О движении симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом в двух задачах динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 2. С. 369-376. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 531.38

М8С 2010: 70Е17, 70Е40

О движении симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом в двух задачах динамики

Г. В. Горр, А. В. Мазнев

Рассмотрено движение симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом в двух задачах динамики: в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, описываемой уравнениями класса Кирхгофа-Пуассона; в задаче о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Указаны решения уравнений движения, содержащие шесть произвольных постоянных.

Ключевые слова: симметричный гиростат, уравнения Кирхгофа-Пуассона, эффект Барнетта-Лондона

Введение

Модель симметричного гиростата характеризуется тем, что центр масс гиростата находится на оси симметрии, а моменты инерции относительно экваториальных осей равны (гироскоп Лагранжа). Гироскоп Лагранжа рассмотрен во многих классических учебниках по теоретической механике (см., например, [1]). Известно, что интегрирование уравнений движения тяжелого гироскопа Лагранжа осуществляется в эллиптических функциях времени.

Получено 14 октября 2011 года После доработки 22 мая 2012 года

Горр Геннадий Викторович [email protected].ад

Институт прикладной математики и механики НАН Украины 83114, Украина, г. Донецк, ул. Р. Люксембург, д. 74

Мазнев Александр Владимирович [email protected]

Донецкий национальный университет

83055, Украина, г. Донецк, ул. Университетская, д. 24

Уравнения движения симметричного гиростата с постоянным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил, описываемых уравнениями класса Кирхгофа, допускают, как и в классическом случае, дополнительный первый интеграл, и поэтому интегрируются в квадратурах [2, 3].

Для задачи о движении тяжелого твердого тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона уравнения движения допускают только два первых интеграла, но, несмотря на это, в случае симметричного гиростата можно получить один линейный первый интеграл и один дополнительный интеграл [4].

В статье рассмотрено движение симметричного гиростата с переменным гиростатиче-ским моментом. Постановка задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом дана Ж.Лиувиллем [5], В.Вольтерра [6], Н. Е. Жуковским [7], П. В. Харламовым [8]. Условия существования некоторых классов движений в задаче о движении тяжелого гиростата получены в [9-12], в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил — в [13, 14].

Данная статья посвящена интегрированию в квадратурах уравнений движения симметричного гиростата в двух задачах динамики, указанных в аннотации статьи. Полученные решения зависят от шести произвольных постоянных.

Постановка задачи

Рассмотрим первую задачу — задачу о движении гиростата с переменным гиростати-ческим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил [3, 13-15]:

AU = (Au + Ха — Bv) х и — La + v х (Cv — s), (1)

v = v х и, А = L, (2)

где введены обозначения: и = (ш\,ш2,шз) — вектор угловой скорости тела-носителя; v = = (vi, V2, V3) - единичный вектор оси симметрии силовых полей; а = (ai, а2, аз) — единичный вектор, характеризующий гиростатический момент гиростата X(t) = X(t) a; L — проекция момента сил, действующих на носимое тело, на его ось вращения; s = (si,s2,s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; A — тензор инерции гиростата; B и C — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными v, u, X(t) обозначает производную по времени t.

Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла

v ■ v = 1, (Аш + Аа) • v — ^{Ви і') = k, (3)

где к — произвольная постоянная.

Запишем уравнения (1), (2), используя в качестве переменных xi, Х2, Х3, где x = Au = = (хі,Х2,Хз) — момент количества движения тела-носителя, а также Vi,V2,V3 и Х. Тогда вектор угловой скорости можно записать в виде и = ax (a = (aj) — гирационный тензор). Полагаем, что тело-носитель является гироскопом Лагранжа, а матрицы B и C имеют специальную форму, то есть

a = diag(ai,a2,a2), s = (si, 0, 0), B = diag(Bi,B2,B2),

(4)

C = diag(Ci, C2, C2).

Подставив выражение Ь = А из уравнения (2) в уравнение (1) и учтя равенства (4), получим

уравнения движения симметричного гиростата:

(ж: + A(í)+B2Vl)* = 0, (5)

X2 = жз [ж:(а1 - 0,2) - 02A(í) + В:а2^^ + Vз [(О1 - €2)^1 - В201Х1 - , (6)

X3 = -Х2 [Х1(01 - 02) - 02 А(£) + В102^^ - ^2 [(О1 - О2)Vl - В2О1Х1 - , (7)

г>1 = 02(Х3^2 - Х2^з), г>2 = 01X1^3 - 02X3^1, Уз = 02X2^1 - 01X1^2. (8)

Интегралы (3) преобразуем к виду

у\ + у\ + г/| = 1, (Ж1 + Л)г/1 +ж2г/2 + ж3г/3 - \{В\у{ + Б2г/| + Б2г/|) = к. (9)

При записи уравнений (5)—(9) считаем а = (1, 0, 0), то есть гиростатический момент Л = X(t)a направлен по оси симметрии тела-носителя.

