Аналитический и графоаналитический методы определения элемента залегания в данной точке поверхности пласта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Горный инженер В. Ф. Турчинский,

Д о и е н т Сибирского Технологического Института.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ = МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАЛЕГАНИЯ =

В ДАННОЙ ТОЧКЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛАСТА.

томе к,

1929.

Доцент В.

Ф. Т у р ч и н с к и й.

Аналитический и графо - аналитический методы определения элементов залегания в данной точке

поверхности пласта.

§ 1.

Приступая к решению поставленной задачи, мы в дальнейшем, в порядке перехода от простого к сложному, примем две господствующие поверхности пласта за параллельные плоскости.

Пусть: Н—некоторая горизонтальная плоскость, Р—одна из двух господствующих плоскостей, ограничивающих пласт (черт. 1).

Возьмем в плоскости Р произвольную точку А (х , уа, ха). Тогда положение плоскости Р в пространстве, как известно, определится точкою А (ха, уа, ъ \ и двумя замечательными прямыми—прямыми падения и простирания,—сопряженными условием взаимной перпендикулярности.

Проведем через точку А (ха, уа, га) плоскости Р прямые падения и простирания. В натуре в плоскости Р непосредственно определяется в данной точке ее А (ха, уа, га) прямая падения не только как прямая, проходящая через точку А, но и как направление: прямая падения есть прямая ската капли воды.

В силу сказанного, направление прямой падения естественно считать от точки А (ха, уа, га) к произвольной другой точке ее В (хь, уь, отметка которой гь менее отметки га точки А.

При решении задачи по предлагаемым нами ниже принципам достаточно одной только прямой падения дать направление.

В самом деле: конечною целью с'емки пласта является изображение его поверхностей в плоскости чертежа. Построим изображение одной из плоскостей пласта (черт. 2),

Накладываем на плане точку а—горизонтальную проекцию точки А. Проводим через точку а направление меридиана N5 и строим далее направление проекции прямой падения, зная ее азимут п. Далее,зная угол падения Ь прямой падения и отметку точки А, легко, как известно, определить интервал прямой падения или, что тоже, определить на проекции последней точки, отвечающие проекциям точек сечения прямой падения системою равноотстоящих друг от друга горизонтальных плоскостей. Через полученные точки и будут проходить проекции прямых простирания или горизонталей— изогипс плоскости Р перпендикулярно проекции прямой падения по свойству их быть перпендикулярными к последней.

Таким образом видим, что поставленная задача изображения плоскости пласта в ортогональной проекции на плоскость горизонта нами решена вполне, не определяя азимута прямой простирания.

Вопрос о необходимости дать определенное направление именно прямой простирания возникает только в учении о смещениях в земной коре, а поэтому мы его здесь и опустим.

§ 2.

Принципы предлагаемых аналитических методов.

Первый принцип. В основание первого принципа положено понятие о направленных величинах—понятие о векторе.

Возьмем (черт. 3) в плоскости прямоугольную (декартову) систему координат, в которой ось X примем основной. Далее, возьмем в пло-^ скости же две точки: А (ха, уа) и В (хь, уь). Точки

А и В определят прямую, которую примем за прямолинейный вектор, начало которого—точка А, а конец—точка В.

На чертеже вектор этот изобразим прямолинейною стрелкою, направленной от точки А к точке В.

Проведем через точку А прямую, параллельную оси X. Тогда азимут (простирание, угол положения) (АВ) вектора АВ, как известно, определяется углом между ним и основным направлением—осью X (или направлением ей параллельного), считаемым от основного направления вправо (по ходу часовой стрелки), либо влево (против хода часовой стрелки). Обе системы азимутов изменяются от 0 до 2-; в дальнейшем примем правые азимуты. На чертеже азимут обозначен дугою со стрелкою на конце и с индексом (АВ).

Аналитически азимут (АВ) вектора АВ определяется через координаты начала и конца его формулою:

Уь — Уа

А

(АВ)

хь ~

Д хаъ

или словами: тангенс азимута (АВ) равен отношению приращения координаты у к приращению координаты х от точки А к точке В.

Заметим, что в этой формуле тангенс азимута (АВ) рассматривается, как отношение геометрического синуса к геометрическому косинусу. В соответствии с последним замечанием, как известно, составляется следующая таблица, которая легко запоминается.

Квадрант.

ig (АВ)

Гвт (АВ)*)

Гсоэ (АВ)

Табличным угол

Искомый угол (азимут) (АВ)

ъ,

а-.

180° — х,

180'-' -г у. •

+

*) г

геометрический.

Контролем правильности определения азимута (АВ) служит фор-мула: дхь I Ду ь

^ [45^ | (АВ)] ^-.

ДХаЬ— АУа

Переходим к второму принципу. Второй принцип основан на не--посредственном определении направления в пространстве.

Пусть имеем декартову систему координат в пространстве (см черт. 4).

Возьмем произвольную точку А (ха, уа, га) и к ней приложим направление. Далее проведем через точку А оси, параллельные осям заданной системы координат. Тогда направление определится координатами (ха, уа, ха) начала направления, затем положением вертикальной плоскости, в которой находится направление, относительно основной плоскости 20Х и определяемого азиму- , ^ том а; наконец, положение направления в верти- .У те/г-тА. кальной плоскости, отвечающей азимуту а, определится углом I—зенитным расстоянием, считаемым от оси Ъ и изменяющимся от 0 до *)

§ 3.

Полный перечень литературы затронутого вопроса, как на русском, так и на иностранных языках, приведен в труде проф. П. Леон-товского: „Маркшейдерские задачи. Часть 5-ая. Элементы залегания пластов. (Горная геометрия)". Издание Екатеринославского высшего горного училища. 1905 год.

Аналитическое решение разбираемого вопроса в работе П. Леон-товского являлось последним по времени в печати.

Касаясь литературы вопроса, должен заметить, что в ней решения его в общем виде не дано. Предлагаемые два аналитических принципа, как увидим далее, решают задачу вполне в самом общем виде.

Необходимость дать задаче определения элементов залегания пласта именно аналитическое решение обусловливается теми случаями практики, в которых, при спокойном залегании пласта, для определения положения его, задают три скважины в значительном расстоянии друг от друга; решение задачи в этом случае графически, в масштабе плана, может повлечь за собою практически значительные неточности.

Далее аналитическое решение задачи самым тесным образом связано с решением другой, не менее важною, задачею определения такой поверхности, для точек которой сумма квадратов их расстояний от поверхности пласта есть минимум.

Решение этой задачи, в том виде, как она указана сейчас, не дано. Даны лишь только попытки к решению этой задачи, которую назвали „определением общего простирания и падения пласта". Замечу кстати, что и подход к решению этой задачи неверен по существу (смотри статью проф. С. Ю. Доборжинского „Общее падение и простирание пласта"). Решение последней задачи—задачи „определения общего простирания и падения пласта" я, вследствие незаконченной обработки ее, приводить не буду.

Зенитное расстояние * и угол падения Ь направления, как известно, связаны соотношением: ,

: - и 1 -

2

§ 4.

Переходя теперь к различным случаям разведки (шурфование* бурение и т. д.) заметим, что все случаи, как будет показано ниже, при решении вопроса определения положения прямых падения и простирания, сводятся к единственному: случаю шурфования.

Рассмотрим тот случай, когда поверхность шурфа призматическая.

Как известно, в этом случае определяют азимуты (простирания) и углы падения либо следов плоскостей пласта, либо линий наслоения того же пласта на вертикальных стенках шурфа, полагая следы и наслоения как направления и беря их исходящими из одной точки прямой пересечения вертикальных стенок шурфа.

Пусть одна из вертикальных стенок шурфа, —другая, смежная V,. —вертикальная прямая сечения плоскостей V! и \г-> (черт. 5).

1 и 2 следы плоскости Р пласта, исходящие из точки А ребра

Пусть точка А и следы, как направления, отнесены к декартовой системе координат. Проведем через точку А (ха, уа, га) прямую падения АР.

Направление прямой падения, в силу указанного нами основания решения, определим, если найдем еще другую, вообще говоря, произвольную точку, лежащую на прямой падения.

Из многочисленных, найденных мною, аналитических способов решения поставленной задачи, я приведу, за недостатком места, лишь некоторые.

§ 5.

Решения методами аналитической геометрии.

!. Составление уравнения плоскости пласта.

Примем точку А пересечения следов, определяемых как направления, за начало координат трех взаимноперпендикулярных плоскостей: горизонтальной Н и двух вертикальных, из которых одна—2АХ—совпадает с плоскостью меридиана (черт. 6).

Положение каждого из направлений в принятой при наблюдении системе координат— сферической — определяется, как известно, его азимутом а и зенитным расстоянием С. Обозначим азимуты и зенитные расстояния направлений — первого и второго— соответственно через аь ^ и а,,

Остановимся на одном из методов составления уравнения плоскости пласта. Опишем из начала координат А, как центра, сферу произвольного радиуса К. Далее, заменим направления, определяющие плоскость, тремя точками, из которых: одна— начало координат (0,0,0), а две другие—точки встречи направлений с поверхностью сферы; координаты последних двух точек, как известно,

(1>

определятся как проекции соответствующих векторов—(Rb аь Cj) и (R, а2, С2)—на оси координат.

Имеем:

хЬ2 — Rsin "i^cosaЬ2 уьа = Rsm:b2sin а1)2 zj,2 r cos

Уравнение плоскости, определяемой точками: (0, 0, 0), (хь уь Zi) И (х3, у2, z2),

будет —

1-0,

X У г 1

Xj У1 Zi 1

Xa У ~ 1

0 0 0 1

или:

i У1 2,

¡

! У2 I-I

х, z,

х> z-, !

у +

Xi У] х^Уг

О

(2)

Соответственно (1), каждое из хЬ2 уЬ2 и ги2 включает R; поэтому, после внесения их в уравнение (2), последнее можно сократить на R2, и мы получим:

sin ' J sin ai, eos ^

x —

sin í 2 sin a2, eos

sin üj eos аь eos "i

У +

sin eos a-., COS

sin ^ eos a¡, sin sin ai

sin ü2 eos a2, sin V¿ sin a2

0.

Преобразуем последнее уравнение, вынося в первых двух определителях, за знаки их, произведение cos 'U . cosí., а в третьем — произведение sin . sin С2.

Получим:

cos

cos

sin С, . sin L>

íg sin au 1

tg sin 1

tg cos a„ 1

У

tg !12 cos a2, 1

eos г1 sin aj eos a2 sin a2

i = 0.

Разделив последнее уравнение на произведение cos ^ . cos^ и далее, развернув определители, получим окончательно:

(tg sin aj — tg I2 sin a2) x —

— (tg ^ eos aj — tg eos a2) y -j-

+ tg M • tg -2 sin (a, — a,) z = 0,

—искомое уравнение плоскости, определяемой двумя следами, исходящими из одной точки.

В дальнейшем мы коэффициент при х обозначим через п:

tg ^ . sin а, — tg sin а2 — n;

коэффициент при у обозначим через (— ш):

— (tg ^ eos ai — tg cos а2) = — m;

свободный член обозначим через к:

tg tg Sin (a, — a,) = к.

Соответственно обозначениям, уравнение плоскости пласта представится в виде:

пх — шу -f- kz = 0.

2. Определение азимута прямой падения методом

вращения.

Уравнение плоскости:

пх — my -j- кг 0.

Положив в последнем z = О, найдем уравнение прямой простирания, лежащей в горизонтальной плоскости ХАУ:

пх — шу — 0. Уравнение проекции прямой падения:

шх -! - пу = 0. Угловой коэффициент проекции прямой падения:

in п

0)

Нашей задачей является определение такого угла — азимута ср —, который отвечал бы именно направлению проекции прямой падения (черт. 7).

Приступим к анализу формулы (1). У I. Пусть

Ъ <? > 0...........(2)

Формулу 1,1) можно представить двояко:

tg ? г-

1. Возьмем

m

и tg

m

Уе^шп Z Y 7

tg ?

m

n

последний можно рассматривать, как отношение геометрического синуса к геометрическому косинусу.

А* Пусть они таковы (черт* 7), что отвечают азимуту третьего квадранта; тогда:

sin 9 < 0 и cos <? < 0,..........(2^

а поэтому:

ш > 0 и п < 0..............(2,)

Повернем теперь систему координат около оси Z на угол <р, отвечающий азимуту прямой падения. Тогда координаты точек в системе XYZ выразятся через координаты тех же точек в новой системе X'Y'Z' формулами:

X ~ х' COS се — у' Sin ? I

у = х' sin Ф -f- Y COS I

Но в новой системе координат X'Y'Z' координаты у точек прямой падения удовлетворяют равенству: у' — 0; в силу чего, соотношения (3) примут вид:

х — х' cos <? )

..............(4)

у — х' sin 9 J

Определим координату г точек прямой падения. Из уравнения пло-

п х — m у 4- k z — 0

z = ^ — пх + ту

Внося сюда соотношения (4), получим:

х'

z =Т

скости

получим:

11 cos ср + m sin 9

(5)

Выразим теперь, входящие в формулы (4) и (5), тригонометрические функции через тангенс. Имеем вообще:

sin <9 = +

tg?

=+

m

cos

}/ 1+tga? 1

fc --

jf 1+tg2?

y m2 4-n2 n

}/ m2 + и*

В нашем случае, в силу (2Ь2), мы должны принять:

Til

sin

и COS —

Поэтому:

]/ m- n-n

У m

•> !

у m2 -}- n-in

]/ m2+n2

) m2 +

n-

Выразив координаты х, у, г точек прямой падения в функции координаты х' тех же точек, приступим к анализу формулы (63).

А]. Возьмем точки прямой падения, для которых Для этих

точек, в силу нашего предположения (см. черт. 7), х'>0. Поэтому из (6,0 следует, что к>0.

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и (х, у, 2-<0), найдется векториально по формуле:

ш

/ I

у —о \ ~г и~ — т

^'г - ----п = ----- ------

х — 0 п п

у т2 + п2

ибо х' > 0.

А2. Возьмем теперь точки прямой падения, для которых г > 0. Также легко убедимся, что х'<0и соответственно к>0.

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0,) и (х, у, 2>0), найдется векториально по формуле:

ш

Кп!

0 — у V т-

- ~----- ---

0 — х

]Лт12 п-

П1

ЬН"2 — т

п

, ибо (— х) > 0.

(-Х')

V 171- п2

А3. Возьмем далее на прямой падения две произвольных точки; для одной из них —А (х2 , у2 , 2р)-пусть гр > 0 и, соответственно, х'п< 0;. для другой—В(х , у2 , 2п)-пусть хп < 0 и, соответственно, х'р>0 (где р — роэНШ, п—

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками А и В, найдется векториально по формуле:

т т

- V + V

_ Угп — У2р У т'- + п2 У Ш2 + П* _

,_________хр Ап

V т2 -I- п2 V

т- -1-П'

- т (х ' — X,') — т

---= - ■—, ибо (х '—х ')>0.

п(хр'-х„') п Р

Как видим, во всех трех случаях получается одна и та же форму-

. — m

ла для определения азимута прямой падения: tg 9 =-, как и еле-

п

довало ожидать.

Заметим еще, что при этом должно быть выполнено, как показано выше, условие: к 0.

2. Перейдем теперь к следующему предположению, поставленному

вначале: tg <р = m . Соответственно чертежу, а следовательно усло-— п

ловию: sin ? < 0 и cos'f<0, мы должны положить:

ш<0 и п>0..........(7).

В этом случае, рассуждениями подобно предыдущему случаю, найдем, что:

m 11

sin ср = ----—---И COS ср ----——-

П2

Поэтому (4) и {5) примут вид:

П

X = — ------------------- X

У Ш2+П2

m

у =---------х

V ш2 + п2

(8>

V Ш2 —р п2

_ х ----------

— у щз + пз

Анализ формул аналогичен предыдущему случаю.

А]. Пусть г<0; тогда, согласно чертежу, х'>0 и, согласно (8), к < 0,

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и (х, у, ъ < 0), найдется векториально по формуле:

ш

х

tg

v

m24-n2

m

0

У т2 + п2

ибо х'>0.

Ао. Пусть г > 0; тогда, согласно чертежу, х' <С 0, и из (8) вытекает, что к < 0.

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и (х, у, г > 0), найдется векториально по формуле:

ш

ш

- X

-(-X')

0 — у У Ш2 + П2

0 — х п

1/~П12 -f п2

m

ибо ( —х')>0.

V

ш'

V

ГП'

А8. Возьмем на прямой падения две точки Р и (3; для Р пусть гр>0 и, соответственно, хп' -< 0; для О пусть гп-<0 и, соответственно, хр'>0 [где р—п—г^аШд.

