CC BY
30
УДК 532.546
ЧАСТОТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ ФИЛЬТРАЦИОННО-ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ ПРОНИЦАЕМЫХ ПЛАСТАХ
© А. И. Филиппов*, О. В. Ахметова, Г. Ф. Заманова
Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37.
Тел.: +7 (3473) 43 60 97.
*ЕтаИ: strbsu@mail.ru
Модель фильтрационно-волновых полей, представленная в статье, базируется на волновом уравнении, полученном из уравнения движения, учитывающего силы трения. В частном случае отсутствия ускорения использованное уравнение движения совпадает с законом фильтрации Дарси. Обсуждаемая в статье пористая среда является слоисто-неоднородной, поскольку состоит из трех слоев, а в каждом слое - однородной и изотропной. На границах соприкосновения слоев заданы условия равенства давлений и потоков флюида. В начальный момент времени на левой границе в интервале пласта включается источник колебаний, изменяющийся по гармоническому закону. Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль. Решение задачи отыскивается с использованием произвольного асимптотического параметра, введенного перед первой и второй производными от функции возмущения давления в центральном пласте по переменной z (вертикальная координата), как в уравнениях, так и в граничных условиях. При значении асимптотического параметра равном единице, параметризованная задача совпадает с исходной. Задача для амплитуд давления решается в комплексной форме в пространстве изображений Фурье по переменной х (горизонтальная координата). В статье представлены решения задачи для нулевого асимптотического приближения, которое представляет собой эквивалентную плоскую волну, волновые поверхности которой параллельны оси z. Построены аналитические частотные зависимости коэффициента поглощения, волнового числа и фазовой скорости для фильтрационно-волновых полей в неоднородных проницаемых пористых пластах. Приведены графические зависимости указанных параметров от частоты и физических свойств пористой среды и насыщающего флюида. Показано, что в слоисто-неоднородной среде: - коэффициент поглощения меньше, чем в однородной, на всем диапазоне частот; - высокочастотные компоненты фильтрационных волн испытывают сильное поглощение; - с ростом частоты фазовая скорость возрастает и при достаточно высоких частотах приближается к скорости распространения упругих акустических волн.
Ключевые слова: волновое уравнение, асимптотический метод, волновое поле давления, фильтрация, анизотропная среда, коэффициент поглощения, волновое число, фазовая скорость.
Введение
В отличие от известных модельных подходов к описанию фильтрации жидкостей в пористых средах [1-5] ниже предложена процедура представления филь-трационно-волнового процесса в виде плоской волны в центральном слое трехслойной проницаемой анизотропной пористой среды на основе «в среднем точного» асимптотического метода [6, 7]. Найдены аналитические зависимости коэффициента поглощения, волнового числа и фазовой скорости от частоты и параметров среды.
1. Постановка задачи для линейной геометрии
На рис. 1 представлена геометрия течения в прямоугольной системе координат, ось которой совпадает с осью скважины. Неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела 2а = +к, перпендикулярными вертикальной оси. Покрывающий и подстилающий пласты считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении, средняя область толщины 2к (-к < 2а < к) является хорошо проницаемой и в горизонтальном, и в вертикальном направлениях. Для простоты течение полагается линейным (по горизонтальной оси ха). Окружающие породы являются сильно анизотропными, и в них преобладает вертикальная проницаемость в сравнении с горизонтальной настолько, что можно пренебречь членом со второй производной по горизонтальной координате в уравнении для окружающей среды.
Математическая постановка гидродинамической задачи в таких предположениях включает волновые
уравнения [4], учитывающее преобладание вертикальной проницаемости, в верхнем и нижнем пластах
i а 2р
dl
i ар
dl
а2 р
dl
ат2
zi ат
= 0 , т > 0 ,
i а2 р
+.1
дРг
d2
&d
а2 р
Zd > h,
2
ат2
Ж2 ат дz,
(1.1)
= 0, т > 0 , zd <-h , (1.2)
d
волновое уравнение в центральном пласте
i а2 Pd _ар,
а2 р
d
а2 р
c2 ат2
Зхл
х ат дzd
—h < Zd < h , Xd > 0 .
