CC BY
11
5-w1 Jsin(r + s) = -(w2 sin 5 + w3 cos5)-cos(r + s) (18)
Запишем условие его совместности с уравнением (13)
(w2sin5 + w3 cos5)-sins + P,sin(r + s)cos(r + s) = 0 (19)
Тогда с учетом этого требования из уравнения (18) можно получить более простое уравнение:
• р
5 = w1 Н--— sin(r + s)cos(r + s) , (20)
sin s
которым можно заменить уравнение (13).
Удовлетворяющие уравнениям (16) и (20) функции z(t) и 5(t)при подстановке их в уравнения (10) и (11) определяет решение исходной системы, если соотношение (18) будет инвариантным соотношением для уравнений (16) и (20). Это обеспечат предыдущие рассуждения, направленные на то, чтобы это было выполнено.
Резюме. В данной статье были получены и изучены условия эквивалентности системы уравнений Эйлера с добавлением к ней трех общих интегралов. Эта эквивалентность нарушается на тех многообразиях , где интегралы зависимы. Установлено, когда это многообразие является инвариантным по отношению к обеим системам уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горр, Г.В., Илюхин, А.А. Случаи постоянства модуля момента количества движения гиростата // Механика твердого тела, Киев, Наукова думка, 1974, вып. 5,- С. 9-15.
2. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Харламова, Е.И. Об особых решениях одной формы твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела, Киев, Наукова думка, 1974, вып. 5, - С. 3-9.
3. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М. Математические аспекты в моделировании движений гиростата с неподвижной точкой // Информатика и кибернетика, - Донецк: Дон НТУ. - 2016. - №2 (4). - С. 26 - 30.
4. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М., Савченко, А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. - Киев, Наукова думка, 1979. - 216 с.
5. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наукова думка, 1979.- 216 с.
6. Илюхин, А.А. О деформации упругой линии // Механика твердого тела. Киев, 1969, вып. 1, - С. 128 - 138.
7. Hess W. Ueber die Eubrechen Bewegungsgleichungeb und ueber eines starren schweren Korpers um einen festen Punkt. -Math.Ann.,1890,37, H.2, S. 153 - 181.
8. Stackel P. Die reduzierten Differenzialgleichungen der Bewegung schweren unsimmetrischen Kreisels. - Math.Ann., 1909, 67, S. 399 - 432.
Илюхин А.А., Клюева М.А., Кузнецова Л.А.
РЕШЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЁЛОГО
ГИРОСТАТА
Аннотация: Для системы уравнений, полученной из уравнений Эйлера-Пуассона понижением её порядка с помощью общих интегралов движения построено решение на инвариантном многообразии, где эти интегралы зависимы.
Ключевые слова: гиростат, интегралы движения, особые решения.
Ilyukhin A.A., Klyueva M.A., Kuznetsova L.A.
DECISION TO REDUCE THE PROBLEM OF MOTION SWAT GYROSTAT
Abstract: For the system of equations obtained from the equations Euler down her order with the help of the general integrals of motion solution built on the invariant manifold where these integrals dependent.
Key words: gyrostat, integrals of motion, special solutions.
Исходные уравнения и предположения. Результаты работ [2, 3, 4] показывают, что в случае невыполнения условия
[(;и+Х)хт]-у = 0 (1)
система дифференциальных уравнений движения тяжелого гиростата [1]
(;+ А)+шх(; + Л^) = р(¥ ху) (2)
у = у хш (3)
эквивалентна системе, в которую входят уравнения (2) и общие интегралы системы (2) и (3):
1 Д-ш - рТ -у = h (4)
{д+Х)-у = k (5)
у -у = 1 (6)
Иначе говоря, в системе дифференциальных уравнений (2) и (3) дифференциальные уравнения Пуассона (3) можно заменить конечными соотношениями (4)-(6). Новая система трех дифференциальных уравнений (1) и трех конечных соотношений (4)-(6) будет эквивалентна исходной системе шести дифференциальных уравнений (2) и (3). Исследуем теперь многообразие, определяемое соотношением (1). Найдем условия, при которых оно содержит траектории (2) и (3) и установим, когда траектории системы (2), (4)-(6) не являются траекториями исходной системы уравнений, т.е. при редукции системы шестого порядка к системе третьего порядка могут появиться посторонние решения.
