О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата в случае переменного гиростатического момента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38

О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата в случае переменного гиростатического момента

Г. В. Горр, А. В. Мазнев*

Институт прикладной математики и механики, Донецк 83114. E-mail: gvgorr@gmail.com * Донецкий национальный университет, Донецк, 83001. E-mail: maznev_av@rambler.ru

Аннотация. Рассмотрены условия существования двух линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа-Пуассона в предположении, что гиростатический момент зависит от времени. Получены новые классы решений, характеризующиеся прямолинейным подвижным годографом вектора угловой скорости.

Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение.

Введение

Важность исследований движения системы связанных твердых тел (в частности, гиростата [9]) обусловлена тем, что с помощью вращающихся в теле-носителе роторов можно добиться либо стабилизации движений механических объектов [8], либо решить задачу управления их движением [5]. Наиболее общая модель такой системы рассмотрена П. В. Харламовым [9], который вывел уравнения движения системы связанных недеформируемых тел под действием заданного класса сил и моментов. В общем случае характер движения носимых тел позволяет изучать движения системы связанных твердых тел в рамках задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом.

К настоящему времени в задаче о движении тяжелого гиростата для случая, когда тело-носитель имеет неподвижную точку, рассмотрены равномерные вращения относительно вертикали [4], относительно наклонной оси [1], маятниковые вращения [2] и другие движения.

Интерес представляют и результаты, которые получены в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [10] в предположении переменности гиростатического момента [6, 7]. Методы в решении различных задач о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом тесно связаны не только с отмеченными выше подходами в решении задач стабилизации и управления движением, но и с подходами, применяемыми в теории обратных

© Г. В. ГОРР, А. В. МАЗНЕВ

задач механики [3]. К известным обратным задачам относятся задачи Ньютона, Бертрана, Суслова, Чаплыгина-Горячева. Методы их решения изложены в книге [3] и подразделяются на методы восстановления уравнений движения и методы замыкания уравнений движения.

В статье изучены условия существования двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении гиростата, когда на намагниченный и заряженный гиростат действуют ньютоновские, кулоновские, магнитные силы и силы Лоренца. Получены новые решения уравнений движения гиростата с переменным гироста-тическим моментом.

1. Постановка задачи

Запишем уравнения движения гиростата с переменным гиростатическим моментом [9, 10]

x = x х ax — L(t)a + ax x (Bv — \(t)a) + v x (Cv — s), (1.1)

X = L(t), v = v x ax, (1.2)

где x = (x1,x2,x3) — момент количества движения гиростата, введенный в [9]; v = (v1,v2,v3) — единичный вектор, указывающий направление магнитного поля; L(t) — функция, характеризующая взаимодействие тела-носителя и носимых тел; a = (aij) — гирационный тензор; s = (si,s2,s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; а = (a1,a2,a3) — единичный вектор, характеризующий направление гиростатического момента X(t)a; B = (Bij) и C = (Cij) — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозначает дифференцирование по независимой переменной t. Уравнения (1.1),(1.2) имеют первые интегралы

v • v = 1, (x + X(t)a) • v — 1(Bv • v) = k, (1.3)

где k — произвольная постоянная.

Целью работы является определение условий на постоянные параметры

aij, Bkl, Cnm, si, aj правых частей (1.1); нахождение зависимости L = L(t), для которой уравнения (1.1),(1.2) допускают два линейных инвариантных соотношения

x1 = b, x2 = c, (1.4)

где b и c — постоянные. Вид соотношений (1.4) связан с выбором подвижной системы координат, третья ось которой направлена так, что x3 = const. Поскольку третья ось зафиксирована, то поворотом вокруг этой оси подвижной системы координат можно добиться условия a2 = 0, то есть вектор а имеет вид а = (a1, 0, a3).

В дальнейшем случай, когда соотношения (1.4) приводят к линейному инвариантному соотношению относительно vi, x3 исключаем из рассмотрения.

Запишем в силу (1.4) компоненты угловой скорости тела-носителя

= ацЪ + а^с + a\3x3, Ш2 = а^Ъ + a22c + а2зХз, (1.5)

= а1зЪ + а2зс + аззХз.

Очевидно, что при условиях x1 = Ъ, x2 = с, хз = const подвижный годограф вектора угловой скорости ш принадлежит прямой.

