весовые пространства X2 = РР(Ж"", ад), 1 < р < то, где ад — вес Макенхаупта;
• гранд-пространства Лебега Xз = ¿^(Ж"), 1 < р < то, 9 > 0, функций /, удовлетворяющих условиям
11/11*,,^ := I / I Дя)Геа(ж)* <1х\ < то (22)
(г )
и Ите_1.о£рв / \${х)\р~£а(х)р(1х = 0, где а £ Ь1(Жга) и а удовлетворяет условию (17).
К"
• пространства Лебега X4 = (Ж") с переменным показателем р(ж) (см. [11, 12, 13]), где 1 < жек" р(ж) ^ 8ирхеКп р(ж) < то, определяемые нормой
11/= { А > 0
/(ж)
А
р(х)
^Ж < 1
р(ж)
С 1 С
\р(х) - р(у)\^ ! , \х-у\<- и \р(х) - р(оо)| < 1 , Х,у£ЖП]
\х-у\ е+\х\
• пространства Орлича X5 = (Ж"), где М — функция Юнга, функция М и дополнительная к ней удовлетворяют условию удвоения.
Теорема 5.1. Каждое из пространств Xl-X5 при указанных выше предположениях обладает всеми свойствами (й1 )-(55).
< Выполнимость свойства (¿1) очевидна.
Свойство (52) для пространства XI также очевидно, Для пространства X2 с учетом замечания 4.3 оно следует из свойства ад(ж) ^ж = то весов Макенхаупта; см., например, [14, лемму 7.5], откуда вытекает указанное свойство. Для пространства Xз свойство (¿2) следует из вложения
с 1р-£(Еп,ар), 0 < е < р — 1, (23)
с учетом свойства (17); доказательство этого вложения можно найти в [8]. Свойство (¿2) для пространств X5 очевидно.
Свойство (£3) для пространств Х1 и Х2 хорошо известно, см., например, [14, теорему 7.3]. Для гранд-пространства Х3 свойство (£3) доказано в [9], а для пространства Х4 — в работе [15]. Для пространства Х5 свойст во (£3) доказано в [16], см. также [17, теорему 2.1.1].
Свойство (54) для пространств XI и Х2 является следствием известных теорем об аппроксимации единицы в весовых пространствах, см. [1, теорему 7.31]. Свойство (£4) для пространства Х3 доказано в [9]. Для прост ранства Х4 свойств о (£4) следует с учетом леммы 4.5 из общей теоремы об аппроксимации единицы в пространствах Лебега с пере-
Х5
Свойство (£5) для пространств Х1, Х2, Х4 и Х5 очевидно. Для пространства Х3 в силу вложения (23) имеем
ь(р-еу ^Кп)£1-р(р_ее_!) ^ = (^«о!)]' с ^р),^™)]'. (24)
£ __£
Ввиду (17) имеем ар € Ар_е при некотором е и тогда а р(р-£-1) £ А^_еу. Вложение Ф С
¿(р-£) а ^ очевидно, что в силу вложения в (24) доказывает свойство (£5)- 1>
Дадим также информацию об импликациях
/ £ 1а(Х) ^ / £ Ха и В/сходятся в Х, (25)
/ £ Ха и В/сходятся в Х ^ / £ Iа(Х), (26)
где Ха — некоторое пространство, определяемое исходным пространством Х и параметром а, для пространств Х из того же списка. Для них известно следующее:
1. Пусть 0 < а < Импликации (25) и (26) с Ха = ^ = ^ — известны давно, см. [1, с. 532-538], [19], [20, с. 179-184]. Отметим также работу [21], где описание пространства 1а (Рр) получено в терминах сходимости гиперсингулярных интегралов малого порядка от старших производных, т. е. конструкций вида В^ /, | = [а]; в случае целых а пространство 1°(РР) совпадает с пространством типа Соболева
= {/ £ ¿°(Мга), / £ для всех Щ таких, что = а} .
2. Аналогичные результаты для пространств Лебега с весами Макенхаупта получены в [22].
3. Для гранд-пространств Лебега ¿«^(М™), 0 < а < импликации (25) и (26) с
° о) 0
Ха = (Мга) доказаны в [9] и [5] соответственно в предположении, что а удовлетворяет условию (17).