Удовлетворим равенству (1) положив:
д + X = рт + уу. (7)
Особый для условия (7) случай т + у = 0 приводит к равномерным вращениям гиростата и в работах [7] был отмечен как единственный возможный случай, когда общие интегралы являются зависимыми.
Спроектируем равенство на оси, жестко связанные с телом-носителем:
д = т + р-X, д2 = т+р-Х2, \3 = у + р-х (8)
Вектор ш угловой скорости тела-носителя связан с кинетическим моментом д равенством
ш = ьД,
где Ь - гироционный тензор. В итоге получим связь компонент-вектора угловой скорости с вновь введенными переменными у и р :
ш = Ьи(р + т)+(ЬпГ2 + Ь1373)г - (АЛ + Ь12Х2 + МэХ
Ш2 = Ь12(р+ ГГ2) + Ь22772 - (Ь12Л1+ Ь22Х2\ (9)
Ш3 = Ь13 (Р+ГГ3 ) + Ь33П3 - (Ь13Л1 + Ь33Х2).
В данной работе используется специальная система координат [5], в которой выполняется условие Ь23 = 0.
Из интеграла энергии (4) с использованием геометрического интеграла (6) получаем
у = (к - у)/р, (10)
р2 = у2 - 2ку - д2, где д = Д\. (11)
Переменные у и р следует считать функциями времени t. В силу соотношения (11) таковыми могут быть только одновременно.
Подстановка соотношения (7) в дифференциальные уравнения (2) и учёт дифференциальных уравнений Пуассона (3) приводит к следующим равенствам:
р®3 = (уу2 + ру3Х р®2 = т - РТ2 , (12)
где со2 и со3 определены соотношениями (9). Считая у и р функциями времени t, выберем их в качестве основных переменных задачи. Выразим через эти переменные исходные переменные:
д, = (д2ук - рЛ)/р (13)
Для того чтобы получить зависимость д2 и д через у и р , обратимся к соотношениям (12) и (13). Если учесть равенства (9), то придем к следующим зависимостям:
у2(р + Ь22ру)-у = В(р,у), Х2у + у 3(р + Ь33ру) = -А(р,у). (14)
Здесь
А (р, у) = Ьп \ - у к) - р(рпЛ + Ь33Х3),
В(р, у) = -Ь,2 (д 2 - у к) + р(р,2Л + Ь22Х2).
Уравнение (14) можно разрешить относительно 2 и 3 :
у2 = д2/д, у3 =Д3!Д, (15)
где
Д2 = -АУ + В(р+ Ь33ру), Д3 = -Ву - А(р + Ь22ру), 310
д = у2 + (р + ь22урХр + ьъъру). Предположим, что Д^0, и подставим значения у2 и у3 в формулы (8) и (9):
U = уД2/Д- из = удз/д- Л,,
Ьп(ц2 -yk) + Р(b,2Д2 + Ь,зД3)-P(bn\ + Ь2212 + Ьзз^з)
д
со. = —
1 Р 1
сс . = —
2 Р
Р
2 Ру bu(S - yk)b22Д2 - P(bi2^ + b22x2) Д
bu(ju2 - yk) + PyyЬззДз - P(bi3¿i + ЬззАз) Д
где
где
Внесём выражения для у2 и уз и равенства (15) в геометрический интеграл (6), получим
аАуА + а2у2 + а1 / + а0 = 0, (16)
а4 = - k2 = Л2 , а2 = 2К2(р + ¿22РУ)(р + ЪззР У) - РЧА2 - В2),
а1 =-2АВРЪу(¿22 - Ьзз),
ао = К 2(р + ¿22 Р у )2(р + ЬззР у )2 - Р2 В 2(р + ЬззР у )2 - Р2 А2(р + ¿22 Р у )2. Аналогично преобразуем интеграл энергии (4):
и2 У 2 + n0 =
(17)
п2 = -рК2 у - 2Р3й - 2Р2р(£ - у) + ЪпР(р2 - у£)2 - 2Р2(р2 - у£)(Ъ1111 + Ъ12Л2 + Ъ1з1з) + +Р3(Ъ11112 + Ъ2212 + ЪззАз2 + 2ЪХ2ХХХ2 + 2Ъ1з^1^з) = я (Р, у ),
По = Я (Р, у )(р + Ъ22Р у )(р + ЪзР у) - Р2 у [ А2 (Р + Ъ22Р у) + В 2(р + ЪззР у) ]. Для того чтобы уравнения (16) и (17) имели относительно у общие корни, результат этих уравнений должен быть равным нулю:
[п^ + п0(п0а4 -а2п2)] + п0п\а! = 0.
