Нормальные координатные функции оболочки вращения с дискретным продольным набором Текст научной статьи по специальности «Математика»

НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ ФУНКЦИИ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ ПРОДОЛЬНЫМ НАБОРОМ

Г. Г. Онанов

Для оболочки вращения с недеформируемым в своей плоскости контуром поперечного сечения, подкрепленной дискретным продольным набором, дана полная система ортогональных координатных функций, представляющая собой обобщение тригонометрических функций. Детально рассмотрены оболочка с регулярным продольным набором и оболочка с одним стрингером.

Систему нормальных координатных функций для оболочек вращения, геометрические параметры которых постоянны в окружном направлении, образуют тригонометрические функции sin /гое, cos k% (fe= 1, 2,...). Бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно соответствующих амплитудных величин при этом распадается на независимые иодсистемы для каждой из гармоник в отдельности.

Ниже дается полная система нормальных координатных функций для оболочки вращения с дискретным продольным набором. Предполагается, что поперечное сечение оболочки недеформируемо в своей плоскости. В этом предположении общее решение для цилиндрической оболочки произвольного очертания дано Р. А. Ада-дуровым [1]. Задача сводится к одному интегро-дифференциаль-ному уравнению в частных производных. Применяя метод Фурье, автор приходит к ин гегро-дифференциальному уравнению в окружном направлении, собственные функции которого образуют систему . нормальных координатных функций цилиндрической оболочки постоянной толщины.

Для замкнутой круговой оболочки задача сводится к отысканию спектра собственных функций уравнения

Ф (0) = ф (2тг), Ф'(0) = Ф'(2*).

(3)

В уравнении (1) коэффициенты 11, зависят от площади Р, поперечного сечения стрингера, ориентированного по образующей а = а„ радиуса /? поперечного сечения оболочки и ее толщины Л:

Можно показать, что уравнение (1) в равной мере относится и к произвольно очерченным оболочкам вращения, для которых

альном уравнении равновесия элемента оболочки в проекции на ее ось вращения и в выражении для деформации срединной поверхности в направлении меридиана можно пренебречь соответственно ПОПеречНЫМ усилием С}> И ЧЛенОМ 11111).

1. Уравнение (1) относится к классу уравнений с сингулярными переменными коэффициентами типа 8-функции. Общий прием, позволяющий построить решение подобного уравнения, дан в работе |2].

Умножая уравнение (1) на соз(б —а) и интегрируя левую и правую части по а от 0 до 2* для его решений, удовлетворяющих условиям периодичности (3), найдем:

На основании (5) будем вместо уравнения (1) рассматривать

Внося (7) в (6) и приравнивая нулю коэффициенты при sin а, cosa, приходим к дифференциальному уравнению

= Frj Rh (г= 1,2,...,»).

(4)

= [i,(z) = const, если предположить, что в дифференци-

п

і ф (a) COS (Р — a)d<x = — а, Ф^ cos (|3 — аг)

(О)

где

Ф, = Ф(а,).

г+ 1

Решение уравнения (6) будем искать в виде Ф (а) = V (a) -j- a cos а + Ь Sin а.

(б)

(7)

П

4і’"4-Х2 р\Р £ Iа, (а cos а, + b sin а,) 8 (я — а,)

(8)

и двум конечным соотношениям

J гл

(1 — Х2)а Ч--2- Mv,+« cos ar + b sin ar) cos a, = 0,

1

(1 — )-2)b + —a cos лг H~ b sin ar) Sin ал=0.

Пусть Ф*1 («), lFn(a) — фундаментальная система решений однородного уравнения

V" + X*p4r' = 0, (10)

а <£(а, ^ — фундаментальное решение соответствующего оператора:

аг^-ь^раг— 8(а—р). по

Тогда общее решение уравнения (8) будет иметь вид

П

'Р'(а) = С, Ч;| (а) С, Ч'-м (а) — X2 ц, (a COS л,-\- b sin a,)?jf(a, а,). (12)

Внося значения V (a) (12) при <х = аг в выражения (9), придем к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов а и Ь.

