Научная статья на тему 'О РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ'

О РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
16
7
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГИРОСТАТ / ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ / РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕЦЕССИИ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Мазнев А.В., Горбунова Ю.С.

В статье рассматривается задача о движении гиростата с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил. Исследованы условия существования регулярных прецессий относительно оси симметрии силовых полей. Найдено множество осей, образующих постоянный угол с вертикалью в главной системе координат.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON REGULAR GYROSTAT PRECESSIONS UNDER THE ACTION OF POTENTIAL AND GYROSCOPIC FORCES

The article deals with the problem of the motion of a gyrostat with a fixed point under the action of potential and gyroscopic forces. The conditions for the existence of regular precessions about the symmetry axis of the force fields are investigated. Found a set of axes forming a constant angle with the vertical in the main coordinate system.

Текст научной работы на тему «О РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (70) / 2020.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 531.38; 531.39

©2020. А.В. Мазнев, Ю.С. Горбунова

О РЕГУЛЯРНЫХ ПРЕЦЕССИЯХ ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ

В статье рассматривается задача о движении гиростата с неподвижной точкой под действием потенциальных и гироскопических сил. Исследованы условия существования регулярных прецессий относительно оси симметрии силовых полей. Найдено множество осей, образующих постоянный угол с вертикалью в главной системе координат.

Ключевые слова: гиростат, потенциальные и гироскопические силы, регулярные прецессии.

Введение. Разработка методов исследования прецессионных движений тела связана с тем, что прецессии твердых тел находят широкое применение в прикладных задачах динамики твердого тела [1-6]. В динамике тяжелого твердого тела наряду с регулярной прецессией гироскопа Лагранжа имеет место и прецессия Гриоли [7]. Прецессионные движения общего вида в задаче о движении тяжелого гиростата рассмотрены Г.В. Горром [8]. Обзор результатов, полученных в исследовании прецессий в динамике твердого тела и в динамике связанных твердых тел, приведен в [9]. В последние годы анализ условий существования прецессий различных классов проводится в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом [10-12]. Общий метод исследования инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным ги-ростатическим моментом разработан в [13].

Основные результаты по интегрированию уравнений движения гиростата с постоянным и переменным гиростатическим моментом установлены в прецессионной системе координат - подвижной системе, одна из осей которой образует постоянный угол с вектором, фиксированным в неподвижном пространстве [9,13,14]. Такой подход позволяет в случае регулярных прецессий получить наглядное представление о движении гиростата в неподвижном пространстве, так как одна из осей в подвижной системе координат образует постоянный угол с неподвижной в пространстве осью. Однако установить геометрическое место этой оси в главной системе координат затруднительно. Кроме этого, как отмечено в работе [15], представляет большой интерес исследование движений главных осей эллипсоида инерции гиростата в неподвижном пространстве. В связи с этим в данной работе изучены условия существования регулярных прецессий гиро-

стата в случае, когда подвижная система координат является главной системой координат.

Условия существования прецессионных движений найдены в виде алгебраических уравнений на параметры задачи. Проведено полное исследование данной системы и установлено геометрическое место осей, образующих постоянный угол с вертикалью.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, которая описывается дифференциальными уравнениями [14,16,17]

Аш = (Аш + Л) х ш + ш х Б17 + 17 х (Сй - з), (1)

V = V х ш, (2)

где введены обозначения: ш = (ш\,ш2,ш3) - вектор угловой скорости тела-носителя; V = {у 1,^2, ^з) ~~ единичный вектор оси симметрии силовых полей; Л = (Лх, Х2, Аз) - гиростатический момент; Ъ = («1, ,з2, «з) ~~ вектор обобщенного центра масс; А = йгад(А\,А2, А3) - тензор инерции гиростата; В = ¿1ад(В\ ,В2, В3) - матрица, характеризующая гироскопические силы; С = йгад(С\, С2, С3) - матрица, характеризующая потенциальные силы; точка над переменными со, Т7 обозначает дифференцирование по времени.

Уравнения (1),(2) имеют первые интегралы

17-17=1, [Аш + А) • V - ^ (ВТ7 ■ V) = к, (3)

Аш • ш - 2 О • V) + (СТ7 ■ V) = 2Е, (4)

где к, Е - произвольные постоянные.

