Научная статья на тему 'НОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ'

НОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
8
1
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГИРОСТАТ / ПЕРЕМЕННЫЙ ГИРОСТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ / ГОДОГРАФ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Данилюк Д.А., Ткаченко Д.Н.

Рассмотрена задача об условиях существования линейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Полагается, что гиростатический момент направлен по главной оси эллипсоида инерции гиростата, относительно которой компонента единичного вектора вертикали является линейной комбинацией элементарных тригонометрических функций времени. Построено новое решение исходных уравнений движения гиростата, которое характеризуется прецессией гиростата относительно вертикали.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Данилюк Д.А., Ткаченко Д.Н.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE NEW SOLUTION OF THE EQUATIONS OF MOTION OF A GYROSTAT WITH A VARIABLE GYROSTATIC MOMENT UNDER THE ACTION OF POTENTIAL AND GYROSCOPIC FORCES

The problem of the conditions for the existence of linear invariant relations of the equations of motion of a gyrostat with a variable gyrostatic moment under the action of potential and gyroscopic forces is considered. It is assumed that the gyrostatic moment is directed along the main axis of the gyrostat inertia ellipsoid, relative to which the component of the unit vertical vector is a linear combination of elementary trigonometric functions of time. A new solution of the initial equations of motion of the gyrostat is constructed, which is characterized by the precession of the gyrostat relative to the vertical.

Текст научной работы на тему «НОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (78) / 2022.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 531.38; 531.39

doi:10.24412/0136-4545-2022-1-5-15

EDN:EPVRMO

©2022. Д.А. Данилюк, Д.Н. Ткаченко

НОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ

Рассмотрена задача об условиях существования линейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Полагается, что гиростатический момент направлен по главной оси эллипсоида инерции гиростата, относительно которой компонента единичного вектора вертикали является линейной комбинацией элементарных тригонометрических функций времени. Построено новое решение исходных уравнений движения гиростата, которое характеризуется прецессией гиростата относительно вертикали.

Ключевые слова: гиростат, переменный гиростатический момент, годограф угловой скорости.

Введение. В последнее время в динамике твердого тела интенсивно изучается задача о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом в полях сложной структуры. Например, в монографии Г.В. Горра, А.В. Мазне-ва, Г.А. Котова [1] приведена не только обширная библиография, посвященная постановке проблемы по данной теме, но и изучены прецессионные движения относительно вертикали гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Следует отметить, что в данной монографии показано, что наиболее общая постановка задачи о движении гиростата предложена Й. Виттенбургом [2], В.В. Румянцевым [3] и П.В. Харламовым [4]. Основное внимание при изучении движения гиростата с переменным гиростатическим моментом уделяется исследованию решений уравнений класса Кирхгофа-Пуассона при наличии у них трех инвариантных соотношений, введенных Г.В. Горром [5].

При этом решение в исходных уравнениях удается получить только в случае линейных инвариантных соотношениях: Г.В. Горр, Т.В. Белоконь [6], Д.Н. Ткаченко [7], Д.А. Данилюк [8]. В каждой из данных работ приняты различные предположения относительно свойства расположения момента количества движения в главной системе координат гиростата.

Данная статья посвящена дальнейшему изучению решений уравнений класса Кирхгофа-Пуассона, которые характеризуются линейными инвариантными соотношениями по основным переменным задачи. Отличие постановки задачи, принятой в данной статье, состоит в том, что здесь предполагается другое свойство гиростатического момента: полагается, что гиростатический момент принадлежит главной оси эллипсоида инерции, относительно которой компонента гиростатического момента является линейной комбинацией двух тригонометрических функций времени. Данное свойство позволило установить новое решение уравнений класса Кирхгофа-Пуассона, условия существования которого имеют существенные отличия от условий, полученных в других постановках, указанных в вышеприведенных статьях.

