CC BY
40
1 2 1 2
-3,
к\2 - Аъв\02>
к23 = ~—А1в2въ + 4&2 -А3 ^
ки - ty Al ~]}2 А2вг
Кх = -Г\ 1 + -п2
(
1
2 2
1
1
ei| _в2 + ^в3 I + е21 ву + въ I + е31 1 --fl -1в1 + ^бз2
1
— 02 Н--|--^2^3 \ --^2^3 ) ^--^3^2 ^----®2--
т2 = -Ахв{-в2 +-вфъ\ + А2[вх + — в2въ ]~—Аъв\\- — #2 -~в\ + -<932
т3=--А1в2[-в2 +-в1въ\ + -А2в1[в1+-в2въ\ + Аъ[\--в^-~в\ + -<92 I.
2
2
2
2
2
2
2
Вывод. Уравнения Эйлера-Кирхгофа в форме (29), (30) в обобщенных координатах являются достаточно общими. Из них можно получить уравнения в углах Эйлера с помощью соотношений (27), в новых модификациях углов Эйлера, в параметрах Родрига-Гамильтона и других обобщенных координатах. Система (29)-(30) удобна для численного решения задач динамики твердого тела и механики гибких стержней, так как ее правые части являются алгебраическими полиномами
( 1 2 ^
основных переменных и не имеют особенностей I 1 + — в ^01.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Гордеев, Г. Г. Уравнения Эйлера-Кирхгофа в гамильтоновой форме (обобщенные координаты-компоненты вектора конечного поворота) // Сб. тр. горно-электромеханического факультета ДонГТУ. - Донецк, 1996. -С. 40-44.
2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. - Киев: Наук. Думка, 1979. - 216 с.
3. Кирхгоф, Г. Механика / Г. Кирхгоф. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 404 с.
4. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.
5. Харламов, П. В. Лекции по динамике твердого тела / П. В. Харламов. - Новосибирск: Изд-во Новосибир. ун-та, 1965. - 220 с.
6. Эйлер, Л. Основы динамики точки. Первые главы из «Механики» и «Теории движения твердых тел» / Л. Эйлер. - М.; Л.: ОНТИ, 1938. - 500 с.
УДК 531.38 ББК 22.21
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Аннотация. В работе показано, что движения тяжелого гиростата с переменным гироста-тическим моментом, при котором общий момент количества движения гиростата ортогонален барицентрической оси, возможно только при условиях, аналогичным условиям Гесса. Найдено решение уравнений движения гиростата, содержащее произвольную функцию угла нутации.
Ключевые слова: тяжелый гиростата, гиростатический момент, инвариантное соотношение.
G. V. Gorr, A. V. Maznyev
ON THE SOLUTION OF HEAVY GYROSTAT MOTION EQUATIONS WITH A VARIABLE GYROSTATIC MOMENT
Abstract. In the paper it is shown that motion of heavy gyrostat with a variable gyrostatic moment when a general moment-of momentum gyrostat is a orthogonal to the barycentric axis is possible only at
terms analogical to the terms of Hess. The new solution of gyrostat motion equation with the arbitrary nutation corner function is found.
Key words: heavy gyrostat, gyrostatic moment, invariant correlation.
1. Введение. В динамике твердого тела при моделировании движений объектов техники часто используется модель гиростата [18]. Уравнения движения гиростата с переменным гироста-тическим моментом рассматривались в работах Ж. Лиувилля [12], В. Вольтера [2], Н. Е. Жуковского [10], П. В. Харламова [18]. Следует отметить, что с помощью модели гиростата [18] можно изучать случай, когда носимое тело имеет несимметричную форму.
При изучении задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом необходимо учитывать, что уравнения движения гиростата допускают только два первых интеграла и поэтому использование теоремы Якоби, которая успешно применялась в задаче о движении гиростата с постоянным гиростатическим моментом (см. обзоры [1; 2; 6; 10; 19]), невозможно.
К настоящему времени в рассматриваемой задаче исследованы равномерные вращения [8; 11], регулярные прецессии [3], прецессионные движения общего вида [14; 15] и другие классы движений. Особое значение имеют результаты [4; 7; 16; 17], которые посвящены изучению условий существования инвариантных соотношений, поскольку они позволяют установить уровень сложности задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом. Так, например, в работе [4] при рассмотрении условий существования одного инвариантного соотношения были приняты некоторые дополнительные соотношения, которые только и позволили сформулировать результат в окончательной форме.