Подставим выражения (1.4),(1.5) в скалярные уравнения, вытекающие из уравнения (1.1), и заменим функцию L(t) на A(t)

aiA(t) + a:i\(t) (во + а2зхз) + а2зхз = хз (Во + Bv + B2V2 + B3V3) + ¡2(^1,^2, V3),

(1.6)

A(t) (70 + 71Хз) - а1зхз = хз (Со + Cv + C2V2 + C3V3) + g2(vb щ, Ы, (1.7)

(хз + азА^))' — aiA(t) (во + а2зхз) = хз (Go + G1V1 + G2V2 + G3V3) + ^(vi, V2, V3),

(1.8)

где введены обозначения

во = а12Ъ + а22с, 7о = ai (а1зЪ + а2зс) — аз (ацЪ + а12с),

7i = а1азз — аза1з, Во = (азз — а22) с — аиЪ, Bi = а2зВ1з — аззВ12, (1.9)

В2 = a23B23 — а33В22, B3 = a23B33 — а33В23>

/2(^1, V2, V3) = £0 + £>1 + £>2 + ^3^3 + Ci3V!V2 - Ci2V!V3 +

+ С23 - V32) + (C33 - C22) V2V3, (1.10)

£0 = С (ai3b + a23c) , £1 = b (ai2Bi3 - a^B^) + c (a22Bi3 - ^23Bi2) ,

£2 = -S3 + b (ai2B23 - ai3B22) + c (a22B23 - a23B22) , (1.11)

£3 = S2 + b (ai2B33 - ai3B23) + С (a22B33 - a23B23) ,

Co = (aii - a33) b + ai2c, Ci = a33Bn - ai3Bi3, (112)

C2 = a33Bi2 - ai3B23, C3 = a33Bi3 - ai3B33,

92(vi,V2, V3) = Do + DiVi + D2V2 + D3V3 + Ci2V2V3 - C23ViV2 +

+ Ci3 (V32 - v2) + (Cii - C33) ViV3, (1.13)

Do = -b (ai3b + a23c) ,

Di = S3 + b (ai3Bii - aiiBi3) + c (a23Bn - ai2Bi3), (1 1^)

D2 = b (ai3Bi2 - anB23) + c (a23Bi2 - ai2B23) ,

D3 = -Si + b (ai3Bi3 - aiiB33) + c (a23Bi3 - ai2B33),

G0 = a23b - ai3c, Gi = ai3Bi2 - a23Bii j ... ..

(1.15)

G2 = ai3B22 - a23Bi2, G3 = ai3B23 - a23Bi3, ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012)

h2(vi,V2, Уз) = Fo + F1V1 + F2V2 + F3V3 + C23V1V3 - C13V2V3+

+ C12 V - V2) + (C22 - CU) U1U2, (1.16)

Fo = а\2Ь2 + (а22 - аи) Ьс - а^о2, Рх = -82 + Ь (апБ12 - аг2Вп) + с (а^Б^ - а^аВи), F2 = 81 + Ь (апВ22 - апВи) + с (ах2В22 - а22Вп), Рз = Ь (апВ2з - а^Вхз) + с (аиВ2з - а22Вгз). Интеграл моментов из (1.3) на соотношениях (1.4) запишем так

:i.i7)

1

Х3 = — V3

к - bvi - CV2 - \(t)(aiVi + аз^з) + 1(Би"2+

+ Б 22^2 + БззЬ>1 + 2Bi2ViV2 + ЪБузР^з + 2B23V2V3)

:i.is)

В силу (1.4) скалярный вид уравнений Пуассона из (1.2) представим так

"г = У2 (ахзЬ + а2зс) - Уз (а^Ь + а22с) + хз (азз»2 - а2з»з), V2 = Vз (апЬ + аг2с) - Уг (а^Ь + а2зс) + хз (а^з - аззУг), (1.19)

йз = У\ (а\2Ь + а22с) - У2 (а\\Ь + а^с) + хз (а2з^\ - ахзУ2) ■

Таким образом, нахождение условий существования инвариантных соотношений (1.4) сводится к анализу решений уравнений (1.6)-(1.8) с обозначениями (1.9)-(1.17) и уравнений (1.19).

2. Случай В^ = 0, Сц = 0 {%,] = 1,3)

Рассмотрим случай, когда уравнения (1.1),(1.2) описывают задачу о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием только силы тяжести.