1. Постановка задачи. Рассмотрим гиростат, как систему связанных твердых тел 5о, 5*1. Полагаем, что тело-носитель 50, имеющее неподвижную точку О, намагничено и несет положительные и отрицательные электрические заряды. Обозначим через Охуг главную систему координат 5о с единичными векторами Ц, 13. Пусть ротор 51 направлен по оси Ох и не намагничен, и не содержит зарядов. Гиростат вращается в магнитном поле и на него действуют ньютоновские, кулоновские силы и силы Лоренца; токи Фуко в процессе движения гиростата не возникают. Введем следующие обозначения: V = (^1,^2,^3) - единичный вектор оси симметрии силовых полей, на которой расположены центры ньютоновского и кулоновского притяжения; А = (гад(А1,А2,А3) - тензор инерции гиростата; В = (Ыад(Е1 ,В2,В3) - матрица, характеризующая гироскопические силы; С = (Иад(С1 ,С2,С3) - матрица, характеризующая потенциальные силы, которые являются квадратичными по щ(г = 1, 3) функциями; б = («1, 82, - вектор обобщенного центра масс гиростата; Л = (¡1(Ь), 0, 0) - гиростатический момент; и = (ш1,ш2,ш3) - вектор угловой скорости тела 50. Тогда уравнения движения гиростата запишем в виде

А1Ш1 + ¡К 1 (Ь) = (А2 - А3)Ш2Ш3 + Ш2В3и3 - Ш3В2^2 + 82^3-

-83Р2 + (С3 - С2)^3, А2Ш2 = (А3 - А{)Ш3Ш1 - ¡1(г)Ш3 + Ш3В1^1 - Ш1В3^3 + 83^1- (!)

-81^3 + (С1 - С3)^3^1, А3Ш3 = (А1 - А2)Ш1Ш2 + ¡1(Ь)Ш2 + Ш1В2^2 - ¿2В^1 + 8^-

-82^1 + (С2 - С 1)^1^2,

V1 = Ш3^2 - Ш2^3, 1/2 = Ш1^3 - Ш3^1, 1/3 = (¿2^1 - (2)

¡1(1) = 11(1), (3)

где

¡1(Ь) = Б1(Ш1 + к(Ь)), (4)

01 - момент инерции ротора 51 относительно оси вращения Ох, К(Ь) - угловая скорость 51 . В формулах (1)-(4) точкой над переменными ш^Ь), К1(Ь), к(Ь) обозначена производная по времени Ь.

Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла

vi + v22 + V32 = 1, (Aiwi + Ai(t)) ■ vi+ (5)

+A2oj2v2 + A3w3v3 - \{Bxv\ + B2u¡ + B3u¡) = k, u

где k - произвольная постоянная. Как показано П.В. Харламовым [4], уравнения (3), (4) можно рассматривать после нахождения (или задания) функции Ai(t) на основании двух подходов: в первом подходе задается L1(t), а K(t) определяется из (4), во втором - задается K(t), а L1(t) находится из уравнения (3). Рассмотрим инвариантные соотношения (ИС)

Wi = Vi£o + Pi go, W2 = ViSo + Pigo, W33 = So + вз go, (6)

которые в векторном виде запишем так

ш = So v + gofi. (7)

В формулах (6), (7) eq, go, /3¿(1,3) - постоянные параметры (/3 = (/?i, (32, (З3)). Запишем уравнения Пуассона (2) на ИС (6)

Vi = go(P3 vi - в2»зз), Vi = go (в i V3 - 03Vi), V 3 = go(PiVi - Pivi). (8)

Из уравнений (8) следуют первое равенство системы (5) и интеграл

Pivi + Pivi + в3 V3 = co, (9)

где Co - постоянная. В векторном виде из (9) получим

Pi ■ V = Co, (10)

то есть движение гиростата является прецессией относительно вектора v [10,11].

Соотношения vi + vi; + v3 = 1 и (9) позволяют установить общее решение уравнений (8)

vi(ф) = ho + hi cos ф + h2 sinф,

v2(^) = ro + ri cos ф + r2 sinф, (11)

v3 (ф) = ao + ai sin ф,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где

Po «0 KoP0

Го = r — 70^1 f _ 10^2^3

Л _ со/Зз Л _ 70

(12)

а переменная ф линейно зависит от Ь: ф(Ь) = водо^-

Целью данной статьи является интегрирование системы (1)-(4) на ИС (6) (11)

2. Преобразование уравнений на ИС (6). Введем обозначения

С23 = £2о(А2 - А3) + £о(В3 - В2) + С3 - С2, (13)

02 = вз£одоА - А3) - вздоВ2 - 83, (14)

03 = в2£одо(А2 - А3) + в2доВ3 + 82, (15)

Оо = в2в3до (А2 - А3), (16)

Н13 = £2о(А3 - А1) + £о(В1 - В3) + С1 - С3, (17)

Н2 = вз£одо(А3 - А1) + в3доВ1 + 83, (18)

Н3 = в1 £одо(А3 - А1) - вдВз - 81, (19)