Опишем инвариантные соотношения, которые характеризуют регулярные прецессии гиростата относительно вектора V. Пусть а - единичный вектор, неизменно связанный с телом-носителем. Тогда для регулярных прецессий тела-носителя имеют место равенства

а-Р = ао, ш = па + тй, (5)

где ао = совво (во = /(а, 17)), пит - постоянные. Их можно интерпретировать в прецессионной системе координат, как скорости собственного вращения и прецессии гиростата. К настоящему времени для уравнений (1),(2) изучены условия существования не только регулярных прецессий гиростата [9], но и другие классы прецессионных движений[14]

а-Т7 = ао, ш= фа + фь*. (6)

Здесь ф, 1р - функции времени Ь. Отметим, что в силу (5),(6) прецессия гиростата - движение, для которого постоянен угол между двумя осями 1\ и ¡2,

проходящими через неподвижную точку, из которых ось Iсодержит вектор а, ось ¡2 - неподвижна в пространстве.

Г.В. Горр показал [8], что задача исследования условий существования прецессий для уравнений (1),(2) с первыми интегралами (3),(4) сводится к нахож-

дению решений уравнений

V = ф (Т7 х а), (7)

ф (Аа ■ V) + ф (Ат> ■ V) = к - (Л • V) + ^ (В17 • V), (8)

ф2 (Аа ■ а) + 2фф (Аа -V) + ф2 (АР ■ Т7) = 2Е + 2 (I ■ V) - (Сй ■ V), (9)

ф [Аа ■ (V х а)] + ф [А17 • (V х а)] + фф [а'02Бр (А) - 2 (АР ■ Т7) + 2а0 (Аа ■ V)] -

-ф2 [(Аа ■ V) - а0 (Аа ■ а)} - ф2 [а0 (Ат> ■ V) - (Аа ■ V)} -—ф [(А • V) — ао (А • а)] — ф [ао (А • г/) — (А • а)] + ф [(Вь> ■ V) — ао (Ва ■ V)} + +ф [ао (ВТ> ■ V) — (Ва ■ V)} + ао (Си ■ V) — (Са ■ V) — ао (в ■ V) + (в ■ а) = 0.

Уравнения (7)-(10) изучались в прецессионной системе координат: а = (0, 0,1) . Тогда из уравнения (7) в силу первого равенства системы (6) следует

и1 = а08т^>, и2 = а0 сов^>, = а0. (11)

Как показано в статье [15], для изучения движения главных осей координат необходимо выполнить преобразования переменных и параметров уравнений (1),(2), значения которых получены в прецессионной системе координат. В данной статье использован другой метод, который основан на получении решения уравнений (1),(2) для регулярных прецессий (5) в главной системе координат. Этот подход не требует сложных вычислительных операций и дает возможность получить результат в главной системе координат в переменных и параметрах, описанных после формул (1),(2).

2. Исследование регулярных прецессий в главной системе координат. Пусть Охух - главная система координат с единичными векторами ¿1, ¿2, «з-С помощью параметров зададим положение вектора а в этой системе

а=а1П + а2г2 + азк, (12)

где

а1 = вт^совоо, а2 = вт^втоо, а3 = сов^0. (13)

Отметим, что при /хо = 0 ( вектор а направлен по главной оси инерции) для исследования равенств (13) следует полагать о0 = 0.

При задании а в виде (13) решение уравнения (7) таково

и1 = а^т^совоо — а0втоосов^1 + а'0сова0сов^0 и2 = а0ё'тц,0ё'то0 + аОсовоосов^1 + а0втоосов^с) (14)

= аосов^о — а0в1п^о81п^.

Функции VI (ф), V (ф) , ^э (ф) найдены с учетом первого равенства системы

Для регулярных прецессий (5) выполняется условие: ф = пЬ + фо, где фо = 0. Запишем уравнения (8)-(10) в случае (5)

V- (пАа + Х) +Т>- (тАй - т^ВТ^ = к, (15)

217 • (птАа (т2Ат> + СТ>) =2Е -п2 (Аа ■ а), (16)

пт [а'0 2Бр (А) - 2 (Аг7 • V) + 2а0 (Аа ■ V)] - п2 [(Аа ■ V) - а0 (Аа ■ а)} -—т2 [ао (Аг7 • V) — (Аа ■ V)] — п [(А • V) — ао (А • а)] — т [ао (А • V) — (X ■ а)] +п [(Вй • 17) — ао (Ва ■ V)} + т [ао (ВТ> ■ V) — (Ва ■ V)} + +ао (Сл7 • V) — (Са ■ V) — ао (1 ■ V) + (~§ ■ а) = 0.

