Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 3 (2012)

УДК 519.632

УГЛОВОЙ ПОГРАНСЛОЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

© 2012. И. В. Денисов, Т. Ю. Денисова, А. В. Родионов (г. Тула)

Аннотация

Рассматривается задача Дирихле для нелинейного параболического уравнения в прямоугольнике. Доказывается существование решения и его асимптотического представления.

THE CORNER BOUNDARY LAYER IN NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED PARABOLIC EQUATIONS

I. V. Denisov, T. J. Denisova, A. V. Rodionov (c. Tula)

Abstract

The Dirichlet problem is considered for the nonlinear parabolic equation in a rectangle. The existence of the solution and its asymptotic expansion is proved.

1. Постановка задачи

В прямоугольнике П = {(x,t) | 0 < x < 1, 0 < t <T} рассматривается параболическое уравнение

e2

д2 u du

а(хЛ) 872 - dt

F (u,x,t,e) (1.1)

с начальным условием

и(х, 0,е) = ф(х), 0 ^ х ^ 1, (1.2)

и краевыми условиями первого рода

и(0,£, е) = ф\(Ь), и(1,£,е) = ^2^), 0 ^ ^ Т. (1.3)

Решение задачи (1.1) - (1.3) ищется в виде ряда по степеням £, состоящего из следующих частей:

и(х, Ь,£) = и + (П + ^ + @*) + (Р + Р*). (1.4)

Здесь U - регулярная часть асимптотики, П, Q и Q* пограничные функции, играющие роль вблизи сторон прямоугольника П соответственно t = 0, x = 0и x =1, P и P*- угловые пограничные функции, играющие роль вблизи вершин прямоугольника П соответственно (0,0) и (1,0).

Ранее уравнение (1.1) рассматривалось с краевыми условиями второго рода

8u,„ ч ди,_ .

—(0,t,e) = —(1,t,e) = 0

8x 8x

(см. [1]). В этом случае применение метода угловых погранфункций приводит к нелинейной задаче для нахождения главного члена угловой части асимптотики. Краевые условия второго рода позволяют выбрать главный член нулевым. Задачи для нахождения последующих членов угловой части асимптотики оказываются линейными.

Основной интерес представляет задача в прямоугольнике с краевыми условиями первого рода. И. В. Денисовым подробно изучена первая краевая задача в прямоугольнике для эллиптического уравнения (см. [2 - 36]). В настоящей работе методы, разработанные для эллиптических задач, модифицируются с учетом нового объекта исследования - параболической задачи с краевыми условиями первого рода в прямоугольнике. Ввиду достаточно большого объема исследований только формулируются основные трудности, с которыми приходится иметь дело при переходе от вторых к первым краевым условиям на границе прямоугольника.

Предполагаются выполненными следующие условия.

Условие I. Функции a(x,t) > 0 и F(u,x,t,e) являются достаточно гладкими, а функции 0(x), ф1(t) и ф2(Ь) - непрерывны, и согласованы, в угловых точках: ф(0) = ^i(0), ф(1) = ф2(0).

Условие II. Уравнение F(u,x,t, 0) = 0 в замкнутом прямоугольнике Й имеет решение u = u0(x, t).

Условие III. Производная F'a(u0 (x,t),x,t, 0) > 0 в замкнутом прямоугольнике П.

Условие IV. Начальная задача

dn

~П~ = —F(u0(x, 0) + n0,x, 0, 0), n0(x, 0) = фМ — u0(x, 0), (1.5)

dr

с параметром x Е [0,1] имеет решение n0(x,T), т ^ 0, и удовлетворяет условию n0(x, то) = 0.

Условие V. Для систем,

-J- = Z2, a(i,t)<dZz2 = F(uo(i,t) + zi,i,t, 0), i = 1, 2, (1.6)

dy dy

где t играет роль параметра, прямые z1 = ^1+i(t) — u0(i,t) соответственно пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя (z1,z2) = (0, 0) щи у ^ .

Отметим, что в силу условий I - III точка (z1,z2) = (0, 0) является точкой покоя типа седла систем (1.6).

2. Расщепление уравнения. Регулярная часть асимптотики

F

F(u, x,t^) = F + (nF + QF + Q*F) + (PF + P*F).