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками Р и С}, найдем по формуле:

ш т

———V—-„з-^; У*п — Угр _ У тз + п* Кшз + пз _

' " п

—— ]/~m2 + n2 V m2 + n2

m(Xp, — Xn) __ Ш

ибо (X хп') > 0. n(V

n

Как видим, во всех трех случаях получается одна и та же форму-

m

ла для определения азимута прямой падения: tg'f ———, как и следовало ожидать.

Заметим еще, что при этом должно быть выполнено, как показано выше, условие: к < 0.

Таким образом приходим к заключению, что формула, tg 'f = ——,

ш ^ получилась, взяв к >- 0; а формула, tg ф =-----------, взяв к < 0, Оба случая

, ТГ1

отвечают одному и тому же тангенсу: tg'f =------——•

К такому же заключению придем, полагая азимут прямой падения отвечающим другим квадрантам. Ясно, что знак величины к определяет порядок обозначения направлений—следов. В самой деле: K = tglt tgv> sin (а2— aj).

Произведение tgíj . tgC> не изменяется при изменении порядка обозначений направлений—следов.

Пусть выбран порядок направлений и а2 так, что к > 0; выбор этот, очевидно, всегда возможен.

Изменим теперь порядок обозначений азимутов; тогда к < 0. Далее, при изменении порядка обозначений азимутов изменяют свои знаки и количества m и п.

В самом деле, это вытекает непосредственно из формул: m —tgíi cosaj—tg С2 cosa2 n — tg Ü! sin ax—tgv2 sin a-> взаимною перестановкою уменьшаемого и вычитаемого.

Естественно теперь обратиться нам к определению порядка обозначений направлений—следов.

3. Определение порядка обозначений направлений-

следов.

Случай, отвечающий к>0. K = tg4! . tgv¿ sin (а, —а^. Переходя к исследованию, заметим, что:

1) угол А, заключенный между стенками шурфа, всегда меньше т. (АО);

2) азимуты направлений—следов приняты положительными (считая их по ходу часовой стрелки), и

3) зенитные расстояния направлений—следов удовлетворяют неравенству: п

I I

Поэтому: и, как следствие, j а2—ai | <2 к.

Из написанного выше неравенства к>0 вытекает, что возможны

два случая. т „

J 1-ыи:

и одновременно sin(a2— aj)>0......(1)

Н-ой:

tgíi.tgC><0 и одновременно sin (а2— aj)<<0......(2)

Рассмотрим случай 1-ый. Он, в силу неравенства (1), распадается еще на следующие случаи:

A) tg ''i > о; ^ > о

tgr->0;-^>:2>0

B) tg:,<0; 2 <:,<-

tg:2<0;^- <;2<т:,

при которых sin (а2 — ai)>0.................(3¡)

Неравенство sin (а2— а3) > 0 влечет за собою возможные неравенства:

а2 —ai>0...... .(4) и а2-а,<0............(5)

Из неравенств (3]) и (4) вытекает, что угол (а2 — aj) удовлетворяет неравенству:

- > а, — а! > 0..............(6)

Из неравенств (3j) и (5) вытекает, что угол (а2 — а() удовлетворяет неравенству:

— 2 ít < aL> — а, < —-...........(7)

Из двух азимутов—а2иаа—наибольший обозначим через атах, наименьший — через amin. Ясно, что (am„ —anJ = чего, неравенства (6) и (7) дают соответственно:

тс> а2 — а! > 0

(3>

шах'

; в силу

2тг>

а2 —aj или:

->атах-атш>0.............(8)

2«>ат„-ат1п>«.............(9)

Сравнивая (8) и (6), получим: атах = а2. Сравнивая (9) и (7), получим: а^^а^

или словами: если направления—следы таковы, что их зенитные рас-

абсолютная величина

стояния одинаковы, а азимуты удовлетворяют неравенству (8) или (9), ю аШах должен быть необходимо обозначен соответственно через а, или a¡.

Рассмотрим случай И, при котором tg ^ tgv><;0, и одновременно sin (аи — а!><0.......................(10)

Случай этот распадается еще на два случая:

C) tg:1>0;-y>:1>0

tg<0; т~ < о

D) tg :1<0;^-< C1 О

tg '2 > 0; -- > Cj > О,

при которых sin (a-, — а!)<0.............- .... (И,)

Неравенство sin(a2 — ai)<0 влечет за собою возможные неравенства:

(10)

а,>0

(12) и а2 —at<0

(13)

Из неравенств (11]) и (12) вытекает, что угол (а2 — а]) удовлетворяет неравенству:

2->а2— а!>-..............(14)

Из неравенств же (1и (13) вытекает, что угол(а2 — а^ удовлетворяет неравенству:

— тг<а2—а,<0.............(15)

Из двух азимутов а2 и а! наибольший обозначим через атах, наименьший — через ат!п.

— а .

шах тт

Ясно, что ai и (15) дают соответственно:

; в силу чего, неравенства (14)

2т:>

> -

О,

или:

2 т,

о _ д \ О

max mili

(16) (17)

Сравнивая (16) и (14), получим: атах^а2. Сравнивая (17) и (15), получим: атах:^а1т

или словами: если направления—следы таковы, что их зенитные расстояния неодинаковы, а азимуты удовлетворяют неравенствам (16) или (17), то ашах должен быть необходимо обозначен соответственно (через

а2 и а^

4. Геометрическая интерпретация условий (6) и (7) первого случая, при котором ^ и % одинаковы и условий (14) и (15) второго случая, при котором и ^ неодинаковы.

Случай 1-й (", и одинаковы).

Условия: а2—а!^>0 случаям, при которых точка на) лежит соответственно вне и внутри угла, отвечающего шурфу (см. чертежи 8 и 9).

Оба чертежа согласно указывают, что положение направления 2 получается из 1-го, вращая этот последний внутри угла, отвечающего шурфу, вправо.

и —2-<а2—at <— г соответствуют тем N основного направления NS (меридиа-

Случай Н-й (^ и ч2 неодинаковы).

Условия: ——aj<0 и > а2—а, >■ тг соответствуют тем случаям, при которых точка N основного направления N5 (меридиана) лежит соответственно вне и внутри угла, отвечающего шурфу (черт.

10 и 11).

Оба чертежа согласно указывают, что положение направления 2 получается из 1-го, вращая этот последний вне угла, отвечающего шурфу, вправо.

Уер)п ¡0

Заключение анализа. Если в записной книжке (журнале) сделан чертеж (горизонтальная проекция) направлений — следов с отметками, определяющими их положение в пространстве, то для обозначения порядка направлений — следов достаточно в случае одинаковых ^ и С2 внутри угла, отвечающего шурфу, а в случае неодинаковых Ci и вне угла, отвечающего шурфу, провести дуговую стрелку вправо; прилегающее к началу стрелки направление должно быть обозначено цифрою 1. Последнее предложение можно заменить таким: старшее направление, отвечающее проведенной дуговой стрелке, необходимо должно быть обозначено цифрою 2.

Определение порядка обозначений направлений—следов, при котором выполняется условие к<0, предоставляется рассмотреть читателю.

В дальнейшем, если не будет оговорки, мы примем, ради простоты, к>0.

Итак, мы выбрали (при к>0) порядок обозначения направлений—следов; остается теперь обратиться к вычислению азимута ф по формуле:

— ш tg cos а2 — tg cos а!

tg? =

tg sin 3-i — tg sin a2

приняв во внимание, что числитель дроби есть геометрический синус, а знаменатель—геометрический косинус и, в соответствии с этим за-

мечанием, пользуясь той таблицей, которая приведена вначале при изложении первого принципа решения задачи.

Мы считаем известным способ определения по таблицам логарифмов наименьшего угла <pmin по приведенной формуле; лалее, чтобы избегнуть пользование логарифмами Гаусса, дадим формулы, удобные для обыкновенного логарифмирования.

§ 6.

Вывод логарифмических формул определения азимута « прямой

падения.

I.

Имеем:

tg:, cos а2 —tg;i cosa, tg? — . „ • , „ . -........U)

tg M sin ax — tg sin a2

а) Пусть:

tg^cos a2 > 0.

Разделим числителя и знаменателя формулы (I) на произведение:

tg ^ cos а2.

Тогда:

^ ^ tgM . cos а!

..........о

tg ,J sin aj tg :2 cos a, -tg3s! Приравниваем tgu уменьшаемое знаменателя выражения (1)

tg^ sin a,

--------- — tgu,.............(\{)

tg . cosa2 4 7

откуда

tgM eos a2

= ......~ tgu

tg л sin ai

и, следовательно, вычитаемое числителя выражения (1) принимает вид:

tg м cos aj

tg С» cos ,2=*g»-ctga, • .........(12)

Поэтому выражение (1) принимает вид:

1 — tgu ctga,

tg 'f = --r——.............

tg u — tg a2

Преобразовываем числителя и знаменателя выражения (2). Числитель:

1

1 — tgu ctgaj = (tga, — tgu) =

sin aj cos u — cos aj sin u 1 cos a j cos и tga]

3 sin (aj—- u) sin (a! — u) ч

= г-• ------------------- = ----------------------Us)

tgaj cos a! cos u sin a¡ cos u

sin u cos a2 — cos u sin a2

tg u — íg a2 — -

cos u . eos a2 sin (u — a2)

cos u . eos a2

И окончательно имеем:

sin (а! — u)

• (и)

sin a! cos u /оч

íg ? = .............(3)

sin (u — a2)

cos a2 cos u

Так как --p мы определяем векториально, и cosu входит и в числитель и в знаменатель выражения tg<p, то естественно поставить два предположения.

1) cos и > 0.

Тогда:

sin (а!—и)

sin а, /т

tgcp = - -.......................(И)

sin (и—а2)

Тогда:

Преобразовывая (3), получим:

tg<P = -

cos а2 2) cos u < 0. (— cos u ) > 0.

sin (ai — u) sin at (— cos u)

sin (u — a2)

и, окончательно:

— cos a2 (— cos u)

sin (aj — u)

sin ai /11T

tg? =.............("I)

sin (u — a2) cos a2

b) Пусть теперь tg C2 cos a2 < 0.

Делим числителя и знаменателя (I) на:

(— tg С2 . cos а2) > 0.

A priori видим, что в этом случае преобразование будет совершенно аналогично предыдущему преобразованию, и формулы получатся из предыдущих, изменив лишь знаки числителя и знаменателя на обратные.

Поэтому, если:

1) cos и >> 0, то sin (и — а^

tgT = ——...........(iv)

sin (a2— и) cos аУ

2) cos u < 0, то sin (u — at)

u>, • si,,a' .........(V)

sin (a2 — u)

eos a2

В результате:

I. Если tg • cos a2 > 0, то

sin (aj — u)

+

или

tK,„,____81,1 a!_-.........(P)

sin (u — a>)

+ ---------:

— cos a2

Знак (-[-) числителя и знаменателя соответствует cos u > 0. Знак (—) числителя и знаменателя соответствует cos и < 0.

II. Если tg Ъ cos а2 < 0, то

sin (и — а.)

ч-----V—--

— sin a¡

tg? =----------------------------------------(Q)

sin (a2 — и)

— cos a2

Знак (-f-) числителя и знаменателя соответствует cos и > 0. Знак (—) числителя и знаменателя соответствует cosu<0. При вычислениях пользуемся сначала просто любою из формул:

cos а > sin (а, — u) (кл

tg © = —г-------— ----г-..........

sin aj sin (и — а2)

cos а> sin íu — а>)

tg ср = - .—-—--f-,.........ÍB)

sin aj sin (a2 — ц)

из которых и получим наименьшее по абсолютной величине значение То Угла

Азимут ср прямой падения получим векториально, пользуясь неравенствами и формулами, указанными под знаками I или II, соответственно.

II.

Яриведем последовательно к логарифмическому виду числитель и знаменатель выражения (I).

А. Числитель:

tg í2 . cosa2 — tgм . cosa, =

— — - ( sin j;9 ф cos e cos ; „ sin r cos a cos r \ —

COS^COS^ \ II-;

- 1 „ • S,............(2)

COS si . COS V2

где:

S — sin £2 . cos a2 cos Ci — sin ^ . cos al cos

Приравнивая:

COS32 . cosCj = М2 — sin Ci cos a! = N2 находим, что второй множитель S выражения (2) примет вид:

S = М2 sin ;2 + N2cosí......•......(4)

Как известно, последнее выражение легко привести к логарифмическому виду, введя вспомогательный угол s2, определяемый равенством:

М2

14/ ' ' •

Тогда формула (4) примет вид:

COS(*2 — е2) COS г.,

S = N,

(5)

.....(6)

Таким образом формула (4) заменена системою формул (5) и (6). Формула (4) может быть еще заменена другою системою формул:

tg

S = M,

N.

М2

Sin (Ci + е-')

COS е

(7)

Замечание. Из формулы (2) видим также, что множитель S может быть представлен под видом:

S ~ М] sin Ci Ni cos íb...........(4,)

где

Mj = — cos a t cosí2 |

. „ i 9..........(3j)

N, = sin;2cosa2 I

и соответственно в формулах (5), (6) и (7) индекс 2 заменяется индексом 1.

В. Знаменатель:

tgii . sin at — tg v¿ sin a2

sin íj sin a! eos í2 — sin í2 sin a2cos íi

eos ^ eos

cosCi . cosC2

(8)

где

T — sin Ci sin ai eos í2 — sin í2 sin a2 eos Аналогично предыдущему найдем, что

T = KlsinC1-f-L1cos;1J.....

где

К! = sin ai cos 42

L,

sin . sin a:

.(9) (10)

Формула (9) заменяется системами формул:

К, \

T = L,

tg

К,

L,

cos (Ci — s,)

COS Sj

K,

sin (C, + El)

cos £

Ob)

Также T может быть представлен под видом:

Т = K2sini2 + L2cosí2,

где

К2 = — sin а2 eos íj

L¿ — sin Ci sin аь

и соответственно в формулах (11],2) индекс 1 заменяется индексом (2).

Таким образом в результате tgcp представится под видом:

1

_________________ S

COS Í! . cos С2 "

tg ф = -------—---—........О2)

. Т

cos Ci . cos ~2

Теперь, как нам известно, надлежит рассмотреть два случая:

1) Ci и С2 одинаковы,

то есть:

> с, ,2 > О

< С„2 <

Тогда произведение:

cos Ci . cos > О, и формула (12) примет вид:

S

tg'f = -Т- '

(13)

то есть:

2) ^ и С2 неодинаковы,

> ч > 0 ! < С, < ic

< Í2 < «

> > о.

Тогда произведение: а произведение:

COS Ci . COS 42 <С О,

cos С i . cos С2 > О

-Формулу (12) представим под видом:

___ ъ

— (—cosacos С2)

tg ? = ----

_1__Т

— (—COSÍ! . cosí2)

и, окончательно, в силу (14), получим:

tg^-Ey................О5)

III.

Предыдущий способ приведения формулы (I) к логарифмическому виду произведен, как мы видели, введением двух вспомогательных углов: соответственно одного в выражение числителя, другого—в выражение знаменателя.

Приведение формулы (I) к логарифмическому виду может быть произведено также введением четырех вспомогательных углов: соответственно двух в выражение числителя и двух остальных — в выражение знаменателя.

IV.

(2)

Приведение к логарифмическому виду числителя формулы (I).

Вначале мы ведем выкладки тождественно выкладкам раздела И включительно до формулы (4):

S -- М1)2 sin íi,2 + Nll3 cosíb2........(1)

Положив в последней

Mi,2 = q,,2 sin Qu*

~ qb2 eos Qb2 I найдем:

S = qi,2 (sin QIf3 sin íb2 -f- eos Qb2 eos íb2) --

= qb2 eos (Q„2 — íb2).............(3)

Вспомогательные величины qb2 и Qb2 определяются из формул (2); именно имеем:

i

tgQi,2=n¡5— '

I

м1>2 Nb2

qi,2

cosQj,2

(J)

sinQb2

Если в формуле (1) положим:

МЬ2 = рЬ2 cos РЬ2

N„2 = Pb2 Sin Рь> то найдем, что та же величина S- определяется по формуле:

S = рьз sin (ClV> + Pi,2)...........(6)

(5)

Вспомогательные величины р]>2 и РЬ2 определяются из формул (5), дающих:

♦ D N"2

tg Pi,2 =

Р 1,2

М„2

N„2 мь;

sin Р,,2 COS Р,,2

(7У

Приведение к логарифмическому виду знаменателя аналогично предыдущему, именно соответствующие формулы получаются из (1), (2), (3), (4), (5), (6) и (7) заменою в них МЬ2, N1)2 и S соответственно на Кьа, Ьь2 и Т.