= 0 , т > 0 ,
(1.3)
Рис. 1. Геометрия задачи: 1 - покрывающая среда, 2 -подстилающая среда.
В начальный момент времени возмущения отсутствуют и поле давления совпадает с гидростатическим
\Т=0 = + Ръ рй2\т=0 = -Р* + р11,
р U =—PSZ + р11,
2
2
c
i
2
2
8Р,
¿1
8т
- 0
8Р,
¿2
г-0
8т
- 0
г-0
8т
- 0.
(1.4)
На границе раздела сред заданы равенства давлений и потоков
р I - р I Р I - Р I
1А1\гй=к ¡¿¿-к' ±А2 ^¿—к ¿1 —к '
8хл
- ь ^
8хл
—к
- ь ^
(1.5) . (1.6)
—к
Давление на левой границе изменяется по гармоническому закону
Рл
й хЛ -0
- рй0 сов(юйт) + Рп .
(1.7)
С использованием соотношений р= Р&3 - (~Р§2 + Рп) х - ъ '' " ' к
Р
г
10
,2
Af -
X
X
к с2'1 х
к1 -3 ь
к2юй X
уз -
с3
(1.8)
где Р10 - максимальный перепад давления, а у - номер области, запишем задачу (1.1)-(1.7) в безразмерном виде
А^
8 2 Р 8г2 + 11 8Р1 8 2 Р1 2 - 0, г > 0,
82 Р2 8г2 + 12 8Рг 8г 8 2Р2 2 - 0, г > 0,
Af 82 Р 8Р +-- 8 2 Р 82Р
-0,
г > 0 , -1 < г < 1, х > 0 , 8Р1
Р -0, Р2\ -0, Рр -0 , —1 1 г-0 21г-0 1г-0 8г
-0,
г-0
8Р2 8г
Р , , Р2\ ,
-1 1г=-1
0
г 0 -рр|
р
81
-0,
г -0
8р
8г
г-1
8Р
Р
8г
ар
(1.9) (1.10)
(111)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
г --1
Рр х-0 -Р0ес8(шг) (1.15) Для сопряженной комплексной части имеем следующую задачу:
„ д2р; ер; д2р; Му,-^ +11—1--^ -0 , г > 0 , г > 1,
И -Т~ +11---Т"
1 8г2 8г 2
Му-
8 2Р2
+ 12
8Р_ 8 2 Р_
8г2 2 8г 2
-0, г > 0, г <-1.
д„82 Р 8Р 82 Р 82 Р „
А—— +-------— -0,
8г 8г 8г2 8х
г > 0 , -1 < г < 1, х > 0
Р 8г
8Р_
8г г-0 ' 8г
Р_ -0, Р2 п - 0, Р'\ п -0 Лг-0 ' 21г-0 ' 1г-0
-0,
г-0
8Р2
-0,
-0,
(1.16) (1.17)
(118) (119)
Р_ , -Р\
Р_
-Р\
К1
Р
8г
8Р
8г
8Р_
_2 _8Р_\
\z--1 I
(1.20) (1.21)
Р\ х-0 - Рс81п(юг) (1.22)
Умножив задачу (1.16)-(1.22) на г и сложив с (1.9)-(1.15), получим задачу для комплексного давления Р
8 2Р
8Р 82Р
Afv1 —Р- + 11 —1--Р- - 0 , г > 0, г > 1, (1.23)
8г2 8г 8г2
Afv?д2р- + 12 ^- 0, г > 0, г <-1, (1.24)
8г 8г2
2
8г Af
82 Р 8Р 8 2 Р 8 2 Р
8г2 8г 8г2 8х2 г > 0, -1 < г < 1, х > 0
- 0,
Р - 0, р2 - 0, - 0,
1 г-0 21г-0 1г -0 8г
-0,
г-0
Р 8г
г -0
- 0, — 8г
- 0 .
г-0
Р1 - Р ,
- Р
8Р1
8г
г-1
8р
8г
г-1
8Р2
-1
_ддр
- Р0ехр(г®г).
