CC BY
13
А.А.Илюхин, А.С. Гондаревская, Л.А.Николаева
ВЫРОЖДЕНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
Аннотация. Преобразования уравнений движения в зависимости от цели преобразования в той или иной форме используют [4,5,6,7,8] общие интегралы уравнений движений. При этом независимость системы интегралов не подвергается сомнению. Однако, в работах [1,2,3] указана ситуация, при которой такое утверждение просто неверно. В данной работе выписан явный вид уравнений особого многообразия, на котором система интегралов вырождена.
Ключевые слова: уравнения движения, общие интегралы, особые решения.
A.A. Ilyukhin, A.S. Gondarevskaya, L.A.Nikolaeva
THE DEGENERATION OF THE SYSTEM OF INTEGRALS OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MOTION OF A GYROSTAT
Abstract. Transformation of equations of motion depending on the goal of transformation in one form or another is used [4,5,6,7,8], the General integrals of the equations of motion. The independence of the system of integrals is not questioned. However, in [1,2,3] indicated the situation in which this statement is simply wrong. In this work written out the explicit form of the equations of special manifolds, in which the system of integrals is singular.
Keywords: the equations of motion, general integrals, particular solutions.
Основные уравнения. Запишем уравнение движения гиростата и интегралы этой системы дифференциальных уравнений в векторной форме:
d(М + A) + ^ __ (М2 + я2)(М3 + X = (e2y3 _еъу2) •р , dt
d(М2 + Х2) + («3 _a,) • (М_3 + X3)(М_i + X) = (гъУх _У • P , (1)
dt
d (М 3 + A3) dt
+ (а, _а2) • (Мi + Ai)(M2 + A2 = (e,y2 _e2y,) • P .
^ = «3 • (ММ3 + A3) • У2 _«2 • (ММ2 + A2) • У3 , dt
= а, • (ММi + A1)• y3 _а3 • (М3 + A3)• У, (2)
dt
dy3 = «2 • (М 2 + A 2) у _ « • (ММ j + A1) • У2. dt
У12 + У22 + У32 =1 , (М1 + A1)•У1 + (М2 + A2)• У2 + (М3 + A3)• У3 = k , (3)
1 ' ' _ \2 , „ /j _ ,1 \2 . „ /ъл , _ \2
— •( аи • (М1 + A1)2 + а22 • (М2 + A2)2 + а33 • (ММ3 + A3)2 | + +а23 • (ММ2 + A2)• (ММ3 + A3) +
+ а31 • (Мз + Хз)• (М1 + Х\) + а12 • (М1 + Х\)• (М2 + Х2)~(е1у1 + в2у2 + в3у3)• Р = 2Л . Здесь М + Х - вектор кинетического момента гиростата, Х - гиростатический момент, ^ -вектор угловой скорости тела - носителя, у - единичный вектор вертикали, т - единичный вектор
барицентрической оси. Звездочка в уравнениях (1) и (2) означает дифференцирование в осях, неизменно связанных с телом - носителем.
Компоненты кинетического момента М и угловой скорости ^ связаны соотношением:
М = Ьм>, (4)
где Ь - гирационный тензор.
Продифференцировав интегралы (3) в силу дифференциальных соотношений (1) и (2), получим:
w-I + w-I - 2т- yP = 0
I -y+ (I + X) - y = 0
(5)
y- y = 0
Вследствие симметрии матрицы Ь , справедливы равенства
м>-М = М■ w = М(ЬМ)* = МЬМ = МЬМ = М■ w ,
тогда первое уравнение системы (5) приводится к виду:
* *
w■ М- т у Р = 0.
*
Если исключить из системы (5) производную вектора М с помощью уравнений (1) и (2), то система (5) примет следующий вид:
т- (y+ wx y) = 0
*
(М + X) - (y+ wx y) = 0 (6)
*
y-(y+ wx y) = 0
*
Если для любого момента времени / векторы т , М + Л, у не остаются компланарными, то из системы (6) следуют уравнения Пуассона (2). Тогда системы уравнений (1) - (2) и системы уравнений (1), (3) - эквивалентны. В тех же случаях, когда системы уравнений (1) - (2) или (1) -(3), что, как видно дальше, не одно и то же, допускают инвариантное многообразие вида:
т-
интегралы (3) не будут независимыми. Эти случаи требуют отдельного рассмотрения. Следует заметить, что всякое инвариантное многообразие системы (1) - (2) является одновременно таковым и для системы уравнений (1), (3). В случае (7) обратное неверно, что подтверждает следующий пример:
X = X = X = 0
Мх = а cost,M2 = asinT,M3 = n (8)
Pyx = a% cost, Py2 = a% sinT, Py3 = %n
При соблюдении условий
= 0
(7)
b1 = b2, b12 = 0, b13n = 0, b23n = 0
P2 = x2(a2 + n2), Гк = х(а2 + n 2),2h = bua2 + b33 n2
t = (b22 -b33)n-b13 cost-b23 sinr
Соотношения (8) удовлетворяют системе уравнений (1), (3), но системе (1), (2) удовлетворяют только при дополнительном условии
X = 0,
что приводит к тривиальному случаю.