Вариант 1. Пусть уравнение (1.6) выполняется для любых значений переменных Л, уг, хз. Предполагая, что барицентрическая ось является главной, получим следующие условия на параметры задачи

ах = 0, ах2 = ахз = а2з = 0, с = 0, 82 = 8з = 0. (2.1)

Обозначая агг = аг (г = 1, 3) из уравнений (1.7),(1.18) в силу обозначений (1.9)-(1.14) и равенств (2.1) найдем

Л = —1— [Ьк (аз - аг) + Ь2 (аг - аз) Уг + 81 у^] ,

азЬ"з (2.2)

хз = —-— (Ькаг - Ь2агуг - 8гуЛ . азЬУз

Учтем в уравнениях (1.19) условия (2.1) и выражение для x3 из системы (2.2) г>1 = b"— (bkai — b2aivi — sivf) ,

Ù2 = [—bkav + b2ai V2 + vf) + s^vf] , (2.3)

bv3 L \ / j

/>3 = —baiVj.

Уравнения (2.3) имеют интегралы

v2 + v22 + v2 = 1, aib (bVl ~ к) - S1V3 = c*

V 3

где c* — произвольная постоянная. Из этих интегралов получим

kaib + c*V3 + sivf Г 2

Vl(Vs) = -012-' V2(V3)^|/1 - v3 - Vf (V3).

(2.4)

Подставив v2(v3) из (2.4) в третье уравнение системы (2.3) приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, из которого вытекает

V3

/yr-i-ЖУ = - ^ (2'5>

В силу (2.4),(2.5) функция v3 = v3(t) находится путем обращения эллиптического интеграла, поэтому v3 = v3(t) — эллиптическая функция времени. Действительности этой функции можно добиться надлежащим выбором произвольной постоянной к (например, положив k < b).

Поскольку постоянные к, о* — произвольные, то функция v3(t) зависит от трех произвольных постоянных. Подставив ее в формулы (2.2),(2.4) и учтя соотношения (1.4) при условиях (2.1)

x1 = b, x2 = 0, (2.6)

получим зависимость основных переменных задачи (1.1),(1.2) от времени. Функцию L(t) найдем из уравнения L(t) = A(t). Можно показать, что построенное решение удовлетворяет уравнению (1.8).

Вариант 2. Положим в уравнениях (1.6),(1.7)

а1 = 0, а3 = 1, а13 = 0, а23 = 0, s3 = 0 (2.7)

и потребуем, чтобы при условиях (2.7) линейная комбинация уравнений (1.6),(1.7) приводила к уравнению, которое выполнялось бы для любых значений переменных А, щ, x3. Тогда получим следующие равенства

0 b а11 - а22 ± V^ д , ,2 „ 2 fo оч

S2 = тsi, - =---, Д = (а22 - ail) + 4а^, (2.8)

b о 2а12

где очевидно предполагаем А > 0, то есть случай (2.8) не может приводить к равенствам (2.6).

Из соотношений (1.7),(1.18) вытекает

хз = —1— [во (к - Ьиг - су2) - 82у2^ ,

а1сиз (2.9)

Л =- [(аззс - во) (к - Ьух - сщ) + 82^] ■

аззсУз

Для записи уравнений Пуассона (1.19) воспользуемся условиями агз = а2з = 0 из системы (2.7), выражением хз из системы (2.9) и перейдем в преобразованных уравнениях к дифференцированию по новой независимой переменной т = ^

у'г = — [кУ2 - ЬУгУ2 - с (у2 + уз) - 8У2У|] , Уз

у'2 = — [-кУг + сУгУ2 + Ь (у\ + у^) + 8УгУ|] , (2.10)

Уз

у'з = суг - Ьу2,

где 8 = , а штрихом обозначена производная по т. Система (2.10) имеет два первых интеграла

2,2,2! bvi + cv2 - sy¡ - к v1 + v2 + у3 = 1, - = с* (с* = const), (2.11)

и поэтому ее интегрирование сводится к квадратурам.

