Базисы из экспонент в весовых пространствах Lp(-р,р) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.547.2 + 517.538.2

БАЗИСЫ ИЗ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ LP(-n,n)

А. А. Юхименко1

В работе получено достаточное условие того, что система экспонент {eiXnt}nez в весовом пространстве Lp(-n,n) образует базис, обладающий свойством Рисса.

Ключевые слова: базис, базис Рисса, система экспонент, теорема Кадеца об 1/4.

The system of exponents {eiXnt}neZ is considered in this article. A sufficient condition for a Riesz-property basis in the weighted space Lp(-n, п) is obtained.

Key words: basis, Riesz basis, system of exponents, 1/4-Kadets theorem.

1. Введение. Хорошо известна следующая теорема Кадеца [1]: если \п G R и supn\Xn — n\ < 1/4, то система е(Л) = {elXnt}n^z образует базис Рисса в L2(—п, п). Этот результат вместе с примером Н. Левинсо-на [2], демонстрирующим, что система exp(i(n — signn/4)t) не является минимальной в L2(—n,n) (и, следовательно, не образует базиса), позволил получить наилучшее значение константы D, при котором система е(Л) с supn \An — n\ < D образует базис Рисса в L2(— п,п).

В 1970-х гг. получил распространение подход, в котором используется так называемое (Ар)-условие. Говорят, что неотрицательный вес u(t) удовлетворяет (Ар)-условию p > 1 (записывается как u(t) G (Ap)), если

\ p-1

(u(t))-1/(p-1)dt I <

где I — произвольный интервал в R. В 1979 г. Б. С. Павлов [3] в классе отделимых последовательностей Л, лежащих в горизонтальной полосе, нашел необходимое и достаточное условие того, что система е(Л) образует базис Рисса в L2(— п,п). Оно состоит в том, что \F^(x + iH)\2 G (A2) при некотором H G R, где Fa(z) — порождающая функция последовательности Л (т.е. целая функция экспоненциального типа, нулевое множество которой совпадает с Л, а индикатор Hf(0) = п \ sin 0\). В этом же году С. В. Хрущев [4] вывел из теоремы Павлова теорему Кадеца.

Результаты, касающиеся базисов вида е(Л) в Lp(—n, п) при p = 2, принадлежат А. М. Седлецкому. Им же было предложено изучать вопрос о базисах из экспонент в весовых пространствах , определяемых следующим образом: Lvan = Lp((—n, п), ua(t)dt), где

s

Ua(t) = n \t — bj Г, s ^ 2, —п = bi <...<bs = п. j=1

В [5] дано обобщение теоремы Павлова для пространств : пусть последовательность Л отделима и содержится в некоторой горизонтальной полосе; пусть

1 + а 1

1<р<оо, тах(0,и - 2) ^ а < р - 1,--Ь - = 1 (1)

p q

и

\FA(x + iHG (Aq)

1 Юхименко Александр Анатольевич — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

yukhimenko@gmail.com.

при некотором H £ R, тогда система е(Л) образует в L0t,n базис, обладающий свойством Рисса. Несмотря на существование такого обобщения, результатов для пространства La,n, полностью аналогичных теореме Кадеца, нет. В [6] был получен аналог теоремы об 1/4 для случая регулярных возмущений целочисленной последовательности, а именно было показано, что если выполнено условие (1), то система exp(i(n + A sign n)t) образует в La,n базис, обладающий свойством Рисса тогда и только тогда, когда

1 А 1 + «

--< ReA <-.

2 q 2 р

В связи с этим результатом естественным образом возникает вопрос, образует ли в La,n базис, обладающий свойством Рисса, система е(Л), удовлетворяющая условиям

— — < Ai ^ |ReAJ — \п\ ^ А2 < llmAJ < Н < оо, neZ, signReAra = signn. (2)

2q 2p

Частично ответ на этот вопрос дается в настоящей статье (см. следствие). Полученный результат является новым и для невесового случая, т.е. для пространства Lp(-n,n), 1 < p < 2.

2. Вспомогательные результаты. Определение [5, § 8.1]. Говорят, что базис е(Л) пространства La,n обладает свойством Рисса, если проекционный оператор

^ + : ^ CneiX"t ^ ^ CneiX"t XnеЛ ReХп>0

ограничен в .

