Новый метод исследования полей давления в неоднородном ортотропном пористом пласте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

НОВЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ В НЕОДНОРОДНОМ ОРТОТРОПНОМ ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ

© О. В. Ахметова1*, П. Н. Михайлов1, И. М. Филиппов2

1 Уфимского государственного нефтяного технического университета, Салаватский филиал Республика Башкортостан, 453250 г. Салават, ул. Губкина, 22б.

2Башкирского государственного университета, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

На основе модификации «в среднем точного» асимптотического метода найдены аналитические формулы для полей давления при постоянном отборе из неоднородных анизотропных пластов в нулевом асимптотическом приближении в предположении одномерного радиального течения.

Ключевые слова: Поля давления, анизотропная среда, фильтрация, постоянный отбор, асимптотический метод.

Задачи о полях давления при фильтрации жидкости составляют основу теории массопереноса в пористой среде, поскольку они имеют большое практическое значение для нефте- и газодобычи, гидрогеологии, экологии и т.д. [1]. Здесь особое место имеет задача о фильтрации в неоднородных анизотропных пластах в силу разнообразия условий и практической значимости. Ниже показано, что важные аналитические зависимости могут быть успешно получены на основе новых модификаций асимптотических методов, возможности которых, связанные со специальным выбором формального параметра асимптотического разложения, пока мало реализованы. При этом возникает необходимость построения нулевого и первого коэффициентов разложения, погранслойных функций и оценочных выражений для остаточного члена. Полученный таким образом нулевой коэффициент разложения описывает осредненные значения физических параметров. Построение первого коэффициента требует добавочных условий, которые получены на основе тривиального решения осредненной задачи для остаточного члена. В силу этого соответствующие выражения для нулевого и первого приближения названы «в среднем точными» [2-4].

Развитый авторами настоящей статьи метод уже позволил построить новые сравнительно простые аналитические решения фундаментальных задач подземной гидродинамики [2-4]. В этих работах рассмотрено применение развитого метода к

задаче плоской линейной фильтрации в пласте в режимах постоянного отбора и депрессии. В отличие от цитированных работ, в данной статье иллюстрируется применение метода к важнейшей для нефтепромыслового дела квазистационарной задаче, описывающей плоскорадиальную фильтрацию в режиме постоянного отбора в ограниченном по высоте стоке в неоднородной анизотропной среде. В соответствии с поставленной в заглавии целью относительно подробно освещены все этапы применения развитого метода.

1. Постановка задачи для радиального течения при постоянном отборе. На рис. 1 представлена геометрия течения в цилиндрической системе координат, ось г которой совпадает с осью скважины. Среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела г = ±1. Покрывающий и подстилающий пласты считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении. Это позволяет пренебречь членом со второй производной по горизонтальной координате г в уравнении для окружающей среды. Средняя область толщины 2 (-1 < г < 1) является хорошо проницаемой и в горизонтальном, и в вертикальном направлениях.

Далее предположим, что свойства подстилающих и покрывающих пластов идентичны. В соответствии с этим постановку задачи можно упростить, воспользовавшись условием симметрии д Р / д г(г = 0) = 0.

Рис. 1. Г еометрия задачи о радиальной фильтрации в слоисто неоднородном пласте.

автор, ответственный за переписку

Существенное упрощение рассматриваемой задачи без заметных искажений основных изучаемых особенностей достигается путем использования так называемого квазистационарного приближения, широко используемого в электродинамике для описания электромагнитных полей в электрических цепях. Существо этого приближения заключается в пренебрежении производной по времени в уравнении пъезопроводности в центральном пласте (д Р / д Б0 ) = 0 . Однако, время входит в полученное

таким образом стационарное уравнение в виде параметра, или параметрически. Кроме того, для простоты демонстрации метода, положим все коэффициенты в уравнениях равными единице.

Математическая постановка гидродинамической задачи в таких предположениях включает уравнение пьезопроводности в верхнем пласте

д Р1 д2 Р1

= 0,

г > 1, Бо > 0,

(1.1)

д Бо д г2

стационарное уравнение в центральном пласте

, г > 0

1 д ( дР Л д2 Р п 0 < г < і

----1 г— I + —- = 0, 0 < г <1

г дг V дг ) д г

условие симметрии в центре пласта д Р

д г

= 0

(1.2)

(1.3)

Начальное условие может быть записано только для окружающей среды, поскольку уравнение пъезопроводности в центральном пласте является квазистационарным

Рро=0 = 0

.4)

На границе раздела сред заданы равенства давлений и потоков

м

д г

Р = Р ,

РI г=1 Рг=1

д Р

д г

(1.5)

Для случая постоянного отбора давление на левой границе согласно закону Дарси имеем предельное соотношение

й(Годр1.=„)"' аб)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль.

Заметим, что аналогичные задачи возникают при изучении движения в среде с двойной пористостью, пористой среде с фрактальной структурой, теории теплопроводности неоднородных сред и т.п.