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28) (1.29)
виде
Решение задачи (1.20)-(1.25) будем отыскивать в
Р1 - Р1 ехр(г«г), Р2 - Р2 ехр(г«г),
Р - Рехр(1аг). (1.30)
Задача для амплитуд давления представится как
(ю! - Afvlm2)р-8-рр- - 0, г > 1,
8г 2 82Р
(\ 82Р
Ю! - Afv2ю2)Р2 -—2 - 0 , г <-1
(ю- Af ю2 )р-
8г 2 8 2 Р 8 2 Р 2 8х2
- 0 .
-1 < г < 1, х > 0 ,
Р1 г-1 - Рг-1 , Р2|г--1 - Р\?--1 =
(1.31)
(1.32)
(1.33)
(1.34)
8Р1
8г
8Р
8Р2
8Р
(1.35)
(1.36)
г-1
Рх-0 - Р0.
Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, обращается в нуль.
2. Разложение по асимптотическому параметру
Рассмотрим более общую задачу, полученную введением произвольного асимптотического параметра е перед первой и второй производными от функции возмущения давления в центральном пласте по г, как в уравнениях, так и в граничных условиях задачи
г-0
г
г
г
0
т
2
к
к
г
к
к
ь
2
с
2
К
К
2
г
г--
г
г
К
К
г
г--
К
К
й р — а^р = 0 , z > 1,
дz
а 2 р
Й2р —■—f = 0, z <-1 ,
дz
й2р — 1а2р —а2р = 0 , —1 < z < 1, x > 0 ,
^ аz2 ах2
р1 z=1 = PZ=1 , р2 z= — 1 = рz=—1 ,
_ар5
аz
1 ар
s аz
:=1
ар
аz
1 ар
s аz
(2.1) (2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
ри = Р0 . (2.6)
В задаче (2.1)-(2.6) введены обозначения р = (-(о2 , р1 = д/ ц - А{у1а2 ,
<2 =^ -Л{у2(2 . Отметим, что решение исходной задачи может быть получено из решения параметризованной задачи при е = 1. Задача (1.33)—(1.37) является, таким образом, частным случаем более общей параметризованной, содержащей формальный параметр е.
Решение задачи (2.1)—(2.6) в каждой из областей представлено асимптотической формулой по параметру е
Р1 = р(0) + ер1' +...+ £пР(п> + ^ Р2 = Р2(0) + еР2(1) +...+ £пР(п) +в(п), Р = Р(0) + еР(1) +...+
епР(п) + в(п). (2.7)
Подставив выражения (2.7) в (2.1)—(2.6) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения е, получим
э(1)
(п) Г)(п)
й р(0)-
2р(0)
а 2р
аz2
■ + s
' 2 (1) а2 р(1)'
й р!1)--L_
дz2
z > 1,
й р
аz2
+ 8
Й р
аz2
+...=0,
+ ...= 0,
(2.8)
2р(0)
а2 р
+ 8
■ + 8
z <—1, (2.9)
йр(0) — а2р(1) а2р(0)"
аz2
й р( 1)_ар!__#р?_
ах2 +...=0
(2.10)
дz2 ах2
—1 < z < 1, х > 0 , (р(0)+8р(1)+..) 1=(р(0)+8р(1)+...)
(р(0)+8р(1)+...) = (р2(0)+8р2(1)+...) , (2.11)
i z=—1 I z= —1
ар(0)
аz
+ 8
z=1
ар
(1)
аz
ар(0)
z=1
аz
z=1
+ ...= 0,
ар(0)
дz
+ 8
ар
(1)
— К'
ар2(0)
аz
р(0)+8р(1)+.
z=—1
0) 1)
аz
х=0
= р> .
+ ...= 0, (2.12)
(2.13)
Анализ показывает, что выражения при степенях е в (2.10), (2.12) содержат соседние коэффициенты разложения и в этом смысле являются «зацепленными». Для решения соответствующего уравнения осуществлена процедура расцепления.
3. Постановка задачи в нулевом приближении
Формально устремим е к нулю в уравнении (2.10) получим (э2 Р( 2) = 0. Результат интегрирования
(эр( 0)/& ) = А (х, г) с учетом граничных условий (2.12) позволяет установить, что А(х, г) = 0. Таким образом, в нулевом приближении давление является функцией только от х и не зависит от 2: Р(0) = Р(0) (х), т.е. одинаково в каждой точке любого сечения, параллельного оси 2.