Для анализа уравнений (15)-(17) введем обозначения

Аа ■ V = + р'^'имр + ро, Ва ■ V = Ь\соё(р + Ь'^'икр + Ьо,

Са-V = с\с0ё(р + с'^шр + со, в ■ V = дхсо^ + д'^'имр + до, (18)

X - V = 1\сов(р + ¡[в'т(р + ¿о-

VI = т^о (А2 ~ Аг) эт/хо 8ш2<70,

р\ = ]^а'о (А1СО82(т0 + А2$т2оо - А3) 8т2/х0, р0 = а0 [ (А1 ео82о-0 + А28т2ст0) 8т2^0 + Аэео82^0] , Ъ\ = ]^а'о (В2 - В{) вт/хо 8т2(т0,

Ъ\ = ]^а'о (В^ао + В2ып2оо - В3) 81п2/х0, Ь0 = а0 [(В1ео82а0 + В28т20-0) 8т2^0 + Вэео82^0] ,

С1 = (С2 ~ С1) ётцо 8т2<то, (19)

С1 = (СюЛ + С2ё'т2ао - С3) 8т2/х0,

с0 = а0 [(С1ео82ст0 + С28т20-0) 8т2^0 + Сэео82^0] , д1 = а0 («2ео8а0 — 8181пст0), д'1 = а0 (в1ео8а0ео8^0 + в28'та0ео8^0 — зэ8т^0), д0 = а0 («18т^0ео8ст0 + в28тц,08'та0 + 8эео8^0),

11 = а0 (А2ео8ст0 — А181пст0), А! = а0 (А1ео8ст0ео8^0 + А281па0ео8^0 — Аэ8т^0), А0 = а0 (А18т^0ео8а0 + А281п^081па0 + Аэео8^0).

Распишем функции (Аи ■ и), (Ви ■ и) и (Си ■ и) с учетом (14),(19)

(Аи ■ и) = a2cos2t£> + a^si^Lp + oticosLp + a^sint^ + ao,

(Bi7 • 17) = /?2cos2t£> + /?2sin2(^ + /3icos^ + /3isin<£ + /?o, (20)

(Cz7 • V) = 72COS2+ 72sin2t£> + 71 cost/? + 7/1sint£> + 70,

где

CK2 = 7ja02 [A-l (sin2(To — COS2(ToCOS2/io) + A2 (cOS2(To — Sin2(ToCOS2/io) —

a'2 = 7^ac)2 (^2 — Ai) cos/iosin2<To, a\ = aoa'0 (A2 — A\) sin/iosin2<To = 2aoPi, a'1 = aOa0 (A^os2^ + A2sin2^o — A3) sin2^0 = 2a0p1, ao = ^ {A\ [2aosin2/iocos2<To + a'02 (sinVo + cos2<rocos2/io)] + +A2 [2a0sin2^0sin2a0 + a02 (cosVo + sinVocos2^)] + +A3 (2a0cos2^o + a02sin2^o) } ,

1З2 = 7ja02 [-^1 (sin2(To — COS2(ToCOS2/io) + B2 (cOS2(To — Sin2(ToCOS2/io) —

—B3sin2^o] ,

/?2 = ^a'02 (B2 — B\) cos/iosin2<To, /?i = aoa'0 (Б2 — B\) sin/iosin2<To = 2ao&i,

= a0a0 (Bicos2ct0 + B2sin2a0 — B3) sin2^0 = 2a0b[, (21)

Po = \ {Bi [2aosin2/iocos2<To + a'02 (sinVo + cos2<rocos2/io)] + +B2 [2a0sin2/j.0sin2a0 + a'02 (cosVo + sinVocos2^)] + +B3 (2a0cos2^o + a02sin2^o)} ,

72 = 7^0 2 \pi (sin2do — cos2<Tocos2/io) + C2 (cosVo — sin2<rocos2/io) —

—C3sin2^^ ,

72 = 7}a'o2 (C2 - C\) cos/i0sin2(T0, 71 = a0aó (C2 - C\) sm/j,0sm2ao = 2a0ci, = aoa0 (C1cos2ct0 + C2sin2a0 — C3) sin2^0 = 2a0c1, 70 = ^ {Ci [2aoSin2/iocos2<To + a'02 (sinVo + cos2<rocos2/io)] + +C2 [2aOsin2^osin20o + a'02 (cos2a0 + sin2a0cos2/л0)] + +C3 (2a0cos2^o + a02sin2^o) } .