2. Разложение по асимптотическому параметру. Вместо сформулированной, рассмотрим более общую задачу, полученную введением произвольного асимптотического параметра е путем добавления множителя 1/е перед первой и второй производными по г как в уравнениях, так и в гра-

ничных условиях. Отметим, что именно такая параметризация [6] обеспечивает указанные выше свойства коэффициентов асимптотического разложения, а решение исходной задачи может быть получено из решения параметризованной задачи при е = 1. Задача <1.1)—<1.6) является, таким образом, частным случаем более общей параметризованной задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения

д Р1 д2 Р1 = о г > 1, Бо > 0 д Бо д г2

1 д ( дР Л 1 д2Р „ —I г— I +------------------= 0,

г дг V дг ) £ д г

0 < г < 1, г > 0

д Р

д г

= 0

Р1|ро=0 = 0

Рі = Р\

Р1І г=1 Р1г=1

Ііт

г0^0

, ЭР

' ЭР л

г0 Эг V г=г0 )

= 1 дР

£ д г = -1.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Будем искать решение задачи (2.1) - (2.6), представив функцию давления Р каждой из областей асимптотической формулой [2]

Р = Р <°) + ЄР « + ... + £ ПР(П) + 0(Л) ,

Р1 = Р1(0) + єР(1) + ... + £ИР1(И) + 0((и). (2.7)

Подставив выражения (2.8) в (2.1) - (2.7) и

сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения Є, получим

3(0) Э 2р (0) (д р(1)

ЭР™ Э2Р™ + Є( дР^ Э2Р1(1) +

ЭБо Эг2 V д Бо Эг2 1

+... = 0, Бо > 0, г > 1,

д2Р(0)

+

д г

+ Є 1 — (г дР(0> I д2Р(1)

+... = 0,

(2.8)

дг 1 дг ) д г2

21 1 д ( дР(1) Л д2Р(2)

+ г ЭТ 1г ~эГ) + д г2

г > 0, 0 < г < 1,

ЭР(0) Эг

г(°)|

+ £—

_ЭР(1)

Эг

о(!)|

+... = 0

+ £Р +... = 0

1 ІБо=0 1 ІБо=0

Р'0) — Р'0) +

I г=1 1 Iг=1

+ є(р(1)| — Я(1)| )+... = 0

г=1 1 г=1

д Р(0)

--------- +

д г ,

г=1

' д Р(1) д Р.(0) )

+ Є| —д I + = °,

Э г г=1 Э г г=11

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

=0

д

г

г=1

г=1

г=0

=0

lim

го ^0

dP(0)

дг

dP(1)

dr

, 0 < г < 1.

-1 (2.13)

Заметим, что сомножители при степенях е в (2.9) и (2.12) содержат коэффициенты разложения соседних порядков, и в этом смысле уравнения для коэффициентов являются «зацепленными». Ниже осуществлена процедура расцепления.

3. Постановка гидродинамической задачи в нулевом приближении. Формально устремив е к нулю в уравнении (2.9), получим (д2Р*0)/д г2 ) = 0.

Результат интегрирования (дР(0) / дг )= А(г,Бо), с учетом граничных условий (2.12), позволяет установить, что А(г, Бо) = 0. Т аким образом, в нулевом приближении давление является функцией только от г и параметра Бо p<0) = p^(г,Ро). Следовательно, в нулевом приближении давление в каждом цилиндрическом сечении центрального пласта с осью г одинаково. Далее приравняв к нулю коэффициенты при 8 в уравнении (2.9), получим

1 д ( дР(0) д2 Р(1) п.

----1 Г----I +----— = 0

г дг ^ дг ) дг

Так как р (0)(г,ро) не зависит от переменной то вспомогательная функция Е(г,Ро), зависящая только от Р(0) позволяет представить (3.1) как

d!PÜ = E (r,Fo )=-1± f г dP^. dz r dr V dr

(3.2)

Проинтегрировав последовательно, найдем выражения для первой производной от первого коэффициента Р(1) по переменной г

дР (1)

= гЕ(г,Бо) + ^ (г,Бо) (3.3)

дг

и первого коэффициента разложения в виде квадратного трехчлена

2

Р(1) = ^-Е (г,Бо)+ г¥ (г,Бо)+ е(г,Бо) (3.4)

с функциональными коэффициентами Е(г,Бо), ^(г,Бо), б(г,Бо), подлежащими определению. Из граничных условий (2.12) и (2.10) при сомножителе 8 в первой степени имеем

д Р/0 0

дг

d P

d г

= E (r, Fo )+ F (r, Fo У = F (r, Fo )= 0.

(3.5)

Отсюда получим выражение для функционального коэффициента е(г,¥о) через след производной из внешней области

дР,(0 > .

E (r ,Fo ) = ■

дг

(3.6)

Подставив выражение (3.2) в (3.6), получим искомое уравнение для определения нулевого приближения давления в пласте

1 d f dP(0)

dr V dr

dP1(0)

дг

= 0 :

r > О, О < г < 1.

