О полных и минимальных системах экспонент в Lp(r) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вьт.1.1995

ЦК 517.583

О полных и минимальных системах экспонент в ЬР(Ш)

Т. А. Сальникова

Описан некоторый класс последовательностей комплексных чисел Л таких, что соответствующие системы экспонент

ехр{гА„г - ¿2/2}, А„ € Л

полны и минимальны в пространствах 1/р(К), р > 1.

В статье Залика и Саад [1] получен результат об одновременной полноте и минимальности системы

(еа"'.е-'2/2), Ап€5 (1)

з пространстве £2(Ш). Именно, пусть

Ап = (2тг)1/2.(1+г)-(п-1)1/2, п = 2,3,4,...;

А„ = —Ап = —2, —3, —4,...;

50 = {А„, п = ±2, ±3, ±4,...}

л а - не равное нулю комплексное число такое, что ни а, ни —га не зходят в 5о. Пусть Ах = а, А_1 = — а. Обозначим

5 = {А„, п = ±1, ±2, ±3,...} и {г'А„, п = ±2, ±3, ±4,...}.

Тогда система (1) полна и минимальна в Ь2(Ш).

В настоящей работе изучается вопрос о полноте и минимальности в пространствах ЬР(Ш): р > 1 системы

(егАп< • е~'2/2), А„€А, (2)

© Т.А.Сальникова, 1995. 81

где Л = Л, U Л2, а А, = {±(1 + г)(2тг)1/2(п + а)'/2, п € N, а € С, Rece > —1} U {0} и Л2 = ¿Ai. Под z1^ понимается следующая одн значная ветвь:

Л/2

,1/2

ехр((г'/2) arg г), — 7Г < arg ^ тт.

Отметим, что в последовательности Л присутствует двукратн точка 0. На самом деле, замена этой точки двумя другими точка-а и —а не меняет полноты и минимальности рассматриваемой с стемы. Таким образом, система (1) есть частный случай систел (2) при а = 0. Сформулируем полученные результаты.

1

Теорема 1. При Rea ^ —, р ^ 2 система (2) полна в п

4р

странстве LP(IR).

Теорема 2. При Rea > —, 1 < р ^ 2 система (2) неполна

4р

пространстве LP(K).

Теорема 3. При Rea > —--у, 1 < р ^ 2 система (2) мин

4р 4

малъна в пространстве LP(IR).

11

Теорема 4. При Rea ¡^---, р ^ 2 система (2) не являет

4р 4

минимальной в пространстве LP(M).

Таким образом, случай р = 2 исследован полностью. При р = теоремы 1-4 дают

Следствие. Система (2)

1) полна в L¿

тогда и только тогда, когда Rea ^ -,

8 •

2) минимальна в L¿(IR) тогда и только тогда, когда Rea > —-.

8

В частности, система (2) полна и минимальна в L2(K) тогда

1 0 1

только тогда, когда — - < Rea ^

8 8

Для доказательства теорем нам потребуются следующие вспом гательные утверждения.

Теорема А [1]. Пусть f(z) - целая функция, обладающая св ством

/+оо / /»+оо \ p/q

e-pyVU \f(x + iy)\4x dy

■оо \J—oo J

< оо, 2 < р < оо.

Тогда для преобразования Фурье

/+оо

f(xy

■оо

dx

функции

/(г) справедливо включение ег € Ьр(К.).

Лемма 1. Пусть Г{г) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям:

Г{п + а • signn) = 0, п 6 2, а € С;

Тогда

1) если ¡л + 2Яеа ^ 0, то Р(г) = Р(г)Ьа{г), где Р{г) - многочлен степени ^ /л + 211еа: и

оо ,

La(z) = zl[ll-

п=1 ^

(п + а)

2 / '

^ если /х + 2Rea < 0, rno = 0.

Лемма 1 обобщает утверждение из книги Р.П.Боаса [2, с. 156], относящееся к случаю а. = 0, когда ttLq(z) = sin7rz.

Всюду в дальнейшем р > 1, q > 1, - + - = 1.