Определение. Говорят, что положительный вес u(t) удовлетворяет (Л\)-условию, если

sup { I 777 / oj(t)dt | ess sup —i-r V < oo. I I \ \I \ J I tei u(t)

Определение. Пусть v £ L^, тогда

ад = v.p. + y^) vm

\ж — ^

к

есть модифицированное преобразование Гильберта функции V.

Теорема A [7, 8]. Функция и(Ь) удовлетворяет (А2)-условию в том и только в том случае, если существуют ограниченные функции и и V, такие, что

и(г)=ехр(и(г)+Щ), |ми <п/2.

В работе [4] доказан, но явно не сформулирован следующий результат. Теорема B. Пусть Л С М и supra 1\п — п1 < А. Тогда при достаточно больших у

F (x + iy)\ =

лР_п и -

x + iy

nez

= exp(uy(x)+vy(x)), \\vy<nA, \\uy< то.

3. Основные результаты. Лемма. Пусть q ^ 2. Если u(t) = Ui(t) ■ u22—q(t), и1 £ (A2), и2 £ (A1), то и £ (Aq).

Доказательство. По неравенству Гельдера

q— 1

( щ JioW-Vb-Vdtj <

< ess supL02(t)2~q щ J u^(t)dt Щ / \t)dt \ [щ f Mt)dt

q—2

\ / 1 Г \

Последнее ограничено в силу условий леммы. Значит, по определению и £ (Ад).

Теорема. Пусть М — последовательность действительных чисел, удовлетворяющая условию 8ирга \ц,п — п\ < 1/(2д), а Л — отделимая последовательность, лежащая в горизонтальной полосе, такая, что при некотором у > 0

\Рл(х + iy)\

-q

\Fm(x + iy)\-q u2-q(x), и G (Ai).

(3)

Тогда если выполнено (1), то система е(Л) образует в базис, обладающий свойством Рисса.

Доказательство. Согласно теоремам А и В, \Fm(x + iy)\-q G (A2). Это вместе с (3) и леммой дает \Fa(x + iy)\-q G (Aq). Значит, е(Л) образует в La,n базис, обладающий свойством Рисса.

Следствие. Если выполнены условия (1) и (2), причем Д2 — Ai < 1/q, то система е(Л) образует в La,n базис, обладающий свойством Рисса. Доказательство. Положим

1.(1.. ,.1 + а .

е = - mm--(Д2 - Ai), —--А2

2 \q 2p

При А 2 ^ 1/(2q) справедливо неравенство

ß =

0,

До - — - £

2q

А2 <

2q

а2 ^ —.

2 q

\2q J 2p 2 q 2 q

(4)

Обозначим через M последовательность, элементы которой имеют вид ¡лп = Re An — в ■ sign n. Хорошо известно (см., например, [5]), что

Значит, при \y\ > H

\F.Л(z)\ - \Fm(z)\(\z\ + 1)-2^, \Imz\ > H> 0.

\FЛ (x + iy)\-q - \ F m (x + iy)\-q (\x\ + 1)2^q.

Из (4) следует, что 2ßq/(2 — q) = 7 £ (-1, 0]. Легко убедиться в том, что (1 + |x|)7 Е (Л\) при 7 £ (-1, 0]. Члены последовательности M удовлетворяют неравенству

-77- < Ai - ß ^ \ßn\ ~ \п\ ^ Д2 - ß < 7^-, sign/ira = signn, 2q 2q

т.е. supn lßn — nl < 1/(2q), и, следовательно, функции FЛ и Fm удовлетворяют всем условиям теоремы. Поэтому система е(Л) образует в базис, обладающий свойством Рисса.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-01-00225a).

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кадец М.И. Точное значение постоянной Палея-Винера // Докл. АН СССР. 1964. 155. 1253-1254.

2. Levinson N. Gap and density theorems. N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

3. Павлов Б.С. Базисность систем экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979. 247. 37-40.

4. Хрущев С.В. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979. 247. 44-48.

5. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физ-матлит, 2005.

6. Седлецкий А.М. Эквивалентные последовательности в некоторых пространствах функций // Изв. вузов. Математика. 1973. № 7. 85-91.

7. Helson H, Szego G. A problem in prediction theory // Ann. math. pura. et. appl. 1960. 51. 107-138.

8. Hunt R.A, Mackenhoupt B, Wheeden R.L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. 176. 227-251.

Поступила в редакцию 20.02.2009