(2.1)

Выражения (1.4) и (2.1) подставляются в уравнение (1.1), которое разделяется на части: регулярную

погранслоиные

a(x, t)

a(x, t) a(x, t) a(x, t)

д2 д

dx2 dt

д2 д

dx2 дt д2 д

дx2 дt

д2 д

и угловые

a(x, t) a(x, t)

дx2 дt

д2 д

дx2 дt

д2 д

u = F,

П = nF,

Q = QF, Q* = Q*F,

P = PF,

P * = p *f_

дx2 дt

Регулярная часть асимптотики ищется в виде ряда

u(x,t,є) = єІС uk(x,t).

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

k=0

Функцию F = F(u,x,t,e) представляем в таком же виде:

F = ^2 ekFk(x, t). k=0

(2.9)

Коэффициенты ряда (2.9) получаются из разложения функции F в ряд Тейлора по степеням е :

F = F

(<Х

k=0

k=0

єк uk(x, t),x, t, є

\ ^

k=0

єk д k F k! дє,і

г=0

F(u0(x, t),x, t, 0) + є

F'I(u0(x, t),x, t, 0)u1(x, t) + F'£ (u0(x, t),x, t, 0)

+

є

2

є

2

є

2

є

2

є

2

+ ••• + ек

Flu(щ(х,г),х,г, 0)пк(х,г) +------+

1 дк F

к! дек

(и0(х, г),х, г, 0)

+

^0 + еи1 + ек iUk +

Таким образом,

и0(х, г) = F(и0(х,г),х,г, 0),

ик(х, г) = Flu(щ(х,г),х,г, 0)ик + Fk, к > 1,

где ик = ик(х,г), а функции Fk рекурреитио сражаются через щ(х,г) с номерами ]< к.

Разложения (2.8) и (2.9) подставляем в уравнение (2.2):

а(х, г)

д2 д

дх2 дг

(Ж \ ж

Т,екик (х’ г)) =^ к=0 / к=0

екРк(х, г).

(2.10)

е.

систему уравнений для нахождения коэффициентов ряда (2.8):

0 = 1^0(х, г), 0 = А(х, г),

а(х, г)

д2 д

дх2 дг

ик-2 = ик (х,г), к > 2,

(2.11а)

(2.116)

(2.11с)

или

0 = F (и0(х, г),х, г, 0),

0 = F'u (и0(х, г),х, г, 0)и1 + F1,

а(х,г)д ^к-2 - —кк— = F'u(щ(х,г),х,г, 0)ик + Fk, к > 2.

дх2

дг

Корень первого уравнения и0 = и0(х,г) выбирается в соответствии с условием II. Из последующих уравнений рекуррентно определяются функции ик ик (х,г) •

-F^

и1(х, г) = -г----— , (2.12а)

FU (щ(х,г),х,г, 0)

ик (х,г) = Fu (и0(х,г),х,г, 0)

1

а(х, г)

д2 ик 2 д ик 2

дх2

дг

-Fk.

к > 2. (2.126)

3. Погранслойная часть асимптотики

Пусть дП' обозначает границу прямоугольника П без стороны г = Т. и(х, г, е)

прямоугольника П, то на границе дП функция и(х,г,е), вообще говоря, не совпадает со значениями ф(х,г). Для устранения невязок с условиями (1.2), (1.3) вводится погранслойная часть асимптотики, которой соответствуют

2

е

уравнения (2.3) - (2.5). Для построения погранфункций вводятся растянутые переменные

х 1 — х г

С =- , С* = ---------, Т = -Т-.

£ £ £2

При этом погранфункции ищутся в виде рядов

П(х,Т,е) = ^ £к Пк(х,Т), к=0

ж

Q^С■t.ё) = Y, £к Як (С, г),

к=0

ж

Я'(С„г,£) = ^2 £к Як (С. ,г).

к=0

Считаем, что

ПF

F(и + П, х, г,ё) — -Р

QF = F (и + Я,х,г,£) — -Р

Q*F

F (и + Я* ,х,г,£) — -Р

X = £%

X =1 —£

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Функции (3.4) - (3.6) также представляем в виде рядов по степеням £ :

Ж

ПF = ^] £к ПкF(х,т), (3.7)

к=0

QF = £ £к ЯкF(С, г),

к=0

сю

Я*F = £ £к ЯкF(С*, г).