Таким образом, задача об определении условий, при которых системы (1) - (2) и система (1), (3) являются взаимозаменяемыми, относится к числу важных для динамики твердого тела, имеющего неподвижную точку.
Следствием системы уравнений (1) и соотношения (7) является постоянство модуля вектора кинетического момента М + Л :
(М + Л)2 = М2 = const (9)
Последнему равенству можно удовлетворить, если вместо переменных М17 M 2, M 3 ввести новые переменные М,T,S по формулам:
Мх + Л\ = Мcost ,
М 2 + Л2 = М sinrsin S, (10)
М3 + Лэ = Мsin rcosd .
Второй интеграл в системе (3) выражает постоянство угла £ между векторами М + Л и у . Чтобы удовлетворить соотношениям
ух (М + Л)
= 0
y-y = 1, (М + X)- y = к, т-
достаточно положить
y = COS(t + £) , y2 = sin(T + £)sin 5, (11)
y3 = sin(T + £)cos5 .
Постоянная £ введена вместо постоянной к = М COS £ , входящей в интеграл площадей. Заметим, что соотношения (11) содержат, как общий случай компланарности векторов
T, y, М + X , так и возможные случаи коллинеарности какой - либо пары из них.
Тривиальный случай М = — X удовлетворяет обеим системам, но при этом должно быть
T = y и w = — b X . Постоянные интегралов должны быть следующими:
h =1X b X- P, к = 0. 2
Но эти соотношения удовлетворяют уравнениям Пуассона только при выполнении условия
тх bX = 0.
Это возможно при нулевом значении постоянной М. В дальнейшем будем полагать
М ф 0.
Подставим зависимости (10) и (11) в уравнения (1) - (3):
x- w2 cosS + w3 sin 8 I • sin x = 0,
•cos8 = 0,
w +xsin 8 !• cos8 +
8-w1 Ь sin x + P,sin(x + s)
w +xcos8 V cosx +
P
8-w1 Ьsinx+ P*sin(x + s)
sin 8 = 0 .
Здесь P* = — . M
Эта система сводится к уравнениям : x = w2 cos8 - w3 sin 8
8 sin x = w1 sin x - (w2 sin 8 + w3 cos8)^ cosx -P* sin(x + s) в которые следует подставить w1, w2, w3 как функции x и 8 , определяемые равенствами:
(12) (13),
wj = M
w2 = M
w3 = M
Ь1 cos x + (b12 sin 8 + b13 cos 8 )sin x + w1
b22 sin г sin 8 + b12 cos x + w2
b33 sinTcos8 + bl3cosT + w3
(14)
Для сокращения записи в (13) обозначено
I Wl = -Ь11Л1 - Ь12Л2 - Ь13Л3,I W2 = -Ь22Л2 - Ь12Л1, I wз = -Ь33Л3 - Ь13Л1. В дополнение к уравнениям (12) получим соотношение, в которое перейдет интеграл после подстановки в него замены переменных (10) и (11):
bu(M cosx - Xj)2 + b22(M sin x sin8 - Л2)2 + b33(sinxcos8 - Л3)2 + + 2[M(b12sin8 + b13cos8)sinx-b12A2 -b13X3](Mcosx-A1)-2Pcos(x + s) = 2h
(15)
Интеграл энергии исходной системы после его преобразования к новым переменным становится интегралом системы дифференциальных уравнений (12) и (13). В чем легко убедиться непосредственной проверкой по определению интеграла системы дифференциальных уравнений. Уравнения (12) и (13) в новых переменных будут выглядеть следующим образом:
Y~ = (b22 - b33)sinxcos8sin8 + (b12cos8 - b13sin8)cosx + w2 cos8 - w3 sin8 (16) 8 sin x = M[(bj j - b22 sin2 8 - b33 cos2 8)cosx sin x -(b12 sin 8+b13 cos8) • (cos2 x - sin2 x)
+ wjsinT -I w2 sin8 + w3cos8 Icosx
- P* sin(T + s)
+
(17)
Система дифференциальных уравнений (16) и (17) автономна и имеет интеграл (15), не зависящий от времени. Поэтому она может быть сведена к квадратурам.