' 2 Z2

Лемма 2. Пусть h(z) = е~г /4La(-—), z — х + iy, 2 < р < оо.

47гг

Тогда

1

aJ при Rea > — 4q

+00

б) при Rea >

4 р

/+00

1

■оо

~РУ2/2 ' />+оо .J —оо + и/)|?с£г

РУ2/2 /•+00 /¿(ж + гу) г oh

,J—оо 1 + N

p/í

<

р/я

dy < оо.

В связи с ограничением объема доказательства лемм опускаем.

Доказательство теоремы 1. Предположим противное, т.е.

что при и Rea ^ — система (2) неполна в LP(R). Тогда су-

4р

шествует нетривиальный линейный функционал на IR), который на всех функциях системы (2) обращается в нуль, что по теореме Рисса эквивалентно существованию функции r(t) такой, что

/+0О

/2 • r(t)dt = о, л„ел.

■00

Рассмотрим функцию

/+О0

'еш~* /2 • r{t)dt.

оо

Ясно, что H(z) - целая функция, причем H(z) обращается в нуль во всех точках последовательности Л. Так как

\H(z)\p ^ Kxepy2/\ то \H{z)\ <: Ií2ey2/2 и

\Н{(2тг)^2 • (1 + г) • г)|< К2еж^+у)2. Рассмотрим целую функцию

G(z) = е^2Н{{2п)1^ ■ (1+ i)z).

Используя предыдущую оценку, получаем

\G{z)\ ^ К2е^'. (3)

Поскольку H (А) = 0, то

G{0) = О, G((n + a)1/2) = G(i(n + a)1/2) =0, n = l,2,3,... (4)

Пусть r(t) - четная функция. Тогда G(z) - четная целая функция, и она может быть разложена в ряд Тейлора по четным степеням г. Т.е. существует целая функция F(z) такая, что G(z) = F(z2). Из (3), (4) следует, что

\F(z)\ ^ ffje'W, F{n + a- • signn) = 0, n = 0, ±1,±2,... 84

[Сюода по лемме 1 вытекает, что F(z) = c\La(z), если Rea ^ О ж F(z) = 0, если Rea < 0. Значит, если Rea < 0, то последовательно заключаем, что G(z) = 0, H(z) = 0 и r(t) = 0. Но r(t) ф. 0. Противоречие. Итак, остается рассмотреть случай Rea ^ 0. Тогда

F(z) = ClLa(z), G(z) = ClLa(z2), H(z) = c2e-z2"La{^).

e^|y|-2Rea, ye

:агодаря оценке [3]

\La{iy)\ действительной оси

\Н{х)\ X e"K2/4ex2/4|a:|-4Rea = |хГ4Яеа.

(5)

(б)

Нэ Н(х) является преобразованием Фурье функции e~t2/2r(í), ко-гграя принадлежит Lq(R), 1 < q ^ 2. Следовательно, по теореме Хаусдорфа-Юнга Н{х) принадлежит LP(R), р ^ 2. Что возможно с

~^етом (6) только при Rea > —, а это противоречит условию. Итак,

Ар

2 случае четности функции r(t) теорема 1 доказана.

Пусть r(t) - нечетная функция. Тогда G(z) - нечетная целая згакция, т.к. она обращается в нуль в точке z = 0 с кратностью не

лггныпей двух, то функция

G(z)

также целая, и, следовательно, ее

*,:эжно разложить в ряд Тейлора по четным степеням г. Т.е. суще-

С(

лвует Fi(z) - целая функция такая, что —— = F\(z). Из (3), (4) :ледует, что

\Fi{z)\ < Л'2е7г|-г||.г|-1/2, Fx(n + asignn) = 0, п = 0, ±1, ±2,...

Это означает, что для функции F\{z) выполнены условия леммы 1с ^

а = —. Т.к. Rea ^ — ^ то u+2Rea < 0, и по лемме 1 G(z) = 0. 2 Ар 8

Отсюда снова H(z) = 0, r(t) = 0. Противоречие.

Если же r(t) - функция общего вида, то рассмотрим функцию

= r(t) + r(—t). Функция ri(t) является четной и r\(t) ^ 0. Тогда имеем

+оо

izt-t2!2 .