Но = вФзд2(А3 - А1), (20)

Я12 = £о (А2 - А1) + £о(В1 - В2) + С1 - С2, (21)

Я1 = в2£одо(А2 - А1) + в2доВ1 + 82, (22)

Я2 = в1£одо (А2 - А1) - в1доВ2 - 81, (23)

Яо = в1 в2д2о(А2 - А1). (24)

Подставим значения (6) в уравнения (1) и учтем уравнения (8) и равенства (13)-(24)

¡1 (Ь) = (О2 - £одов3А^2 + (О3 + £одо&А1^3 + Оо, (25)

¡1(^3 + вздо) = А2£одо(в3Vl - в^з) + + Н^1 + HзVз + Но, (26)

¡1(£оV2 + в2до) = А3£одо(в2Vl - в^2) + + ЯVl + Я2V2 + Яо■ (27) Преобразуем уравнение (25) с помощью значений v2(ф), v3(ф) из системы (11)

¡1(Ь) = (тоЯ2 + аоЯ3 + Оо) + Я2П сов(водоЬ)+ (28) +(Я2Т2 + Я3(а2) ^'т(водоЬ),

где

Я2 = в3до[£о(А2 - А1 - А3) - В2] - 83, (29)

Яз = в2до[£о (А1 + А2 - А3) + В3] + 82. ( )

На данном этапе исследования условий существования ИС (6), (11) уравнений (1) равенства (26), (27) целесообразно рассматривать, как их линейную комбинацию

£одо[А2(^2 + в2gо)(взVl - в1 Vз) - А3(£оVз + взgо)(в2Vl - в^2)]

+(£о V2 + в2до)[Н^^з + HзVз + Но]- (30) -(£оVз + вздо)[Я^^2 + + Я2V2 + Яо] = 0.

3. Условия существования решения (6), (11) уравнений (1), (2). Если подставить щ(гр) (1,3) из системы (11) в (30), то полученное уравнение должно

быть тождеством по переменной ф. Рассмотрим равенства нулю коэффициентов при 8ш(3ф) и сов(Зф)

(H13 - Ri2)(hiri - h2r2) = 0, (H13 - Ki2)(kir2 + h2ri) = 0. (31)

В силу того, что hi ф 0, Ti ф 0(1,3) из системы следует условие Н\3 = R\2, которое на основании обозначений (17), (21) запишем в виде

(Аз - A2) + £о(Б2 - Вз) + C2 - Сз = 0, (32)

то есть из (13) получим G23 = 0. Из уравнения (28) найдем зависимость A(t):

А1(ф) = Lot + Ll sinф + L2 cos ф + Ao, (33)

где Ao - постоянная, а Lo, Li, L2 - имеют значения

Т Г> i Г> i П Т Q2rl т Q2r2 + a2Q3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Lo = r0Q2 + a0Q3 + G0, Lx = -—, L2 =----. (34)

Pogo Pogo

Так как в силу (11) из (26), (27) следует, что функция Al(t) ограничена, то из (33) имеем равенство Lo = 0, которое на основании (16), (29) запишем в виде

coofвздо[2ео(A2 - A3) + B3 - B2] + вфз - s3fh}+ ( )

+в2в3в2092о(A2 - Аз) = 0. (35)

Соотношение (35) является вторым условием на параметры задачи для решения (6), (11). При его выполнении функция (33) упрощается:

А1(ф) = Li sin ф + L2 cos ф + A0. (36)

Подставим значения (11), (36) в уравнения (26), (27) и учтем равенство К\2 = H13

(Li sin ф + L2 cos ф + Ао)[(ао80 + fago) + 028o sin ф] --(ho + hi cosф + h2 sinф)[(аоН13 + 8ogoA2 + Hi) + 0,2^13 sinф]- (37) -(ao + 02 sinф)(Н3 - 8ogofA) - Ho = 0,

(Li sinф + L2 cos ф + Ao)[(ro8o + f^go) + 8o(ri cos ф + Г2 sinф)]--(ho + hi cosф + h2 sinф)[ГH13 + 8ogoA3 + Ri) + Hi3(ri cosф + Г2 sinф)]--(R2 - 8ogofiA3)(ro + ri cos ф + Г2 sin ф) - Ro = 0.