Вычислим на основании (14),(18)-(21) значения множителей при nm, n2, m2,

m, n и свободный от них член

a'02Sp (А) -2(AJ/-V) + 2a0 (Aa ■ V) = = —2a2 cos2^> — 2a/2sin2^> — aopicosф — a0p'1sin^ + a*, (22)

a* = a02 [(A1 cos2a0 + A2sin20-0) sin2¡0 + A3cos2¡0] .

(BV • 17) — ao (Ba ■ V) =(32cos2(p + /?2sin2ip + ao/3icos<p + ao/^sint/? + /?*,

/3* = ^a'02 [Bi (sin2do + cosVocos2/io) + B2 (cosVo + sin2<Tocos2/io) + (23)

ao (Ci7 • V) — (Ca ■ V) = ao72cos2t£> + ao72sin2t£> + c\ (а$ — aó2) cosc/?+ +c1 (a2 — a02) sin^> + c*.

ao (Bv ■ v) — (Ba ■ v) = ao/?2cos2t£> + ao/?2sin2t£> + &i (üq — a'02) cost£>+ +b'1 (a2 — a'02) sin^> + b*.

ao (Ai/ ■ v) — (Aa ■ v) = aoa2cos2(p + aoa2s'm2(p + p\ (a$ — a'02) cosc/?+ +p1 (a2 — a'02) sin^ + a*.

a* = TrOo^c)2 [^-í (l ~~ 3sin2/i0cos2(Jo) + A2( 1 — 3sin2/iosin2<To) +

(24)

c* = ^a0aó2 [Ci (l - 3sin2/i0cos2(To) +C2( 1 - 3sin2/i0sin2(To) +

2 (25)

+C3 (3sin2^0 — 2)] .

(26)

/3* = -^aoaó2 (l - 3sin2/i0cos2(To) + B2 (l - 3sin2/i0sin2(To) +

2 (27)

+Б3 (3sin2¡10 — 2)] .

(Aa • 17) — ao (Aa • a) = picostp + p^sin^. (28)

(A • V) — ao (A - a) = ¿icosí/? + í^sin^. (29)

(30)

1

2Lu"u """ ' 7 ' """ ' 7 ' (31)

+A3 (3sin2¡0 — 2)] .

ao (A • V) — (A • a) = aol\cos(p + ao^siny? + ¿q. (32)

l* = —a'02 (A1sin¡0cosa0 + A2sin¡0sina0 + A3cos¡0). (33)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—ао (! ■ V) + (1 ■ а) = —аод\СОё(р — аод'^'икр + д^. (34)

Яо = а02 СО8СТ0 + 528т^08та0 + 5зС08^о) • (35)

Рассмотрим уравнения (15),(16) при наличии соотношений (14). Потребуем, чтобы (15),(16) становились тождествами при подстановке в них величин (14). Тогда в силу (18)-(21) получим следующие равенства

в2 = 2ша2, в2 = 2та2, (36)

11 = а0Ь1 — (п + 2а0т) р1, = а0Ь'1 — (п + 2а0т) р[, (37)

72 = —ш2а2, 72 = —ш2а'2, (38)

д1 = ш (а0ш + п) р1 + а0с1, д1 = ш (а0т + п) р1 + а0с'р (39)

Значения постоянных к и Е выписывать не будем, так как они не влияют на условия существования прецессий для основных параметров. При рассмотрении уравнения (16) предполагалось, что выполняется условие ~§ ^ а. Поэтому в (39) появились значения д1, д1 .