С+оо

r](t)dt

iizi-t,'2-r{t)dt +

"+00

e-i:l-tV2 .

В силу определения Л, оба слагаемых правой части обращаются в нуль на последовательности Л. Значит и левая часть обращается в нуль на последовательности Л. Таким образом, все свелось к случаю четной функции рассмотренному выше. Теорема 1 доказана

полностью.

Доказательство теоремы 2. Нам удобнее доказывать неполноту системы (2) в 1 < q < 2 при Rea > —. Рассмотрим целую функцию

Тогда h(\„) = 0 при \п € Л.

Так как Rea > —, то по лемме 2 4 q

п+оо / f+OO

\р/я

I е-ру2/2П \h(x + iy)\4x) dy<-foo. (7)

-оо

Пусть

ГН J-R

Из сходимости интеграла (7) по теореме А следует, что

ф)ех^2-еЬр{Щ, Р^ 2. (8)

Но ц{х) = /л(х) ■ е*2!2 ■ е~х2!2. По неравенству Гельдера

/+оо ■оо

Т.е. ц(х) € ^(Ш). Тогда для справедливо представление

/+оо

ф) ■ еиЧх.

•оо

Таким образом,

/+0О

^Х-Х'2г{х)йх,

■оо 86

еде r(x) = ii{x)ex2'2 и r{x) e R), p ^ 2 (см. (8)). Т.к. h(Xn) = 0, то нами построена нетривиальная функция - х), r(x) € Lp(R)i аннулирующая систему (2). Следовательно, система (2) неполна в Lq(R), 1 < q ^ 2 при Rea > —.

Доказательство теоремы 3. Здесь снова удобнее доказывать минимальность системы (2) в Lq(IR), 1 < q ^ 2 при Rea > — — Рассмотрим целую функцию

Заметим, что h(А„) = 0 при An £ А. Пусть

h{z)

nKz) , / л

= < (z-\k)h'(\ky

1, z = xk.

Тогда Gfc(z) - целая функция.

тт.

ак как

р+оо

/+оо •00

h(x + iy)

тго из сходимости интеграла

/+со Г />+оо

е-я^/з f

■оо LJ — оо

/г (ж + г'у)

1 + Ы

1 +

q р/я

dx,

dx

dy,

имеющей место по лемме 2, следует сходимость интеграла

/+0О г р+оо

g-РУ /2 / ^(я+гу)^ ■ОО L</— 00

р/я

dy.

Пусть

/+00

e~MGk(t)dt,

•оо

тогда по теореме А функция et2^gk(t) £ 1/(Е), р ^ 2. Так как

/+оо

в'*** ■ е-'2/2 • e*ftgk(t)dt = Gk(Xn) = 6nJ¡,

•оо

то для системы (2) построена биортогональная система функций

{//^(i)} € ЬР(Ш).

Т.е. система (2) минимальна в L?(R), 1 < q ^ 2 при Re а- > ~—

Доказательство теоремы 4. Предположим противное. Пусть

1 1

система (2) минимальна в LfCR), р ^ 2 при Re ct ^ ----. Тогда

Ар 4

существует биортогональная система rk(t) (Е L?(R) такая,

что

jT ,«.<-"/> =

Рассмотрим

/+оо

eizt-t7'2-r0(t)dt, r0{t) e Lq{R).

■00

Начиная с этого момента, доказательство идет в полной аналогии с доказательством теоремы 1.

Литература

1. Zalik R.,Abuabara Saad Т. Some theorems concerning holo-morphic Fourier transforms// J. Math. Anal, and Appl. 1987. V.126. P.483-493.

2. Boas R.P. Entire functions. N.Y.: Acad, press, 1954.

3. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// УМН. 1982. Т.37.№5. С.51- 95.

Summary

Salnikova Т.A On complete and minimal systems of exponents. The sequence of complex numbers A that corresponding systems of functions ехр{г'А„г — t2/2}, A„ 6 A are complete and minimal in spaces i/(R), p > 1 is described.

Московский энергетический институт Поступила 26.05.9S