§ 7.

I. Другой вывод логарифмической формулы для определения азимута прямой падения.

Перейдем от системы XYZ к системе X' У' Z', вращая первую около оси Z на угол а = ~2 (а1~Ьаз)"

Тогда азимуты направлений—следов и прямой падения относительно оси X' будут соответственно:

Al = — a -f- Sú А2 = — а + а2 и Ф ~ — ос rf • Внося в последние формулы значение угла а, получим:

А, - 31- 32 ; А2 - и Ф - ? - lli^.

2 2 f 2

Соответственно новым азимутам направлений—следов, азимут прямой падения определится по известной нам формуле:

tg ф _ [ё '-2 cos А2 — tg С, cos А, _

tg ü, sin Ai — tg C2 sin A2

^ a2 — '¿i , ~ 3] — a2 Sj — a2

tgcos 2 - tgcos 2 eos L) (tg C, - tg )

i* , „ a2 — ai . a, — a*> „ ¡ . x

tg c, Sin -1 2 - — tg С, sin - 2 sin -i—j (tg C, + tg :2)

и, окончательно,

— a-; sin (lo — li)

eos —-- • -------—-----—

tg^-ü+iüU______1-__.......(t)

V 2 j sjn ai - a3 Jin (C2 + со

2 cos . cos

ибо

trr Г "Г +„ Г — sin -г- sin ^ _ sin -2 cos г-л + cos -:2 sin Cj sin (Í2 + h)

LS '-1 -----1--------—■-----=-----

COS Í2 cos cos C, . cos l2 cos ^ . COS Co.

Анализ формулы (t). Рассмотрим случаи:

1) 0<c])2<~- или*>с1(2>а

При этих условиях произведение cos Cj cos > 0, и формула (t) векториально принимает вид:

*g 'f

а->

cos

sin

- sin (r2 — :,)

sin & +

(I)

2)

i>;->°1

U

или

7Г > С, >

>^2

о.

При этих условиях произведение cos Чл . cos < 0. Умножив в формуле^ (t), определяющей ср, числителя и знаменателя выражения

на (—1) и сократив на произведение (—cosCi . cos C2>0)v

получим векториально:

cos

а-.

íg

ai + а2

sin

sin (:2 —:,)

sin (:2 +',)

(Н)

Так как по таблицам логарифмов берется угол <

то вна-

чале—во всех случаях—вычисления ведут просто по формуле:

\ , ai — ао sin (С2 — -i) = ctg — -

4 1 а1 "К

■К 'г------,

sin (í2 + *i)

(III)

Найдя угол < , определяют знаки числителя и знаменателя (1) [или соответственно (II) ] и вычисляют векториально значение угла ф = <р—откуда искомый угол <р = Ф (а! а2).

И. Определение зенитного расстояния прямой падения.

Так как направление прямой падения идет от точки с высшей отметкою к точке с нисшею отметкою, то ее зенитное расстояние "

должно удовлетворять неравенству: тг > £ >>

что непосредственно видно, взяв плоскость X' А Ъ*, совпадающую с вертикальною плоскостью падения пласта (см. черт. 12).

I. Возьмем произвольную точку N (х', г') прямой падения, лежащую во втором квадранте; соответственно ей, находим:

(1)

Z \l)

1/

/ í /

V / A

N/ г'

ер/т ¡2

Последнее отношение легко находится из уравнений: _ х' к

г' — + " п- при к ^ 0 соответственно.

_

Поэтому: tgí ~ --- соответственно при к ^ 0.

]Лпа п'

В силу условия: т > С, > --— величина tg С < 0, и зенитное рассто-

2

яние ' определяется единственным образом. Проще пользоваться в

дальнейшем формулою: tg С =------- ------, беря следовательно к>0.

V т2 п2

_х'

2. Взяв точку М (х', т!) в четвертом квадранте, находим tgC= -

—г'

В силу условия, что тг > С > — и, следовательно, tg С < 0, приведен-

2

ная формула упрощается и становится тождественной (1).

3. Полагая к > 0, возьмем две точки прямой падения N и М, для которых соответственно:

х'р > 0; г'п <0......(точка Ы).

и

х'п<°; 2'Р>°......(точка М).

Тогда зенитное расстояние определится по формуле: х'—х'п х' —х' к

г _ Р п __Р_"________ _

, _ -----

1 П 1 Р

Km' + n* , V

— -----------(х р......X п)

к

Полученная формула, tg-. =------———»является неудобною для

КшЗ + П2

непосредственного логарифмирования. Преобразуем сначала выражение шз -f- П2.

Имеем: m2-j-n2 = (tg^, cosa2—tg'Cj . cos ax)J

+ (tg ii . sin a, - tg r2 sin a2)2 = tg? + tg* :2 -2 tg ^ tg ;2 cos (a, - a2), -выражение аналогичное выражению: b2~f-c2 — 2 be cos A. Известно, что если мы имеем выражение:

х = V^b2 -j- с2 — 2 be cos А, то его легко привести к виду:

I b + c . А

X — —!— sin -

cos Ä 2

, где

А , b—с , А А = arc tg —— ctg ---b + c 2

В нашем случае можем положить:

ь='е;'|......в, ,.........

c = tgC2 j с = tgJ

Как в случае (2), так и в случае (3)

А — а! — а2 или А = а2 — а,.

Поэтому:

+ -21 О

Ь —С_ Sin (íj,2 — 42,i)

COS . COS

b-f-c sin (:ь,+ о которые и вносим в формулы, определяющие А и х. В результате:

I • л- i * ч ■ -4- (ai — а-Л

1 sin !;2 + ,0 sin -1

х

! cos . cos cos arctg

sin (:,,., -v>,0 ct +(at —a2)

Sin (íl,2+-2,0 к

X

tg:

Выражение:

х = j/"b2 са — 2 bc cos A легко также привести к виду:

х = (Ь + с)

V

1 —

4 be cos2 — А 2

(b + c)2

Так как в нашем случае х > 0, то последнее при одинаковых легко заменить системою:

00 b и с

х I (Ь -: - с) cos г

с = агс эш

2 cos А| ,)С

Ь + с

(2)

ИЛИ

х = ¡ (b —f— с) sin

£ = агс С05

- b + c Далее, положив в формуле (1)

2 cos — A J/ bc

4 bc cos2 — A 2

1 _ tga е =

2tg£ _ COS 2 е

tg2s COS2 е

формула (li) заменяется системами: (Ь + с)

V

2Jgs

Íg2s

£ = arc tg +

2 cos — A

_______2 1

b - с V

be

(4)

X

b + c /---

COS г V COs2a

e = arc tg \ +

1 A

2 cos — A

2

V

be

(5)

При неодинаковых Ь и с формулы (2), (3), (4), (5), очевидно, не применимы, а поэтому подкоренное выражение формулы (1,) необходимо преобразовать иначе. Именно, можем написать:

4 be cos2-— А 2

i ] | 4 be cos2—• А 9.

(b + c)2

где

tg2S

(b + c)2

1

= l+tg»s,

4 be cos2 — A 2 I

(b + c)* !

1 _ 2 tg e

Приняв во внимание, что

] -I- tg2 а =

cos2 е sin 2 е

формула (lj), при неодинаковых b и с, заменяется системою формул:

Ь + с

COSE

tg2 е =

Положив далее:

= I (Ь +с)

i

1

2tg

sin 2е

4bc cos2 -у A

(b + c):

• • (6), (7)

4bccos2-g-A

tgsi = i

(b

COS £,

4bccos2 A

(b + c);

и приняв во внимание, что соответственно

sin (45°-fe,)

l+tg<

cos 45° cos £i

Sin £•

1 + COS e2 = 2COS2 e2

1

tg — e2 2

формула (!]) заменяется соответственно системами:

(b + c)

У ±

г с

sin (45° + е^

cos 45° cos ej

1

в1 = arctg

4bccos21 A

/

(b + c)'

(b+c) I/ 2C0S--e2

sin

(b + c)

e2— arccos

tg

4bc cos2 — A

(b + c):

Наконец, полагая при, любых b и с,

1

4bc cos2 2" А

COS е

(b -j- с)2 1

tg

и приняв во внимание, что

1 — COS £] = 2sin2 =sineAtg ( sin (45° — г2)

1 -tge2:

cos 45° ccs '

(8)

(9), (10)

формула (lj) заменяется соответственно системами; (Ь+с)

']Д sin^

(b +с)

"J/^sin S¡

1

tgy-,

sj= arceos

4bccos3 A

(b + cy

(11), (12)

(b -}- c)

V*

г С

sin (45° — £3)

eos 45° eos

arctg

1

4bccos2 — A

2 __

(b + c)2

• (13)

Остается теперь в формулы [(2).....(13)] вставить значения

Ь, с и А.

Имеем:

и следовательно:

b = tg:1)2; c^tgíoА = =Ь(а1 —а2),

b + с

sin [гi + :2)

eos . eos ,2

4bccos2-^-A 4tg ", tg^cos2 1 (a¡—a2) 2 2

(b + c)2

+ У

eos2', . cos2'^

1

4sin 'j cosCj sin C2 eos eos2 — (aj — a3)

2

sin2 + y

sin sin 2 í2 eos2 — (a! — a2) 2

sin2 (:, -I- ;2)

Заметим еще, что подкоренное количество в формуле (1,) можно представить под видом: А — В,

гд^

4bc cos2 — А 2

В =-

(Ь + с)

sin 2Ci sin 2l-> cos2 * (a2 — a2)

sin2 (+ :2) При одинаковых b и с имеем:

А > 0; В > 0; А > В. При не©динаковых b и с имеем:

А > 0; В < 0; А >

В

и поэтому дальнейшие преобразования первого и второго случаев соответственно тождественны преобразованиям § 9 (I, aj); II, а)].

III.

Приведем еще другой вывод логарифмической формулы определения зенитного расстояния прямой падения. Имеем:

ig: ---- ---------- к-....................О)

|Лт12+П2

Полагаем в формуле (1):

— ш = ntgcp......•..........(2)

откуда —

, —ш

tg<P =--

п

Последнее выражение, как нам известно, определяет азимут <р прямой падения.

Вставив значение ш из (2) в выражение m2-f-n2, получим:

m2-f п2 = n2(l-ftg2cp) = —

cos2?

и, следовательно:

Km2 + п2 = + -Л- > 0 .........(2,)

COS<p

соответственно формуле (1); поэтому знаки должны быть взяты соответственно к>0.

Далее, определив из (2) п и вставив последнее в выражение т2-\~п2, получим:

m2 + n2 = щ2 (l - 1 1 m2

tg2'f / sin^cp

|/Ш2+п2 = + >0,........(22)

соответственно формуле (1); поэтому знаки (к >0) должны быть взяты соответственно.

tg:

Таким образом имеем:

к к к

Утз + пз + / n х , / т

Sino

Преобразуем теперь выражения пит. Имеем (см. § 5, I, 1):

1) n = tgí] sin а! — tg sin а2 —

= tgCl.cosa2( _tga

\ tg;2 cos а2

Обозначая:

tgCi . sin ai

tg; 2 . cos a2 [см. формулы (12), (l;í) § 6, I], получим —

m = tgv2 cosa2 (tguctga! — 1)

и, наконец,

sin (u — aj)

coso / \ sin?

и, окончательно:

tg - = _ tg:' *g:2 sin (^2 — ai)

+

eos?

tgli tgC2 sin (a2 — aQ......^

rn

= tgu.............(4)

tg C2 eos a2

{см. форм. (li),§ 6, I],получим—

n = tg eos a2 (tgu — tg a2)

и, наконец, соответственно формуле (14) § 6, имеем:

П = igbJ^bLzlli........... . . .(5)

cos u

2) m — tgíi cosa! — tgC2 eos a2 =

= 1g^cosaí(-^LCOsa1__1

v tg C2 • eos a2

обозначая:

tg С i . eos ai

= tguctga! ..........(6)

ш = tgC2 cos a2 ——I—........(7)

sin a! cos u

A.

При вычислениях: а) определяем последовательно и, т, п; затем Ь) соответственно (2j) и (22) испытываем знаки n, cosy, ш, sin?; и, наконец, с) определяем ^ с поверкою; или:

B.

Отбросив в формулах (3i) и (32) знаки ( + ) и вставив в последние значения п и ш, соответственно из (5) и (7), получим:

tg (180°_o CQÜ.......(1)

sin (u — a2)

;или

tg (180° g) = sin(a3 —ap sin y sina1 cos u до

eos a2 sin (u — aj)

Заметив, что

90° < С < 180»

и, следовательно,

tg (180^-:) > 0,

должно в результате логарифмирования правой части формул (I) и {II) отбросить знак n*) (negatiff).

Замечание. Величины п и m [в формулах (Зь 32)], как известно нам, представляются под видом разностей:

n — Aj — Bj m — А-2 — В2,

и эти последние легко привести к логарифмическому виду, аналогично тому, как указано ниже (см. § 9).

§ 8.

1. Второй метод определения зенитного расстояния прямой падения.

Перейдем от системы XYZ к системе X'y'Z', вращая первую около оси Z на угол у, отвечающий азимуту прямой падения. Тогда, как мы ранее нашли, для точек прямой падения будем иметь [(см. § 5, 2, форм. (4)].

х = х' cos ? у — х' sin о.

Уравнение плоскости пласта в новой системе координат представится в виде:

(n cosy — ni sin?) х' -f- kz' ~ 0,.......(1)

откуда —

х' _ к

z' n eos? — гп sin?

но, по доказанному ранее,

Т = «

л поэтому:

tg; =--...........(2)

n cos ср — m sin ср

*) в случае появления его.

ьо

Мы имели (см. § 5, 2):

ш

Sin 9 = -)-

cos'f = + ""

Km:

Внося (3) в (2), получим окончательное выражение для определения зенитного расстояния:

к

"8 = +

V,

Ш

2 _

Знак (—) соответствует предположению к > 0, знак (-(-) — предположению к < 0; это непосредственно следует из анализа определения азимута прямой падения.

2. Третий метод определения зенитного расстояния прямой падения.

В уравнение (1) предыдущего метода вставим значения шип. Получим:

[(tg ^ sin aj — tg C¿ sin аг) cos 9 —

— (tg Ci cos ai — tg cos a2) sin <p] x' r-\- kz' = 0. Или, преобразуя,

(tg Ci (sin ai cos 9 — cos нг sin cp) —

— tg 42 (sin a2 cos <p — cos a2 sin cp)] x' -f- kz' = 0 или, наконец,

[tg С, sin (aj — cp) — tg C2 sin (a2 — ?)] x' -f- kz' = 0.

Отсюда:

x' ______K __________

z' tg Ci sin (a, — i) — tg sill (a2 — <p)

>

или, заметив, что — — tg С, получим окончательное выражение в иной?

z'

форме, определяющее зенитное расстояние С

tg íi tg С2 sin (а2 — аО _

tg*C

tg ^ sin (а! — <р) — tg sin (aa — 9) sin (a2 — a,)

ctg sin (ai — cp) — ctg '(í sin (a2 — ф)

Каким видим, предварительно необходимо определить <р—азимут прямой падения.

Замечания'. 1. Так как tg ^ <С О, то числитель и знаменатель предыдущего выражения tg одинакового знака.

2. Последнюю формулу легко привести к виду удобному для логарифмирования. Однако проще найти непосредственно таковую.

3. Четвертый метод определения зенитного расстояния

прямой падения.

Мы раньше нашли, что каждое из двух направлений—следов определяется точками: (0, 0, 0) и, соответственно,

= R sin "i ,2 cos аи-> j

у]5, = R sin :1)2 sin abL, ,.............(1)

Z],2 - R eos ü,1 Поэтому уравнения направлений—следов будут соответственно:

_í________________У_____________= . z .........(2)

R sin :,Ь2 cos аЬ2 R sin sin alí2 R cos

или, разделив знаменатели отношений на Rcos'1)2, получим:

Х ... .... У___________ ,-:..Z.......(3)

tg ;ls, cos аЬ2 tg sin а,,2 1

Комбинируя первое и второе отношения с третьим выражения (3), получим:

х — tg ^ í2 cos ai)2 z — 0..... .... (4)

У — tg:b3 sin aljL, z = 0,..........(5)

т. е. каждое из двух направлений—следов определяем как пересечение двух плоскостей, (4) и (5) соответственно.