Рассмотрим уравнение (17), в котором все слагаемые, содержащие множители пш, п2, ш2, ш, п и свободный член выписаны в формулах (22)-(35). Запишем вначале общий вид уравнения (17)

П2сои2^ + ^2 8ш2^> + Б1 соър + ътр + Б0 = 0^ (40)

Из (40) следуют равенства

^2 = 0, = 0, Б1 = 0, Б1 = 0, Б0 = 0^ (41)

Первые два уравнения из системы (41) являются тождествами при выполнении условий (36),(39). Рассмотрим третье и четвертое равенства из (41). На основании принятых ранее обозначений и соотношений (37) получим

ш (ш + 2а0п) р1 — а'02шЬ1 + 2а0с1 (а0 — а02) — а0д[ = 0, (42)

ш (ш + 2а0п) р1 — а'02шЬ'1 + 2а0е'1 (а^ — а'02) —а0д1= 0^ (43)

Пусть а0 = 0. Подставим д1 и д'1 из (39) в равенства (42),(43)

шр1 (а02 ш + а0п) — а'02шЬ1 — а'02с1 = 0, (44)

шр'1 (а02 ш + а0п) — а'02шЬ'1 — а'02с'1 = 0^ (45)

Равномерные вращения относительно наклонной оси можно получить, как частный случай регулярных прецессий, положив во втором равенстве из (5) ш = 0. Тогда из (44),(45) следует с1 = 0, с!1 = 0, а из (39) д1 =0 и д'1 = 0. Из формул (19) определим, что вектор 1 || а. Следовательно, равномерное вращение гиростата происходит вокруг барицентрической оси гиростата. Этот случай в дальнейшем исключаем, поскольку он рассмотрен в статье [15].

Распишем равенство ^0 = 0

пша0 — ш2а* — ш1* + пв* + шв* + с* + д* =0, (46)

где значения а0, а*, I**, в*, в*, с*, д* указаны в (22),(31),(27),(25),(35).

Итак, условиями существования регулярных прецессий (5) у уравнений (1),(2) являются равенства (36)-(39),(44)-(46).

3. Анализ условий существования решений уравнений (36)-(39),(42)-(46).

Первый случай. Пусть вектор а принадлежит главной оси инерции гиростата, то есть в силу (11),(13) имеем условия ц0 = 0, а0 = 0, для которых

а = (0,0,1) , и1 = а0втф, и2 = а'0совф, и3 = а0, (47)

где ф = пЬ^ Тогда изучение условий (36)-(39),(42)-(46) приводит к следующему результату

«1 = 0, 82 = 0, А1 = 0, Л2 = 0^ (48)

В1 — В2 = 2ш (А1 — А2), С1 — С2 = ш2 (А2 — А1), (49)

шВ1 — пш (А1 — А2 — Аз) + а0 [ С1 — Сз + ш (В1 — Вз) — ш2 (А1 — Аз)] +

(50)

+8з + шАз = 0^

Условия (48)-(50) совпадают с условиями (6.127) (по книге [14]). Из равенств (49) следует

ш = 4 " ( С1 " + № " Ба)2 = (51)

При подстановке значения параметра ш из первого соотношения системы (51) в равенство (50) определяют значение параметра п. Равенства (48) означают, что векторы И и А коллинеарны вектору а. Второе условие из (51) дает возможность указать ограничения на составляющие матриц А, В, С• Отметим, что при А1 = А2 выполняются условия В1 = В2, С1 = С2, которые характеризуют частный случай П.В. Харламова [18].

Второй случай. Предположим, что в равенствах (13),(14) параметр а0 = 0, то есть вектор а лежит в главной плоскости эллипсоида инерции:

а = (ё'тц,0, 0 , сов^0) • (52)

Тогда из системы (14) следует

и1 = а08т^0 + а'0соё^0 втф, и2 = а'0совф,

из = а0сов^0 — а081п^081пфч

Результат анализа системы (36)-(39),(42)-(46) таков

п \ п . 2 В2-В1+ 2щ (^1 - А2) 82 = 0, \2 = 0, 1ё /Ю = Вз_В2 + 2т{А2_Азу (54)

С1 — С2 + ш (В1 — В2) — т2 (А1 — А2) = 0, (55)

С2 — Сэ + ш (В2 — Вэ) — ш2 (А2 — Аэ) = 0, (56)

{п (А1 — Аэ) — а0 [В1 — Вэ + 2ш (А1 — Аэ)]} 8т2^+ +2 (А1ео8^0 — Аэ8т^0) = 0.