В динамике твердого тела получен ряд решений, которые имеют простой и наглядный геометрический смысл [6]. К ним относится решение В. Гесса [9], характеризующееся свойством ортогональности момента количества движения гиростата и барицентрической оси в теле. Представляет большой интерес исследование аналогичных решений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом.
Данная статья посвящена рассмотрению вопросов интегрирования уравнений движения гиростата, допускающих указанное соотношение. Получены новые решения обобщенных уравнений Эйлера-Пуассона в случае переменного гиростатического момента.
2. Постановка задачи. Запишем уравнения движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом [18]
•
х = (jc + ^а) х йсс - Za + 5 х v, (1)
v = v х ах, Я = L, (2)
где введены обозначения: X = (л", , X,, ) — момент количества движения тела-носителя; V = (Vj, v2, v3) - единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; ОС = (оц, (Х2, ОС3) - единичный вектор гиростатического момента гиростата: А, ОС; X - величина гиростатического момента; L - проекция действующих на тело-носитель сил на ось вращения носимых тел; .V = s(/t, /2, /,), /((/ = 1,3) - компоненты единичного вектора, направленного из неподвижной
точки O в центр тяжести C; а = (а^) (i, j = 1,3) - гирационный тензор; s = mg
ОС
m -
масса, g - ускорение свободного падения; точка над переменными обозначает производную по времени ?.
Уравнения (1), (2) имеют два интеграла
V• V = 1, л: + Яа -v = к, (3)
где к - произвольная постоянная.
Запишем компоненты угловой скорости гиростата СО = ах = (щ, 0)2,0)-,):
озх = апх1
со2=а12х1+а22х2+а2 3х3, (4)
6>ъ 3 I ^ ^33 Х3 ^
В скалярной форме из уравнения (1) имеем (первую ось подвижной системы координат направим по вектору £ : 5 = 5(1,0,0))
х1+а1Х - х2+а2Х со3- х3+а3Х со2, (5)
х2+а^к = х3+а3Х со1- а>3-8У3, (6)
х3 + а3\* = х1+ос^к со2- х2+а2Х о\+зу2, (7)
Уравнение Пуассона из системы (2) с учетом (4) запишем в скалярном виде • • •
у1 = 0)3у2 - (02уз, у2=(01у3- (оъух, у3=(02ух- (01у2. (8)
а интегралы (3) приведем к соотношениям
У1 + У3 = + С"2 +«2^2 + «3 + 0;3^3 = Лг, (9)
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений (1),(2) инвариантного соотношения
х + Ла •$ = (), (10)
которое является аналогом в случае Гесса [9]. В силу выбранной подвижной системы координат из (10) получим
^+(2^ = 0. (11)
В дальнейшем при изучении соотношения (11) будем применять метод инвариантных соотношений (ИС) Леви-Чивиты [13].
3. Редукция системы (5)-(8) на ИС (11). Распишем уравнение (5), учитывая формулы (4), (11)
(12)
+Я х2 (а2а23 - аха13 - а3а22) + х3 {аха12 + а2а23) =0.
Потребуем, чтобы равенство (12) было тождеством по переменным х2, х3, л. Тогда получим следующие условия на параметры
а23= 0, а33=а22, (13)
ах (а3аи - а2а13) = 0, ахахз + а3а22 - 0, а1аи + а2а23 - 0. (14)
Условия (13) позволяют поворотом подвижной системы координат вокруг первой координатной оси добиться условия ап = 0. Тогда из последнего уравнения системы (14) вытекает равенство
сс2 — 0. а второе уравнение этой системы можно параметризовать следующим образом
а^-/и0а22, а3= /и0аи, ¡и0= \Ца2и + а222 . (15)
В силу равенств (13) и условия аи = 0 выражения для компонент 0) из (4) упрощаются. Учитывая в них и равенства (11), (15), получим
юх = а13х3 + /л0апа22Л, а>2 = а22х2, со3 = а22(х3 + ¿и()а]3Л). (16) На основании формул (11),(15),(16) уравнения (6)-(8) запишем в виде
х2 = (дг3 + /и0а13Л)(а13х3 + /и0апа22Л) - 8У3, (17)
х3 = ~/л0а13 Л- х2 (а13х3 + /л0аг га22Л) + ¿г2, (18)
^ = а22(х3у2 -х2у3 + /и0аиЛу2), (19)
у2 = у3 (аих3 + /л0аг ха22Л) - а22Ух (х3 + ^ахзЛ\ (20)
у3 = а22х2Ух-У2(аих3 +/л0аиа22Л). (21)
Отметим, что геометрический интеграл из (9) не изменяется, а интеграл моментов из (9) несколько упрощается
х2у2 + х3у3 = к- /и0а13Лу3. (22)
Таким образом, уравнения (5)-(8) допускают инвариантное соотношение (10) при выполнении условий (13), равенства ап = 0 и равенств (15).