(3.8)

(3.9)

к=0

г=0

функция П = П(х,т,£), которая ищется в виде ряда (3.1). Нашей задачей является определение такой погранслойной функции П(х, т, £), чтобы на стороне Т=0

и(х, 0, 0) + П(х, 0, 0) = ф(х),

(3.10)

а при удалении от стороны т = 0 влияние функции П(х,т, £) затухало быстрее любой степени £. Функция П(х,т, £) должна удовлетворять уравнению (2.3). При этом

д 1 д

дг £2 дт'

Поэтому уравнение (2.3) при г = £2т имеет вид

д 2П д П

є2 а(х,є2т) ^ — д- = П^. (3.11)

дх2 дт

Функцию ПГ представляем в виде ряда (3.7):

(ГО ГО \

єк йк(х, є2т) + ^ єк Пк(х, т),х, є2т, є | к=о к=0 /

— Г ( єк йк(х, є2т),х, є2т, є 1 = Г(щ(х, 0) + П0(х, т),х, 0, 0^ +

\к=0 /

+є

+єк

Р'иущ(х, 0) + По(х,т),х, 0, 0^Пі(х,т) + Пі ГЦйо(х, 0) + По(х, т),х, 0, 0)Пк(х,т) + Пк

+ ••• + + ••• =

ПоГ + є ПіГ + • • • + єк Пк Г +

Здесь функции пк, к ^ 1, рекуррентно выражаются через П.,- с индексами ] < к. В уравнение (3.11) вместо П и ПF подставляем ряды (3.1) и (3.7),

£.

уравнения для нахождения коэффициентов ряда (3.1):

дП

о

дт

дПк

г(ио(х, 0) + По,х, 0, 0^,

Р'и(ио(х, 0) + По,х, 0, ^Пк + Пк, к = 1, 2,...,

дт

где функции Пк, к ^ 1, рекуррентно выражаются через П, с индексами

] < к. Таким образом, для П0(х,т) получаем задачу

д П

——0 = F(и0(х, 0) + П0,х, 0, 0^), П0(х, 0) = ф(х) — и0(х, 0). (3.12)

дт \ /

В силу условия IV эта задача имеет решение, для которого в силу условия III справедлива экспоненциальная оценка вида

П0(х,т) ^ Сехр(—кт), (3.13)

где С > 0, к > 0 — постоянные.

Последующие функции Пк(х,т), к ^ 1, определяются как решения линейных задач

д П

— -д^тг = Г'и(йо(х, 0) + По,х, 0, 0)щ + Пк, Пк(х, 0) = — йк(х, 0). (3.14)

Заметим,что функции 7гк представляют собой линейные комбинации функций Пі , І < к, и их производных с коэффициентами, являющимися многочленами от т. Поэтому, если для функций Пі, І < к, справедливы оценки вида

(3.13), то для функции Пк справедлива оценка того же вида.

Если величина ф(х) — и0(х, 0) не равна тождественно нулю, то решение задачи (3.14) имеет вид

-1

где

Пк(х,т) = — ик(х, 0)и(х,т) — J и(х,т) и(х,а) Пк(х,а)в,а,

о

и(х,т) = ехр I — и0(х, 0) + П0(х, Л), х, 0,0^СІЛ

- фундаментальное (и(х, 0) = 1^ решение соответствующего однородного уравнения. Справедлива оценка

и(х,т) и(х,а)

1

^ С ехр(—к(т — а)),

где 0 ^ х ^ 1, 0 ^ а ^ т, С > 0 и к > 0 - постоянные. Эта оценка

позволяет для функции Щ(х,т) получить оценку вида (3.13).

Если ф(х) — и0(х, 0) = 0, то П0(х,т) = 0. Коэффициент при Пк в задаче

(3.14) оказывается постоянным и отрицательным, то есть задача упрощается. Построенная регулярная часть асимптотики вносит невязки и в граничные

х=0

устранить функция Я = Я(£,Ь,е), где £ = х/е - растянутая переменная. Нашей задачей является определение такой погранслойной функции ^(£, Ь, е), чтобы на стороне £ = 0 выполнялось равенство

и(0,і,є) + Я(0,і,є) = фі(і).

(3.15)

При удалении от стороны £ = 0 влияние функции Я(£,Ь,е) должно затухать быстрее любой степени е. Функция Я(£,Ь,е) должна удовлетворять уравнению (2.4), где

д2 =1 д2 = е2 дС2.

дх2

Поэтому из (2.4) получаем уравнение

(,і) д 2Я 2 д2Я

а(є£,і)^- — є

де

ді

ЯГ.