При найденных значениях а и b выражением (7), где Ч'(а) определяется выражением (12), дается общее решение уравнения (6), содержащее в себе все решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям периодичности (3.1. Умножая теперь уравнение (6) на cos (f3 — а) и интегрируя левую и правую части по а от 0 до 2*, для его решений, удовлетворяющих условиям периодичности (3), найдем

г 2г. п

J ф (а) COS (Р — а) da + £ ц, Ф, cos (3 — а,)

(13)

На основании (13) заключаем, что все периодические решения уравнения (6) удовлетворяют и уравнению (1), за исключением, быть может, решения, соответствующего Хг=1. Последнее легко проверить непосредственной подстановкой в (1).

2. Обратимся к уравнению (10). Переходя к частично вырожденному виду [2], имеем

(14)

(15)

(16)

»У" + X2 У = - X* X Г, (<* - <g.

В смешанной форме [2| решение имеет вид

п

(а) = С, COS Ха -f С, Sin Xa — X ^ Ч*’, 0 (а — nr) sin X (а — aj,

. ,= |

/—I

х¥( — С| cos Xa, -f С., sin Ха, — X (x^F,sin X (a; — a,)

(/- 1, 2........и),

где 0(a — a,) — единичная функция Хевисайда.

Для того чтобы получить решение уравнения (10) в замкнутой форме, необходимо, разрешив (16) относительно неизвестных Ч’(, исключить последние из (15). Поскольку система (16) имеет треугольную матрицу, неизвестные Ч*, легко определяются последовательно друг за другом. Имеем:

Ч7, = С, с os Ха | -)- С, sin Ха,,

W, = С| [cos Ха, — Х[а, cos Ха, sin X (а, — otj)J -j-

-j- С-, [sin Xa2 — X[J., Sin Xa, sin X(a2 — a,)],

(17)

Внося (17) в (15), находим 'Г1 (а) = COS Ха —X {(х, COS Ха, Ь (а — а,) sin X (о — а,)

-j-'x, [cos Хаг — Xja, cos Ха, sin X (а., — а,)] 0 (а — а2) sin X(я — а„) -(- . . .},

1Г" (а) = sin Ха — X {(х, sin Ха, 0 (а — а,) sin X (а — а,) +

+ (v> |sin Ха., — Х(л, sin Ха, sin X (а2 — а,)] 0 (а — a2)sin X (а — я2) —|— .. .J.

Таким образом, фундаментальная система решений уравнения (10) может быть в каждом конкретном случае легко записана для любого /I.

Рассмотрим один из наиболее важных случаев, когда продольный набор регулярен:

2п

tv = I1; ar= — г ('■=1.2............'О-

(19)

В этом случае решение в смешанной форме (15), (16) принимает вид

П

Ч' (а) = С, COS X a 4-C5sin Ха — а X "V Ч',.0(а - г) sin X (а — г), (20)

/-1

V

Ч-', = С, cos X/ -f- С2 sin X/ — X V, sin X (/ — г)

I

(/=1.2..........n),

(21)

где

а = 77--------------------; X = — - X; ц:

/ГГ п и

пП

(22)

2- п ’ п ’ * 2* 1

Теперь вместо решения системы (21) можно подставить задачу об отыскании функции дискретного аргумента Чг, = Ч' ^ /\ удов-

летворяющей разностному уравнению с переменными коэффициентами

1-Х

Ч”, -|- р X £, ^sinX (/ — г) — С, cos 11 + С, sin X/.

г-1

Решение уравнения (23) будем искать в виде

iГ, = eisl.

Внося (24) в (23) и производя суммирование, получим

I + S* ——=’) lq-ji >-'] еш_

- cos s — cos X / \ -I рц '•-») _ 1!

(23)

(24>

- с +

(J.X

9 i

е~м _ о,

где

с; - -1 (с, -/с2), с; = -L (с, 4 »с2).

(25)

(26)

Очевидно, что при частных значениях констант интегрирования [X X 1

Г* = Г* =

2 і enl-s) — 1

q = C*=-^-—^----Г (27)

2 20 2 і л-/(х+я—1 '

выражение (25) обращается в тождество по I, если параметр 5 связан с X соотношением

1 + 4-

sin X

2 coss—cosX

0.