4. Для пространств Лебега (Мга) с переменным показателем р(х) импликации (25) и (26) с Ха = ЬЯ^(ЖП), = — получены в [23] и [24] соответственно. Эти результаты можно найти также в книге [13].
5. Пусть М-1(и) обозначает функцию, обратную к функции Юнга М(и), и а таково, что интеграл ¿"_1М-1 (¿) (Й сходится и функция Ма(и) определяется своей обратной:
и
М~1(и) = (27)
о
Следующие утверждения равносильны см. [1, с. 220-223], [18]:
1) / £ 1а(Рм);
2) / £ (Мп) и В/ £ ¿м (Мга).
Литература
1. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications.—London-N. Y.: Taylor & Francis, 2002.— 358+xvii p.—(Ser. Analytical Methods and Special Functions. Vol. 5).
2. Rafeiro H., Samko S. Fractional integrals and derivatives: mapping properties // Fract. Calc. Appl. Anal.—2016.—Vol. 19, № 3.-P. 580-607. DOI: 10.1515/fca-2016-0032.
3. Stein E. M. The characterization of functions arising as potentials // Bull. Amer. Math. Soc.—1961.— Vol. 67, № l.-P. 102-104.
4. Лизоркин П. И. Описание пространства Lrp(Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов // Мат. сб.-1970.-Т. 81, № 1.-С. 79-91.
5. Умархаджиев С. М. Описание пространства риссовых потенциалов функций из град-пространства Лебега на Rn // Математические заметки.—2018.—(В печати).
6. Bennett С., Sbarpley R. Interpolation of operators.—Boston: Academic Press Inc., 1988.—(Pure Appl. Math. Vol. 129).
7. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals.— Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.—xiii+695 p.
8. Умархаджиев С. M. Обобщение понятия гранд-пространства Лебега // Известия вузов. Математика.—Изв. вузов. Сер. Математика.—2014.—Т. 4.—С. 42-51.
9. Samko S. G., Urnarkhadzhiev S. М. Riesz fractional integrals in grand Lebesgue spaces I I Fract. Calc. Appl. Anal.—2016.—Vol. 19, № 3.-P. 608-624. DOI: 10.1515/fca-2016-0033.
10. Samko S. G., Urnarkhadzhiev S. M. On grand Lebesgue spaces on sets of infinite measure // Mathematische Nachrichten.-2017.-Vol. 290, № 5-6—P. 913-919. D01:10.1002/mana.201600136.
11. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Birkhauser, 2013.-316 p.—(Appl. Numerical Harmonic Anal.).
12. Diening L., Harjulehto P., Hasto P., and Riizicka M. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents.—Berlin: Springer-Verlag, 2011.—(Lecture Notes in Math. Vol. 2017). DOI: 10.1007/9783-642-18363-8.
13. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., and Samko S. Integral Operators in Non-standard Function Spaces. Vol. I. Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces.—Birkhaser, 2015.-586 p.
14. Duoandikoetxea J. Fourier Analysis.—Providence (R. I.): Amer. Math. Soc., 2001.—(Graduate Studies. Vol. 29).
15. Cruz-Uribe D., Fiorenz a A., and Neugebauer C. J. The maximal function on variable Lp-spaces // Ann. Acad. Scient. Fennicae. Math.-2003.-Vol. 28—P. 223-238.
16. Kerman R., Torchinsky A. Integral inequalities with weights for the Hardy maximal function // Stud. Math.—1982.—Vol. 71.-P. 277-284.
17. Kokilashvili V., Krbec M. Weighted inequalities in Lorentz and Orlicz spaces.—Singapore: World Scientific Publ., 1991.—233 p.
18. Чувенков А. Ф. Пространства Соболева — Орлича дробного порядка // Изв. Сев.-Кавк. центра высш. школы. Сер. естеств. наук.—1978.—Т. 1.—С. 6-10.
19. Самко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. Математика.—1976.— Т. 40, № 5.-С. 1143-1172.
20. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev О. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications.—London-N. Y.: Gordon & Breach. Sci. Publ., 1993.-1012 p.
21. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Описание пространства риссовых потенциалов в терминах старших производных // Изв. вузов. Сер. Математика.—1980.—Т. 11.—С. 79-82.