(3.16)

т

т

Функцию ЯГ представляем в виде ряда (3.8):

(ГО ГО \

^ екик(х,г) + ^ ек Як(£,г),е£,г,е\ к=0 к=0 /

—Г екик(х,г),е£,г,е\ = г(ио(0,г) + Яо(£,ь),0,ь,0^ +

к=0

+е

+еК

Г'и(ио(0,Ь) + яо(£,Ь), 0,ь, 0)Я1(£,ь) + д1

г'и (щ(0,г) + Яо(£,ь), 0,ь, 0)Як (£,ь) + дк

= ЯоГ + е Я\Г + • • • + ек Як Г + • • •

+ ••• + + ••• =

Здесь функции дк рекуррентно выражаются через Я] с индексами ] < к. В уравнение (3.16) вместо Я и ЯГ подставляем ряды (3.2) и (3.8), а затем

е.

для нахождения коэффициентов ряда (3.2):

д 2 Я

а(0, Ь) ° = Г(ио(0, Ь) + Яо, 0, Ь, 0),

д£2

а(0,Ь)

а(0, Ь)

д2Ях д£2 д 2Як д£ 2

Ги(ио(0, Ь) + яо, 0, 0)Я1 + д1,

К (ио(0, Ь) + яо,0,Ь, 0)як + дк,

где функции дк рекуррентно выражаютс я через Я] с номера ми ]< к. Чтобы из полученных уравнений определить Як, к ^ 0, нужно задать начальные условия. Для этого подставляем разложения (2.8) и (3.2) в граничное условие

(3.15):

ио(0, Ь) + е их(0,Ь) + • • • + Яо(0, Ь) + е Я1 (0^) + • • • = 4х(Ь).

Так как функции Як(£,Ь) должны быть пограничными, то вводим еще условия затухания их влияния: Як(ТО,Ь) = 0, к ^ 0. Таким образом, задача ДЛЯ Яо имеет вид

д 2 Я

а(0, Ь) = Г (ио(0Л) + Яо, 0,Ь, 0),

Яо(0,Ь) = 4*1(1) - ио (0,Ь), Яо(^,Ь) = 0.

(3.17)

(3.18)

Здесь Ь играет роль параметра. Уравнение (3.17) эквивалентно системе (1.6), в которой следует положить = Яо(£,Ь), * = 0, у = £. Условия (3.18) выделяют решения уравнения (3.17), для которых справедливы экспоненциальные оценки вида

яо(‘,Ь) ^ С ехр(-к<),

(3.19)

где С > 0, к > 0 — постоянные. Так как возможен переход с сепаратрисы на сепаратрису, то решение задачи (3.17), (3.18) не единственно. Однако, такие случаи мы исключаем и рассматриваем только монотонные решения.

Задачи для определения Як(£,£), к ^ 1, линейны:

а(0, і)

д 2Як зе

Г'иЫ°, і) + Яо, 0'і і, 0)Як + йк■,

(3.20а)

Як (01 і) = - ик(0,і)і Як (ж і і) = 0. (3.206)

Здесь функции дк представляют собой линейные комбинации функций Я і і І < к, и их производных с коэффициентами, являющимися многочленами от £. Поэтому, если для функций Яіі І < к, справедливы оценки вида (3.19), то для функции дк справедлива оценка того же вида.

Если величина ^і(і) — и0(0і і) не равна тождественно нулю, то решение задачи (3.20) имеет вид

а(01 і)

Як(Сіі) = — ик(0іі)Ф(£іі) Ф(0іі)

Ф(Єіі)

і

Ф(Аіі)' -2 "сю / Ф(аіі)дк(аії)йа

и

в,Аі

(3.21)

ГД6

Ф(Єіі)

дЯо(Сіі) дС

При этом для Як(£>Ь) справедливы оценки вида (3.19).

Если фг(Ь) — щ(0,Ь) = 0, то Яо(£,Ь) = 0. Коэффициент при Як в уравнении (3.20) оказывается постоянным, то есть задача упрощается.

Як.

ведливы экспоненциальные оценки вида

Я*к(С*іі) < с ехр(—кС*)і

С > 0, к > 0 тики определяется полностью.