После подстановки в это равенство выражений для входящих в него коэффициентов получим следующее уравнение:
[ А2 (Р = Ъ22Р у) + В2(р + ЪззР у ] [с Я4 (Р, у ) + С Яз (Р, у ) + ¿2 Я\Р, у ) + с, Я (Р, у ) + С ] = 0, (18)
где
^4 = (Ъ22 - Ъзз)2, С = 2(Ъ22 - Ъзз)(А2 - В2)Р,
С2 = 2Р y R2 (Ьзз - b22) [ A2( P + b22P y) - B 2(P + ЬззР У) ] + P'( A2 + B2 )2 С = -2R 2Р2 y (A2 + B2) [ A2 (P + Ь22Р y) - B 2(P + ЬззР y) ],
С = R 4Р2 У 2 [ A2(P + Ь22Р y) + B2(P + ЬззР y)].
Итак, получено два равенства (11) и (18), связывающие переменные Р и y . Вместо Р и y введём новую переменную в:
Р = R/sine , 2 = (Rsine-Rcose)/sine. (19)
Удовлетворив тем самым уравнению (11). Таким образом, на переменную в наложено ограничение (18), которое нужно преобразовать к этой переменной. Это уравнение распадается на два, и рассмотрим первое из них:
A2( P + Ь22Р y) + B 2(р + ЬззР y )=0 (20)
в котором перейдем к переменной в :
R
A =-[Ь1з( R sine+ k cose) - Ь1з21 + Ьзз2з ],
sine
b = —
R sine
[-b12(R sine+ k cose) - Ь12Л1 + Ь22Л2 ]
1
з
[psin2 9 + b22 R(R sin9- R cos9)] + [psin2 9 + b33 R(k sin 9- R cos 9)]
и равенство (20) примет вид:
b2(Rsin9 + kcos9)2 -2b13(Rsin9 + kcos 9)(b13 Л + b33X3) +
_+(bnA + Ьзз^з)2 _
b2(Rsin9 + kcos9)2 -2b12(Rsin9+ kcos9)(bl2ll + b22l2) +~ _+(buli+ b^f _ Предполагая R^0 (R=0 приводит к стационарному решению, когда (д + Л) х т = 0), приравниваем
нулю коэффициенты при sin 49 и cos 49 :
= 0.
bi2 + b2 = 0.
Равенство нулю коэффициента при cos 2в даёт условие
Ь^22 + Ьз3з12 = 0,
которое вместе с предыдущим равенством показывает, что a = 0 и в = 0 . Система уравнений (14) превращается в однородное с определителем А ф 0 , имеющим лишь тривиальное решение у2 = 0, у3 = 0 и у1 ф +1. Это соответствуем равномерным вращениям вокруг вертикали. Рассмотрим второе уравнение, вытекающее из уравнения (18):
с4g4(в) + Сзg3(в) + С2g2(в) + Cig (в) + С0 = 0 (21)
Здесь функция g(в) получена из g(fi, у) подстановкой (19) и преобразованная к кратным углам в. Её слагаемые с наибольшей кратностью имеют вид:
g(9) - R2
-pR cos39 - -pK sin39 + ...)4 +... 4 4
sin2 9
Непосредственной подстановкой g (9) в уравнение (21) можно убедиться, что только слагаемые с g4(0) содержит наибольшей кратности sin129 . Приравнивая нулю коэффициенты при sin 39 и cos39 , рассмотрим лишь нетривиальный случай b22 = b33. При этом условии уравнение (21) принимает вид:
(A + В2)[g(Р, у) -Rу(P + b22Py)]2 = 0.
Возможны следующие варианты
1) А2(Р, Л) + В2(Р, у) = 0,
2) g (Р, у ) - R у (P + Ь33Р у) = 0.