Перейдем теперь от системы XYZ к системе Х'У'Z', вращая первую около оси Z на угол ср, отвечающий азимуту прямой падения. Внося формулы преобразования в (4) и (5), получим:

х' eos о — у' sin ? — tg "Ь2 cos ai,2 z' 0.....(6)

х' sin ф -)- у' cos — tg sin а1)2 z' = 0.....(7)

Умножая (6) на cos ф, (7)—на sin ф и складывая, получим: х' — tg Cbj (cosa¡,2 соБф-)- sin а,,2 sin ф) z'— 0,

или —

х' - tg :ь-> cos (ф — аЬ2) г = 0;

откуда:

—г = tg ;lf2 cos (ф — аь2), z

и окончательно имеем:

tg : = tg Ci,2 cos (ф — a¡,2)..........(6)

две формулы, взаимно-контролирующие определение С

Ниже мы дадим еще ряд методов определения зенитного расстояния С.

§ 9.

Приступая к приведению в логарифмический вид формулы (см. 2 § 8)

ig (180° —=---ЧГ-. ЧГ - «п ^ __________• . (-1)

tg ' sin (a¡ — ф) — tg ü2 sin (a2 — ф)

заметим, что:

I ) 90 < ; < ! 80

и 2) no условию

tg Ci . tg~2 sin (а2 -— а]) > 0.

Поэтому знаменатель d выражения (1):

d — tg . sin — ф) — tg sin (a2 — 9) > 0.....(2)

Обозначив уменьшаемое и вычитаемое знаменателя (2) выражения (1) соответственно через А и В, видим, что вопрос сводится к приведению к логарифмическому виду выражения d:

d = А — В............(2Х)

при условии (2) —

А > В..............(3)

Рассмотрим возможные предположения относительно А и В выражения (2j) при условии (3).

I. В и А одинаковых знаков. При этом:

а3) В>0 и А>0,

или —

Ъх) В<0 и А<0.

При условии (3) предположения aj и Ь,) соответственно влекут за собою следствия:

А > В ; | А | < | В .

II. В и А разных знаков. При этом:

а2) В > 0 и А < О,

или —

Ъ,) В < 0 и А > 0. При условии (3) предположение а.) отпадает, предположение Ь2)

да-ет:

А > I В и А < В .

Приступим теперь последовательно к приведению выражения А — В в логарифмический вид. I. А и В одинакового знака. а0 Имеем:

А > 0; В > 0, при чем А > В. 1. Преобразовывая А — В, получаем:

d — А - В — А — ~.........(3,)

Полагая отношение ~ равным: g

- = sin 2 Sj == COS2 £9 = COS гч = COS 2 — tg2

A

где £j соответствующие вспомогательные углы, получим соответственно:

d = А — В — А (1 — sin2 sO — A cos2 з,. d = А — В = А (1 — cos2 г2) = A sin2 г2.

d - А - В — А (1 — cos £;}) — 2 A sin2 -~-г3 = A sin e5tgis.v d = А — В = А (I — cos 2 s4) = 2 A sin2 st = A sin 2 et tg

d = А — В = А (1 — tg2 е3) = А

2 tg £5 Л cos 2 е5

tg 2 £5 cos2

Таким образом формулу (3j) мы заменяем системою формул (4), (5), (6), (7), (8):

А — В = A cos2 в!

sj = arc sin ^ +

V

А — В — A sin2 s.

V

arc cos

\

v

А - В 2 A sin2--- гч = A sin £-¡ tg — 2 ' 2

arc cos

В = 2 A sin2 г4 = A sin 2 st tg

1 В

г, =. arc cos---------

2 A

A — В — A

2tge5 = tg 2 s5

arc tg [ +

д cos 2 £5

2. Преобразуем теперь разность A — В иначе. Имеем:

А —В

А

Полагая:

получим

В

2 А

= cos-

sin

■21

А — В = — А (2 cos2 sj — 1) = — A cos 2 s, А — В = — А (2 sin2 в, — 1) = A cos 2 £->. В результате имеем два преобразования: А — В = — A cos 2 £j

arc cos

A — В = A cos 2

г., = arc sin +

/

в

2 A

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

3. Преобразуем, наконец, разность А — В таким образом:

A_B = a(I--®-) = A[I+(--5-)]-

В А

В

Полагая отношение (— —) равным:

А

= COS £, = COS 2 £2 = tg £3,

получим

А — В = А (1 + cos е,) = 2 A cos2 1 -г, = A S'n Sj

2 31

А — В = А (1 cos 2 £,) = 2 A cos2 £г ^ д

sin 2 г.

tg s7

cos 45 cos г3

Итак, формула d = A — В заменена системою формул (11), (12), (13); А — В = 2 A cos2 -1 £] = А - S'n е'

2 4 1

' tg - г,

Ej -- arc cos

(-f)

(ii)

* T-V A .. A S i 'T 2 Co

A — В — 2 A cos2 e2 —. A--------

tg

( Л )

Sin (15' -f e3)

1

e.> —- - - arc COS 2

(12)

A — В = A

arc

cos 45 cos

(13)

Возьмем теперь второе предположение Ь]). Имеем:

А <0; В<0; причем А <

|

4. Преобразуя разность А — В, получаем:

л ' «о ;х)

в

в

А

В

и дальнейшее приведение разности в логарифмический вид аналогич но приведению, отвечающему случаю 1ц ); в результате получим:

А — В

В cos2 е,

= arc sin

В

А — В

В Sill'- г.

А — в

arc cos

И

- 2 В sin- — с3 2 '

В sin г3 tg

В

i i

2

arc cos

В

А — В = — 2В sin* г3 = — В sin 2s3 tge3 )

arccos

В

A — В

В

2tge4 tg 2г,

В

cos 2s4 cos2

arctg

+

A

В

5. Преобразуем разность A — В таким образом:

; а

А— В = В

П = В

В

Аналогично второму преобразованию случая а,), получим:

А — В = В cos 2s,

arccos -+-

У

2 I В

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

А — В — — В сое 2е,

- агсвт

А !

2 В

6. Наконец, представив разность А — В в виде:

А —В

В 1

В

А I

В

видим, что результат преобразования аналогичен третьему преобразованию случая 13а )

Мы получаем:

А - В = - 2В сов' 1«, = -В-^

2 * 1

-д. £1

£] = агс сое

В

А— В = — 2В соб2 в, = — В

:2 = -—- агссов 2

вШ 2«; ^ Е2

в

А — В = — В

еа = аг<^

V

ЫП (45°—{— е8) |

С08 45° соэ

1 I

I А

В1 ,

(21)

(22)

(23>

Таким образом разность (1 = А — В заменена системою формул <21), (22) и (23).

7. Приведем еще преобразования соответственно для случаев а) и Ь)

В

а) А — В = А 1

А 1 -

А С08-2е. — А—^

№

Таким образом имеем:

В = А

cos 2s

cos

2 в

2tgs tg 2s

£ — arctg Í +

/

b) A — В — — В (1

— В 1

A

Lb ]

COS 2:

\

= — B---——— = — В

COS- e tg 2s

Таким образом:

A — В

В

cos2s

COS2s

В В - tg2 s)

2tg г tg ^

2tg E

В

tg 2s

e = arctg +

г

\ A В

cos в] = cos 2e2,

(24), (25)

(26), (27)

II. а и В разных знаков, а) Имеем:

А > 0; В < 0, причем А > | В 8. Преобразуя, получаем:

А - В А (1 - В

I А

Полагая отношение -^-равным:

В А

где ви2 — вспомогательные углы, получим соответственно —

А—В — А (1—cos sj) = 2Asin2-—£j = Asinejtg— ej

2 2

A — В = A (1 — cos 2e2) = 2Asin2 г2 = Asin2e2tg s2.

Таким образом разность d — A — В заменена системою формул

(28), (29

1 1 А — В = 2Asin2—-Í1 = A sin e{tg—е, 2 2

arccos

А — В — 2А зт2 з, А эт 2г. з,

1 В

з., = — агссо8 —

2 А

9. Представив разность А — В иначе, получим:

/

/

А — В — А ^ 1 — ) = А ( 1 + Полагая отношение равным:

В

А

В

соя г, — сое Ъ-2 — з, = tg

получим соответственно —

В = А(1 4- соэ а,) = 2А соэ2

А — В = А (1 + сое 2з,) = 2А соэ- г, = А

б1п з1

I

, 1

Ь 2 2Я;

а в а 1 з3)

А - в — а (1 4-1^ е,

СОЭ2 £3

5Н1 2г.

в!!! (45" 4- г4)

соз45° созг4

Таким образом разность с1 = А — В заменена системою формул (30), (31), (32), (33).

А — В = 2А сов2 — г, = А 8Ш г1 2 + 1

2

В

агс соэ

В = 2А соз2 г.

А

А

I

В ;

(30)

агссоэ -

2 А

(31)

А-В

соэ2 г*

arcíg

V

(32)

sin (45« + =4)

cos 45° cos з4 i В

arctg

(33)

Ь) Имеем:

А > 0; В < 0, причем А < В 10. Представим разность А — В в виде:

А — В — — В

cos г, — COS 2е2,

Полагая отношение — равным:

В и

А

В

получим соответственно —

А — В = — В (1 — cos 3j) ^ _ 2В sin - —— г, =

2

= — В sin 3, tg^- Sj.

¿r

A — В = — В (1 — cos 2з,) — 2В si и2 з, =

— — В sin 2s, tg з,.

Таким образом разность d -- А — В заменена системами формул (34), (35):

А — В =

— 23 sin2 — з, -— 2

= — в sin tg -У-з, А

г, = arc cos —

В

В

2В sin2 з, = В sin 2з2 tg з2

А

34)

— arccos — 2 В

(35)

11. Представим теперь разность А — В в другом виде:

А — В

В 1

Í3 1 -J—

I В

Полагая отношение

А

равным:

В

COS г, = COS 2s2 = tg"2 = tg ги

получим соответственно —

А — В = — В (1 4- cos s,)

2 . 1

А — В = — В (1 + cos 2 г,) = — А — В — В (1 4-tg*es) = -B А — В = — В (1 4- tg е4) = — В

В

в

2 В COS2 г, =

2 tg =________

sin 2 £;, COS2 E:i

sin (45 +3 ,) cos 45 eos e4

sin 2 г.

Таким образом разность d — А — В заменяется системами формул (36), (37), (38), (39):

В

2 В COS2 — г, 2

В

sin s,

tgX; К 2

arc cos

В

(36)

А — В

2 В cos2 е, — В

sin 2 г2

1 А arc cos

2 I В !

• (37)-

В

В

cos-

В

2 tg s:i

arc tg

У

(38)

В

sin (45° 4_ £<) cos 45 cos г,

A I

» I '

12. Приведем деперь преобразования, одинаково приложимые к

= — В :4 = arctg-

неравенствам:

1) Имеем: А — В = А ( 1

А > I В и А < | В

В

А

) = а(1+ ! д1 -) = A(14-tg's,)

1 в

А

2 tgEj

cos2 Е] sin 2 е,

, " ^ . /, . * • л sin (45° 4~

А - В = А (1 4- tg г.,) = А-

cos 45 cos е2

Таким образом разность d =А — В заменяется системами фор мул (40), (41):

.. Л = а _2 tg COS2 ci

А — В

А -~-'ь sin 2 sj

е, = arc tg +

V

(40)

A _ в = A sin (45' -H,) cos 45° cos

arc tg

! в

A

(41)

2) Имеем:

A _ в = _ в (A)=- в (, + ;; ) - - в (1 + ,g.„)

В

2 tg£,

= — В COS2 3j sin 2 Sj

A-B = -B(l+tg e3) = -B

sin (45е 4- £l>) cos 45c cos e-¿

Таким образом разность d — А — В заменяется системами фор-мул (42), (43):

sin (45' -}-е2)

А — В - В e-¿ — arc tg

А -- В ^ —

cos 45° cos е2 А

! В

(42)

В

COS2 Е,

В

2 tg El sin 2 е,

Е, = arctg ( +

V

В

(43)

III. Приведение к логарифмическому виду разности А —В при любых А и В известно, и сводится к тому, что разность заменяется системою формул (44):

В = А

arctg

sin (45° — г) cos 45° cos г В

(44)

Перейдем теперь к другим методам определения направленна прямой падения—азимута

§ Ю.

Второй метод определения направления прямой падения(азимута

У./

Второй метод основан на определении координат произвольной точки прямой падения, исходя из уравнений плоскости пласта и вертикальной плоскости прямой падения. Уравнение плоскости пласта:

пх — ту кг — 0............(1)

Положив г — 0, найдем уравнение прямой простирания:

пх — ту — О................(2)

Уравнение горизонтальной проекции прямой падения, перпендикулярной (2), будет:

тх пу — 0................»3)

Уравнения:

тх -; - пу = 0 |...............(4)

г г |

определяют вертикальную плоскость прямой падения.

Система уравнений:

пх — ту + кх ~ 0............(5)

тх + пу=0 | _ _ ^

г г ) определяет прямую падения.

Координаты произвольной точки прямой падения найдем, решив систему двух однородных уравнений с тремя переменными, а именно:

пх — ту + кг = 0 ]

тх + пу 4-0.2 — 0 |

Решением системы (7) будет:

: - П1 к к п ; п, - т

х 1; у ^ ! 1; 7 -- I.

\ п 0 | От! т, п

или —

х -- — пк! у = тк!; ъ = (т2 + п2) 1 ,........(8)

где 1—произвольный параметр, изменяющийся от - до - - '-о . Переходим теперь к определению азимута прямой падения.

I. Возьмем точки прямой падения, для которых гп <С 0; тогда, в ■силу (8), 1 < 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и у*п, 2п), найдем векториально по формуле:

_ у _ тк! _ — тк (— 1) _ — тк

ё Г ~~ х — пк! "" пк (— 1) " пк ибо ( — о > 0.

Для величины „к" равновозможны два предположения: к>0 и к <;'(>. (доказательство смотри 2, § о).

I. Пусть к > 0.

т + ~~ 111

1огда: —------

п

2. Пусть к < 0.

- . — тк т (— к) т Тогда: ^ ---— =--ь-----. _ ?

пк — п (— к) — п

ибо (— к)>0.

II. Возьмем точки прямой падения, для которых гр > 0; тогда, в силу (8), { > 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и (хг , у2 , >> 0), найдем аналогично по формуле:

+ 171 ^ А

tg ф — -----, при условии к>0.

п

+ т ^ А

? —-' ПРИ условии к < 0.

— п

III. Возьмем две точки прямой падения, для которых соответственно гр > 0 и 0. Найдем, что азимут прямой падения определится из формулы:

_ — шк*р _ _ тк (*Р- У ^ - Шк

* ■ = ~ ~ """ "Кгг пк!р - пк (1р 'у ■ "" ""¡¡к- '

ибо —1П)>0, где индексы р и п отвечают положительным и отрицательным значениям 1 соответственно.

Далее решение аналогично предположениям I и II. Во всех случаях получается соответственно один и тот же вид формулы, определяющей р.

Анализ формул, определяющих у, смотри метод вращения. Замечание. Уравнения (7) легко привести к виду:

Х У 7 ,.........(9)

— пк тк т2 п2

представляющее уравнение прямой падения.

Из последнего легко определяются координаты произвольной точки прямой падения.

Воспользуемся последним уравнением для вывода уравнения плоскости, перпендикулярной плоскости пласта и проходящей через прямую простирания ее, отвечающую плоскости г — 0.

Последняя (которую назовем нормальною плоскостью) есть плоскость, проходящая через точку (0, 0, 0) и перпендикулярная прямой (9;. Имеем:

— пкх шку -{- (ш- п2) г 0,

или:

пх — ту— * (т2 п2) г~0 к

— уравнение нормальной плоскости.

Третий метод.

Мы нашли, что уравнение плоскости, нормальной данной — у пх — тукг ^О, и отвечающей прямой простирания последней в плоскости г — 0, есть:

I

пх — ту — —(т2 4- п2) .........(1)

к

Опишем из начала координат, как центра, сферу произвольною радиуса К.

Уравнение ее:

х2 + у2-И3 — =

Уравнение плоскости, касательной к сфере в произвольной ее точке (х0, у0, г{)); будет:

х0х + у0у + 202-^ = 0.........(2)

Поставим условие, чтобы плоскость (2) была бы параллельна плоскости .(1). Из этого условия, как легко видеть, мы и определим координаты (х0, у0, г0) искомой точки прямой падения. Условие параллельности плоскостей (1) и (2):

— — (т2 + п2)

П = -т, —к..........(3)

хо Уо 2о

С другой стороны [так как точка (х0, у0, х(}) лежит на сфере] имеем:

Хо2 + Уо2 + 2»2-^ = 0...........(4)

Решение системы уравнений (3) и (4) даст искомую точку. Из (3) имеем:

П1

Уо =---х0.