(57)

«18^0 + в2ео8^0 + п [В2 — ш (А2 — Аэ — А1)] = 0. (58)

Первые два условия из (54) означают, что векторы «и А лежат в той же главной плоскости эллипсоида инерции, что и вектор а. Исключая случай равенства главных моментов инерции гиростата, из (55),(56) получим

П*

т =--]-, (59)

П2

где

П** = С1 (Аэ — А2) + С2 (А1 — Аэ) + Сэ (А2 — А1), (60)

Б* = В1 (Аэ — А2) + В2 (А1 — Аэ) + Вэ (А2 — А1). ()

Отметим, что при Б* = 0, Б* = 0 уравнение (59) становится тождеством (условие на ш отсутствует). Тогда значение параметра ш можно найти из уравнения

ш2 (А1 — А2) — ш (В1 — В2) + С2 — С1 = 0, (61)

положив

Д = (В1 — В2)2 — 4(А1 — А2) ( С2 — С1) > 0, (62)

что будет иметь место, например, при А1 > А2, С1 > С2.

Если выполнены условия Б* = 0, Б* = 0, то из (55),(59) найдем условие на параметры Аг, Вг, Сг (г = 1,3)

(С2 — С1) (Б*)2 — (В1 — В2) 0*0* — (А1 — А2) (Б*)2 = 0. (63)

При указанных выше преобразованиях параметр ц0 определяется из третьего равенства системы (54). Учет в уравнениях (57),(58) проведенного выше анализа позволяет установить значение параметра п и условия на другие параметры задачи. Отметим, что полученный выше результат установить на основании вывод книги [14,стр.268] не представляется возможным.

Третий случай. Рассмотрим общий случай положения вектора а, то есть выполняются условия

81п^0совст0 = 0, вт^втоо = 0, сов^0 = 0- (64)

Учитывая (64) в исследовании равенств (36)-(39),(42)-(46) получим равен-

ства

т = ц^^у ^ ~ = 4 (^1 " А2) ( С2 - С\). (65)

С1 (А2 — Аз) + С2 (Аз — А1) + Сз (А1 — А2) = 0, (66)

В1 (А2 — Аз) + В2 (Аз — А1) + Вз (А1 — А2) = 0, (67)

п (А2 — А1) зтц.0 вгп2а0 + 2 (А2со8о0 — А181по0) = 0, (68)

п (А1сов2ст0 + А281п2о0 — Аз) в1п2^0+ +2 (А^т^совоо + А281п^0втоо — Азв1п^0) = 0,

п [В1 — ш (А1 — А2 — Аз)] + в1ё'1пц,0соёа0 + в2ё'1пц,0ё'1па0 + 8зсо8^0+ +ш(А181п^0со8ст0 + А2ё1п^0в1па0 + Азсов^0) = 0-

(69)

(70)

Таким образом, при заданных А^ (г = 1,3) параметры (г = 1,3) определяются из равенства (66), а параметры В^ (г = 1, 3) - из равенства (67). Учет этих параметров во втором равенстве (65) приводит к дополнительному условию на параметры задачи. Например, если выполнены условия

Аз = А1, Вз = В1, Сз = С1, (71)

то в силу (71) равенства (66),(67) являются тождествами. Тогда необходимо лишь потребовать ограничения А1 > А2, С2 > С1, при котором второе уравнение из (65) дает действительное значение для В1 — В2.

Для нахождения параметров ц0, о0 обратимся к равенствам (68),(69) и для получения наглядного результата положим Аз = 0. Следовательно, условия на параметры ц0, о0 таковы

Л2 (Ах - А3) Х\ (А2 — Аз)'

А1в1пст0 — А2со8о0

5ШЦО = —-----.

п (А2 — А1) втоосовоо

Отметим, что в общем случае для нахождения условий на параметры ^0, 00 из (68),(69) можно найти соотношения

А^тоо — А2сово0

вт/ло =

сов^0 =

п (А2 — А1) втоосовоо Аз (А1 в1по0 — А2сово0)

(А2 — Аз) А^тоо + (Аз — А1) сово0'

и воспользоваться равенством sin2ßo + cos2ßo = 1. После указанных выше преобразованиях значение параметра n находится подстановкой величины m из первого уравнения системы (65), величин uo и ßo из (72) в соотношение (70). Отличительным свойством полученных выше результатов является свойство, что векторы Л и s не коллинеарны вектору а.