Далее, приравнивая к нулю коэффициенты при е в уравнении (2.10), получим
,(0) а2р( 1 а2р(0)
= 0.
(3.1)
Эг2 Эх2
Так как Р(0)(х) не зависит от переменной 2, вспомогательная функция Е(х), составленная из слагаемых уравнения (3.1), содержащих Р(0)
дх
(3.2)
также не зависит от 2. Тогда (3.1) можно представить как
Э 2 Р(1
= Е(х) . (3.3)
Эг 2
Проинтегрировав последовательно, найдем выражения для первой производной от первого коэффициента Р(1) по переменной 2
= гЕ(х) + Р (х) (3.4)
Эг
и первого коэффициента разложения в виде квадратного трехчлена
2
Р( 1) = у Е (х) + гР(х) + д (х) (3. 5)
с функциональными коэффициентами
Е(х) Р(х), ^(х), подлежащими определению. Из граничных условий (2.12) при сомножителе е в первой степени имеем
ар(0)
аz
ар2(0)
аz
= E (х) + F (х),
= —E (х) + F (х).
(3.6)
z=—1
Отсюда следуют выражение для функциональных коэффициентов Е(х)
E (х) = 1
ар
(0)
FW
дz
ар(0)
ар:
(0)
аz
+ К
аz
ар2(0)
аz
(3.7)
(3.8)
через следы производных из внешних областей.
Подставив выражение (3.2) в (3.7), получим уравнение для определения нулевого приближения поля давления в пласте
2 р( 0)—^ = 1 дх 2
ар(0)
аz
ар2(0)
z=1
аz
Л
z=—1
(3.9)
К
К
z
z=—
z
К
2
z=1
К
2
К
— К
1
2
z=1
z=—1
ч
У
— К
и
К
2
z=1
z=—1
У
z=—1
z=—1
К
— К
2
\
Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнения в покрывающих и подстилающих породах
,2р
р2 Р'
а 2 2
■ = о,
2 (0) а2Р2(0)
р2 Р20]--т2г
а г
= о,
(3.10)
(3.11)
а также соответствующие граничные и начальные условия
р(0)= Р(0)| ,
Р = Р1 | г=1
Р(о)= р(0)\
2 I г=-1
Р
(0)1
х=0 = Р0 .
(3.12)
(3.13)
Выражения (3.9)—(3.13) представляют краевую задачу для нулевого коэффициента разложения Р(0) или нулевого приближения. Отметим, что эта задача относится к неклассическим, поскольку уравнение для пласта содержит следы производных из внешних областей.
Непосредственным интегральным усреднением исходной задачи нетрудно убедиться, что (3.9)—(3.13) представляет задачу для осредненных некоторым образом по толщине центральной зоны значений давления. Это определяет физический смысл нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения и практическую важность его определения, поскольку поиском осредненных значений в подобного рода задачах чаще всего и ограничиваются.
4. Решение в нулевом приближении
Для решения задачи воспользуемся интегральным синус-преобразованием Фурье по переменной х
(у) = | / (х)$т(ух^х,
(4.1)
Математическая постановка гидродинамической задачи в нулевом приближении (3.9)—(3.13) в пространстве изображений Фурье по переменной х запишется как
(р2 + у2 р(0> - уР0 =
ар(0)и
аг
ар(0)и
, , а 2 р(0)и р2р(0)И -а_Р_ =
а г
, , а 2 р(0)и
Р22р( -_-РV-
а г
аг = 0.
= 0.