— _ +

20 - . х0.

кп

Внося полученные значения у0 и х() в уравнение (4), получим:

т

-*о24-

(т2 + п2)2 _ ч

х2 - К2 = О,

или: откуда:

п- к2 п2

(ш2 4- п2) (ш2 + п2 4- к2) х02 — И2 к2 п2 = О,

Икп

Уо — +

V (ш2 + п2) (ш3 + п24-к2) ____Икш_____

V (ш2 4" п2) (т2 4- п2 4- к2)

2о = + К

\

т2 4- п2 4- к2

(5)

Как выше указано, для величины „к" равновозможны два предположения к ^ 0.

Полагая к>0 и обозначив общий множитель выражений (51>а) через с, получим:

с =---------------------— > о

V (ш2 + П-0 (ш2 + П" + к2)

Хо Уо

СП.

ст.

Замечание. Координаты у0 и z0 легко определить в функции я как точку встречи прямой падения (9) [см. III, § 10] со сферою.

Переходим к определению азимута прямой падения.

1. Пусть z0<0; соответственно необходимо взять (х0)р и (у0)п, согласно (5У) [где р и п указатели, отвечающие соответственно знакам плюс (-}-) и минус (—)].

Азимут прямой падения определяемой точками (0, 0, 0) и

(х,„ у0, < 0),

находим векториально по формуле:

(уД, —cm — m

tg ъ — —— — -......— ----,

(х0)р СП и

ибо с >> 0.

2. Пусть z0 > 0; тогда берем (х0)п и (у0) , согласно Для точек прямой падения, отвечающих (0, 0, 0) и (х0, уо, z0 > 0), получим:

—(Уо)р —cm —ni

tg® = ■ = -—-— = , —(xft)n СП n

ибо с > 0.

Четвертый метод,

Возьмем коническую поверхность, центр которой — начало координат; направляющей пусть будет окружность, определяемая уравнениями:

X2+y2_R2 = 0. ] (1)

2 = С . j

Тогда уравнение конической поверхности будет:

ХН.:у2.. _ zji __ q.............(2)

R2 С2

Уравнение плоскости, касательной к конической поверхности в произвольной точки ее (х0, у0, z0\ есть:

XqX + УОУ ZOZ

R2 С2

Пусть данная плоскость пласта,

пх — ту Kz -- 0).............(4)

касательна к конической поверхности (2); легко видеть, что образующая касания есть прямая падения данной плоскости (4).

Далее, пусть образующая касания плоскости (3) совпадает с образующей касания плоскости (4).

Тогда плоскость (3) сливается с плоскостью (4), а поэтому:

^x+y<Ly_^z = 4nx-my+Kz)........(5)

Из последнего тождества (5) мы и определим координаты произвольной точки прямой падения.

Х0 = А I?2 П .

у0 = —* Я2 т . <............(б)

2п = —X С2 К .

Заметим в связи с дальнейшим, что для величины „к" равиовоз-можны два предположения к , / 0 (см. 2, § 5).

Переходим к определению азимута прямой падения, полагая к > 0.

1. Возьмем точки прямой падения, для которых <С0 Тогда, в силу (63), X > 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и

Ос, Уо) г{) < 0),

находим векториально по формуле:

{ ег — У± — _^ Ш — Г" g Г ~ Х0 X ^ П ~~ П '

ибо X >0.

2. Возьмем точки прямой падения, для которых г0 >> 0.

р

Тогда, в силу (63), X < 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0, 0, 0) и *(>, У01 > 0),

найдется векториально по формуле:

^ „^Уа = — (-*) = "™

—хо —X Я2 п " (—А) Я2 п п

ибо (—X) > 0.

3. Возьмем точки прямой падения, для кототорых соответственно

г0р > 0 и 70п < 0

Тогда:

(Уо)г-(Уо)2р _Хр т ;.п т

(х0) —(х„)_ Ар Я2 п — Ап 1*2 П

'ги ху>

_ — т (Хр хп) _ —т л (Хр — ап) Я2 п

ибо (Хр — Хп) > о.

Во всех случаях получается один и тот же вид формулы, векториально определяющей <р.

Пятый метод.

На оси Ъ возьмем произвольную точку Р (0, 0, гс). Из точки Р опустим перпендикуляр на данную плоскость:

пЗс — ту 4- кг = 0 . . . . ..........(1)

Точка встречи последнего с (1) определит, очевидно, искомую точку прямой падения.

Уравнение перпендикуляра, проходящего через точку Р, будет:

Х = = ?=?!............(2)

п —тп к

Определяем точку встречи (2) с (1). Из т2) имеем:

ш

у = — — X...............(3)

п

2 -- X ; 2С.............. (4)

п

и, внося последние в (1), получим:

х =----

ш2

Внося (5) в (3) и (4), получим:

пк2с -ч

х =----------------------------(5)

Ш2 п2 к2

_ ткгс

У ГП" + п2 + к2'

ш2 + п2

2 —--2с ,

т2 п2 4" к'2

Полагая к > 0, при 2с ^ 0 искомый азимут прямой падения век-ториально определяется по формуле:

, — ш ? =--•

п

Полагая же к <С О, при хс ^ 0 найдем:

, ш ? ---

— п

Дальнейший анализ тождествен с анализом при изложенном выше методе вращения.

Шестой метод.

Определение произвольной точки прямой падения как полюса Р плоскости, параллельной нормальной плоскости (отвечающей прямой простирания данной плоскости и лежащей в плоскости 2 = 0) относительно сферы с центром в начале координат.

Пусть точка Р (х0, у0, г0) — произвольная точка прямой падения. Примем ее за полюс некоторой плоскости (полярной) относительно сферы. Тогда легко видеть, что полярная плоскость будет параллельна нормальной.

Уравнение сферы:

*2 + У 2 + 2а—Я2 = 0............(1)

Уравнение полярной плоскости точки Р (х0, Уо,'А>)'

х0х+у0у + 20 2 — ^ = 0..........(2)

Уравнение нормальной плоскости:

пх — ту--— (т2 ^ п2) г = 0 ....... (3)

к

Уравнение плоскости, параллельной нормальной (3):

пх — ту--- (т- + п3) 2 + с = 0......

к

Так как (4) является плоскостью, полярною точке Р относительно сферы, то

х0 х + Уо У + г — И2 ^^ а пх - ту - 1 (т2 + п2) 1

к

откуда:

х0 = пл..............(5)

У о = — т/.............(6)

г0=— 1 (т2 + п2)/........(7)

к

И2^ — с/..............(8)

Рассмотрим, входящие в выражения (7) и (8), величины кис. Для величины „к" равновозможны два предположения: к 0 (смотри анализ „к").

Величина с — произвольная. Примем в дальнейшем к > 0.

I. Пусть с > 0.

Тогда из (8) следует, что X < 0; (7) дает х() > 0.

Искомый азимут прямой падения, определяемой точками (0,0,0) и

(Х0, Уо, 20 > 0),

находим векториально по формуле:

-у0 _ т>- _ — III (— X) _ —ш

— )

' —х0 —ПА п (— А) п

ибо (— X) > 0.

II. Пусть с < 0.

Найдем, что X > 0 и, соответственно, г0 < 0. Искомый азимут определяется по формуле:

, —т

=-■

п

В дальнейшем ряд других предположений и анализ приведут к результатам, указанным при методе вращения.

Седьмой метод.

Уравнение плоскости пласта:

пх — ту-|-к2 = 0..............(1)

Уравнение вертикальной плоскости падения:

шх +пу=0- | .......

г = г . /

Выразим координаты (х, у) точек пересечения (1) и (2) в функции координаты г тех же точек.

Определив из (2) у и внося его значение в (1), найдем:

(ш2 ii2) x = — i1kz,

откуда:

¡и соответственно из (2),

— hkz

1112 -г- П2

mKz

m2 4- n2

Полагая к > О, допустим, что z < 0. Тогда:

п1к2

tg'f —

m- ; и-

—i1kz

m2 + n2

n l—z)

111

ибо (—г) > 0.

Ряд других возможных предположений приведет к результатам, •полученным нами выше.

Восьмой метод.

Уравнение плоскости пласта:

пх — ту 4~ кг = 0......

Приведем уравнение (1) к нормальному виду Гессе: п , — т

(о

У +

± V т2 -f n2 -f к-' + V т2 -}- и2 + к2

Н--К z = 0 . .

+ ]/"т2 -j- и2 -f- к2

(2)

Переходя к дальнейшему, заметим, что в уравнении (2), как из-в стно, коэффициенты при переменных х, у и z выражают соответственно косинусы углов, образуемых нормалью АР плоскости (1) с осями координат. Поэтому:

cos (АР, АХ) = -—----------——

+ V т2 4 п2 4" к2

cos (АР, АУ)

cos (АР, AZ)

т

тЬ V т2 + п2 4- к2

± V т'- 4- п2 + к2

(3)

Проекции на плоскость г — 0 прямой падения и нормали АР, исходящих из начала координат А, совпадают; .в силу чего, азимут

прямой падения, как нам известно, определится, найдя еще координаты (х, у) какой-либо точки нормали.

Из двух направлений нормали возьмем сначала то, для точек которой z >> 0 (нормаль над плоскостью z — 0). В таком случае cos (АР, AZ) > 0 и, следовательно, в уравнении (2) коэффициент при г должен быть положительным.

При таком условии необходимо положить в последнем: или. 1) знак перед корнем плюс (~|~) и, соответственно, к > 0, или 2) знак перед корнем минус (—) и, соответственно, к < 0.

Положив первое предположение, возьмем произвольную точку Р на выбранном направлении нормали и найдем координаты ее (х у )— конца нормали = вектора.

Получим:

хр= АР cos (АР, АХ).

ур= АР cos (АР, АУ). Откуда, взяв точки А и Р, найдем:

6 ' хр cos (АР, АХ) '

(где ? — азимут прямой падения).

Приняв во внимание, что, по условию, знак перед корнем плюс (-f-) и, соответственно, к > 0, вставим в выражение (4) соответствующие значения (3).

Получим:

— ГП

+ V т* + п2 + к3 п

+ \Ст'2 п2 -f- к2 Аналогично, взяв второе предположение, найдем:

, m

tg? =---

—п

Возьмем теперь направление нормали, отвечающее

cos (АР', AZ) < 0.

Тогда, как легко видеть, или, 1) знак перед корнем минус (—) иг соответственно, к > 0 или 2) знак перед корнем плюс (--)-) и, соответственно, к<0.

Произведя соответствующие выкладки, придем к заключениям, указанным нами при рассмотрении метода вращения.

Девятый метод.

Так как проекции на плоскость z = 0 нормали к данной плоскости и прямой падения последней совпадают, то легко видеть, что азимут прямой падения совпадает с азимутом нормали, для точек которой z > 0 и противоположен азимуту нормали, для точек которой z <0.

Найдем сначала выражение азимута произвольного вектора, зная углы, составляемые им с осями координат (черт. 13);

Длина вектора пусть будет /, а углы, составляемые им с осями координат ОХ, ОУ и OZ, пусть будут соответственно у.у 3, у; азимут вектора по отношению оси Z обозначим через az.

Найдем проекции вектора / на координатные оси. Пусть величина их, соответственно, будет /х, /у и tz.

Имеем:

lx = I sin у cos — I cos х / = I sin у sin a7 = l cos ¡3. l7 - / cos 7.

Откуда:

COS a

cos 3 = sin y sin az; и, следовательно, векториально, при любом положении вектора:

sin у cos az,

И)

sin a.

cos a

cos 3 sin у

COS a sin г

- (2)

Угол у заключается в пределах:

- > т > о,

а поэтому sin у > 0......................(3)

В силу (3), выражение (2), определяющее азимут вектора /, примет вид:

1Ка,.-. C0S> ............(4)

COS a

Мы нашли ранее, что углы, составляемые нормалью к данной плоскости пласта с осями координат АХ, АУ и AZ, определяются соответственно по формулам:

п

eos у.J 2 —________________________

COS -ij 2

/ ni2.L П2

- m

cos

»1,2

+ У m2 -f n2 + K*

+ V m2 -f- n2 + к1

. (5)

Возьмем направление нормали, для точек которой z >> 0. Мы видели, что в этом случае азимут ее тождествен азимуту прямой падения. Полагая к > 0, в силу условия z > 0, мы должны взять: ft (т. к., по условию, cos у! > 0).

Искомый азимут прямой падения, в силу (4), определится по-формуле:

— гп

С08 р> ]Лп2 + п2 4- к2 _ т

° ^ СОЭ «1 ~ п "

Vví\¿ + п5 4- к2

Возьмем теперь направление нормали, для точек которой г 0. Легко сообразить, что в этом случае (при к > 0)

— ш

{ = - С05 ^ = V гп2 + п*_4-к' = _ П1 " ^ — сое а2 ~~ п ~ П

п2 + к2

Соответственно предположению к < 0, найдем:

, ш

? = —•

— п

Анализ величины „к" смотри метод вращения.

Десятый метод.

Пересечем данную плоскость пласта,

пх — ту -4 кг = 0,............(1)

плоскостью

г = Н,..................(2)

где Н < 0.

Далее, опустим из начала координат перпендикуляр на прямую, определяемую уравнениями (1) и (2). Легко видеть, что перпендикуляр—вектор—прямая падения. Обозначим величину вектора через Р. Азимут прямой падения тождествен азимуту ее горизонтальной проекции— вектора р.

Исключим переменную г из уравнений (1) и (2). Получим:

пх — ту 4~ кН ™ 0.............(3)

Приведя уравнение (3) к нормальному виду Гессе, непосредственно найдем искомый азимут. Имеем:

11 I — т I кН п

х4--—— у 4-- -----------------™ 0. . .(4)

УтЧ-п2 +|/~т* ' п2 ±У

т2

Как известно, знаки перед корнем должны быть выбраны так, чтобы было выполнено условие:

«Н

-~Р = - <0..........(5)

±У

т2 -{- п2

По условию Н < 0; следовательно, как видно, далее возможны два предположения: 1) к > 0, тогда знак перед корнем должен быть взят плюс (+) и 2) к<0, тогда знак перед корнем должен быть взят минус (—).

То и другое предположения, как мы видели, равновозможны. Соответственно выбору, при котором к > 0, получим значение искомого азимута оУ как азимута вектора р —проекции вектора Р. Именно:

— m

Sill 'f —----------)

V m2 + n2

п

COS ъ —---»

1/"щ2- j-n2

и, следовательно, векториально:

. — ш

tg ? =--

п

Аналогично, при к 0, получим:

— m

sin

n

CO? — -

V m2-f n2

V m2 n2

и, следовательно, векториально:

т

? = - ---------------

— и

Замечание. Анализ величины „к" смотри метод вращения.

§ и.

Определение зенитного расстояния

Определение зенитного расстояния I прямой падения, исходя из абсолютной величины свободного члена (5) уравнения (4), представляющей горизонтальную проекцию р вектора Р.

Повернем систему координат ХУ2 около оси Ъ на угол <р, следовательно, до совпадения новой оси X' с направлением проекции вектора Р (проекции прямой падения),

Обозначим координаты конца вектора Р через х' и г' (х' > 0, 0).

Тогда, соответственно (5), при к > 0, имеем:

х' — К2'

+1/ m2 -(-п2

или. так как отношение - —- tg С, то:

г

л. У ^

tg, =--

V Щ2 +

П2

tg:

V шЧп2

Замечание. Легко видеть, что такие же формулы для 9 и ч получим, положив Н>0.

Другой способ определения зенитного расстояния С

прямой падения (черт. 14).

1. Случай, при котором направление нормали отвечает неравенству: cos (АР, AZ) > 0.

Обозначив (АР, AZ) — О, непосредственно из чертежа находим:

77 COS О

^ —----и, следовательно, tg* —— ctgO =-------------—

2 sin О

V

cos О

1 — cos2 О

1 Ша-|-Па + К3

/ nr-j-n"

[взяв к>0 и знак перед корнем плюс (-)-)]•

Соответственно, при к<0 и знаке перед кор~ нем (—), найдем:

= .....

V та+па

2. Случай, при котором направление нормали отвечает неравенству: соз(АР', Аг)<0.

Обозначив (АР', А2) = 0', непосредственно из чертежа находим:

. 3

«/yernj't. Р

в':

и, следовательно.

tg : = ctg Ьт =

(при к > 0) и, при к<0,

cos О' Vi —cosa О'

, г К

tg с =--=-

V

ПГ - I- гг

V та + па

Анализ величины „к" смотри метод вращения.