(38)

Уравнения (37), (38) должны быть тождествами по переменной ф. Рассмотрим условия, которые следуют из равенств нулю коэффициентов при sin2ф и (х^2ф. Они могут быть преобразованы только к двум равенствам

hiHi3 - 8oL2 = 0, h2Hi3 - 8oLi = 0. (39)

Для изучения условий (39) выпишем значения И\3 из (17), Ь\ и Ь2 из (34), основываясь на обозначениях (29)

И13 = еЦЛз - Лг) + еоБ - Б3) + С - Сз, (40)

¿1 = "ТГ^Шо[ео(А2 -Аг- А3) - В2} - з3}, (41)

ßogoK

ь2 = -^ШоЫА^ + Л2(«§ - ßl) + A3(ßi - «§)) +

°+B2ßl + Б3к1\+ K%S2 + ß2ßss3}. J

В качестве системы уравнений, которая эквивалентна системе (39), рассмотрим второе уравнение из (39) и уравнение h2L2 — h\L\ = 0. С помощью значений (40)-(42) получим

goß3 [e0(Ai — 2A3) + £о(Бз — Бх — Б2) + C3 — Ci] — £0 S3 = 0, (43)

goß2 ß3[2eo(A2 — A3) + Б3 — Б2] + S2ß3 — S3ß2 = 0. (44)

Равенства (43), (44) являются третьим и четвертым условиями существования решения (6), (11) уравнений (1), (2). Для нахождения остальных условий введем обозначения

Iii = Hi + eogoß3 A2 = ß3go[eo(A2 — Ai + A3) + Б1] + S3, H3 = H33 — eogoßi A2 = ßigo[eo(A3 — Ai — A2) — Б3] — Si, (45)

R i = Ri + £ogoß2A3 = ß2go [eo(A2 — Ai + A3) + Б^ + S2, ( )

R 2 = R2 — eogoßiA3 = ßigo [eoA — Ai — A3) — Б2] — Si.

Потребуем, чтобы уравнения (37), (38) были тождественными по переменной ф. Тогда, используя равенства (45) установим следующую систему уравнений

goß3L2 — hiHi = 0, (46)

-goßsLi + a2(-X0£0 + ^Li + #з) + h2Bx = 0, (47)

h2

eh

-5oÄA0 + a0(-\o£o + -т-^bi + ^з) + hoäi + H0 = 0, (48)

h2

-gofaLi + r2(-\o£o + Ц^Ьг + R2) + h2Rx = 0, (49)

h2

-9oß2L2 + ri(-A0e0 + Ц^Ьг + R2) + h\Ri = 0, (50)

h2

-№ÄAo + r0{-\oeo + Ц^Ьг + R2) + h0Ri + Ro = 0. (51)

h2

Таким образом, общими условиями существования решения (6), (11) уравнений (1), (2) являются равенства (32), (35), (43), (44) и система алгебраических уравнений (46), (51).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Один частный случай разрешимости системы (46)-(51). Для наглядности окончательных условий существования исследуем случай

Я2 = Яз, = + (52)

£о П-2

Распишем первое равенство из системы (52). В силу (45) имеем

В2 - Вз + 2(Аз - А2) = 0. (53)

На основании условия (53) равенство (44) упрощается:

82вз - 8зв2 = 0. (54)

Запишем уравнения (47), (49) при учете второго условия из (52)

довзЬ1 - Н2Н1 = 0, дов2Ь1 - Н2Ё1 =0. (55)

Линейная комбинация в2Н1 - вз^1 = 0 уравнений (55) приводит к условию (54). Поэтому достаточно в системе (55) рассмотреть первое уравнение

довз (2£о Аз + В1 + В2) + 28з = 0. (56)

Изучим уравнения (48), (51)

довзКо - ЬоН 1 - Но = 0, дов2^о - Ьо Я1 - Яо = 0. (57)

Исключим в уравнениях (57) параметр Ко и учтем ранее полученное условие в2Н1 - взЁ1 = 0. Тогда установим равенство в2Но - вз Яо = 0, которое на основании обозначений (20), (24) преобразуем к виду

Аз = А2. (58)

В силу (58), из уравнений (32), (53) найдем условия

Вз = В2, Сз = С2. (59)

Из первого уравнения (57) следует

Ао = ^7г(йо#1+Яо). (60)

дов3

Рассмотрим уравнения (46), (50)

довзЬ2 - ЬН1 = 0, дов2Ь2 - Ь1Ё1 = 0. (61)

Если в уравнениях (61) исключим параметр Ь2, то получим равенство в2Н1 -в3В,1 = 0 или условие (54). Запишем значения (41), (42) уравнений (35), (43), (56) при наличии установленных ранее условий (см. (54), (58), (59))