22. Kokilashvili V., Meskhi A., and Samko S. On the inversion and characterization of the Riesz potentials in the weighted Lebesgue spaces // Memoirs on Differential Equations and Mahematical Physics.— 2003.-Vol. 29.—P. 99-106.
23. Almeida A. Inversion of the Riesz Potential Operator on Lebesgue Spaces with Variable Exponent I I Frac. Calc. Appl. Anal.-2003.-Vol. 6, № 3.-P. 311-327.
24. Almeida A., Samko S. Characterization of Riesz and Bessel potentials on variable Lebesgue spaces // J. Function Spaces and Applic.—2006.—Vol. 4, № 2.—P. 113-144.
Статья поступила 29 марта 2018 г.
Самко Стефан Григорьевич, профессор Университет Алгарве
Campus de Gambelas, 8005-139 Faro, Portugal E-mail: ssamko@ualg.pt https://orcid.org/0000-0002-8022-2863
УМАРХАДЖИЕВ СДЛДУДИН МУСАЕВИЧ Комплексный научно-исследовательский институт им. X. И. Ибрагимова РАН
РОССИЯ, 364051, Грозный, Старопромысловское шоссе, 21а
ведущий научный сотрудник;
Академия наук Чеченской Республики
РОССИЯ, 364024, Грозный, пр-кт им. М. Эсамбаева, 13
заведующий отделом прикладной семиотики
E-mail: umsalaudinOgmail. com
https://orcid.org/0000-0002-8283-1515
Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 2, P. 95 108
ON A CHARACTERISATION OF THE SPACE OF RIESZ POTENTIAL OF FUNCTIONS IN BANACH SPACES WITH SOME A PRIORI PROPERTIES
Samko S. G.1, Umarkhadzhiev S. M.2'3
1 Universidade do Algarve Campus de Gambelas; 2 Kh. Ibragimov Complex Institute of the Russian Academy of Sciences; 3 Academy of Sciences of the Chechen Republic
Abstract. We consider the problem of describing the space Ia(X) of functions representable by the Riesz potential Iwith density ^ in the given space X. It is assumed that X C where is the space of distributions over the Lizorkin test function space invariant with respect to Riesz integration, and the range Ia(X) is understood in the sense of distributions. In this general setting, we study the question under what assumptions on the space X the inclusion of the element f in to the range Ia(X) is equivalent to the convergence of the truncated hypersingular integrals Df in the space X. For this purpose, this question is first investigated in the context of the topology of the space Namely, for my linear subset X in it is shown that the inclusion of f into the range Ia(X) is equivalent to the convergence of truncated hypersingular integrals on the set X in the topology of the space If X is a Banach space, the passage from the inclusion into the range to the convergence of truncated hypersingular integrals in the norm is proved up to an additive polynomial term under the assumption that some special convolution is an
X
X
for the Banach function space X enjoying the property that the associated space X' includes the Lizorkin test function space.
Key words: Riesz potential, space of Riesz potentials, hypersingular integral, distributions, grand Lebesgue space, Lizorkin test functions space, identity approximation, Orlicz space, variable order Lebesgue space.
References
1. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications, London-N. Y., Taylor & Francis, 2002, 358+xvii p. (Ser. Analytical Methods and Special Functions, vol. 5).
2. Rafeiro H., Samko S. Fractional Integrals and Derivatives: Mapping Properties. Fract. Gale. Appl. Anal., 2016, vol. 19, no. 3, pp. 580-607. DOI: 10.1515/fca-2016-0032.
3. Stein E. M. The Characterization of Functions Arising as Potentials. Bull. Amer. Math. Soc., 1961, vol. 67, no. 1, pp. 102-104.
4. Lizorkin P. I. Description of the Spaces Lp(Rn) in Terms of Singular Difference Integrals. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1970, vol. 10, no. 1, pp. 77-89. DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001587.
5. Umarkhadzhiev S. M. Description of a Space of Riesz Potentials of Functions from Grand Lebesgue Space on Rn. Math. Notes, 2018 (in print).
6. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. Ser. Pure Appl. Math., vol. 129, Boston, Academic Press Inc., 1988.
7. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton, Princeton Univ. Press, 1993, xiii+695 p.
8. Urnarkhadzhiev S. M. Generalization of a Notion of Grand Lebesgue Space, Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 4, pp. 35-43. DOI: 10.3103/S1066369X14040057.
9. Samko S. G., Urnarkhadzhiev S. M. Riesz Fractional Integrals in Grand Lebesgue Spaces, Fract. Gale. Appl. Anal, 2016, vol. 19, no. 3, pp. 608-624. DOI: 10.1515/fca-2016-0033.
10. Samko S. G., Urnarkhadzhiev S. M. On Grand Lebesgue Spaces on Sets of Infinite Measure, Mathematische Nachrichten, 2017, vol. 290, no. 5-6, pp. 913-919. DOI: 10.1002/mana.201600136.
11. Cruz-Urihe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis, Birkhauser, 2013, 316 p.
12. Diening L., Harjulehto P., Hästö P., and Rüzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. Ser. Lecture Notes in Math., vol. 2017, Berlin, Springer-Verlag, 2011. DOI: 10.1007/978-3642-18363-8.
13. Kokilashvili V., Meskhi A., Rafeiro H., and Samko S. Integral Operators in Non-standard Function Spaces, vol. I. Variable Exponent Lebesgue and Amalgam Spaces, Birkhäser, 2015, 586 p.
14. Duoandikoetxea J. Fourier Analysis. Ser. Graduate Studies, vol. 29, Providence (R. I.), Amer. Math. Soc., 2001.
15. Cruz-Urihe D., Fiorenz a A., and Neugebauer C. J. The Maximal Function on Variable Lp-spaces. Ann. Acad. Scient. Fenmcae. Math., 2003, vol. 28, pp. 223-238.
16. Kennan R., Torchinsky A. Integral Inequalities with Weights for the Hardy Maximal Function, Stud. Math., 1982, vol. 71, pp. 277-284.
17. Kokilashvili V., Krbec M. Weighted Inequalities in Lorentz and Orlicz Spaces, Singapore, World Scientific Publ., 1991, 233 p.
18. Chuvenkov A. F: Sobolev-Orlicz Spaces of Fractional Order. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Estestvennye nauki [Izvestiya Vuzov. Severo-Kavkazskii Region. Natural Sciences], 1978, vol. 1, pp. 6-10 (in Russian).
19. Samko S. G. On Spaces of Riesz Potentials. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1976, vol. 10, no. 5, pp. 1089-1117. DOI: 10.1070/IM1976v010n05ABEH001827.
20. Samko S. G., Kilbas A. A., and Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications, London-N. Y., Gordon & Breach. Sei. Publ., 1993, 1012 p.
21. Samko S. G., Urnarkhadzhiev S. M. Description of a Space of Riesz Potentials in Terms of Higher Derivatives. Soviet Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 1980, vol. 24, no. 11, pp. 95—98.
22. Kokilashvili V., Meskhi A., and Samko S. On the Inversion and Characterization of the Riesz Potentials in the Weighted Lebesgue Spaces. Memoirs on Differential Equations and Mahematical Physics, 2003, vol. 29, pp. 99-106.
23. Almeida A. Inversion of the Riesz Potential Operator on Lebesgue Spaces with Variable Exponent. Frac. Gale. Appl. Anal., 2003, vol. 6, no. 3, pp. 311-327.
24. Almeida A., Samko S. Characterization of Riesz and Bessel Potentials on Variable Lebesgue Spaces. J. Function Spaces and Appl., 2006, vol. 4, no. 2, pp. 113-144.
Recetved March 29, 2018 Stefan G. Samko,
Universidade do Algarve Campus de Gambelas, Campus de Gambelas, 8005-139 Faro, Portugal E-mail: ssamko@ualg.pt http://orcid.org/0000-0002-8022-2863
Salaudin M. Umaekhadzhiev
Kh. Ibragimov Complex Institute of the Russian Academy of Sciences,
21a Staropromyslovskoe shosse, Grozny 364051, Russia;
Academy of Sciences of the Chechen Republic,
13 Esambaev av., Grozny 364024, Russia
E-mail: umsalaudin@gmail. com
http://orcid.org/0000-0002-8283-1515