4. Угловая часть асимптотики. Основные проблемы

Погранслойная часть асимптотики не устраняет невязки в начальном и граничном условиях, а концентрирует эти невязки вблизи угловых точек (0,0) и

(1,0) прямоугольника П. Так пограничные функции Пк(х,т), устраняя невязки в начальном условии (1.2), вносят невязки в граничные условия (1.3). Эти невязки существенны только вблизи угловых точек (0,0) и (1,0), а далее, с ростом Ь, они экспоненциально затухают. Аналогичное влияние функции Як(£>£) п Як(£*>Ь) оказывают на начальное условие (1.2). С целью устранения этих невязок вводятся угловые погранфункции Р(£,т, е) и Р*(£,*, т,е), нахождение

5

1

которых доставляет основные трудности при решении поставленной задачи. По-гранфункцип Р(£,т, е) и Р*(£*, т, е) ищутся в виде рядов по степеням е

Р(Ст,е) = ^, ек Рк (С.т),

к=0

го

Р*К.,т,е) = £ ек Р*Ц*,т).

к=0

(4.1)

(4.2)

Считаем, что

РР

Р *р

Р (и + П + Я + Р,х,Ь,е) — ПР — яр + Р

Р(и + П + Я* + Р*,х, Ь, е) — ПР — Я*Р + Р

Х = £% 1 = £2Т

Х = 1-£$* Ь = £2Т

(4.3)

(4.4)

Рассмотрим угловую точку (0,0). В окрестности этой точки невязки в условиях (1.2), (1.3) вносят функции П(х,т,е) и Я(^,Ь,е)- Для устранения этих Р

' ,д2Р дР

а(хЛ) дх2 — дг

РР.

Х = £% + = £2 т

Здесь

д2 Р =1 д2Р дР =1 дР дт е2 дт ''

дх2 е2 де ’

Р

п(е, е2т) д2Р дР = а(е‘’е т) дё — дт = РР-

(4.5)

В выражение (4.3) для РР вместо и, П, Я и Р подставляем ряды (2.8),

(3.1), (3.2) и (4.1). Получаем

РР

Р ( ^ ек(ик(е£,е2т) + Пк(е£,т) + Як(С,е2т) + Рк(С,т)) ,еС,е2т,е) \к=0 )

— Р | е^ик(е£, е2т) + Пк(е^,т^ , ее е2т, е | —

(к=0 )

— Р | е^ик (е^ е2т) + Як (^,е2т^ , е£,, е2т,е\ —

\к=0 )

2

е

(ГО

к=0

.

— Г \ Є ик (е£іЄ Т )іЄ£іЄ ТіЄ

Представим РГ в виде ряда по степеням є. Для краткости точку (и10і 0і 0) будем обозначать через (и)і ик(0і 0) - через икі Пк(0іТ) - через Пкі Як(Сі 0) - через Яь Рк(СіТ) _ через Рк. Получим

РГ

Г (и0 + П0 + Я0 + Р0) — Г(и0 + П0) — Г(и0 + Яо)

+

+Є

+ЄК

Г'и (ио + По + Яо + Ро) Рі + Ні Ги (ио + По + Яо + Ро) Рк + hk

+ • • • +

+

где функции Нк і к ^ 11 выражаются реку ррентн о через Пі і Я і і І ^ кі и Ріі і < к. Именно

Нк = тг

1 дк РГ

к! дєк

— Г'и{^ ио + По + Яо + Ро^

Рк

£=0

1

дд-кГ I ЕЄП(ип(єСі ЄТ) + Пп(єСі Т) + Яп(Сі ЄТ) + Р^ і єСі є2Т,Л

\п=о )

£=о

к! Г'и (ио + По + Яо + Ро^

Рк

1 дк

— к дЄк Г (£ єП(ип(єСіЄ2Т)+ Пп(єСіТ ))іЄСіє2Тіє\

! \п=о /

— 1 ЗЛк Г (£ ЄП( ип(єСіЄ2 Т) + Яп(СіЄ2 Т ))іЄСіЄ2Т,Є) ! \п=о )

Є)

£=о

+

£=о

к! дЄк

Таким образом, имеем

1 дк

+ к яТкГ І]єп ).-чС.