(Щ

В силу четности coss очевидно, что в этом случае уравнению (23) удовлетворяют

ЦГ, = ЦГ+ , gist ( = \у- _ g-ш. (29)

Для частных решений (29) найдем

WT

V,++, Vi;,

= —■ 21 sin s,

(30)

откуда следует, что при Бф-кк. последние линейно независимы.

Это позволяет построить решение уравнения (23) при произволь-

ных С,, С2 посредством линейной комбинации частных решений (29):

Ф, = «'Г,+ + рФ7 • (31)

где коэффициенты 51, р с учетом (26)—(28) удовлетворяют системе уравнений

е'а а 4- е~и р = С, сое X -(- С2 йIП X , I

а + р = С1. 1

Условие разрешимости системы (32) совпадает с условием линейной независимости частных решений (29). Разрешая систему (32) и внося результат в (31), имеем с учетом (28), (29):

(32)

у = С, (%- sin si -і- cos si ) + c, sin si

1 1 \ *} cm с 1 • chc

sin s

и л

и, заменив С] + С2 на новую константу С.,

VF, = С. coss/ -f С.S П -■ sin si. ‘ 1 • sins

(33)

(34)

Заметим, что соотношение (28) между параметрами я и X теряет смысл при Х = 7г£. Перепишем (28) в виде

- IX X —

COS S = COS А. — —- sin X.

(35)

При значениях X = лЛ<>> которым будут соответствовать согласно (35) значения 5 = 5* = ^6, решение (33) уравнения (23) также теряет смысл. Значения *—ч? образуют дискретную последовательность точек. В сколь угодно малой окрестности каждой из них решение (33), где 5 и X связаны теперь соотношением (35), очевидно удовлетворяет уравнению (23) тождественно при любых С,, С,. Отсюда следует, что при Х = Х^; решением уравнения (23>

5—Ученые записки Кг I

является предел решения (33), (35) при X - 1„а. Действительно, внося (33), (35) в (23), имеем:

_ _

х* л ^ 1 !А ^ '*'■ s'n — г) — С, cos X/ — Сг sin X/ 1 = О,

"* г— I J

откуда

1-1

lim Hm »F,sinX*,(/ —r) = C,cosI*,/+CssinX^/.

l-lkq r = 1 т-'кп

Таким образом, заключаем, что выражениями (34), (35) представлено решение уравнения (23) при любых значениях констант С,, С., и параметра X, причем предельный переход при s = nit здесь и в дальнейшем правомерен.

Теперь, чтобы получить замкнутую форму решения уравнения (10) в рассматриваемом случае (19), необходимо внести найденные решения разностного уравнения (23), а следовательно, и системы (21) в выражение (20). Пусть я,, a/ + i — координаты концов пролета, содержащего такую точку. Представим координату последней в виде а- а,-}-?, приняв — а,. Тогда нетрудно

видеть, что

X 0 (“ ~ *Л/(Я. “Л = X f(af + 9’ “')•

г-1 г- I

где /— произвольная функция, удовлетворяющая условию /(а,, я,) = 0. Представление (36) носит общий характер. В случае (19), переходя к относительной координате я (22), имеем

а = £-Н, (37)

где t— Е(л) — целая часть а. Очевидно,

0-<а</г; * = 0,1,0<6<1. (38)

Производя в (20) суммирование на основе представления (36) и заменив, как и выше, С, 4- - С2 на С., найдем:

Чп(/, S)cos/ssinX(l —£) + cos(* + l)ssin~X£,

Ч:п(i, S) = sin ts sin X(1 — E) -f sin (t-\- l)s sin XS.

Выражениями (39) представлена фундаментальная система решений уравнения (10) для случая (19).