Условия (13) и равенство й]2 — 0 показывают, что центр тяжести гиростата лежит на перпендикуляре к круговому сечению гирационного эллипсоида. Этому свойству удовлетворяют параметры и в решении Гесса [9].
В приведенной системе дифференциальных уравнений (17)-(21) исключим переменную Х3 с помощью соотношения
-Х3 = (k-x2v2 - ju0aulv3)/v3. (23)
полученного из формулы (22) и вместо vi (i = 1,3) введем новые переменные 9, (р на сфере Пуассона v2 + v\ + v2 = 1:
Vj=cos9, v2=sin9coscp, v3=sin9sin(p. (24)
Тогда имеем следующие уравнения
апп (x, sin в-к cos <z>)
в - 22V 2-—, (25)
sin в sin ср
ср = —-\al3х2 sin2 в cos ср + к{а22 cos в sin ср - al3 sin в) -
sin 6* sin (р1- (26)
-д, ДД sm26 sin |,
1
х2 = —--г— (к - х2 sin в cos (р){а13к - al3x2 sin в cos <р +
sin в sin (р (27)
+/zo/?olsin6>sin<^)-ssin30sin3<^, ро =аиа22 -а23 > 0.
Итак, система (25)-(27) имеет третий порядок и содержит произвольную дифференцируемую функцию X = Л(1). После ее задания и интегрирования системы (25)-(27) переменные
vi (/ = 1,3) находятся из формул (24), переменная Л", - из формулы (11), а переменная х3 - из формулы (23) с учетом соотношений (24)
х3 =---(k-x2sinecos(p-jU0auÁsmesm(p). (28)
sin в sin (p
4. Интегрирование системы (25)-(27). Выразим из уравнения (25) переменную Х2:
$sin ср к cos (О
Х2 =-- +--. (29)
а22 sin в
Подставим значение (29) в уравнение (27) и учтем выражение для (р из (26). Тогда получим уравнение на переменную 6
к2 а2
д = —cos в-sa22 sin в. (30)
sin в
Умножая обе части равенства (30) на Ь, приходим к уравнению, которое имеет решение
Л
к2 а2
c0+2sa22cosO--(31)
sin в
где С0 - произвольная постоянная.
При исследовании уравнения (31) будем рассматривать два случая: к — 0 и к Ф0. В первом случае из (31) имеем
) . С'° п =1-4- (32)
д у/2$а22 со$>О + с0
Изучим вариант, когда интеграл в левой части (32) является эллиптическим. Для этой цели формулу (32) представим так
Г d(6 2) . .
/ У , (33)
О V1 - sin2 (0/2)
где
_ 4лс/22
л:" = ——-—, сг0 = —J2sa22 + с0. (34)
2 sa22+c0 2
В соотношениях (34) полагаем s > О (выбором системы координат), С0 > 2sa22. Последнее неравенство служит ограничением на постоянную С0.
На основании общей теории эллиптических функций из (32) определим
0(0 = 2am5(0, >9(0 = <т0 (í - í А
(35)
sin0(O = 2sn5(Ocn5(O, cos0(O = cn25(O-sn25(O.
Здесь am 5(0, sn<9(0, СП 5(0 ~ эллиптические функции.
Пусть в уравнении (32) к Ф 0. Тогда, в силу первой формулы из системы (24), интегрирование уравнения (31) приведем к обращению интеграла
1/1 dv
f -=Ц= = t — t0, Fiyj = (1 - у2)(2sa^v, + c0) - kW22. (36)
v/°> \№)
Как и в случае к — 0 будем считать s >0 . Тогда из второй формулы (36) вытекает
F(—co) > 0, F(-\) < 0, F(l) < 0.