р(0
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
» _ „Ш р(0)и _ р(0>|
=Р1 1г=1, Р =Р2 1г=-1. Решение уравнений (4.3), (4.4) с учетом граничных
условий (4.5) представляются через Р(0)и в следующем виде:
Р^ = р(0)и ехр(-р(г -1)),
= Р(0)и ехр(р2(г +1)). (4.6)
С помощью выражений (4.6) найдем следы производных из внешних областей
ар(0)и
аг
= -рР
(0)и
ар
(0«
2 =1
аг
= р2 Р(0)и . (4.7)
г=-1
Подставляя выражения (4.7) в уравнение (4.2), после простых преобразований получим алгебраическое
уравнение для определения р
(0«
Р2 + у 2 +врр+» ^ = ур0
(4.8)
откуда окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Фурье
Р
|(0)м
р2 + у 2 +51Р1 + К2р2
(4.9)
р(0)и _ Р1 ="
урл
0
р2 + у2 -К!+ Кр 2 2
2 2
ехр(- Р1 (г -1)), (4.10)
Р
|(0)м __
урп
0
р2 + у2 + КР +
2 2
ехр(р2(г +1)). (4.11)
Применяя обратное преобразование Фурье, с использованием соотношения
2 2 а + у2
*р(- ах)
(4.12)
получим следующие выражения для нулевого приближения:
Р(0) = Р0 ехр
р2 + Кр + Кр2
2 +кр +кр
Р(0) = Р) ехр
V
X ехр(-р(г -1))
Р2(0)= Рэ ехр
Л
X ,
У
\
X X
У
Кр ^ К2Р2
-••/р ----I--X
(4.13)
(4.14)
(4.15)
< ехрр2 (г + 1))
В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу (3.9)-(3.12).
Для определения дисперсионных соотношений выражение (4.13) запишем в виде
Р(0) = Р0 ехр(- (а + р)х) . (4.16)
Коэффициент поглощения а в выражении представляется выражением
а =
№ + КО - 2Л£®2)+
2 Г -
К1О"1 + К2О2 - 2Л£® Г +
|| + (к151 + к282 + 2т)
где
¿1 =■
¿2 =
Г2®2 - ЛГу«2
2
/м2^®2 + Му®2
2
\лГ2у2^т2 + !22 - ЛУ®2
«д/Лг2^2®2—!2 + ЛУ«2
(4.17)
а волновое число Р
у
X
0
К
-К
2
г=1
г=-1
+
4
СТ! =
1
2
СТ-, =
2
2
ыкг1а1 +к2а2 — 2Afm2 ]2+(к1^1 + к252 + 2m)2 — ß ]~1К1^1 + К2&2 — 2Afm")_ . (418)
Выражение для фазовой скорости волны V = (/ ¡5 запишется как
v = ml
^К1а1 + К2а2 — 2Afm2) + (к1^1 + к282 + 2mf —
у1о~1 + К2а2 — 2Afm
i
4
(4.19)
Подставляя в выражения (4.17)—(4.19) соотношения (1.8), с учетом (4.16) нетрудно убедиться, что в размерных координатах, коэффициент поглощения, волновое число и фазовая скорость не зависят от полутолщины центрального слоя, а являются функциями частоты и параметров среды.
Для однородной среды эти соотношения имеют вид соответственно [8]
ah =
m
>л1а{[2m2 +1 — Afm2
ßh =
2a*
m(V Af2m2 +1 + Afm
(4.20)
(4.21)
^ = ( = 2«а = ^2®^7ЛГ2®2 +1 - Л( . (4.22)
После умножения решения задачи в нулевом приближении на ехр(г'ю/) действительную часть (4.11), (4.12) решения представим виде
Р(0) = Р0 ехр (-ах)со8 (( - ¡х), (4.23)
Р(0) = Р0 ехр(-ах - 81 (г -1)) х
< cos (mt — ß — (Г1 (z — 1]]
(4.24)
р2(0) = р0 ехр(—ах + ö2 (z +1)) х х cos (mt — ßx + ст2 (z +1))
(4.25)
Из (4.19)—(4.21) следует, что волновой процесс в нулевом приближении (или «в среднем») в центральном пласте может быть представлен в виде плоской затухающей волны, распространяющейся по оси х. Эта волна возбуждает в точке 2 =1 бегущую по 2 затухающую волну в окружающих породах со сдвигом фазы — ¡х , соответствующим приходу к точке х возбуждающей волны.
При расчетах частотных зависимостей параметров фильтрационно — волновых полей в слоисто-неоднородных проницаемых пластах рассмотрены следующие объекты слоистых проницаемых сред: I — водонасыщен-ный песчаник (настилающий слой), нефтенасыщеный песчаник (центральный слой), глинистый песчаник (подстилающий слой); II — нефтенасыщеный песчаник (центральный слой), глинистый песчаник (настилающий и подстилающий слои); III — водонасыщенный песчаник (центральный слои), глинистый песчаник (настилающий и подстилающий слои).