Нк = к

{0 (ио + П» + Яо + Р»)'

(ГО

^єп(

п=о

дзЄ ( У ^ Є ( ип(єСі Єт) + Пп(єСі Т) + Яп(Сі Єт) + Рп

+

+ ■ ■ ■ + Г'а (ио + По + Яо + Ро^ •

к

(ГО

£ е- (

п=0

• дек I е" (ип(е£,е2т)+П-(е£,т)+ Я-(е,ет

— к! (ио + По + Яо + Ро^ Рк+

+£к дхк (и0 + П0 + Я0 + Р0^ + ткМк ^и0 + П0 + Я0 + Ро)

+

д кР

дек

^ио + По + Яо + Ро

£=0

+

+ + и0 + По) дее-к е-(ип(еС,е2т) + Пп(еС,т+

дк Р ( \ ( \ дк Р (

+^к дхк (и0 + П0у + тк ^куи0 + По) + дек \и0 + П0

£=0

11 дк р

к! | дик

де I ^ е” ( ип^е е2т) + Яп (е е2т)

(ГО

п=0

+ + ^и0 + Я^ ё^ёк еп(ип(ее,е2т) + Яп(е,е2т+

д к Р ( \ ( \ д к Р /

+£к дхк (и0 + Я^ + тк и0 + Я^ + дек (и0 + Я0

£=0

+ ТГ

к! I дик

де ( > >гаип(ее,ет)

дк

дек

(ГО

п=0 п=0

+К,(ио)дек еПип(ее,е2т)) +

п=0

+ ••• +

+е

дхк

ио ) + тк Щ( ио) + 'дек (ио

£=0

Здесь М2ш-1(п) = 0,

(4.6)

Мт = 2

ш— 1

(т + 1)т(т — 1) + т(т — 1)(т — 2) + • • • + 3 • 2 • 1

д шР дгш

к

к

т = 1, 2,... Кроме этого, в представлении (4.6) пропущены смешанные и порядка, меньшего к, производные функции Р по первой переменной. В частности, для функции Н1 выражение (4.6) имеет вид

/ о — оут \

Н1 = Р'и (йо + П0 + Я0 + Р0^ (с -дх + и1 + е д^х + П1 ) +

+е Рх(^ио + По + Яо + Ро^ ио + По + Яо + Ро^ —

/с)— Лтт \

— Ри (и0 + П0^ ( е дх + и1 + е ~—х + П1 у — е Рх(^и0 + П0^ — Р£ (ио + По) —

— Р'и{К и0 + Яо) --х + и^ — и0 + Я0^ — Р£ (ио + Я0^ +

+Ри (и^ "-иг + и1^ +е РХ^ио) + Р£ (ио), (4-7)

где

дио дйо,п дПо дПо,п ,

ех = ах<0-0)- аХ = аХ

Таким образом, получаем представление

СЮ

РР = Х ек РкР, (4.8)

к=о

ГД6

Р0Р = Р (ио + П0 + Я0 + Р0^ — Р (ио + П0^ — Р (и0 + Я^ ,

РкР = Р'и (ио + П0 + Я0 + Р0^ Рк + Нк, к = 1, 2, . . .

Функция По = По(0,т) является решением задачи (3.12) при х = 0. Функция Я0 = Я0(С, 0) является решением задачи (3.17), (3.18) Ь = 0.

С учетом представлений в виде рядов функций Р и РР уравнение (4.5) принимает вид

) * — I) (± ек Р>\ = Х ек Рк Р.

К ^ / Ук=0 / к=0

-е2 дт )

Дифференцируем формально ряд '^^ГО=0 ек Рк и приравниваем коэффициен-

е.

д 2 Р дР

а(0, 0) ^—2-~— = Р(ио + По + Яо + Ро) — Р(ио + По) — Р(ио + Яо),

-е2 дт

—2 р -Р

а(0, 0) ~—С2 -т = Ри (и0 + П0 + Я0 + Р0)Рк + Нк, к ^ 1,

где функции Нк, к ^ 1, выражаются рекуррентно через П], Я], 3 ^ к, и Рг, I < к. Граничные условия для функций Рк, к ^ 0, получаются из того, что эти функции призваны снять невязки в начальном и граничном условиях, внесенные функциями Пк и Як на стороны х = 0 и Ь = 0 соответственно:

Рк (0,т) = —Пк (0,т), Рк (е, 0) = —Як (е, 0).