Из каждого варианта следует, что Р и у должны быть постоянными величинами, что противоречит исходному предположению о переменных этих величин. Исследуем особый случай
А = у2 + (P + b22 Р у)(P + ЬЪЪР у) = 0. (22)
Из системы (14) следует, что необходимо положить
Д2= А y-в(р + ь33/зу) = 0,
Д3= by - а(р + b33py) = 0. (23)
Отсюда приходим к уравнению, полученному и изученному ранее. Для этого уравнения показано, что условия Р ф const и у ф const выполняются лишь в том случае, когда b12 = b13 = 0 ,
Л = Л = 0.
Но тогда a = 0 и b = 0 и из уравнений для угловой скорости получаем, что
W = %С"2 - у k - РЛ). (24)
B
Подставив значение, определяемое равенством (24), в формулу (9), получим pr2у + 2Р2 [РА + p(k - у)] -ьпр(р2 - у k - РЛ)2
Внося в это равенство зависимость Р и от 9 и отожествляя его по 9 , приходим к условию R=0.
Таким образом, предположение о том, что Р и у являются функциями времени t, вступает в противоречия с вытекающими из него следствиями.
Пусть Р ф const и уф const. Уравнение (14) принимает вид:
(P + Ь22Ру) у2 = В(Р, у ), (P + ЬъъРу) у3 = -А(Р, у ) (25)
Следовательно, если считать у2 и у3 переменными величинами, то необходимо потребовать,
чтобы
b22 = b33, р + b2ßу = 0, A=0, B=0. (26)
Преобразованный ранее интеграл энергии связывает h с остальными парамерами задачи. Для того чтобы проанализировать условия (26), необходимо обратиться к смыслу величин, входящих в эти условия. Равенство b22 и b33 означает, что центр тяжести твёрдого тела лежит на перпендикуляре к круговому сечению гироционного эллипсоида. Поворотом системы координат, связанной с телом-носителем, можно добиться того, чтобы b12 = 0 . Тогда условия A=0 и B=0 дают следующие ограничения на параметры гиростата:
¿2 = 0, bn(M2 - у k) - ß(bn\ + b33X3) = 0. (27)
Эти ограничения вместе с условиями Ь12 = 0 и Ь13 = 0 указывают на то, что центр тяжести гиростата и вектор 1(11,0,Х3) лежат в главной плоскости гироционного эллипсоида. Значение постоянной h в интеграле энергии определим из следующего равенства
h = -ß{ß(M2 - ук - ßli)[bu(M2 - yk) - ß(buAi + bn^)] - PR2 у - 2ß2p(k - ß) }. (28) 2ß
Преобразуем формулы для компонент - вектора угловой скорости с учетом ограничений (26) и (27):
®i = ß |>2ß + b„(^2 - ук) - ß(bn\ + Ь,зЛ,)] ,
Р (29)
(О 2 = b22 уу 2,Ю3 = b22 ^
Подставляя найденные значения для компонентов о1, о2 , о3 во второе и третье уравнения Пуассона, получим два уравнения:
У2 = ßßФ(у 3), h =-ßßФ(у3). (30)
Здесь
Ф( у3) = bußуу3 + buG«2 - у k) - ß(buÄ1 + b13^3> - b22 у (к - у ). Система дифференциальных уравнений (30) допускает общий интеграл:
у2+у2 = ß (31)
Выразив из (31) величину у3 и подставив найденное выражение в первое уравнение системы (30), установим зависимость у3 = у3 (t); зависимость у2 = y2(t) определяется затем из интеграла (31). Условия, полученные на параметры задачи b22 = b33, b23 = b12 = 0, а так же линейное инвариантное соотношение
/л1 = - ук - ß^i) = cowsi
показывают, что найденный случай является частным решением, полученным из решения Гесса-Сретенского [6]. Если дополнительно потребовать b13 = 0 , то приходим к частному случаю решения Лагранжа [8].
Вывод. Геометрическое истолкование полученных движений указывает, что тела в данных случаях совершают прецессионные движения вокруг вертикали.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М., Савченко, А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев, Наукова думка. - 1984.- 286 с.
2. Горр, Г.В., Илюхин, А.А. Случаи посточнства модуля момента количества движения гиростата // Механика твердого тела, Киев, 1974, вып. 5, - С. 9-15.
3. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев ,А.М. Математические аспекты в моделировании движений гиростата с неподвижной точкой // Информатика и кибернетика. 2016. № 3. - С. 83-89.
4. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Харламова, Е.И. Об особых решениях одной формы уравнений движения твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела, Киев.-1974. Вып. 5. - С. 3-9.
5. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней.- Киев: Наукова думка. 1979. - 218 с.
6. Сретенский, Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата. - Докл. АН СССР, 1963, 149, № 2, - С. 292-294.
7. HessW.Uber Eulerchen Bewegunsgleichungen und uber eine neuen partikulare Losungdes Problems der Bewegungeines starren schweren Korpers um einen festen Punkt.- Math. Ann., 1890,37,H.2,S.153-181.
8. Лагранж ,Ж. Аналитическая механика. В 2-х т. Т.1. М.-Л., Гостехиздат, 1950. - 594 с.
Д.М. Макарченко, А.И. Сухинов
МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КОМПАНИИ ПРИ УЧАСТИИ ДВУХ КОНКУРИРУЮЩИХ ФИРМ, ПРОИЗВОДЯЩИХ АНАЛОГИЧНЫЕ ТОВАРЫ, ПРОДАВАЕМЫЕ В ОДНОЙ
ТОРГОВОЙ СЕТИ
Аннотация. В статье рассмотрена модель рекламной компании при участии двух конкурирующих фирм и определение момента времени, когда суммарная прибыль от продаж обоих видов аналогичных товаров достигает максимума в единицу времени.
Ключевые слова: Динамическая модель продаж, влияние рекламы, неформальная реклама, реклама в СМИ.
D.M. Makarchenko, АЛ. Sukhinov
MODEL ADVERTISING CAMPAIGN WITH THE PARTICIPATION OF TWO COMPETING FIRMS PRODUCING SIMILAR GOODS SOLD IN THE SAME RETAIL CHAIN
Abstract. The article describes a model of the advertising company, with the participation of two competing companies and definition of the point in time when the total profit from sales of both types of similar products is maximized per unit of time.
Key words: Dynamic sales model, the influence of advertising, informal advertising, advertising in the media.
Развитие человечества вплотную подошло к новому этапу своей эволюции - этапу так называемого «информационного общества». Он характеризуется резко возрастающей ролью информационной сферы.
Разные фирмы начинают рекламировать новые товары или услуги. Конечно прибыль от продаж должна покрывать затраты на дорогостоящие рекламные компании. Вначале расходы, как правило, значительно превосходят прибыль, потому что лишь небольшая часть потенциальных покупателей будет знать о новых товарах и готова их купить. Но потом, при увеличении числа продаж можно рассчитывать на заметную прибыль. И затем, наступает момент, когда рынок уже насытился и продолжать рекламную компанию будет бессмысленно. Модель рекламной компании основывается на следующих основных предположениях.
Пусть N1 (t) - число покупателей товара 1, N2 (t) - число покупателей товара 2.
Предполагается, что товары 1 и 2 производятся двумя конкурирующими фирмами, а продаются - в одной торговой сети. Примерами таких товаров могут быть смартфоны фирм Nokia и Samsung, соответственно.
Целью данной работы является определение момента времени, когда суммарная прибыль от продаж обоих видов аналогичных товаров достигает максимума в единицу времени.
В данной модели описывается динамический процесс изменения числа покупателей (единиц проданного товара) как функция времени.
dN1 = [«и(0-n(t) + «12(0хN1 -#j(t)XN2]x(N -N1 -N2), t1 <t (1)
dN2 = [«21 (t) - У2 (t) + «22 (t) X N2 - A (t) X N1 ] X (N0 - N1 - N2 ), t1 < t2 < t (2)
В уравнении (1) «11(t) - интенсивность рекламы товара 1 стандартными способами (СМИ,
раздача листовок, щитовая реклама и т.д.); «12 (t) - интенсивность неформальной рекламы, со
стороны лиц (покупателей), купивших товар 1; У1 (t) - интенсивность антирекламы по отношению
к товару 1; A2 (t) - интенсивность неформальной антирекламы со стороны покупателей 2 товара по отношению к товару 1.
В уравнении (2) «21(t) - интенсивность рекламы товара 2 стандартными способами (СМИ, раздача листовок, щитовая реклама и т.д.); «22(t)- интенсивность неформальной рекламы, со стороны лиц (покупателей), купивших товар 2; У2 (t) - интенсивность антирекламы по отношению к товару 2; A1 (t) - интенсивность неформальной антирекламы со стороны покупателей 1 товара по отношению к товару 2.