Введем вместо переменных У\, у2, у3 переменные в и ф по формулам

У\ = sin в cos ф, v2 = sin в sin ф, у3 = cos в. (2.12)

Тогда с помощью соотношений (2.12) третье уравнение из системы (2.10) и второй интеграл из (2.11) приведем к виду

в' = ¡ sin^ — ф0), cos(ф — ф0) =-ñ (k + с* cos в + s cos2 в) , (2.13)

¡i* sin в

где ¡i* = л/b2 + с2, tg ф0 = С. Используя старую независимую переменную t = т, из уравнений (2.13) получим

в

f sin в •йв ^(t — to), (2.14)

g0 ^J~^2Siñ2в—(k+c*cÖSв+~scÖS2P)2 с

ф = ф0 + arccos-- (k + с* cos в + s cos2 в) . (2.15)

¡i* sin в 4 y

Из формулы (2.14) обращением интеграла находим зависимость в = в(t). Подставляя эту функцию в формулу (2.15), определим ф = ф(Ь). Используя данные

функции, из соотношений (2.9) получим хз = хз (¿), Л = Л(£). Если к этому результату присоединить соотношения (1.4), то можно утверждать о получении решения уравнений (1.1),(1.2) при условиях (2.1). При этом уравнение (1.8) становится тождеством.

3. Случай Л = Ао + А\и\ + + Л3и3

Зададим функцию Л(Ь) в виде

Л = Ло + + Л2У2 + Л3и3. (3.1)

Из интеграла моментов в силу (3.1) имеем

1 / 2 2 2

Хз = — £ + £^1 + £2^2 + £3^3 + ^11V2 + £22^2 + £33^ +

V3

+ 2е 12V1V2 + 2^13^1 V3 + 2£2З^З), (3.2)

где

£о = к, £1 = —Ь — Ло«1, £2 = —С1, £3 = —Ло«3,

£11 = 2 В11 — Л1a1, £22 = 2 B22, £33 = 1В33 — ^О^ (3.3)

2£ 12 = В12 — Л2^1, 2£ 13 = В13 — Л^з — Лз«1, 2£23 = В23 — Л2&3.

Подставим выражение (3.2) в уравнение (1.7) и потребуем, чтобы полученное равенство выполнялось для всех значений v1, и2, из. Если предположить, что а13 = 0, то приходим к равенствам £0 = 0, £1 = 0, £2 = 0, £11 = 0, £12 = 0, £22 = 0. Из (3.2) следует, что х3 линейно зависит от компонент вектора V. Этот случай в силу (1.4) означает, что имеем три инвариантных соотношения уравнений (1.1),(1.2). Он, в силу постановки задачи, исключен из рассмотрения. Поэтому необходимо положить а13 = 0. В силу проведенных выше рассуждений подстановка выражения (3.1) в уравнение (1.6) и учет уравнений (1.19) позволяет сделать вывод, что и а23 = 0. Итак, в дальнейшем полагаем

«13 = 0, «23 = 0. (3.4)

В силу (3.4) уравнения (1.19) упрощаются

¿1 = — (aззV2П(Vl,¿2, ¿з) — ^3) , ¿3

¿2 = — (—aззVlП(vl, ¿2, ¿з) + , (3.5)

¿3

¿з = воVl — в^2,

где

П^ь ¿2, ¿3) = £о + £^1 + £2¿2 + £зVз + £ц+ £22¿2 + £33V3! +

+ 2£ 12 ¿1 ¿2 + 2£lзVlVз + 2£23 V2Vз, в1 = «цЬ + «12С. (3.6) То есть, на основании (3.6) из (3.2) имеем

хз = П(^2'"з). (3.7)

¿3

Запишем уравнения (1.6),(1.7) в силу (3.1),(3.2)

¿2, ¿з) [(Со — 71 Ло) + (С — 71Л1) ¿1 + (С2 — 71Л2) ¿2+

+ (Сз — 71 Лз) Уз] + ¿з [^(¿1^2, ¿з) — 7о (Ло + Л^1 + Л2V2 + ЛзVз)] = 0, (3.8)

П(У1,У2, ¿з) [Во + (В1 + а^азз) ¿1 + (В2 — а^азз) ¿2 + BзVз] + + ¿3 /2^1, ¿2, ¿з) — «зво Ло — во («Л + 0^1) ¿1 + + (а1Лзв1 — азЛ2во) ¿2 + (аАв — «^2в1 — «зЛзво) ¿з] = 0. (3.9)

Потребуем, чтобы равенства (3.8),(3.9), в которых учтено выражение (3.6), выполнялись для всех значений и1, и2, из. Вначале положим из = 0 и потребуем, чтобы они выполнялись для всех и1, и2. Тогда получим условия

с (азз — а22) — Ьа12 = 0, Ло =-[Ь (ап — азз) + са^] ,

В В а1а33 (3.10)

Л1 =-, Л2 =-, В22 + Вц = 0.