Выводы. Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Получены условия существования регулярных прецессий в случае, когда подвижная система координат является главной системой координат. Эти условия найдены в виде системы алгебраических уравнений на параметры задачи. Проведено полное исследование данной системы и установлено геометрическое место осей, образующих постоянный угол с вертикалью.

1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация У A.!. Ишлинский.

- М.: Наука, 1976. - 67Q с.

2. Klein F. The Theory of the top. Volume III У F. Klein, A. Sommerfeld. - New York: Springer Siens Business Media, 2Q12. - 297 p.

3. Kane T.R. Equivalence of two gyrostatic stability problems У T.R. Kane, R.C. Fowler ^ Journal of Applied Mechanics,37(4). - 197Q. - pp. 1146-1147.

4. Roberson R.E. The equivalence of two classical problems of free spinning gyrostats У R.E. Ro-berson Journal of Applied Mechanics.- 1971. -No 37(3). - P. 7Q7-7Q8.

б. Асланов В. С. Движение системы соосных тел переменной массы У B.Q Aсланов, A.B. До-рошин УУ Прикл. математика и механика. - 2QQ4. - Т. 68, вып. 6. - С. 999-1QQ9.

6. Асланов В. С. О двух случаях движения неуравновешенного гиростата У B.& Aсланов, A.B. Дорошин УУ Изв. PAR Механика твердого тела. - 2QQ6. - № 4. - С. 42-55.

7. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico У G. Grioli ^ Ann. mat. pura et appl. - 1947. - S. 4. - 26, f. 3- 4.

- P. 271-281.

8. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел У T.B. Горр ^ Прикл. математика и механика. - 2QQ3. - Т. 67, вып. 4. -С. 573-587.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

9. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связанных твердых тел У RB. Горр, A.B. Мазнев, Е.К. Щетинина. - Донецк: ДонНУ, 2QQ9. -222 с.

1Q. Мазнев А.В. Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил У A.B. Мазнев ^ Труды ИПММ HAH Украины. - 2Q11. - Т. 22. - С. 143-152.

11. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил У A.B. Мазнев ^ Механика твердого тела. - 2Q1Q. - Bbm.4Q. - С.91-Ю4.

12. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил У A.B. Мазнев ^ Доклады Национальной академии наук Украины. - 2Q11. - № 8. - С. 66-72.

13. Горр Г.В. Движение гиростата с переменным гиростатическим моментом У RB. Горр, A.B. Мазнев, RA. Котов. - Донецк: ГУ «ИПММ», 2Q17. - 265 с.

14. Горр Г.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку У RB. Горр, A.B. Мазнев.

- Донецк: ДонНУ, 2Q1Q. - 364 с.

15. Горр Г.В. О движении главных осей твердого тела, имеющего неподвижную точку, в случае прецессий относительно вертикали У RB. Горр, ТЗ. Балаклицкая ^ Механика твердого тела. - 2Q19. - Bbm. 49. - С. 55-65.

16. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The equations of motion and their transformations / H.M. Yehia //J. Mecan. Theor. Appl. -1986. - 5, №5. - P. 747-754.

17. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces. II. A new form of the equations of motion of a rigid body in an ideal incompressible fluid / H.M. Yehia // J. theoretical and applied machanics. - 1986. - 5, № 5. - P. 755-762.

18. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверхностью / П.В. Харламов // Журнал прикл. математики и техн. физики. - 1963. - № 4. - С. 17-29.

A.V. Maznev, Yu.S. Gorbunova

On regular gyrostat precessions under the action of potential and gyroscopic forces.

The article deals with the problem of the motion of a gyrostat with a fixed point under the action of potential and gyroscopic forces. The conditions for the existence of regular precessions about the symmetry axis of the force fields are investigated. Found a set of axes forming a constant angle with the vertical in the main coordinate system.

Keywords: gyrostat, potential and gyroscopic forces, regular precessions.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 02.09.2019

ГОУ ВПО "Академия гражданской защиты" МЧС ДНР, Донецк aleksandr_maznev@rambler.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.