Ъв\

ководо'

¿1 = + В2) + вз], (62)

¿2 = -^[МеоАг + В2) + в2], (63) ко

Со (во - ко Цо)[вздо(£оА1 + В2) + 83] = 0, (64)

вздо[£2о(А1 - 2А2) - £оВ1 + С2 - С1] - £о8з = 0, (65)

вз до(2£о А2 + В1 + В2) + 283 = 0. (66)

Можно показать, что первое уравнение системы (61) эквивалентно уравнению (66). Таким образом, осталось рассмотреть второе равенство из (52) и равенство (60). Для этой цели воспользуемся обозначениями (20), (45). Тогда получим значение для Ко

Ао = -^-ЫвздоЫ2А2 - АО + Si) + s3] + filfhgl(A2 - Ai)}, (67) go Po fa

а также дополнительное условие на параметры

eigo (^oA2 + B2)+ si =0. (68)

Таким образом, для частного варианта решения системы (46)-(51), который характеризуется условиями (58), (59), получены значения параметров Ll, L2, Ao (см. формулы (62), (63), (67)), а также условия на параметры задачи (54), (64)-(66), (68).

5. Анализ условий (54), (64)-(66), (68). Рассмотрим равенство (64). Если выполняется условие Po = KoHo, то есть имеет место равенство

в20[1 - (в2! + в2)\ = -Klcl (69)

то целесообразно уравнение (9) рассматривать при дополнительном предположении в2 + в2 + в2 = 1, которое не влияет на общность результатов, так как вектор в в (10) можно полагать единичным. Тогда равенство (69) выполняться не может.

Пусть в (64) co = 0. Из данного равенства следует

S3 = -вз go(£o Ai + Bi). (70)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Внесем значение s3 из (70) в уравнение (66)

2£o(A2 - Ai)+ В2 - Bi = 0. (71)

В силу (62), (70) получим Li = 0, то есть функция (36) примет вид

А^ф) = L2 cos ф + Ao, (72)

где, с учетом равенств (67), (70), параметр Ao имеет значение

Ао = ^{со[2ео(А2 - А{) + Вх - В2] +доРо(А2 - ^i)}- (73)

Таким образом в случае с0 = 0 установлены условия (63), (65), (68), (70), (71), (73) существования функции (72). При этом, равенство (71) можно принять для определения параметра е0, а равенство (68) - для определения параметра g0. Подстановка найденных значений в уравнение (70) дает возможность получить условие на параметры уравнений (1). Уравнение (65) служит для нахождения параметров Ci, C2.

Рассмотрим случай со = 0. Из уравнения (10) следует ß+v, то есть в процессе движения гиростата вектор ß ортогонален вектору вертикали. Тогда значение Ь2 из (62) отлично от нуля. Функция Х\(ф) из (36) примет вид

А1(Ф) = Li sin ф + L2 cos ф + A0, (74)

где в силу с0 = 0 и формулы (67)

Ао = ßigo(A2 - Ai), (75)

Условиями существования решения (6), (11), (74) являются равенства (65), (66), (68), (75), которые можно рассматривать при помощи различных подходов.

Заключительным этапом в интегрировании уравнений (1)-(4) служит рассмотрение уравнений (3), (4). Например, из (3) в силу (74) и ф^) = ß0g01 получим

Li(t) = ßogo[Li cos(ßogot) - L2 sin(ßogot)}. Уравнение (4) позволяет определить угловую скорость вращения гироскопа Si

ki(t) = -^-[(Li - e0h2Di) sm(ß0g0t)+ Di

+L - sohiDi)cos(ßogot) - Di(ßigo + ho£o)].

Заключение. В статье изучены условия существования трех линейных ИС уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Из уравнений Пуассона получено дополнительное линейное ИС на компоненты единичного вектора оси симметрии силовых полей, которое характеризует прецессию гиростата относительно данного вектора. Показано, что в случае, когда постоянная в условии прецессионности отлична от нуля, то ги-ростатический момент зависит только от одной тригонометрической функции. Если данная постоянная равна нулю, то гиростатический момент является линейной комбинацией синуса и косинуса переменной ф(Ь) = ß0g0t, где ß0, g0 -параметры. Найденное решение существует при дополнительных предположениях: A = diag(Ai,A2,A2), B = diag(Bi,B2,B2), C = diag(Ci,C2,C2). В качестве перспективных исследований по данной проблеме может рассматриваться задача, для которой введены гироскопы S2 и S3 с постоянным гиростатическим моментом.