Замечание. Угол падения Ь плоскости пласта определится по формуле:

и по знаку явится отрицательным, как и должно быть.

Решения методом дифференциального исчисления.

Метод относительных maxima и minima.

Первый метод.

Возьмем сферу произвольного радиуса R, центр которой совпадает с началом координат.

Уравнение ее:

ха + у3 -l-z3 — R'J = 0.........• . . (1)

Уравнение плоскости пласта:

пх — ту -{- кх = 0. .............(2)

Совместно (1) и (2) дают кривую—окружность. Как известно, точки окружности [(1), (2)], находящиеся в наибольшем и наименьшем удалении от горизонтальной плоскости z —0, принадлежат прямой падения. Вопрос сводится, следовательно, к определению maxima и minima координаты z окружности, определяемой из (2) выражением:

z = —(— пх ту)...........(3)

В последнем, в силу совместности (1) и (2), координаты х и у— координаты точек окружности.

Найдем условия, которым удовлетворяют совместно координаты х и у окружности [(1), (2)].

Исключая из уравнений (1) и (2) переменную г, найдем искомое условие:

ха + уЧ-

к"

(пх — my)J — Ra -- 0.

. (4)

Находим extremum z при условии (4). Составляем функцию:

1

W =

(— пх + my) -j- X

У3 4

11X

ту)1

где /. — неопределенный множитель или коэффициент.

Находим ----- ,---и приравниваем их нулю.

дх ду

д W д х

2 \

к*

(пх — ту)

0.

или

— пк -f- 2 л [ к2х -j- п (пх — ту)]=0

¿W

ду

2 к

т

г(пх — ту)

0,

или

0

(5)

(6)

тк -f- 2 X [ к2 у — in (пх — ту) ]

Система уравнений: (4), (5) и (6) определит те значения х и у, при которых функция z — extremum.

Перенося в уравнениях (5) и (6) члены, несодержащие л, в правые части и разделив полученные уравнения друг на друга, найдем:

п _к2 х —п (пх — ту) .

т к2 у — т (пх — ту)' или, преобразовав, получим окончательно:

Ш /74

У-=-------^..............(7>

п

Вносим теперь (7) в (4):

х3 + ха + —( та + 1г У ха — = 0; П2 к2 П"

или

[к2 (та +па) + (та гпа)2 ]х2 — капа1*а = 0;

откуда:

__,_______КП^_______

х1,2 —г——------—"„----;

V (та + па) (та + па+к2)

и, в силу (7),

ктИ

V (т2 —(- п3) (т2 + п2 + к2)

В силу (3):

1

гх 2 = —--(+ кп- И + кпг К)

к У (т2 + п2) (т2 + п2--|-к2)

= .......'•■<"»

Легко видеть непосредственно из (10), что верхний знак — минус — отвечает минимуму, а нижний — плюс — максимуму функции, определяющей г.

Полученные формулы (8), (9) и (10) тождественны с формулами, полученными нами в § 10 [третий метод, ф-лы (5)], как и следовала ожидать.

Второй метод.

На оси Z возьмем произвольную точку (0, 0, гс). Найдем теперь в данной плоскости пласта

пх — ту ш = 0..............(1)

точку в наименьшем, по абсолютной величине, расстоянии от точки (0, 0, гс). Искомая точка, очевидно,—точка прямой падения.

Вопрос сводится к определению значений х, у и г точки плоскости, при которых функция

Р (X, у, 2) = X2 + У2 + (ъ - 2с)2

—минимум, и удовлетворяется уравнение (1). Составляем функцию:

Ш = X2 у2 —(2 - 2с)2 + 1 (ПХ " ШУ + К2)>

где X — неопределенный множитель.

dW (W dW

Находим -- , -, -------- и приравниваем их нулю.

()х ду дг

Имеем:

<?W

= 2х —|— Хп = 0 .... .........(2>

дх

= 2у — \т = 0.............(3)

°W ■ 2(z z,) ¡-лк 0 .........(4)

<7z

Определяем искомые координаты (х, у, z).

Перенося в (3) и (2) члены, содержащие л, в правую часть уравнений и разделив их, получим:

m /с\

У =--х.................(5)

п

Соответственно, из (4) и (2), получим:

Z = -К X + Zc................(6)

п

Вносим (5) и (6) в (1) и определяем х:

ПК

х —--------zc............(7)

1112 -f- п2 к2

Внося (7) в i5) и (6), соответственно получим:

m к

у —---------------2С.

m2-f п2 + к2

т- 4- п2 z — ----- - - - - zc. m2 -f- n2 к2

Определив координаты (xf у, z) точки прямой падения, легко найти и азимут последней.

Полагая к > 0, при zc ¿¿е 0 найдем: векториально

, —m

tg ? =--

п

Полагая же к < 0, при zc ^ 0 получим: векториально

. in

tg <р = -----------

—n

Дальнейший анализ тождествен с анализом при изложенном выше методе вращения.

Метод каналообразных поверхностей.

Из начала координат, как центра, опишем сферу произвольного радиуса R.

Уравнение ее:

х2 + у2 + z2 — R2 = 0............(1

Уравнение плоскости пласта:

гцс — ту 4~ кг = 0..............(2)

Система уравнений:

пх — ту + кг -- 0 | 2 = 0 \

определяет прямую простирания плоскости (2), лежащую в плоскости г = 0.

Уравнение ее:

пх — ту 0,

или

У = *.................(3)

т

Обозначим через (я, ¡3, 0) координаты произвольной точки прямой простирания (3).

Тогда уравнение семейства шаров одного и того же радиуса Р, имеющих центры на прямой (3), выразится в форме:

(X - а)--' + (у - № 4- / ' К ' () ...........(4)

Так как а и 3 удовлетворяют уравнению (3), то

3 = *.................(5)

т

В силу (5), уравнение семейства шаров примет вид:

х - * )2 + У

п

а

т

+ г3 — ^ = 0..........(6)

Дифференцируя уравнение (6) по а, получим:

(х_9) + Л_/у_Ла\ = о........(7)

т \ т /

Уравнения (6) и (7) совместно определяют, так называемую, характеристику семейства шаров (4). Исключив далее из уравнений (6) и (7) параметр я, получим уравнение геометрического места характеристик — уравнение огибающей семейства шаров одного и того же радиуса И с центрами на прямой (3).

Легко видеть (ось огибающей — прямая, радиусы семейства шаров равны), что огибающая — цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны прямой (3).

Уравнение (7) дает:

ш- п- ШХ 4" пу

у. - •-у

т- т

откуда:

* - (тх + пу)...........(8)

ТП -I - 11 -

(тпх + пу)

т-

+

У -

т-

п2

(тх + пу)

+ 2 - = 0 . уравнение огибающей. Преобразуем (9). Обозначим:

тх + пу = Р | т - + п2 — д I Тогда (9) перейдет в формулу:

т

(9)

(10), (И)

Р '

или:

О / ' г о

+ — 1*2 = 0 ,............(А)

((Эх - тР)" + (дУ - пР)" + д- (г2 — = 0; или. преобразовав,

д- (х2 + у-' + г- — Я-) — 2Рд (тх + пу) = = — (т2 + п2) Р2. В силу (10) и (31), получим:

О (х2 + У ' + г2 — Я-) — Р" = 0

и, окончательно:

(т2 + п2) (х2 -(- у2 г2 - -

— (тх ПУ)~ — 0 ...........(12)

— уравнение искомой цилиндрической поверхности — огибающей семейства шаров радиуса К.

Искомая точка прямой падения определится, как пересечение трех поверхностей: сферы, цилиндрической поверхности и плоскости пласта, уравнения которых соответственно:

*2 + У- + 2- -^«2 = 0 1 ........(13)

(т2 + п*) (х2 + у2 + г2 - И2) -

— (тх + пу)2 = 0 ........(14)

пх — ту -(- кг = 0 ........(15)-

Вставив (13) в (14), получим:

тх 4- пу — 0, т

откуда

У =

(16)

Внося (16) в (15), получим:

ш-

пх

- х 4- кг = 0,

откуда

2 =

п

т- -}- п2 кп

(17)

Внося далее (16) и (1/) в (13), получим: п- к2п2

или

х- (т- + п2) (т2 + п2 + к2) = Я2 п2 к2

и, наконец,

х . + Кпк ..........(18)

V (т- + п'-') (т- + п'" + к'") Вставив (18) в (16) и (17), получим:

у = + ---------------К'"К------------------ .........(19)

\Г (т- -)- п2) (т- + п-'+к-)

т2 -[- п-

+ —.........(20)

т- + па + к-'

]

Полученные формулы тождественны формулам первого метода, как и следовало ожидать.

Замечание /. Уравнение (16), как легко видеть, есть уравнение плоскости падения, а поэтому искомая точка прямой падения определится решением системы уравнений:

х2 + у2 + г2 — ^ = 0 шх пу — 0 пх — ту кг = 0

Замечание 2. Уравнение (12) легко получить, описав около сферы

х'-' + у- + — и- = о

цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны прямой простирания

п

У = х, т

или

X у 7.

— = - = ^..............(О

т п 0

Линия прикосновения цилиндрической поверхности к поверхности вообще или направляющая, как известно, определяется системою уравнений:

Р (х, у, ъ) = 0..........(поверхность)

И

д¥ . дР . др ■

ш + п ^ + р = 0,

их ду ох где т, п, р — направления образующих.

В нашем случае—системою:

X* + у2 + _ й'.! = о ..........(2)

шх + пу = О |..............(3)

Уравнение образующих цилиндрической поверхности, параллельных (1), будет:

X —х __ У —у _ 2 — 2

т II О

(4)

где X, У, Ъ — текущие координаты системы образующих, а х, у, г — текущие координаты линии прикосновения.

Исключая из (2), (3) и (4) параметры х, у, г, получим искомое уравнение.

Именно, обозначив

X—х У—у Ъ—г .

= ------" = п =/.......(*)

гп п О

получим:

т(Х — х) _ -У)_ _ 2 — г

т- п- О

или

шХ -{- пУ — (шх и у)

X:

к

X.

т- п-

и, наконец, согласно (3),

тХ -К пУ

т- + п3 Обозначая

тХ + пУ = Р; т2 + п-' = <2,

получим: или, в силу (5),

—* _ У — У _ 2 — г _ _Р т ~~ п _ О ~ <э

Откуда:

V Р

х = X — ш -

Р

Р

у = У — п

0

г = Ъ

Внося (6) в (2), получим:

(х _„,£)•+( V-„!)'+2=-* = О

уравнение тождественное уравнению (А).

Дальнейшие преобразования—, как указано выше.

(6)

§ 13.

Решения методом интегрального исчисления.

I. Определение координат (хс, ус) точки п р я м о й п л д е-ния, как центра инерции плоских кривых.

Опишем в плоскости г = 0 из начала координат, как центра, окружность произвольного радиуса г. Уравнение ее в полярных координатах:

X = Г СОБср. У — Г БШф.

где г — радиус-вектор, аф — полярный угол. Система уравнений:

пх — шу кг = О г = О

определяет прямую простирания плоскости пласта

пх — ту кг — О, лежащую в плоскости г — 0. Уравнение ее:

пх ■— ту = 0.

Возьмем теперь последовательно каждую полуокружность, как результат разделения окружности прямой простирания. Тогда, как легко видеть, центр инерции каждой из полуокружностей есть горизонтальная проекция одной из точек прямой падения. Найдя горизонтальную проекцию искомой точки, легко затем найти и искомую точку прямой падения.

Координаты центра инерции дуги плоской кривой*), как известно, определяются формулами:

_ с „ С

] (Зб ] бе '

или, выражая х, у и бэ в полярных координатах, соответственно заданной кривой—окружности, получим:

(15 гс!ф; хс = г

СОБ^ &

<1<р эт^ СЬ

(1)

Мы нашли раньше (метод вращения аналит. геометр.), что азимуг А прямой падения определяется по формуле:

А А ™

хеА ^--.

*) при однородности ее.

Возьмем те же предположения, как и при решении методом вращения аналитической геометрии. Именно:

Г 4 Л —Ш

I. tgA =->

и полагая, что азимут прямой падения отвечает третьему квадранту; следовательно,

бшА <0 и собА < 0. Значения последних будут:

ш

8П1 А

С08 А

/

т2 4- п2

(2)

у^

п2

1. Возьмем полуокружность, которой отвечают изменения ф: нижний предел

-т

Ф,

\ п

верхнии предел

Ф = а

Т О)

агс,и Г )

Тогда легко видеть (см. черт. 7), что координаты г данной плоскости пласта должны удовлетворять неравенству: г < 0.

Находим значения интегралов, входящих в формулы (1), при заданных пределах изменения 9:

Ф

ш

ш

/

С08ф(1ср —

ЭШф

arctg

т

БШ (arctg V п

ш

соб [ aгctg

—т

—|—сов! arctg

ш

2СО8| arctg

т

или, в силу (2), окончательно:

Ф

т ш

п

С05^(1<р=2

Ф.

/

У т2 + п2

а>

ш

С08Ф

/ — Ш , тс \ . / —Ш тс \

= — соэ/ агс^—--н 2 ) +с08( аг^—-----

Окончательно:

2зт( ап^

т

со

У этерсЬ

ш

/

т- Ч- IV

ш

тс.

Внося полученные значения интегралов в формулы (1), полувдм:

хс = 2 —

|Ап2 + п2

Ус = — 2

ш

|Лп2 + П2

Найдем теперь выражение координаты г плоскости пласта, отвечающей точке (хс, ус) .

Из уравнения плоскости имеем:

г — —■( —пхс + шус) = к

п2

ш 2

П1

* ]/т2 + п2 Г |/т2 + п-

= — 2

Кт:

}

т1 -4- п-

(3)

Так как, согласно условию, г < 0, то из (3) следует, что к > 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0,0,0) и (хс1усг<0), найдется векториально по формуле:

2 -Г___т

у " Т/т-' + п2

■/с т —т

\ёА = ~ ----------------------—-------= -

2 —

71 У

п-

2. Возьмем полуокружность, которой отвечают изменения?: нижний предел

, —Ш , тс * п 2

верхний предел

, —т , 3 Ф(о = аг^—п- +

Тогда легко видеть (см. черт. 7), что координаты г данной пло скости пласта удовлетворяют неравенству: г > 0.

Произведя выкладки, аналогично 1, найдем, что:

о Г "

хс= —2---

'V

ш- + п2

У^+2—...... ........(4)

/т* + п- I

г =2— -|/ т- + п2

¿V

Так как, согласно условию, г>0, то из (43) следует, что к>0, и

—Ус —ш {§А=- =--

—хс п

II. Возьмем предположение:

т > 0,

-II

при условии, что этА <0 и соэА << 0. Тогда (см. метод вращения аналит. геометр.):

этА = 4--—- и соэА = — -—_Л__ .

/т* 4- п- V

т2 4- п2

В дальнейшем решение идет аналогично случаю I. В результате

мы получим: азимут прямой падения векториально определяется фор-

. ш _ л

мулою tgA ---—, при условии к < 0.

Таким образом мы придем к заключению, что, задавшись к > 0Г должно взять tgA — —, а задавшись к < 0, должно взять

ш

—п

В последующем результаты анализа будут те же, что и при методе вращения аналитической геометрии.

Рассмотрение других возможных случаев предоставляется читателю.

2. Определение координат (хс, ус) точки прямой падения, как центра инерции поверхностей.

Вообразим прямую коническую поверхность, центр которой — начало координат, ось ее—ось Ъ и отсеченную плоскостями

г = + Н.

Уравнение конической поверхности, как известно, будет:

у2 - ¿1 £ — 0,............(1)

где р — угол конусности.

Возьмем последовательно каждую четверть конической поверхности, ограниченною плоскостями:

г — О, г — пх — ту — О

и

г = ± Н.

Тогда, как легко видеть, горизонтальная проекция центра инерции каждой из четвертей конической поверхности есть в то же время горизонтальная проекция точки прямой падения. Найдя горизонтальную проекцию точки—ее координаты хс, ус—легко затем найти и искомую точку прямой падения—ее координаты хс, ус,

Координаты(хс, ус) центра инерции кривых поверхностей*), как известно, определяются по формулам:

и-

1 + Р2 + я2 <1х <*у

р2 + q- (1х йу

и

У |/ 1 + Р2 ~Г Я2 ¿х ¿у

//(/ 1 + Р2 + Я2 ¿х с!у

дг дг

где р= — и и определяются из уравнения поверхности.

дх ду

*) При однородности поверхностей.