Отметим, что в силу гидродинамической аналогии [15] при Л = const уравнения (1), (2) можно линейным преобразованием привести к уравнениям движения тела в жидкости [3].

В такой трактовке, вытекающий из уравнения (5) первый интеграл xi + B2V1 = с называют

интегралом Кирхгофа-Харламова [16].

Вторая задача описывается уравнениями

Аш = (Аш + Л а) х ш + Вш х v — La + v х (Cv — s), (10)

v = v х ш, A = L, (11)

в которых физическая интерпретация величин ш, v, Л, a,L,C совпадает с интерпретацией соответствующих величин в уравнениях (1), (2). Матрица В в уравнении (10) обусловлена влиянием магнитного поля на ферромагнетик (первоначально не намагниченный). Момент Вш, входящий в уравнения (10) в составе произведения, характеризует эффект Барнетта — Лондона (при Л = const см. статьи [4, 17, 18]).

Запишем уравнения (10), (11), приняв, как и в случае рассмотрения уравнений (1), (2),

переменные Х1, Х2, Х3, V!, ^2, ^3, А и условия (4):

(Х1 + А(^ + В2^) = ° (12) Х2 = Х3 [(01 - 02)Х1 - 02А(£) + В202^"1] + Vз [(О1 - €2^1 - В101Х1 - , (13)

Х3 = -Х2 [(01 - 02)Х1 - 02А(£) + B202V^ - V2 [(О1 - О2)Vl - В101Х1 - , (14)

Vl = 02(Х3V2 - X2Vз), V2 = 01X^3 - 02XзVl, Vз = 02X2Vl - 01X^2. (15)

Уравнения (12)-(15) допускают первые интегралы

V2 + V2 + = 1, (Х1 + А^1 + X2V2 + XзVз = к, (16)

где к — произвольная постоянная.

Отметим, что при получении уравнений (12)—(14) предполагалось а = (1, 0, 0).

Если в уравнениях (12)—(15) считать Л^) = const, то из (12) следует интеграл В. А. Самсонова [4]. В дальнейшем будем считать, что Л^) = const.

Интегрирование уравнений (5)—(8)

Из уравнения (5) найдем первый интеграл

xi + A(t) + B2V1 = c, (17)

где c — произвольная постоянная. Он является обобщением первого интеграла для случая A(t) = const. Выразим из соотношения (17) A(t):

A(t) = c - xi - B2V1; (18)

подставим (18) в уравнения (6), (7):

Х2 = Х3 [(aixi - a2c) + a2(Bi + B2)vi] + V3 [(Ci - €2)1*1 - B2aixi - si], (19)

Х3 = -x3 [(aixi - a2c) + a2(Bi + B2)vi] - V2 [(Ci - C2V - B2aixi - si].

Интеграл моментов из системы (9) при условии (18) примет вид

x2v2 + X3V3 ~ \{Bi + B2)v‘¡ + cv 1 = К, (20)

где K = k + ^B2.

Отметим, что в уравнениях (8), (19) xi — произвольная дифференцируемая функция времени.

Для интегрирования уравнений (8), (19) введем вместо Vi,V2,V3 и x2,x3 новые переменные

vi = cos в, v2 = sin в cos ф, v3 = sin в sin ф, (21)

x2 = p cos a, x3 = p sin a. (22)

Тогда рассматриваемая система (8), (19) преобразуется так:

в = a2psin(<£ - a), (23)

ф = } Ла2рcos 9cos(ф — а) — а\Х\ sin 01, (24)

sin в

p = sin в sin(<£ - a) • [(Ci - C2) cose - (si + aiB2xi)], (25)

(26)

á = j¡{(a2c — a\Xi)p — а2(В\ + B2)pcos 9—

— sin9cos(^> — a) ■ [(Ci — C2) cos 9 — (si + a\B2xi)}].

Система (23)—(26) имеет первый интеграл

psin0cos(c/? — а) — 7¿(Bi + В2) cos2 9 + ccos9 = К, (27)

который следует из соотношения (20) в силу (21), (22).

Покажем, что система (23)—(26) при xi = xi° = const интегрируется в квадратурах. Из уравнений (23), (25) вытекает

dp _ sin 9 d,9 ~ «-2 Р

из которого получим зависимость р2(9):

(C1 — C2) cos 9 — (s1 + a1xi0)B2)

p2{9) = ^[{C2 - Ci) cos29 + 2(si +ai.'r(10)52)cos6, + t0], (28)

где Єо — произвольная постоянная.

На основании равенства (28), из интеграла (27) найдем cos(^> — а) и подставим в уравнение (23):

в

¡ sin 9d9

Vm

— a2 (t — Íq),

где

F(9) = p2{9) sin2 9 — [K + -(B\ + B2) eos2 9 — ecos 9}'2,

(29)

(30)

а р2(9) выражается по формуле (28).