Кроме этого, требуем, чтобы Рк(С,т) ^ 0 при е+т ^ ж. Таким образом, задача для определения Р0(С,т) ставится в первой чет верти плоскости

переменных (С,т) и имеет вид

д2р дР ( \ ( \ ( \

V2 —£2-----—т' = Р\ио + По + Яо + Ро) — Руио + По) — Руио + Яо) , (4.11а)

Ро(0,т) = —По(0,т), Ро(£, 0) = — Яо(С, 0), (4.116)

Р0(С,т) ^ 0 при С + т ^ ж, (4.11с)

где V2 = а(0,0) Для функций Рк(С,т), к ^ 1, в области получаются

линейные задачи

д Р дР

1/2 ~еС2 дт" = Р'и \0 + По + Яо + Роу Рк + Нк, (4.12а)

Рк (0,т ) = —Пк (0,т), Рк(е, 0) = —Як(е, 0) (4.126)

Рк(С,т) ^ 0 при С + т ^ ж, (4.12с)

где V2 = а(0, 0), а неоднородности Нк удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида

Нк(е,т) ^ Сехр(—к(£ + т)), (4.13)

если подобным оценкам удовлетворяют функции Ро,... , Рк-1. Здесь С И К — некоторые положительные числа.

Задачи для угловых погранфункций Рк(С*,т), к ^ 0, ставятся аналогично. Если величина ф(0,0) — ио(0,0) равна тождественно нулю, то решение Р0(С, т) задачи (4.11) тоже тождественно равно нулю, а коэффициент в задачах

(4.12) постоянен и положителен: Ри (й0 + По + Я0 + Р0) = Ри(и0) > 0. В этом случае решения задач (4.12) выписываются в явном виде и для них получаются экспоненциальные оценки вида (4.13).

Если величина ф(0, 0) — ио(0, 0) не равна тождественно нулю, то, как и для эллиптической задачи, мы, вообще говоря, не можем знать имеет или нет задача (4.11) решение и удовлетворяет ли это решение, в случае существования, е)

Ри (йо + П0 + Я0 + Р0^ в задачах (4.12) может в зависимости от величины ф(0, 0) принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Нас интересует установление дополнительного условия VI, при котором можно доказать следующие утверждения.

Теорема 4.1. Если выполнены условия I - VI, то задача (4.11) имеет решение Ро(е,т), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (4.13).

Теорема 4.2. Если выполнены условия I - VI, то задачи (4.12) имеют решения Рк(е,т), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (4.13).

Теорема 4.3. Если выполнены условия I - VI, то для достаточно малых е задача (1.1) - (1.3) имеет решение п(х,Ь,е), для которого ряд

ОС

к

ик (х,Ь)+Пк (х,т)+ Як (е,Ь)+ Я*к (е*,Ь) + рк (е,т) + Рк(е*,т) (4.14)

к=0

является асимптотическим разложением при е ^ 0 в замкнутом прямоугольнике П, то есть

тах \п— ип\ ^ Сеп+\ п

где С > 0 - некоторая постоянная, а ип - и-я частичная сумма ряда (4.14).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990.

[2] Денисов И. В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховом пространстве. МГПИ им. В. И. Ленина. — Москва, 1981. Деп. в ВИНИТИ 13 апр. 1981 г. № 1651-81 (РЖМат, 1981, № 8Б207).

[3] Денисов И. В. Об асимптотическом решении линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Тул. гос. пед. ин-т. — Тула, 1982. Деп. в ВИНИТИ 3 февр. 1982 г. № 491-82 (РЖМат, 1982, № 5Б287).

[4] Денисов И. В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве // УМН. 1982. Т.37, № 5. С. 181 — 182.

[5] Денисов И. В. Сингулярные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — Воронеж, 1982. — 12 с.

[6] Денисов И. В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, неразрешенных относительно производной. // Сб. "Вычислительная математика и математическая физика". — М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1982. С. 77 - 84.

[7] Денисов И. В. О количестве срезаний для сингулярного уравнения. // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Межвузовский сборник. Вып. 5. — Куйбышев: КГУ, 1982. С. 45 - 46.

[8] Денисов И. В. Дифференциальные уравнения с иррегулярно особой точкой в банаховом пространстве. Тул. гос. пед. пн-т. — Тула, 1984. Деп. в ВИНИТИ 5 марта 1984 г. № 1301-84.

[9] Денисов И. В. О величине подсектора в теореме Тэрритина. Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 1983. Деп. в ВИНИТИ 3 июля 1984 г. № 4585-84

[10] Денисов И. В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфным операторным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АН СССР. 1985. Т.282, № 6. С. 1289 - 1293.

[11] Денисов И. В. Об асимптотическом разложении решения сингулярно возмущенного эллиптичексого уравнения в прямоугольнике. // Сб. "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач". — Бишкек: Илим, 1991. С. 37.