(3.7)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в покрывающих породах

д Р(0) д2 Р(0)

= О, Fo > О, г > 1

(3.8)

дБс дг2

а также соответствующие граничные и начальные условия

P

(О)

(О

P1

Ііт

f dP(0) л

r° dr V г=го J

I г = 1

, 0 < г < Ь

= -1

P(o)| = 0.

1 lFo=0

(3.9)

(3.10)

(3.11)

Выражения (3.7)-(3.11) представляют краевую задачу для нулевого коэффициента разложения Р(0) или нулевого приближения. Отметим, что она является смешанной, поскольку уравнение для пласта не является параболическим. Кроме того, это уравнение содержит след производной из внешней3оБ> ласти.

Непосредственным интегральным усреднением исходной задачи нетрудно убедиться, что (3.7) -(3.11) представляет задачу для осредненных по толщине центральной зоны значений давления. Это определяет физический смысл нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения и практическую важность его определения, поскольку поиском осредненных значений в подобного рода задачах чаще всего и ограничиваются.

4. Решение в нулевом приближении. Воспользуемся интегральным преобразованием Лапласа-Карсона по переменной Бо

f ( p) = p J exp(- p Fo)f (Fo)dFo.

(4.1)

Математическая постановка гидродинамической задачи в нулевом приближении (3.7)-(3.11) в пространствах изображений Лапласа-Карсона по переменной Бо запишется в виде

д 2 Р(0)и рР(0)" --Р

= О, г >1

(4.2)

1 _Э_ f r dP(0)" Л + dP(0)“ r dr V dr J дг

= 0, r > 0, 0<z < 1 (4.3)

P (0)и = P(0)u

Ііт

4)^0

dP

(0)u

dr

= -1

z=1

, 0 < г < 1.

(4.4)

(4.5)

Решения уравнений (4.2) с учетом граничного условия (4.4) представляются через Р(0)“ в следующем виде:

р(оV = Р(о)м ехр(_ ^(г _ !)). (4.6)

С помощью выражения (4.6) найдем след производной из внешней области для уравнения (4.3)

+ r

+...

r

О

О

r

r=ro

r=ro

=1

О

г

z = 0

r

О

z=1

дР1(0)и

дг

=-4гР

(0)и

(4.7)

Подставляя выражения (4.7) в уравнение (4.3), после простых преобразований получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения Р(

,(о)м

1 дт [ г ъ~1г I -^рР(0)и=0,

г дгI дг

(4.8)

откуда окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Лапласа - Карсона

Р(0)и = К 0 (V рг

(4.9)

Р(0)м = К0 (^~рг )ехр(-Л/р (г -1)). (4.10)

Применяя обратное преобразование Лапласа -Карсона, с использованием соотношений, где для удобства использована переменная 7 вместо Бо

К0 (ал/р ) ^ 1 | ехР(- и ) ^,

2 а2 /4г

(4.11)

) схр(^ - ^57 ^]ф(т)^т, (4-12)

ехр(- ар)/(р) ^ ф(г - а)ф(? - а) (4.13)

получим следующие выражения для точного решения задачи для нулевого коэффициента разложения (3.7) - (3.11):

Р(0) =

2По Н("

7 , и

I ехр(- и)-

т2 I

-----—тх

4Бо I ,

Р1(0) =—1— I ехр[- ———тх 1 2По Д Я 4Бо ] .

\ йи

х | ехр(- и) -

(4.14)

(4.15)

■2/4(т-г+1)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в исходную задачу.

Итак, применение «в среднем точной» модификации асимптотического метода к задаче о фильтрационном поле в неоднородной анизотропной среде позволяет найти простые аналитические выражения для нулевого коэффициента асимптотического разложения. Это открывает перспективы для решения других задач о фильтрации в неоднородной пористой среде.

Список обозначений Бо - число Фурье или безразмерное время;

Р - давление;

х, г - линейные координаты;

8 - параметр асимптотического разложения; Индексы нижние: 0 - начальные значения параметров, 1 - номер среды, г, х - направление.

Индексы верхние (в скобках) - порядковый номер коэффициента асимптотического разложения.

Обозначения математических символов - общепринятые.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чекалюк Э. Б. Основы пьезометрии залежей нефти и газа. Киев: ГИТЛ УССР, 1965. 286 с.: ил.

2. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Филиппов И. М.

Приближенное описание поля давления в неоднородном

анизотропном пористом пласте // Научные труды

Стерлитамакской государственной педагогической академии им. Зайнаб Биишевой. Серия: «Физико - математические и естественные науки». 2011, №°1. С. 122-131.

3. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Филиппов И. М.

Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом

приближении // Механика жидкости и газа. 2012. №3. С. 89-100.

4. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Филиппов И. М.

Фильтрационное поле давления при постоянном отборе // Инженерно - физический журнал, т. 85, №°1, 2012. С. 1052-1064.

5. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.

6. Филиппов А. И., Михайлов П. Н., Гюнтер Д. А., Иванов Д. В. О

построении асимптотического решения в задачах сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической

физики. 2008. Т. 48. №11. С. 2046-2057.

г=1

х

г2/4т

и

Поступила в редакцию 31.10.2013 г.