а1 а1

При наличии равенств (3.10) уравнения (3.8),(3.9) упрощаются. Если подставить выражение (3.6) в (3.8),(3.9) и потребовать, чтобы полученные равенства были тождествами по и1, и2, из, то приходим к системе алгебраических равенств на параметры задачи, характеризующей условия существования инвариантных соотношений (1.4). Эта система имеет решение, например, в случае, когда выполняются условия

«з = 0, «1 = 1, В23 = 0, Сг] = 0 (1,3 = 173), Лз = В13,

в1 = —пВзз, 82 = ПВ12 — (Ви + В33) во, (3.11)

5з = ПВ13, п = апЬ + а12с.

Принимая во внимание равенства (3.3),(3.10),(3.11), из (3.7) получим

хз = — £ — в^1 — во¿2 + £33¿з) , (3.12)

¿3

где £3 = азз (к — 1Вц) , £3з = 1 азз (Вц + В33).

Запишем уравнения Пуассона из (3.5)

Уг = — [£*оУ2 - вг^г^2 - во + из) + ^з^2] , Уз

У2 = — [-£*0Уг + воУг"2 + вг V + у^) - £*зз"г"з] , (3Л3)

Уз

Уз = воУг - вги2.

Уравнения (3.13) по своей структуре совпадают с уравнениями (2.10) и поэтому имеют интегралы

1 2 + •2 + •2 = л вгУг + воУ2 + £*зз"! - 4 = с

у г + у2 + Уз — 1, — сз,

Уз

где сз —произвольная постоянная. Интегрирование системы (3.13) осуществляется так же, как и в случае (2.10). После нахождения функций щ(1) зависимость хз = хз(Ь) определяется из формулы (3.12), которая по структуре совпадает с первой формулой из (2.9), зависимость Л(Ь) из формулы

Л(1) = Ло + Виуг(1) + Вг2У2(1) + Вгз^з(Ь). (3.14)

а Ь(Ь) из уравнения Ь(Ь) = Вггуг(1) + Вг2у2({) + Вгзуз({).

В силу соотношений (3.10) условиями существования построенного решения являются равенства

с = , В22 = -Вгг (3.15)

Ь азз - а22

и условия (3.11).

Непосредственной подстановкой выражений (1.4),(3.12),(3.14) в уравнение (1.8) убеждаемся в том, что при наличии равенств (3.11),(3.15) оно становится тождеством.

Необходимо отметить, что в работе [11] рассмотрен случай двух линейных инвариантных соотношений более общего вида. Однако, полученные здесь и в [11] результаты принципиально различны, так как пример разрешимости, указанный в [11] не допускает предельного перехода к классической задаче о движении гиростата под действием силы тяжести, который реализован в данной работе.

4. Вывод

Таким образом, исследование условий существования у уравнений (1.1),(1.2) инвариантных соотношений (1.4) позволило получить новые решения задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Примечательным с математической точки зрения обстоятельством является получение трех нелинейных дифференциальных уравнений класса (2.10), которые имеют рациональный первый интеграл вида (2.11).

Список цитируемых источников

1. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик / / Механика твердого тела. — 2008. — Вып. 38. — С. 80-86.

2. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. — 2009. — Вып. 39. — С. 42-49.

3. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика // Учеб. пособие для ун-тов и втузов. — М.: Высш. шк., 1980. — 264 с.

4. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата // Прикл. математика и механика. — 1999. — Т. 63., Вып. 5. — С. 825-826.

5. Ковалев А.М. Нелинейные задачи и наблюдения в теории динамических систем // Киев: Наук. думка, 1980. — 175с.

6. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. — 2010. — Вып. 40. — С. 91-104.

7. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Докл. НАН Украины. — 2011. — № 8. — С. 66-72.

8. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика. — 1970. — №2. — С. 83-96.

9. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. — 1972. — Вып. 4. — С. 52-73.

10. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The equations of motion and their transformations //J. Mecan. Theor. Appl. — 1986. — V. 5, №5. — P. 747-754.

11. Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. — 2011. — Вып. 41. — С. 51-60.

Получена 10.02.2012 Переработана 23.05.2012