3. Фундаментальное решение §Г(я, Р) оператора (10) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. При — я/ (/ = 1, 2, . . .) получим

% («,«/) = 0 («-«,) I'V' Ы (а) - Ф" (*/) («)(40)

где W(a) = Ц/(0) — вронскиан фундаментальной системы решений Ч;|, Чп| уравнения (10). Исходя из (15), имеем в общем случае

W = X. (41)

(39)

Обратимся к выражению (12). Используя (40), (41), с учетом (36) получим

ЧГ(«„ ?) = С, ЧР («„ <р) + С2 '^'(а,, *) + аА (а„ ?) + ^ («„ <р), (42)

Теперь, внося значения Ф'(аЛ <?) (42) при I = г, <р — 0 в выражения (9), получаем уравнения для определения а и Ь:

При найденных значениях а и Ь выражением (7), где Ч:г(а) представлена выражением (42), дается общее решение уравнения (6). В каждом конкретном случае это решение может быть записано в явном виде. Заметим здесь, что при регулярном продольном наборе все суммы в (43) —(45), как и выше, могут быть вычислены в общем виде при произвольном п. Мы приведем здесь лишь окончательные выражения, опуская промежуточные выкладки. При п~ 1 общее решение уравнения (6) будет иметь вид:

где

Л (а/, 7) = X V ,л, соз а, [V] К ср) - ЧГ» Ф («„ <?)|,

/

(43)

п

п

\ (44)

где

1 п

*11= 1 —^3+ — X ^соваДсоэа,-}- Аг),

1 "

^12 = — V Ну СОБ а, (віп аг 4- Вг),

1 "

ки = — Хі1г5іпв'г(С05ал + А,),

(45)

і Л

кі2 — 1 — X- -\----------------------\ \хг віп аг (біп а., + Вг).

ТГ 4

— ~ СОЭ (а — а,) | + Сг|$1пХа+ <ЛіііпХа^ х (Xі - 1) 6 (а - а

X БІП X (а — а,)---------------— сое (а — а,)

(46)

При регулярном продольном наборе (19) общее решение уравнения (6) имеет вид:

ф (а) = ^ ~ И, ф' (а)+М2 ф» (а)Ц-Я (V + 5Ш Ц- /V, ^ Ч" (а) +

. пи

+- §4в1п Ц-\М3 Ф' (а) + Мх Ф" (а)] +

>1п /У3 Г (а)4-( Р -I- 51П ~ /V, | 'У11 («) (47)

Здесь

Ф'(*) = ^

СОБ5 — С05

2 т.

2 7Г

л

сое ^ *5|П >.(1 — $) + п V / I

-)- СОв а,

ф"(*) = ^

1

2т.

СОБ 5 — СОБ--------

п

эт — X (1 —I) 4-п

4- б1п а ;

(48;

ЧП, Ч;" — фундаментальные функции (39) уравнения (10); постоянные величины, зависящие от параметра I,

г 2тг

сое X —сое-----------

|1 п п

2п ЪГ '

СО%5 — СОБ — п

(49)

М,= — -Г-

г, / • П$ .

Р/вш + соэ-^-

• 2гг

СОЭ 5— СОБ — П

/.р.- . ГМ

- 2Г 5,П 2

- 2г.

Э1П X БШ5 ---------------

11

^СОБ5 — СОЗ —^

V П )

г ^ *>

и /_ Ли/

/И,— ( Р 4- 73—

■4Я

СОЭ 5 — СОБ

5,ПТ

п

2т '

Соэх —СОЭ

п

.. [1 / ns ns

/И, = — cos -=-----------------sin —

sin s

Ж = -

ТГ

ns

cosy

sins

2 2k

coss — cos — n

sinX

Sin X sin s

p,

Xfi2 f ns

2k 2~ / —2it\*

coss — cos —

r 2 it

sin X sin — n

2k

coss — cos — n

JV,=-

X(1J

2k

ns - . cos | 1 ~r

i 2 2* sin2 —

/I

I 2k\2

coss —cos —

I n),

I— sin

ns

sms

2 2k

coss — cos

n

sin X

sin s

vV, = —

XjX2

2k

• i i i

sin I 14-

sin2 — n

( 2k

coss cos — l Я

2к\а

. ns

+ COS y

sin s

coss—COS

2k

я

(51)

sins \sin8X 1

2k sin s 2k ’