[12] Денисов И. В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 11. С. 1666 - 1678.

[13] Денисов И. В. Об угловом погранслое в асимптотике решения сингулярно возмущенного параболического уравнения. // Сб. "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения — VII". — Воронеж, ВГУ, 1996. С. 65.

[14] Денисов И. В. Об асимптотических решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений с нелинейностями. // Сб. "Теория и приложения методов малого параметра". — Обнинск: ОИАЭ, 1996. С. 32.

[15] Денисов И. В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 10. С. 56 — 72.

[16] Денисов И. В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 12. С. 64 — 67.

[17] Денисов И. В. Угловой погранслой в асимптотике решений сингулярно возмущенных параболических уравнений. // Сб. "Материалы конференции проф. - преп. состава ТГПУ им. Л.Н. Толстого (7 — 9 сентября 1995 г.): Тезисы докладов". — Тула: Пзд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 1996. С. 4! — 42.

[18] Денисов И. В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами. // Сб. "Материалы научно-практической конференции проф.-преп. состава и аспирантов ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Апрель 1997г." — Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 1998. С. 63 — 64.

[19] Денисов И. В. Оценка решения первой краевой задачи для линейного параболического уравнения с коэффициентом переменного знака в М++1. // Сб. "Материалы научно-практической конференции проф.-преп. состава и аспирантов ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Апрель 1997 г.— Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 1998. С. 64 - 65.

[20] Денисов И. В. Оценка решения первой краевой задачи для линейного эллиптического уравнения с коэффициентом переменного знака в К+. // Сб. "Материалы научно - практической конференции проф.-преп. состава и аспирантов ТГПУ им. Л. Н. Толстого. Апрель 1997 г.— Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 1998. С. 65.

[21] Денисов И. В. Метод угловых погранфункций для сингулярно - возмущенных эллиптических уравнений с нелинейностями. // Сб. "Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции". — Тула: ТулГУ, 1998. С. 88 — 89.

[22] Денисов И. В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве Е++1. // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 12. С. 1616 - 1623.

[23] Денисов И. В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. № 5. С. 779 - 791.

[24] Денисов И. В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами // Известия Тульского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2000. Т.6. Выпуск 1. С. 79

_ 84.

[25] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. № 3. С. 390 — 406.

[26] Денисов И. В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, № 9. С. 1674 - 1692.

[27] Денисов И. В. Нелинейный угловой погранслой. // Информатизация образования — 2006: Материалы Междунар. науч.-метод. конф.: В 3 т. —

Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2006. Т.2. С. 126 — 130.

[28] Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных задачах. // Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Междунар. конф. Тезисы докладов. Обнинск, 14 — 18 мая 2006 г. С. 53 - 54.

[29] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Соврем, проблемы матем., механики, информатики: Материалы Междунар. науч. конф., Тула: Изд-во ТулГУ, 2006, С. 43 - 46.

[30] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных задачах. // Тихонов и современная математика: Асимптотические методы: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19 — 25 июня 2006 г.: Тезисы докладов секции № 6. — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. С. 23 — 24.

[31] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях, содержащих младшие производные // Материалы междунар. науч. конф. "Соврем, проблемы матем., механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, С. 33 — 34.

[32] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. № 1. С. 62 - 79.

[33] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Междунар. конф. Обнинск, 14 — 18 мая 2008 г.: Тезисы докладов. — Обнинск, 2008.

- С. 26 - 27.

[34] Денисов И. В. О некоторых классах функций // Чебышевский сбор-ник. Т. X. Вып. 2 (30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2009. - С. 79 - 108

[35] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелиней-ных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными. / Авто-реф. дисс. на соиск. уч. степ, д-ра физ.-мат. наук. — Тула, 2010. — 40 с.

[36] Денисов И. В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными. // Материалы международной научно-практической конференции Многомас-

штабное моделирование структур и нанотехнологии. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2011. С. 123 — 127

[37] Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. 1976.

[38] Вишик М. И., Мышкис А. Д., Олейник О. А. Дифференциальные уравнения с частными производными. / В книге: Математика в СССР за сорок лет. Т. 1. Физматгиз, 1959. С. 604 — 628.

[39] Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. Т. XVII, Вып. 3 (105). 1962. С. 3 - 146.

[40] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977.

[41] Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961.

[42] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: Изд. ЛГУ, 1950.

[43] Тихонов А. 11.. Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого Поступило 21.08.2012