Обращение интеграла (29) позволяет определить функцию 9 = 9(t). Для определения свойств этой функции можно использовать обозначение cos 9 = V\ из системы (21), а также выражение (28) и привести интеграл (29) к виду

V1

dv1

л/Щй[)

— —(t — íq )•

(31)

Здесь

$(vi) — d4V4 + d3vf + d2V2 + diVi + do,

di — —^(-®i + Д2) + C*i — C2, (¿3 — —c(B\ + В 2) — 2(si + а.ь'гД 1 B\),

d,2 — C2 — C — £q — 0,2 c2 + K (B1 + B2),

(0)

d1 — 2(s1 + o1 ^10) B1) — 2cK,

do — £q — 02K2

(32)

Из формул (31), (32) вытекает, что (Ь) является эллиптической функцией времени.

Для нахождения функции ф(Ь) будем использовать уравнение, которое вытекает из уравнения (24) и интеграла (27) путем исключения cos(^> — а). Если функцию 9 = 9(Ь), найденную из (29), подставить в редуцированное уравнение, то получим

t

<P(t) = Í — J si

1

to

sin2 9(t)

Щ-{В\ + B2) cos3 9(t) — (a,2C — a-ix^1) cos^ 9(t) +

(0)'

+ o2 K cos 9(t) — о1ж1

(0)

dt.

Из формулы (27) вытекает

a(t) — <^(t) + arccos

1

p(9(t)) sin 9(t)

К + 2(^1 + -^2) cos2 9(t) — с cos 9(t)

(33)

(34)

Соотношения (18), (28), (29), (33) (34) позволяют, в силу (21), (22), найти зависимость всех переменных задачи (5)—(8) в предположении, что x\ = x1° = const, то есть для построенного решения проекция вектора x на ось симметрии тела-носителя постоянна. Отметим, что произвольными постоянными в нем являются величины x10), £0, K, С, фо, 9о(фо = = <^(to), 9о = 9(to)). Функция L(t) находится дифференцированием функции A(t) = с —

— x^0 — B2 cos 9(t). Таким образом, в случае симметричного гиростата установлено общее решение уравнений движения.

1

Интегрирование уравнений (12)—(15)

Следует подчеркнуть отличие уравнений системы (5)—(8) и системы (12)—(15). Оно состоит в том, что типы первых интегралов моментов из формул (9) и (16) не совпадают (в интеграл моментов из (16) не входят параметры (г = 1,3)). Однако это обстоятельство не отражается на интегрировании системы (12)—(15).

Из уравнения (12) следует

Х(Ь) = с — Х\ — В2и\, (35)

где с — произвольная постоянная. Введем новые переменные р, а, 9, ф согласно формулам (21), (22). С учетом равенства (35) систему уравнений (13)—(15) приведем к системе уравнений четвертого порядка. При этом очевидно, что уравнения для 9 и ф совпадают с уравнениями (23), (24), а уравнения для р и а таковы:

р = sin 9 sin(^> — a) [(Ci — C2) cos 9 — (si + a\BiXi)], (36)

(37)

à = — ^p{p[{aiXi — a2c) + 2a2B2 cos 9} +

+ sin 9 cos(^> — a) • [(C1 — C2) cos 9 — (s1 + a1B1x1)^.

Первый интеграл моментов из (16) в новых переменных можно записать в виде

cos(tp — а) = —}'—¿(k + В2 cos2 9 — ecos 9). (38)

р sin 9

Выполним интегрирование уравнений (23), (24), (36), (37) в случае X1 = x1° = const. Из уравнений (23), (36) определим

Р2($) = щ[(Р2 — Ci) cos2 9 + 2(si + a.i^iæ^) cos 9 + to], (39)

где eo — произвольная постоянная. Подставим выражение (38) в уравнение (23), используя

очевидную формулу sin(t£> — а) = \Jl — cos2(<f — а). Тогда зависимость 9 = 9(t) можно определить путем обращения интеграла

в

í sin 9de

J т

во

= a2(t — to), (40)

где

ф(9) — р2(9) sin2 9 — (к + B2 cos2 9 — ccos 9)2. (41)

Переход в формуле (40) к интегрированию по V1 — cos 9 осуществляется так же, как и в случае получения формулы (31). Следовательно, на основании формул (39), (41) можно утверждать, что V1 — V1(t) — эллиптическая функция времени.