Дифференцируя уравнение (1) по х, получим:

дг

х—г -

откуда

-5Г = о,

дг л . ч0 дх - • 7

Дифференцируя уравнение (1) по у, получим:

£ = У с**.

ду г

Поэтому:

У1 + р* + - |/

2> + (х2 + у»)

г*

У\ + ...... .............(2)

Выражая х и у в полярных координатах:

х —ГСОЭф, у — Г ЭШ?

получим, приняв во внимание (2),

Ч.

г- соэ фс1гс1 ф

Г с1г <1ф

г }..........(3)

Ус -—-------------—---

//гйгЛр

Возьмем те же предположения, как и в предыдущем решении задачи. Именно:

I. tg^ =

п

причем

51пА<0 и созА<0.

Значения последних:

. д ш

бшА ™--------------------

У ГП" + П-'

(4)

соэА -- -(-

1. Рассмотрим ту четверть конической поверхности, для точек которой г > 0, и пределы изменения <р суть: нижний предел

, —П1 я

ф = а тс\ё---—,

* п 2

верхний предел

, -Ш , 7Г

Ф =аг<^---}-- •

п 2

Пределы интегрирования г:

= 0; г^ = (где Н > 0).

Легко видеть, что при этом координата г плоскости пласта удовлетворяет условию: г < 0.

Находим значения интегралов, входящих в формулы (3), при заданных пределах изменения переменных.

—ш

^ Jг(1гс!ф = ^г(1г=-уттН^ р.

ф Г , —1Ш г: О я аг<^-----

П 2

•1Т1 ТГ

"V« аГС'« „ *

^ Jг- совср <1г с!ср ^соэср С1® ^^Г

ф Г , —т 71 о

а аг<^--------

п 2

—Ш 7Г

4- - 2

-1-НМ^р = 2соз / агс*£ —— ) —Н

3 \ п / 3

—Ш ти

агс18—----9-

п /

2 п

= -НЧ^З-----

3

/

ш-

у У Г2з1Пф(1гс1ср= в1пср <3ср у Г2с1г

© г А --т ТГ о

» а аг<*к _-------

п г

— — 2 - П1 1 Н3 3

т

3

/

ш 2 п <г

Поэтому окончательно:

2

ИЧ^

О

V

т2 4- п- 4

Хс= -- -------------_______-----

1 от:

2 е р/ + п

2 ш

------ ------

+ п2

= --1-Н*р---^

Зтт

+ П2

Из уравнения плоскости получим:

г = — (— пхс + шус) =--г^- т2 п2,

К З^К Г

По условию: г < 0, соответственно изменениям ср и Н > О; следовательно, к > 0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0,0,0) и (хс, ус, г<0), найдем векториально по формуле:

Ус — ш

—=---

Хс

В дальнейшем — при рассмотрении других возможных предположений—мы получим формулы, определяющие азимут прямой падения, и результаты анализа их, тождественные рассмотренным выше при других методах решения задачи. Последнее предоставляется вывести читателю.

3. Определение координат (хс, ус) точки прямой падения, как проекции центра инерции об'ема тел.

Опишем из начала координат, как центра, сферу произвольного радиуса Я.

Уравнение сферы:

х2 + уа + г2 — Я* = 0............(1)

Уравнение вертикальной плоскости, отвечающей прямой простирания—

пх — ту = 0

Возьмем последовательно каждую четверть об'ема сферы, ограниченной плоскостями г —0 и (2).

Тогда, как легко видеть, горизонтальная проекция центра инерции об'ема каждой четверти сферы есть горизонтальная проекция точки л прямой падения. Найдя горизонтальную проекцию искомой точки, нетрудно найти и искомую точку прямой падения.

Координаты центра инерции (хс, ус) об'ема однородного тела, как известно, определяются формулами:

J J J х dx dy dz / //dx dydz

fjf у dx dy dz

Iffd* d>'d*

или, выражая x и у в сферических координатах,

X Р sin 6 COS 'f у = р sin 6 sin Ф,

получим:

fffp3 sin2 6 cos <p dp d6d'f ff f p2 sin 6 dp dO dq>

ffjpz sin26sin ? dodOdcp

Ус — -— -

///p2 sin6 df> de

Возьмем предположения, отвечающие предположениям предыдущего решения.

(3)

I- tgA

-m

> О,

причем

sinA<0 и cosA<0.

Значения последних:

sinA = —

cosA =

m

у

У

ш2 -f п2 п

ш2 4- п2

1. Рассмотрим четверть об'ема сферы, для точек которой г>0, и пределы изменения ср суть:

нижний предел

Ф —ап^

-ш

верхний предел

п

-ш

*.= агс^ ~1г + 1"

(4)

Легко видеть, что при этом координата г плоскости пласта удовлетворяет условию: г < 0.

Пределы интегрирования будут — для ф : выражения (4),

для р : р = 0, р —Я, а т

для в : =0,

Находим значения интегралов:

р 9 ф

ш ш ТФ

о о о а а я

К

* х тс

2 агс* -1Г + 1Г вт о бе

=^[Моу эш о бе^с!?

о о

•ш тс

собВ

те тгИЗ,

3

О

как и следовало ожидать.

р V ср ш ш ш

О V ф 'а з а

и

ТС , —гп 7Г

2 аГС*8 и " 2

=у*р3 (1руэт2 6 ёдJ соъуйу

О о

аг^

-ш тт

—т атсХ^--^

= ! к-

4

4 1 2

БШФ

агс*8

•т т:

Ш V тгИ'

— к4-- 2соб ( агс^— 4 4 " п ' 8 у

т2 -[" п:

Р О ср

ш 00 О)

/1/'

О () ф

'а а 'а

38т2взтг.£(1рс16(1'

К

/ р3 с!р / вт- Ь 6Ь I

«У

—т тг агс18 - __ + 2

О О

— ш -агс18 _т

111

= — К4 — 4 4

СОБср

-4- п 71 16 2 2эт

— гп п тг Т"

тгК4 т

8 --------

агс^

ГП

{- п2

Внося полученные значения интегралов в выражения для хс и уС) получим окончательно:

3 п п

хс — — И--------------

8 ----

V та + па 3 _ гп

8

И

У т2 + п2

Координату х точки прямой падения определяем из уравнения плоскости:

1

(—пхс + тус)

31*

у ш2 п;

Так как, согласно условию, г<0, то из (5) вытекает, что к>0.

Азимут прямой падения, определяемой точками (0,0,0) и (хс, ус, г<0), находится векториально по формуле:

3

tgA

Ус х.

8

8

И

К

гп

V т2 + п2

V т2 + п2 при условии к > 0.

Возьмем предположение II, при котором

^А --

ш

>0, причем:

гп п

бшА <0 и собА < 0.

Значения последних:

бил А =

т

СОъА

У т2 + п2

V

171'

Рассмотрим четверть об'ема сферы, соответственно предыдущему предположению 1.

Пределы интегрирования останутся те же; аналогично мы найдем, что:

[ та+па

И

гп

(6)

}/ т2 + 1г'

г = И----Я I И1-

' 8 к у

п2

Согласно условию, г < 0, и из (63) найдем, что к < 0.

Искомый азимут прямой падения определится векториально по формуле:

íg А

Ус

ш

Хс — п

, при условии к 0.

Решение задачи при других возможных предположениях аналогично рассмотренным, и мы придем к заключениям, указанным при методе вращения аналитической геометрии.

§ 14.

Приведем еще метод определения зенитного расстояния ' прямой падения.

Перейдем от системы XVI к системе Х'У'2', вращая первую около оси Ъ на угол ср, отвечающий азимуту прямой падения. Тогда, как мы ранее нашли, для точек прямой падения:

х = х'соэ^

у — х'8Жф>.

Возвысив последние два равенства в квадрат и сложив их, получим, определяя х',

= х3 +у3 -

Последнее значение х' вставляем в формулу, определяющую

—;

получим:

tg:=

У X2 у:

(1)

причем знак плюс (-(-) берем для значений г < 0, знак минус (—)— для значений г > 0 (как это следует из черт. 12).

Остается теперь вставить в формулу (1) координаты произвольной точки прямой падения; координаты эти определены нами при рассмотрении вопроса определения азимута прямой падения.

После небольших преобразований получим:

->

}/ та + пя

соответственно при к^О,

§ 15.

Вначале мы указали на то, что все случаи разведки (шурфование, бурение и т. д.) приводятся, при решении вопроса определения элементов залегания пласта в данной точке—прямых падения и простирания, к единственному:—случаю шурфования.

Не вдаваясь в подробности (что составит отдельный труд), приведем лишь один пример в связи с упомянутым вначале положением о

необходимости—в некоторых случаях практики— дать задаче определения элементов залегания пласта именно аналитическое решение.

Пусть заданы для определения положения пласта три скважины (см. черт. 15); следовательно, в конечном итоге, будут известны прямоугольные координаты точек А, В, С пласта, отвечающих точкам встречи осей скважин с последним.

Обозначим координаты точек А, В, С пласта соответственно:

(ха, уа, 2а1; (хь, уь, гь); (хс, ус, гс).

^Уе/*™. 15.

Примем какую-либо из точек, например А, за начало двух векторов, концы которых—точки В и С. Тогда азимуты векторов найдутся по формулам:

(АВ) = arctg Уь

хь —

b а

(АС) = arctg Ус У

X — X

с а

(1)

Зенитные расстояния векторов, как легко сообразить, определятся по формулам:

.........,2)

(АВ), (АС) 2ь,с" 2а

и задача приведена к рассмотренной выше.

Замечание. Полученная формула, определяющая С, является неудобною для логарифмирования. Приведем ее к виду, удобному для логарифмирования.

Выражение:

У (V — Ха)2 + (Уь,с~Уа)

представляет, как легко видеть, проекцию вектора (АВ) ['ли (АС»] на плоскость г = 0.

Поэтому, как известно, можем написать:

А х ь Дуь

а а

у (хь-*а)а + (Уь-У.)*

V (Хс (Ус Уа)3 :

cos (АВ) sin(AB) А х с А у с

a J а

cos (AC) sin (АС) и, следовательно,

А хяь 1 А х b

«^•ЩЩ=Т57~<«>........»

или

А у b 1 А у b

tg:=VЦг • •■■/AD4 = ^-"4-C0SeC(AB).......(4>

(АВ) a Sin (АВ) A Zab > V 7

Аналогично:

A z

tg:-44Vsec(AC),................(5)

(AC)

или

^4т^со8ес(АС)................(6)

(АС) Л 2а

Сравнивая попарно (3) и (4), (5) и (6), видим, что для каждого из зенитных расстояний ;(АВ) и САС) мы получили две формулы, взаимно-контролирующие правильность определения зенитных расстояний.

Поставленную вначале задачу можно было бы решить и иначе, исходя из прямой простирания плоскости пласта. Решение в этом случае получается несколько сложным; поэтому мы его и не приводим; это с одной стороны. С другой—естественно, как указано, исходить именно из прямой падения.

§ 16. Приложение.

Численные примеры. А. Примеры определения азимута ? прямой падения.

I.

Формулы (Р) и ¡Q) § 6:

, sin (aj — u)

tgcp

tg?

sina.

sin (и — а,)

соза3

sin (и — ai)

sina,

(P)

Имеем:

sin (a.2 — u) cosa»

a-, =

Q)

a, = 13° 30'. | a, = 281° 15'. =65° 45'. i i. = 105° 30'.

1. Определение вспомогательного угла u.

tgC, sin a,

tgu

tg "■> eos a:

O.)

igtg lgsin 3i ceIgtgC2 c'lgcos a2

lgtgu:

34634 ¿6819 44299a 70976

86728.

ü0 Ui

Uo

36°22 42" -36° 22' 42" 143° 37' 18".

2. Определение угла у .

Возьмем при дальнейших вычислениях формулу (В); угол

и = и1=- 36° 22' 42". сое а2 ей! (и — аО

sin ajsin (а2 — и)

(В)

= —49° 52'42". a<> — u = 317° 3742".

Ig cosa, —9 ' 29024 lg sin (u —a,) = 9 • 88348n c'lg sin a! = 0 • 63181 c'lg sin (a2 — u) — 0 ' 17138n

lgtgcp = 9 • 97691.

— 43° 28' 39".

3. Определение знаков.

Знак (tg С2 cos а2) = знаку (tg 105°30'cos 28Г15') <0. Знак cos ц = знаку [cos (-36° 22'42")} > 0. В данном частном случае применяем формулу:.

sin (u — aj) sinaj

sin (a2 — u)

cosa-

Поэтому:

Знак tgcp

(+)

Следовательно искомый азимут

Ф = 180° + 43° 28' 39" = 223° 28' 39". Берем ф = 223° 30'.

II.

Имеем:

а, = 193° 30'. а, = 101° 15'. r-i = 114° 15'. :2 = 74° 30'.

а. Формулы II, § 6.

В настоящем случае Ci и г-2 неодинаковы; поэтому:

-S

(I). Определение S.

COSE!

N,

M,

Mi =— cos aiCOsC3 Ni = sin 12cos a2.

1. Определение lgM, и lgN¡.

lg(— cosa,) = 9 • 98783 Igcos'2 = 9 • 42690

IgMi = 9 • 41473 c'lgM, = 0 • 58527.

Igsin — 9 • 98391 Igcos a2 = 9 ■ 29024n

lgN, = 9 • 27415n.

2. Определение e, и (",-j-e,).

lgN, = 9 • 27415n c'lgM, = O' - 58527"

lgtge, = 9 ; 85942n

e, = — 35° 53'04" + 78° 21'56".

3. Определение IgS.

IgM, = 9 ' 41473 lgsin(í, —j— Sj) = 9 • 99099 c'lgcos e, = 0 -09141

IgS — 9 • 49713.

(II). Определение Т.

T = L cos(^ —

cos6;;

K2 L2

K2 — — sin a2 eos L2 = sin sina,

1. Определение lgK2 и lgL2.

lg(—sina2)--=9 • 9Э157п Igcos С, = 9 • 61354

lgK2 = 9 • 60511

lgsin:, = 9 • 95988 Igsina, =9 • 36819

Ig L2 = 9 - 32807. c'lg L2 — 0 • 67193

2. Определение е2 и (С2 — е2).

№ = 9 "60511 с'^Ь2 = 0 • 67193„

]^е2 = 0 ' 27704„

е2=: — 62е 08'54". с2— е2 = 136е 38'54".

3. Определение ^Т.

!&Ь2 = 9

^СОБ^г — г, =9 С'^СОЭ е2 = 0

]ЙТ = 9 с'12Т = 0

32807, 86163, 33052

52022. 47978.

(III). Определение з .

^ = 9 • 49713 C'!gT = 0 • 47978

'ё — 9 97691.

О

43е 28'39".

о

Ф = 180е + = 223° 28' 39". Берем ® = 223° 30'.

Ь. Формулы IV § 6.

— Б

(I). Определение Б. Б—- Ч,С08 О: —:,)

м, л,

41 =

БШО, СОвО]

= М,

ы,

1. На основании предыдущего решения имеем:

1ёМ, = 9 • 41473 № = 9 • 27415п с'^, = О 72585п.

2. Определение О).

1ёМ! = 9 • 41473 с'^Ы, = 0 • 72585п

= 0 • 14058п.

О! == — 54° 06' 56".

IgM, = 9 ' 41473 | IgN, = 9 ' 27415,

c'lgsinQ, = 0 ■ 09141 n c'lgcosQ! = 0 • 23199

lgq,= 9 • 50614„- lgq,= 0-50614n

4. Определение (Qi — Ci) и IgS.

Q, — C, = 168° 21' 56".

lgq,= 9 • 50614n lgcos(Q) — C) — 9 • 99099n

IgS = 9 • 49713.

(II). Определение IgT.

T = q2cos(Q2 — C2) q2= ——2 La

sinQ2 cosQ3

tgQ2 = " i_.2

1, На основании решения „а" имеем:

Q2 = — 62° 08' 54".

2. Определение lgq2.

IgK2= 9 • 60511 ! IgL, = 9 • 32807n

c'lgsinQ, = 0 • 05347n c'lgcosQ, = 0 • 33052"

Берем

lgq2 = 9 • 65858n • lgq2 = 9 ■ 65859n.

3. Определение (Q2 — у и IgT.

Q2 —:2 = — 136° 38' 54".

lgq2 = 9 • 65859n _lgcos(Qa— :2) = 9 ■ 86163n

IgT = 9 • 52022 clgT = 0 • 47978.

(III). Определение cp

IgS = 9 ■ 49713 c'lgT = 0 • 47978

lgtg?0= 9 • 97691. Фо= 43° 28' 39". Ф = 223° 28' 39".