На рис. 2, а, б представлены зависимости коэффициентов поглощения от частоты в различных средах. Кривые 1, 2, 3 — однородная среда, 4, 5, 6 — слоисто-неоднородная среда. Анализ кривых показывает, что в слоисто-неоднородной среде коэффициент поглощения меньше на всем диапазоне частот. Из рисунка следует также, что высокочастотные компоненты фильтрационных волн испытывают сильное поглощение.
Аналогичные зависимости волнового числа фильтрационных волн от частоты иллюстрируют рис. 3, а, б.
Зависимости фазовой скорости от частоты для различных сред представлены на рис. 4. Из анализа кривых на рис. 4, а следует, что в диапазоне малых частот фазовая скорость фильтрационных волн ниже скорости
4,5
0
ю.,х 1 СГ!
а б
Рис. 2. Расчетные зависимости коэффициента поглощения фильтрационных волн от частоты. Кривые 1, 2, 3 — однородная
среда: 1 - глинистый песчаник (% = 0.42 м2/с, с = 1200 м/с), 2 - нефтенасыщеный песчаник (% = 4.8 м2/с, с = 1500 м/с), 3 - водонасыщеный песчаник (% = 5.5 м2/с, с = 3000 м/с); 4, 5, 6 — слоисто-неоднородная среда: 4 - объект I, 5 - объект II,
6 - объект III.
2
m
а б
Рис. 4. Расчетные зависимости фазовой скорости фильтрационных волн от частоты. Кривые 1, 2, 3 - слоисто-неоднородная среда: 1 - объект I, 2 - объект II, 3 - объект III, 4, 5, 6 - однородная среда: 4 - глинистый песчаник, 5 - нефтенасыще-
ный песчаник, 6 - водонасыщеный песчаник.
упругих волн более чем на порядок. Рис. 4, б показывает, что с ростом частоты фазовая скорость возрастает и при достаточно высоких частотах приближается к скорости распространения упругих акустических волн.
Итак, развитая теория фильтрационно-волновых полей давления позволяет уточнить представления о распространении возмущений в пористой среде и подтверждает существенное уменьшение скорости в области малых частот в сравнении со скоростью распространения упругих волн.
Список обозначений
с - скорость упругих волн в пористой среде, м/с; к - полутолщина пласта, м; к - проницаемость, м2; Р - давление, Па;
Р0 - давление в точке линеаризации, Па; Р - размерное комплексное давление, Па;
Р - безразмерное давление; Р - амплитуда безразмерного давления; I - безразмерное время, с;
V, ук - фазовая скорость движения жидкости в слоистой и однородной среде соответственно, м/с; х, 2 - безразмерные координаты; а, ак - коэффициент поглощения в слоистой и однородной среде соответственно, м-1;
в, рк - волновое число в слоистой и однородной среде соответственно, м-1;
81, 82, о1, о2 - вспомогательные функции частоты; е - параметр асимптотического разложения; в - остаточный член; т - время, с;
Тр - время релаксации, с;
X - коэффициент пъезопроводности, м2/с;
ю - размерная и безразмерная циклическая частота соответственно, с-1;
Индексы нижние: 1 - номер среды, z, x - направление, d (dimension) - размерный. Индексы верхние (в скобках) - порядковый номер коэффициента асимптотического разложения. Обозначения математических символов - общепринятые.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гильмиев Д. Р., Шабаров А. Б. Эффективность гидроразрыва пласта при рядной системе расстановки скважин // Вестник Тюменского государственного университета. 2013. №7. С. 54-63.
2. Кузнецова Е. И. Фильтрация жидкости в двухзонном трещиновато-пористом пласте // Вестник Тюменского государственного университета. 2012. №°4. С. 80-86.
3. Бахтий Н. С., Кутрунов В. Н. Приток жидкости к несовершенной скважине из радиального пласта // Вестник Тюменского государственного университета. 2010. №°6. С. 134-139.
4. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Ковальский А. А., Повленкович Р. Ф. Фильтрационные волны в анизотропной среде // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. .№14. С. 57-63.