из которых следует, что один действительный корень V^ уравнения /' (V, ) = 0 удовлетворяет
условию V™ < — 1. Необходимо потребовать, чтобы уравнение 1' (\/]) = 0 имело три действительных корня, причем должны выполняться условия
-00 < Г/(3) < -1 < < Vj(2) < 1. (37)
Следовательно, в силу (37) переменная ух изменяется в промежутке
V¡1) <VX <v\2). (38)
Тогда на основании неравенств (37),(38) функцию F(yx) из (36) можно записать в виде
F(y¿ = 2sa22(y1^-y1)(y1 - v«)^ - vf). (39)
Введем в формуле (39) новую переменную ц/
у1 = м1(2) cosV + v¡r> sin2 у/. (40)
7Т
Из формулы (40) вытекает, что при у/ -0 \ Уг - у\2' , при (//= — : Г, = у"'. В силу (39),(40) ин-
теграл из (36) запишем так
ve dy/
О y¡l - К2Х sin2 Ц/
= eüif-tü), (41)
где модуль эллиптического интеграла К] и параметр £0 таковы
e0=Jsa22 , к2 = • (42)
2
Очевидно параметр кх из (42) в силу (37) заключен между нулем и единицей. Из (41) обращением эллиптического интеграла получим
у/ = am(£0(/-/0)), sin^// = sn(/q,£0(/-/0)). (43)
Подставим второе выражение из (43) в формулу (40)
n(0 = n(2)- vfWf sn2(^s0(t-t0)). (44)
Из (44) в силу первой формулы из (24) получим
<9(0 - arceos Vj (0- (45)
Следовательно, зависимость О — 0(1) при к— О определена первой формулой из системы (35),
при к Ф 0 - формулой (45).
Подставим выражение (29) в уравнение (26)
1
(Р = —
^-&in26'cos <р + к(а22 cos в -а1Ъ sin в sin ф)-
(46)
sin264 а2 ~/И0Р01 sin2в sin (f,>] .
Соотношения (35), (45) показывают, что функция 0(f) не зависит от функции Л. Но функции х2(!) и (p(l) в силу формул (29), (46) зависят от этой функции. Причем из (46) следует, что нахождение функции (p(t) сводится к определению решения уравнения класса Рикатти с переменными коэффициентами, что удается в крайне редких случаях. Однако, в силу произвольности функции Л(t), можно указать достаточно простые случаи интегрирования уравнения (46) в квадратурах. Пусть, например, функция /.(/) имеет вид
1
Л = -
НЖ sin2^
к(а22 cos 0 - а1Ъ sin в sin ср) - L(0) cos (р , (47)
где Ь(в) - произвольная дифференцируемая функция переменной 6. На основании (47) решение уравнения (46) запишется в виде
л
где
a,-, J si
L(0(t))
dt.
sin 20(t)
Соотношения (45), (48), (49) позволяют определить функцию (29)
*г(0 =
b(t)smç>(t) kcoscp(t) а22 sin 0(t)
(48)
(49)
(50)
а также функции (24) и (28), то есть получить решение уравнений (25)-(28) в квадратурах. Представляет интерес свойство данного решения, которое заключается в том, что оно зависит от произвольной функции 1,(0(1)).
5. Анализ частных случаев. Рассмотрим случай аи — 0, к — 0. Из соотношений (15)
следуют равенства ос3 = 0, (хх — — 1. Это означает, что гиростатический момент направлен по барицентрической оси. Уравнение (46) упрощается
ср = -¡л^Р^Хътср
и из него получим общее решение
(p(t) = 2arctg
tg^-exp
i
a, \mí)cíí
(51)
(52)
J J
Таким образом, функция (52) зависит только от функции Л(t).
Ыр
Из (29), (51) вытекает, что х2— —
. Эта формула показывает достаточно нагляд-
ный вид переменной х2. Необходимо отметить, что зависимость 0(1) определена первым равенством из системы (35).
Поскольку в данном случае гирационный тензор имеет вид О — diag(ûfn, Ct22, Ct22 ), то мы имеем некоторый аналог условий Лагранжа.