Подставим выражения (38), (39) в уравнение (24) и учтем зависимость 9 — 9(t). Тогда функцию ^>(t) можно получить из формулы

t

ip(t) = ----^----[a.2-E>2 cos3 $(í) — (a2C — a.i.T^) eos2 9(t) + к cos 9(t) — a.i.T^l dt. (42)

j sin2 9(t)

to

Функцию a(t) определим из соотношения (38)

a(t) = ip(t) + arccos ---------------—— [ к + cos 9(t) — с cos 9(t) , (43)

p(9(t))sin 9(t)

где в силу (39)

p(9(t)) = \J(C'2 — C\) cos2 9(t) + 2(si + a\Bix^) cos 9(t) + to- (44)

Итак, функции 9(t), ^>(t), a(t), p(t) находятся из формул (40), (42)-(44). Подставив их в соотношения (21), (22), (35), установим зависимость переменных задачи от времени. Построенное решение зависит от произвольных постоянных £о, к, С, фо, 9о.

Замечание

Анализ окончательных результатов, полученных при интегрировании уравнений движения симметричного гиростата в двух задачах динамики, описываемых, соответственно, уравнениями (1), (2) и (10), (11), показывает, что учет переменности гиростатического момента позволяет стабилизировать движение гиростата так, чтобы Х\ = Х]_0) = const. Этот факт представляет интерес для приложений в задачах управления движением механических систем.

2

a

2

Выводы

В статье найдены решения двух систем дифференциальных уравнений движения симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом, описывающих движение гиростата под действием специального класса потенциальных и гироскопических сил, и движения симметричного гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Эти решения можно интерпретировать как решения, обобщающие решение Кирхгофа-Харламова и решение В. А. Самсонова.

Полученные в данной статье результаты допускают, очевидно, обобщение, которое отвечает случаю, когда xi является функцией переменной 9. Тогда, например, для первой задачи можно найти аналоги формул (28)-(30), (33), (34) и определить функцию (18), которые будут описывать решение с пятью произвольными постоянными и одной произвольной функцией xi(9).

Список литературы

[1] Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946. 655 с.

[2] Kirchhoff G.R. Über die Bewegung eines Rotationkörpers in einer Flüssigkeit // J. Reine Angew. Math., 1870, vol. 71, pp.237-262.

[3] Харламов П. В. О движении в жидкости тела, имеющего неподвижную точку // Прикладная механика и техническая физика, 1963, №4, с. 17-29.

[4] Самсонов В. А. О вращении твердого тела в магнитном поле // МТТ, 1984, №4, с. 39-47.

[5] Liouville J. Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson // J. de Mathématiques pures et appliquees, 1858, vol. 3, pp. 1-25.

[6] Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta Math., 1899, vol. 22, pp. 201-358.

[7] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Журн. рус. физ.-хим. общ-ва, 1885, т. 17, отд. 1, вып. 6, с. 81-113. ( См. также: Жуковский Н. Е. Избранные сочинения: Т. 1. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. С. 31-152.)

[8] Харламов П. В. Об уравнениях движения системы твердых тел // МТТ, 1972, №4, с. 52-73.

[9] Волкова О. С. О стабилизации равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховики // Тр. ИПММ НАНУ, 2007, т. 14, с. 41-51.

[10] Волкова О. С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик // МТТ, 2008, №38, с.80-86.

[11] Волкова О. С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Тр. ИПММ НАНУ, 2009, т. 19, с. 30-35.

[12] Волкова О. С., Гашененко И. Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом // МТТ, 2009, №39, с. 42-49.

[13] Горр Г. В., Мазнев А. В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики // Тр. ИПММ НАНУ, 2010, т. 21, с. 64-75.

[14] Мазнев А. В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // МТТ, 2010, №40, с. 91-102.

[15] Yehia H. M. On the motion of a rigid body acted upon potential and gyroscopic forces: 1.The equations of motion and their transformations // J. Mech. Theor. Appl., 1986, vol. 5, no. 5, pp. 742745.

[16] Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978. 294 с.

[17] Козлов В. В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // МТТ, 1985, №6, с. 28-33.

[18] Урман Ю. М. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением сверхпроводника в магнитном подвесе // Докл. АН СССР, 1984, т. 276, №6, с. 1402-1404.

About motion of symmetric gyrostat with a variable gyrostatic moment in two tasks of dynamics

Genady V. Gorr1, Alexander V. Maznev2

1 Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NASU R. Luxembourg 74, Donetsk, 83114, Ukraine

2 Donetsk National University Universitetskaya 24, Donetsk, 83055, Ukraine

[email protected], [email protected]

The motion of symmetric gyrostat with a variable gyrostatic moment in two tasks of dynamics: in a task about motion of gyrostat under the action of potential and gyroscopic forces and in a task about motion of gyrostat in the magnetic field taking into account the effect of Barnett -London is considered. The decisions of equalizations which contain six arbitrary permanent are indicated.

MSC 2010: 70E17, 70E40

Keywords: symmetric gyrostat, equalizations of Kirchhoff-Poisson, effect of Barnett-London

Received October 14, 2011, accepted May 22, 2012

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 2, pp. 369-376 (Russian)