5. Ахметова О. В., Михайлов П. Н., Филиппов И. М. Новый метод исследования полей давления в неоднородном ортотропном пористом пласте // Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. №2. С. 363-366.
6. Ахметова О. В., Филиппов А. И., Филиппов И. М. Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом приближении // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2012. №3. С. 89-100.
7. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Филиппов И. М. Фильтрационное поле давления в неоднородном пласте при постоянном отборе // Инженерно-физический журнал. 2012. Т. 85. №1. С. 3-17.
8. Филиппов А. И., Ахметова О. В., Заманова Г. Ф., Ковальский А. А. Спектральные соотношения для фильтрационно-волновых полей в неоднородных проницаемых пористых пластах // Нефтегазовое дело: электрон. науч. журн. 2014. №2. С. 1-13.
Поступила в редакцию 17.02.2015 г.
FREQUENCY DEPENDENCES OF THE PARAMETERS OF FILTRATION-WAVE FIELDS IN LAYERED PERMEABLE FORMATIONS
© A. I. Filippov*, O. V. Akhmetova, G. F. Zamanova
Sterlitamak branch of Bashkir State University 37Lenin Ave., 453103 Sterlitamak, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (34 73) 43 60 9 7.
*Email: strbsu@mail.ru
The model of filtration-wave fields presented in this article is based on the wave equation derived from the equations of motion taking into account the friction force. In the particular case of no acceleration, the used equation of motion coincides with the law of Darcy filtration. The porous medium discussed in the article is layered inhomogeneous, because it consists of three layers, and each layer is homogeneous and isotropic. At the boundaries of the contact layers, the identical pressures and fluid flows are given. At the initial time in the left margin at the reservoir, a vibration source is included varying harmonically. It is assumed that the solution is regular at infinity, i.e. striving for spatial coordinates to infinity the desired solution and, if necessary, its derivative are turned into zero. The solution of the problem is sought using a random asymptotic parameter entered before the first and second derivatives of the function of the pressure perturbation in the central reservoir by the variable z (vertical coordinate), as in the equations and in the boundary conditions. If the value of the asymptotic parameter is equal to a unity, the parameterized problem coincides with the original one. The problem for the amplitudes of the pressure is solved in the complex form of the Fourier image space by the variable x (horizontal coordinate). The article presents the solution of the problem for zero asymptotic approximation, which is equivalent to a plane wave, the wave surfaces of which are parallel to the axis z. The analytical frequency dependence of the absorption, the wave number and phase velocity for filtration-wave fields in heterogeneous porous permeable formations have been built. The graphic dependence of these parameters on the rate and physical properties of the porous medium and the saturating fluid are given. It is shown that in a layered inhomogeneous medium: an absorption coefficient is less than the uniform one across the entire range of frequencies; the high frequency components of the filtration waves undergo strong absorption; with increasing frequency, the phase velocity is increased and at a sufficiently high frequency it is close to the propagation velocity of the acoustic elastic waves.
Keywords: wave equation, asymptotic method, wave field pressure, filtering, anisotropic medium, absorption coefficient, wave number, phase velocity.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Gil'miev D. R., Shabarov A. B. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2013. No. 7. Pp. 54-63.
2. Kuznetsova E. I. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2012. No. 4. Pp. 80-86.
3. Bakhtii N. S., Kutrunov V. N. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta. 2010. No. 6. Pp. 134-139.
4. Filippov A. I., Akhmetova O. V., Koval'skii A. A., Povlenkovich R. F. Estestvennye i matematicheskie nauki v sovremennom mire. 2014.
No. 14. Pp. 57-63.
5. Akhmetova O. V., Mikhailov P. N., Filippov I. M. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2013. Vol. 18. No. 2. Pp. 363-366.
6. Akhmetova O. V., Filippov A. I., Filippov I. M. Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2012. No. 3. Pp. 89-100.
7. Filippov A. I., Akhmetova O. V., Filippov I. M. Inzhenerno-fizicheskii zhurnal. 2012. Vol. 85. No. 1. Pp. 3-17.
8. Filippov A. I., Akhmetova O. V., Zamanova G. F., Koval'skii A. A. Neftegazovoe delo: elektron. nauch. zhurn. 2014. No. 2. Pp. 1-13.
Received 17.02.2015.