Пусть аи - 0, к Ф О. Тогда по аналогии с предыдущим случаем имеем а3 = 0, (Хх——\ и гиростатический момент, как и в первом случае, направлен по барицентрической оси. В формуле (48) значение функции Ф(/) упрощается
Ф(t)=¡L\0(t))dt, L\e{t)) = -
J CI*
sin 2d(t) '
Рассмотрим случай a k = 0 . Из формул (15) следует, что гиростатический момент
не совпадает с направлением барицентрической оси. Значение Л из (47) принимает более простой вид
L(0) COSÇ)
Л =-—,
MA Sln в
поскольку в отличии от значения (47) Л пропорционально COS (р. Формулы (48),(49) не изменяются. Способ нахождения всех переменных задачи основан на соотношениях (11), (24), (28), (29), (35), (48).
6. Заключение. Показано, что движение тяжелого гиростата с переменным гиростатиче-ским моментом, при котором общий момент количества движения гиростата ортогонален барицентрической оси, возможно только при условиях, аналогичных условиям Гесса [9]. Найдено решение уравнений движения гиростата, содержащее произвольную функцию угла нутации. В статье [5] указан другой способ исследования инвариантного соотношения (10) и метод интегрирования уравнений движения на ИС (10).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Борисов, А. В. Динамика твердого тела / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. - М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2GG1. - 384 с.
2. Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta. Math. - 1899. - V. 22. - P. 2G1-358.
3. Волкова, О. С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Tруды ин-та прикладной математики и механики. - 2GG9. - T. 19. - С. 30-35.
4. Волкова, О. С. О движениях гиростата, характеризующихся линейными но компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями // Механика твердого тела. - 2G11. - Вып. 41. - С. 39-5G.
5. Волкова, О. С. Точные решения уравнений движения гиростата с неподвижной точкой / О. С. Волкова, И. Н. Гашененко // Современные проблемы математики, механики и информатики. - Харьков: Вид-во ФОП, 2G11. - С. 74-84.
6. Горр, Г. В. Классические задачи динамики твердого тела / Г. В. Горр, Л. В. Кудряшова, Л. А. Степанова. -Кшв: Наук. Думка, 1978. - 296 с.
7. Горр, Г. В. О движении симметричного гиростата с переменным гиростатическим моментом в двух задачах динамики / Г. В. Горр, А. В. Мазнев // Нелинейная динамики. - 2G12. - T. 8. - № 2 - С. 369-376.
8. Дружинин, Э. И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата // Прикл. математика и механика. - 1999. - T. 63. - Вып. 5. - С. 825-826.
9. Hess, W. Über die Euler'schen Bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Math. Ann. - 189G. - V. 37. - №. 2. - S. 153-181.
1G. Жуковский, Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собр. соч. - М.; Л: ОГИЗ, 1949. - T. 2. - С. 152-3G9.
11. Ковалева, Л. М. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела с одним маховиком / Л. М. Ковалева, Е. В. Позднякович // Механика твердого тела. - 2GGG. - Вып. 30. - С. 100-1G5.
12. Liouville, J. Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson // J. math. pures et appl. - 1858. - V. 3. - P. 1-25.
13. Леви-Чивита, T. Курс теоретической механики: в 2 т. / T. Леви-Чивита, У. Амальди. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951. - T. 2. - Ч. 2. Динамика систем с конечным числом степеней свободы. - 556 с.
14. Мазнев, А. В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. - 2G1G. - Вып. 40. - С. 91-1G4.
15. Мазнев, А. В. Прецессионно-изоконические движения второго типа в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом» / А. В. Мазнев, Г. А. Котов // «Вюн. Донец. Нац. Ун-ту. Сер. А. Природнич науки. - 2G12. - Вип. 1. - С. 79-83.
16. Мазнев, А. В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. - 2G11. - Вып. 41. - С. 51-6G.
17. Мазнев, А. В. О трех инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил // Вюник Одеського нац. ун-ту. Матем. i мех. - 2G11. - T. 16. - Вип. 16 -С. 158-165 .
18. Харламов, П. В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. - 1972. -Вып. 4. - С. 52-73.
19. Харламов, П. В. Лекции по динамике твердого тела / П. В. Харламов. - Новосибирск: Изд-во Новосибир. гос. ун-та, 1965. - 224 с.