В общем случае полученные из уравнений (12) и (13) функции т(/) и 8(/) могут не удовлетворять уравнениям Пуассона (2) .
Проверим, к чему приведет попытка удовлетворить уравнениям Пуассона с помощью соотношений (11). Подстановка этих соотношений в уравнениях (2) приводит к дополнительному уравнению:
б_ w1 J sin(r + s) = _(w2 sin б + w3 cos6)^ cos(r + s) (18)
Запишем условие его совместности с уравнением (13)
(w2sin6 + w3 cos6)-sins + P,sin(r + s)cos(r + s) = 0 (19)
Тогда с учетом этого требования из уравнения (18) можно получить более простое уравнение:
• р
б = w1 +--— sin(r + s)cos(r + s) , (20)
sin s
которым можно заменить уравнение (13).
Удовлетворяющие уравнениям (16) и (20) функции z(t) и 6(t)при подстановке их в уравнения (10) и (11) определяет решение исходной системы, если соотношение (18) будет инвариантным соотношением для уравнений (16) и (20). Это обеспечат предыдущие рассуждения, направленные на то, чтобы это было выполнено.
Резюме. В данной статье были получены и изучены условия эквивалентности системы уравнений Эйлера с добавлением к ней трех общих интегралов. Эта эквивалентность нарушается на тех многообразиях , где интегралы зависимы. Установлено, когда это многообразие является инвариантным по отношению к обеим системам уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Горр, Г.В., Илюхин, А.А. Случаи постоянства модуля момента количества движения гиростата // Механика твердого тела, Киев, Наукова думка, 1974, вып. 5,- С. 9-15.
2. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Харламова, Е.И. Об особых решениях одной формы твердого тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела, Киев, Наукова думка, 1974, вып. 5, - С. 3-9.
3. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М. Математические аспекты в моделировании движений гиростата с неподвижной точкой // Информатика и кибернетика, - Донецк: Дон НТУ. - 2016. - №2 (4). - С. 26 - 30.
4. Горр, Г.В., Илюхин, А.А., Ковалев, А.М., Савченко, А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. - Киев, Наукова думка, 1979. - 216 с.
5. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наукова думка, 1979.- 216 с.
6. Илюхин, А.А. О деформации упругой линии // Механика твердого тела. Киев, 1969, вып. 1, - С. 128 - 138.
7. Hess W. Ueber die Eubrechen Bewegungsgleichungeb und ueber eines starren schweren Korpers um einen festen Punkt. -Math.Ann.,1890,37, H.2, S. 153 - 181.
8. Stackel P. Die reduzierten Differenzialgleichungen der Bewegung schweren unsimmetrischen Kreisels. - Math.Ann., 1909, 67, S. 399 - 432.
Илюхин А.А., Клюева М.А., Кузнецова Л.А.
РЕШЕНИЕ РЕДУЦИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЁЛОГО
ГИРОСТАТА
Аннотация: Для системы уравнений, полученной из уравнений Эйлера-Пуассона понижением её порядка с помощью общих интегралов движения построено решение на инвариантном многообразии, где эти интегралы зависимы.
Ключевые слова: гиростат, интегралы движения, особые решения.
Ilyukhin A.A., Klyueva M.A., Kuznetsova L.A.
DECISION TO REDUCE THE PROBLEM OF MOTION SWAT GYROSTAT
Abstract: For the system of equations obtained from the equations Euler down her order with the help of the general integrals of motion solution built on the invariant manifold where these integrals dependent.
Key words: gyrostat, integrals of motion, special solutions.
Исходные уравнения и предположения. Результаты работ [2, 3, 4] показывают, что в случае невыполнения условия
[(Д + Я)хт]-У = 0 (1)
система дифференциальных уравнений движения тяжелого гиростата [1]
(д + А) + шх(д + Х) = р(Гх У) (2)
У = У хш (3)