1. Горр Г.В. Движение гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.В. Горр,

А.В. Мазнев, Г.А. Котов. - Донецк: ГУ "ИПММ". - 2018. - 258 с.

2. Виттенбург Й. Движение системы твердых тел / Й. Виттенбург. - М.: Мир. - 1980. -288 с.

3. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами / В.В. Румянцев // Вестник Моск. ун-та. Серия: Математика, механика. - 1970. - № 2. - С. 83-96.

4. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел / П.В. Харламов // Механика твердого тела. - 1972. - Вып. 4. - С. 52-73.

5. Горр Г. В. О трех инвариантных соотношениях уравнений движения тела в потенциальном поле сил / Г.В. Горр // Прикл. математика и механика. - 2019. - 83, № 2. - С. 202-214.

6. Горр Г.В. О решениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.В. Горр, Т.В. Белоконь // Прикл. математика и механика. - 2021. - 85, № 2.

- С. 139-151.

7. Ткаченко Д.Н. Новое решение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил / Д.Н. Ткаченко // Механика твердого тела. - 2021. - Вып. 51. - С. 34-43.

8. Данилюк Д.А. Об одном решении уравнений Кирхгофа-Пуассона в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела. - 2021. - Вып. 51. - С. 44-56.

9. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces. I: The equations of motion and their transformation / H.M. Yehia // Journal de Mecanique Theorique et Appliquee - 1986. - 5, № 5. - P. 747-754.

10. Горр Г.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку / Г.В. Горр, А.В. Мазнев.

- Донецк: ДонНУ. - 2010. - 364 с.

11. Горр Г.В. Движение гиростата / Г.В. Горр, А.М. Ковалев. - Киев: Наук. думка. - 2013. -408 с.

12. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений / П.В. Харламов // Механика твердого тела. - 1974. - Вып. 6. - С. 15-24.

13. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике / С.Л. Зиглин // Функц. анализ. - 1982. - 16, вып. 3. - С. 30-41; там же. - 1983.

- 17, вып. 1. - С. 8-23.

14. Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа / В.В. Козлов, Д.А. Онищенко // Докл. АН СССР. - 1982.- 266, № 6. - С. 1298-1300.

15. Борисов А.В. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа / А.В. Борисов // Reg. end Chaot. Dyn. - 1996. - Vol. 1, № 2. - P. 61-73.

16. Горр Г.В. Инвариантные соотношения уравнений динамики твердого тела (теория, результаты, комментарии) / Г.В. Горр. - М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2017. - 424 с.

17. Ольшанский В.Ю. Об одном новом линейном инвариантом соотношении уравнений Пуанкаре-Жуковского / В.Ю. Ольшанский // Прикл. математика и механика. - 2012. - 76, вып. 6. - С. 883-894.

18. Ольшанский В.Ю. Линейные инвариантные соотношения уравнений Пуанкаре-Жуковского / В.Ю. Ольшанский // Прикл. математика и механика. - 2014. - 78, вып. 1. - С. 29-45.

19. Мухарлямов Р.Г. Дифференциально-алгебраические уравнения программных движений лагранжевых динамических систем / Р.Г. Мухарлямов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2011. - № 4. - С. 50-61.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

20. Горр Г.В. Об одном аналоге истолкования Пуансо решения Эйлера в задаче о движении твердого тела потенциальном поле сил / Г.В. Горр // Прикл. математика и механика. -2020. - 84, № 1. - С. 20-32.

D.A. Danilyuk, D.N. Tkachenko

The new solution of the equations of motion of a gyrostat with a variable gyrostatic moment under the action of potential and gyroscopic forces.

The problem of the conditions for the existence of linear invariant relations of the equations of motion of a gyrostat with a variable gyrostatic moment under the action of potential and gyroscopic forces is considered. It is assumed that the gyrostatic moment is directed along the main axis of the gyrostat inertia ellipsoid, relative to which the component of the unit vertical vector is a linear combination of elementary trigonometric functions of time. A new solution of the initial equations of motion of the gyrostat is constructed, which is characterized by the precession of the gyrostat relative to the vertical.

Keywords: potential forces, interpretation of motion, Euler angles, angular velocity hodograph. ГУ "Институт прикладной математики и механики", Донецк Получено 30.04.2022

Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Donetsk dntkachenko@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.