COSS —COS — COSS—cos—

tl ) n

sins \ sin X

—2^ 2k’

coss— cos — coss— cos n n

1 2k

. , . r l — cos — coss , n„ . Xja sinX n n ns

A = P- 4-^------— -------------fr-^Psin-pT- 4

2k sin s 2k\- 2

coss— cos —

\ ni

- 2k

.. ,., sin2 Xsin —

4.fhvL) ___________^__С1П2^_ f524

H v 2k / 2*y S 2 • (’

4 ’ I cos s — cos — I

Как видно из (46), (47) — (52), все решения уравнения (6) непрерывны, однако их производные, вообще говоря, терпят конечные разрывы в точках а = а,. Заметим, что при вычислении производных по а от функций, записанных в переменных t, первая из которых является дискретной, дифференцировать следует лишь в

Іі п СІ

сіо 2-к АХ '

При этом в точках а = а,.(/ = /-, $ = 0) будем получать значения производных справа. Производные слева вычисляются как предел при £=/-— 1, 5-* 1. Обобщенные производные можно записать, дифференцируя общее выражение (15) в обобщенном смысле. При этом выражение для первой производной будет содержать функцию Хевисайда, а для второй — также и 3-функцию.

4. Обратимся к условиям периодичности (3). Выше было показано, что периодические решения уравнений (I) и (6) совпадают, за исключением, быть может, случая Х2 = 1. Из условия нетривиаль-ности периодических решений найдем характеристические уравнения для определения собственных значений параметра X. Для случая п= 1, используя (46), имеем:

Цепочка трансцендентных собственных значений X = Х? (53) определяет собственные функции

Цепочка рациональных собственных значений ). = </ определяет собственные функции

При регулярном продольном наборе, используя (47), (52), пай

дем

Условие (57) совместно с соотношением (28) образует характе ристическую систему для определения собственных значений пара метра X и соответствующих им значений параметра 5. Из (57) еле дует

БІп пХ = 0.

(54)

Ф|9 (а) = соэ [Х?(

тг — а — а

И СОБяХ,,

---С05(а —а,) (55)

(<7=1, 2, . . .).

Фц„(а) =5іп?(а -а,) (<7 = 2, 3, . . .)•

(56)

(57)

5 = —к, кф-\-\+п1\ п —

(58)

либо

характеристических уравнений относительно X:

О

Внося (58) в (28), при различных значениях /г, получаем

2п

яш — X п

2п.

соя-------сое—X

п п

л.

* = 0, 2, 3,

. Е\~

Исключая из (59) параметр я с помощью (28), получим еще одно характеристическое уравнение

2к СОБ —

п

-^+4(|-+тг^)=0

— СОБ ' г /

Из (60) в предельных случаях имеем также

5 = 0; X —пц (<? = 1, 2

и, кроме того, для четных п

$ = *; Х = |-(2<7- 1) (7=1, 2, . . .).

(61)

(62)

(63)

Каждой из цепочек собственных значений (60), (62) соответствует фиксированное значение 5. В цепочке (61) каждому значению X соответствует свое значение 5, определяемое соотношением (35).

Найденным цепочкам собственных значений соответствуют цепочки собственных функций:

при X = Х0(?, определяемых уравнением (60) при /г = 0,

ф| Од (а) = СОБ х

Од

при X (62), определяемых уравнением (60) при & -»0,

Ф|| 0 9 («) = Э!'п цп а; при Х = Х, , определяемых уравнением (61),

(64)

при Х = ХА(/, определяемых уравнением (60) при к = 2, 3, . . .,£

(67)

при Х = Хя , определяемых уравнением (60) при & = я/2 (для чет

2 <7

ных п),

при X (63), определяемых уравнением (60) при к -* п/2 (для четных п),

Собственные функции (55), (56) и (64) — (69) соответствуют ненулевым собственным значениям параметра X. При Х = 0 непосред' ственно из уравнения (1) найдем три собственные функции:

Выражениями (55), (56) и (64)—(70) представлен ортогональный спектр собственных функций уравнения (1). Для любой пары Ф„ Ф2 различных собственных функций справедливы соотношения

2*

Небезынтересно отметить, что спектр собственных функций (64) — (70) уравнения (1) почти полностью совпадает со спектром собственных функций задачи Штурма—Лиувилля ф"-)-ХгрФ=0 при тех же условиях периодичности. Исключение составляет, как это можно показать лишь функции (66), вместо которых появляются, соответственно, функции (67) при к=\, и, кроме того, при X == 0 остается лишь одна функция Ф0()(а)=1. Тогда вместо (72) будем иметь

(68)

Ф (а) = 8т(2<7—1)-^-а.

(69)

фоо(а)=1> Фю(®) — СОЭ а, Фцо(а) =5|П«.

(70)

£К « IК /ГС

[ Ф,'(а)ф.:(*)*--£-С У ф, (^1)ф2(6) сое— 6)Л|<Й=-0. (72)

О

I) о

о

) Ф| (а)Ф2 (а) йл — 0.

Пронормируем собственные функции, потребовав, чтобы

П

Тогда для нормирующих множителей В иолучим

воп- У2* + ?п, я,0-д|10«- 4/*+^; (73)

для собственных функций (55), (56)

В

(74)

для собственных функции (64) — (69)

5\io„ = B „ = ]/*;

" ~п

5, о, = 1/2 B0,cosV, В п =1/2 Вп sinX„;

М " '

— В\\ —Btl7 Sin\Лч

6=1, 2.....£

in—1

(75)

где

B\„ =

sin2 >.

*<7

* = 0. 2, 3...........................

Ц + \ 7 ilfcosX1# +

аЛ 17

T

(й+|)мл’'«

2k

COS A,_ — cos —

1/7 /I

(76)

Умножим (1) поочередно на cos ka, sin ka. и проинтегрируем от 0 до 2к. Для собственных функций, соответствующих полу-

чим:

2г.

| Ф (a) COS kada. =

— 2^Ф1-с°5Ь, (£ = 0, I);

k> __ ^Х,!х/-Фгс°5 Ч (* = 2, 3, . . .);

2п

\ Ф(а)з1п£а^а =

— Х.^-Ф^п fo, (*=1);

).г

р1^фгйпЧ (А = 2, 3, . . .).

(77)

Произвольной функции /(а) можно сопоставить ряд но собственным функциям уравнения (1), сходящийся на отрезке [0,2тг|,

/г(— 1

оо \ 2 >

/(а)~ а00 Ф0()я<> Ф| о 4 бо Фи о+51 (а*« **)•

,, = | к=0

і 2п

1 Г . .

где коэффициенты определяются квадратурами вида ЛаУНаМа№(а)

й п

при условии, что последние имеют смысл.

Если, хотя бы в одной йз точек л = лп функция /(а) имеет особенность типа В-функции, ее ряд Фурье будет иметь вид

со£Ш

/(*) ~ [аоофоо-+-а.)ф|о + ^,^по+ V У (акя Ф, Фн**)] р («). (81)

<7=1 k~0

1

где коэффициенты определяются квадратурами вида-д^ | /(я)Ф(а)d(o).

а о

Используя (77), для к = 2, 3, . . . имеем:

2 п 2 п

кг I Ф (a) cos ko.da = /.г J cos кя Ф (а) р (a) rfa;

о

2т.

кг | Ф (a) sin клйт. — | sin ка Ф (а) р (a) da.

(82)

Соотношения (82) устанавливают связь между коэффициентами разложения собственных функций уравнения (1) в тригонометрические ряды и коэффициентами разложения тригонометрических функций в ряды Фурье по собственным функциям уравнения (I). Обратившись к (78), (79), получим

^ sin «?ч |

COS k (о. a,) = 2 ---. 2 T“r2-

?=1 к ''q ^q t,

и соответственно

Ф| і/ (®) (к = 2, 3, . . .), (83)

На фигуре с целью иллюстрации представлены собственные функции (55) для оболочки с одним стрингером (*'= 1, ориентированным по образующей а = а, = 7г при ?=1, 2, 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. А да дуров Р. А. Напряжении и деформации в цилиндрической оболочке с жесткими поперечными сечениями, ДАН СССР, т. 62, № 2. 1948.

2. О н а н о в Г. Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных. ДАН СССР, т. 191, №5, 1970.

Рукопись поступила 30\Ч1 1971 г.