Ф = 223° 30'.

81 III.

Формула (III) § 7.

* л l ( ^t + a24 , ai — a, sin(C>— CO tgci> = tgfcp--) = ctg -1-—" •

Обозначим один из следов (безразлично какой) символом Р, другой — Q. а) Имеем:

ар= 13° 30' hp = ~\-24° 15'

aQ = 281° 15' hQ== —15° 30'.

Построив горизонтальные проекции следов и заметив, что оба следа неодинаковы, проводим (см. § 5, 4) дуговую стрелку вправо (по ходу часовой стрелки) вне угла, отвечающего шурфу; заключаем, что направление (ОР) должно быть обозначено цифрою 1, направление (OQ)—цифрою 2.

Поэтому:

= 13° 30' а2 = 281° 15' Ci = 65° 45' С2 = Ю5° 30'.

Пользуясь формулою (III), имеем:

— (а! + а2) = 147° 22' 30" 2

—(ai — а3) = — 133° 52' 30" 2

>2 - S1

39° 45' 00'

2 + С, = 171° 15' 00'

l'gctg--- (а! - а2) 9 • 98294

lgsin (:2 — СО = 9 • 80580 cMgsinC, -f r..i) = 0 * 81780

IgtgO = 0 * 60654.

Ф0^76° 06'08'

Так как зенитные расстояния С1 и С2 следов неодинаковы, то для определения знаков числителя и знаменателя выражения

пользуемся формулою (II) § 7. Имеем:

ai + a2\ (-)(-)(+) +

знак

. / а, н-а2\

Ч? 2 )

(-) (+) и, следовательно,

ф = ф0 = 76° 06' 08".

<Р = Ф+ -у(а1

а2)

искомый азимут прямой падения

Ф = 223° 28' 38'.

= 223° 30'.

Берем Ь) Имеем:

Ьр =

<р

193°30'

— 24° 15'

ад= 281° 15' Ьд = —15° 30'.

В настоящем случае оба следа одинаковы (Ьр д < 0), и, в согласии с 4 § 5, дуговая стрелка—внутри угла, отвечающего шурфу; направления (ОР) и (00) должны быть обозначены соответственно цифрами 1 и 2. Поэтому:

а, = 193° 30' С, = 114° 15'

а2 г.

281° 15' 105° 30'.

Имеем:

(а! + а2) = 237° 22' 30"

(а, — а,) = — 43е 52' 30"

= — 8° 45'00" ;24-С1= 219° 45'00".

(а,

а2) = 0 • 01706,

1ё8т(С2 —С,) = 9 • 18220п

СЧ^81П (Са + :,) = 0 ■ ] 9420п

—*-----—_-.—,—------

^Ф = 9 * 39346п.

Ф,

13° 53' 52".

Зенитные расстояния ^ и следов одинаковы; поэтому для определения знаков числителя и знаменателя выражения

н

пользуемся формулою (I) § 7. Имеем:

знак tgФ

а 1

2

)

и, следовательно,

Ф = 360°

(-) (-) + 13° 53' 52" = 346е 06' 08".

ф + -^-(«1 + аа),

Ф

искомый азимут прямой падения

Ф = 223° 28' 38".

ф = 223° 30'.

Берем

Замечание. Геометрически азимут равный 360°п -(- ф тождествен азимуту равному <р (п—целое число), с) Имеем:

13°30'

ад — 101° 15'

= + 24° 15' | Ь д = + 15° 30'.

В настоящем случае оба следа одинаковы (Ьрд>0), и, в согласии с 4 § 5 дуговая стрелка—внутри угла, отвечающего шурфу; направления (ОР) и (0<3) должны быть обозначены соответственно цифрами 1 и 2.

Поэтому:

Имеем:

а1 = 13°30' С1 = 65°45'

(а1 + а2) = (а! — а,) =

С3

г

а2 = 101° 15' :2= 74° 30'.

57° 22' 30"

43° 52' 30"

8° 45' 00" 140° 15' 00".

(а, — а2) = 0 . 01706,,

2

^втС:* — СО = 9 • 18220 с'^зт(:2 + С1) = 0 • 19420

^Ф = 9 " 39346п

Ф,

13°53'52".

Зенитные расстояния Ъ и С2 следов одинаковы; поэтому для определения знаков числителя и знаменателя выражения tgФ пользуемся формулою (I) § 7.

Имеем:

♦ Л <+>(+) + знак tgФ =

и, следовательно,

(-) (+) -ф = 180° — 13° 53' 52"= 166° 06' 08".

q> = Ф

1

(а, + а2),

искомый азимут прямой падения

ф = 223° 28' 38".

Берем

а, = 223° 30'.

d) Имеем;

ар= 101° 15' hp = + 15° 30'

h

193°30' — 24е 15'.

В настоящем случае оба следа неодинаковы (ЬР(3^0), и, в согла сии с 4 § 5, дуговая стрелка—вне угла, отвечающего шурфу; направ ления (ОР) и (0<3) должны быть обозначены соответственно цифрами 2 и 1. Поэтому:

Имеем:

а1== 193° 30'. С, = 114° 15'.

1

а2 = 101° 15'. С2= 74° 30'.

— (а1 + а2)= 147° 22'30'

1

(а

— а2) = 46° 07'30"

— Cj = — 39° 45' 00" С2 + С,= 188° 45'00".

lg ctg — (а, — a2) = 9 ■ 98294

lgsin(;2 —V) = 9 ' 80580n c'lgsin(:2 + :1) = 0 • 81780n

lgtg<& = 0 ■ 60654. Ф0 = 76° 06' 08".

Зенитные расстояния следов неодинаковы; поэтому для определения знаков числителя и знаменателя выражения tgФ пользуемся формулою (II) § 7.

Имеем:

4 Л W <-) +

знак tg<P

(-) (+) (-) +

и, следовательно,

Соответственно формуле

Ф = Ф,

76°06'08".

Ф + —(а! + а2)

Ф = 223° 28' 38".

Берем

Ф = 223° 30'.

Вышеуказанные четыре примера (III: а, Ь, с, d), как легко видеть, относятся к одной и той же плоскости пласта, и приведены нами лишь для усвоения порядка обозначений следов в связи с пользованием формулами: (III), (11), (I) § 7.

В. Примеры определения зенитного расстояния С прямой падения.

Имеем:

I.

а, = 13е 30' | а2 = 281° 15' Ci = 65° 45' ! С2 = 105° 30'.

Ci — г--2 = — 39е 45' С, + С2= 171е 15'

—(а, — а2) = — 133е' 52' 30". 2

. Определение Д (см. II § 7).

, . Sin (Ci — ц2) , 1 , ч

íg А = -v- ^-T-, ctg ■ - (а, — а2) sin (-i 2

lg sin С, — С2) = 9 • 80580п

c:!g sin (Cj Г.) 0 • 81780.

lgctg-J- (3l—а2) = 9 • 98294.

lg tg Д = 0 • 60654n

Д, = — 76 е 06' 08" Д2 = 103° 53'52"

При последующих выкладках возьмем

Д, = — 76е 06'08".

2. Определение х.

sin (С, 4- С2) . 1 , х =-—é>- sin — (a¡ _ a¡¡)_

cos Cj cos С2cos Aj 2

lg sin (^ -f í2) = 9 • 18220 c'lgcos 'j = 0 • 38646 c'lg eos C2 = 0 • 57310n c'lgcos Д] = 0 ' 61945

lgsin У (a, — r2) = 9 • 85785n lgx = 0 61906.

Берем

Имеем:

3. Определение С

tg (180° — С) = sin(a8 —at)

Igtg 0 • 34634 lgtgCa=0 ■ 5570 ln lgsin(a2 —а,) = 9 • 99967n c'lg x — 9 ' 38094

lgtg(180° —í) = 0 • 28396 180e — C = 62° 31' 25" C = 117° 28'35".

С = 117° 30'.

II.

a, = 193° 30' | a, = 10145' Ci — 114° 15' I C,= 74° 30'.

В настоящем случае C¡ и неодинаковы; применим формулы (6), (7) § 7.

sin (С, + у 1 !

х -

COS Cl COSC2 cose ¡

tg2g

sin 2 Ci sin 2 C2 eos2 — (a! — a2) 2

sin2(C, + C2)

2C[ = 228° 30'; 2C3=149°; C, -f C2 = 188° 45 ; (a, — a2) = 46° 07' 30".

1. Определение s.

lg | sin 2 С, | = 9 • 87446 lgsin 2 C2 = 9 • 71184

2 lgcos ~ (a, — a2) = 9 • 68156 c'Igsin^i+ C2) = 1 • 63560 lgtg^e = 0 • 90346 lgtgs = 0 • 45173 s = 70° 32' 12".

2. Определение x.

lg I sin (С, -f C2) 1= 9- 18220 C'lg | cosCt | —0 ' 38646 c'lgcos C2 = 0 ■ 57310 c'lgcos e = 0 ■ 47730

lgx = 0 ' 61906.

В дальнейшем решение тождественно предыдущему случаю.

1П.

Имеем:

а3 = 28Г 15'

= Ю5° зо'.

аг = 13° 30' С, = 65° 45' Выше мы нашли, что

и= 143° 37' 18" ф = 223° 28' 38".

Далее имеем:

а2 —а,= 267° 45' 00" и —а1 = 130° 07'18" и — а2 = — 137° 37' 42". Решение А (III, § 7). 1) Имеем:

г-

lg у ш2 -f п2 = lgn + c'lgcos ср.

а) Определение lgn и c'lgcos ср.

lgtg r2 = 0 • 5570ln lgsin(u —а2) = 9 • 82362п c'lgcosu = 0 • 09414п

lgn = 0 • 47977п c'lgcos® = 0 • 13928,,.

lgn = 0 • 47977,, c'lgcos <р = 0 • 13928°

Поэтому:

lgj/ ш2 + п2 = 0 • 61905.

c'lgу ш2 + па = 9 • 38095. Ь) Определение С.

lgtg "j = 0 ■ 34634 Igtg С2 = 0 • 5570ln lgsin (a2 — at) = 9 • 99967,,

c'lgj/ m2 + n» = 9 • 38U95 lgtg(180° —C) = 0 • 28397. 180° —С = 62° 31'27" £ = 117° 28'33"

Берем

С = 117° 30'.

m2 —J— = lgm -f c'lgsincp. а) Определение lgm и c'lgsin?.

lgtgC2 = 0 ' 55701 n lgeosa2 = 9 • 29024 ]gsin(u — a,) = 9 • 88348 .c'lgsina, =0 * 63181 c'lgcosu = 0 * 09414n

lgm = 0 • 45668. c'Igsincp = 0 • 16237n.

Берем (см. § 7, III, A)

c'lgsinaj — 0 • 16237.

Поэтому:

lgm =0 * 45668 c'lg sin ф! — 0 ' 16237

Ig]/"ш2-(~п2 = 0 * 61905. Дальнейшие выкладки тождественны случаю 1).

Решение В (Iii, § 7). Вычисления по формулам (I), (11). Формула (I). Имеем:

lg tg С, = 0 • 34634 lgsin(a2 — а,) = 9 ' 99967п Igcoscp 9 * 86072п Igcosu = 9 • 90586п cJlgsin(u — а2) = 0 ' 17138"

lgtg(180° —:) = 0 * 28397 Далее см. Ь) решения А. Формула (II). Имеем:

igtg = 0 34634

lgsin(a2 —а,) = 9 99967

Igsintp = 9 83763

Igsinaj — 9 36819

Igcosu = 9 90586

c'lgcosa2 = 0 70976

c'Igsin(u — a0 = 0 11652

lgtg(180fi - ,-) = 0 28397

Отбросив символ п, получим:

3gtg(180c — г) = 0 • 28397.

IV.

Формула (см. 2 § 8):

tg (180° — С) =_*g tg sin(a2 - а,)........(1>

tg C,sin(ai — ») — tg C2sin(a2 — ®)

Имеем:

ai =193° 30' a2 = 101° 15' Ci = 114° 15' C2 = 74° 30' . cp = 223° 28' 38" a, — ф = — 29° 58'38" a2 — ф = —- 122° 13' 38". В настоящем случае:

А = tg Ц] 8т(а,-ф)>0. В = tg Со sin (а2 — ф) < О, следовательно, разных знаков.

Предварительно определим логарифмы: logA и logB. Имеем:

log tg = 0 ■ 34634n I lg tg Г2 = 0 • 55701

lgsin(a! — ф) = 9 • 69867n | lgsin(a2 — ф) = 9 • 92734п

logA = 0 • 04501. j logB == 0 • 48435.n

Непосредственно видим, что

A<| В •

Поэтому для определения логарифма знаменателя правой части формулы (1) применяем формулы [II, Ь), § 9]. Возьмем, например, формулы: 1. Формула (34) § 9.

А — В = — 2 В sin2 — е

2

А

е = arceos — •

В

Определение е.

__ lgA = 0 * 04501 lgB — 0 * 48435п

lgcose = 9 • 56066п.

ej = 1110 19'24"; е2 = 248с 40' 36".

J-ei = 55° 39' 42".

Определение log(A — В).

Iog(— 2) = 0 • 30103u IgB = 0 . 48435п

21gsin в = 9 • 83366

lg(A —В) = 0 ' 61904.

В дальнейшем решение тождественно случаю 1) примера III. 2. Формула (36) § 9:

А — В = —2Bcos- — а 2

А

г = arc cos

Определение е.

, в !

_ logA = 0 • 04501 lg I В I = 0 ■ 48435

Igcoss = 9 • 56066.

s = 68° 40' 36".

— е = 34э20' 18". 2

•Определение log(A — В).

lg(-2) = 0 ■ 30103,, IgB = 0 • 48435м

2 lgcos у е = 9 • 83366

lg(A — В) = 0 • 61904. 3. Формула (40) § 9.

А — В = ———

COS2s

.=arctg(+]/ I

Определение s.

_lg J В j =0 • 48435 lg A = 0 " 04501

2 lgtgs = 0 • 43934 ■ lgtga = 0 -21967 58° 54'33"; s 2 = 238° 54' 33".

}ёА = 0 • 04501 2 ^сове = 9 . 42596

Имеем:

1д(А — В) — 0 • 61905. V,

Формула [(8), 3, § 8].

■ аа = 281° 15' ; С2 = 105°30\

223° 28' 38". Ф — а,= 209° 58' 38". а2 = — 57° 46'22".

а, = 13° 30' С1 = 65с45'

jgtgг;J = 0 • 34634 ^соэ(ф —а0 = 9 • 93763п

1^С = 0-28397П.

1В1ВС2 = 0-55701|| ^С08(ф — а2) = 9 • 72696

= 0 ' 28397п

и, удовлетворяющее задаче, значение

С= 117° 28'33".

Берем:

§ 17. Решения методом сферической тригонометрии.

Опишем из точки О (точки пересечения следов 01 и ОН), как центра, сферу произвольного радиуса И. Изобразим эту сферу на горизонтальной плоскости Н, проектируя ее на последнюю ортогонально. Сфера изобразится кругом АВСОА радиуса И (черт. 16).

Далее, плоскость пласта в пересечении с поверхностью сферы даст окружность большого круга, которая в проекции на плоскость Н изобразится эллипсом РВР^Ж

Точки пересечения следов — векторов 01, ОН и прямой падения Р]ОР с поверхйостью сферы обозначим, соответственно, символами I, И, Ри Р.

Три вертикальные плоскости, отвечающие следам— векторам и прямой падения, и плоскость пласта в пересечении с поверхностью сферы образуют сферические треугольники; стороны их, в проекции на плоскость Н, дадут, соответственно, три прямых и дуги эллипса.

Ч/и*, /¿г.

Обозначим азимуты и зенитные расстояния следов—векторов и ^прямой падения, соответственно, через

(alf:i); (а2>с2);

Из сферических треугольников OAFBIO и OAFDIIO, прямоугольных при точке F, соответственно получим:

tg: = ígneos (а, — ?) = tgí1cosCf--a1)......(1)

tgC = tgC2cos(? —а3).............. - (2)

Из формул (1) и (2) легко определить искомые <р и С.

Определение азимута ср.

Представим сначала (1) и (2) в виде:

tg£ctglíA — cosípcosaL4- siirfsinai.........(3)

tg t ctg *C 2 — eos? cosa2 -f- sincpsina2 ........(4)

Умножая теперь уравнения (3) и (4), соответственно, на cosa2, cosaj и вычитая из второго первое, получим:

* (ctg -acosai — ctg ^cosa2) = sincp(cosatsina2 — sina^osa-^),

откуда

= .......(5)

tg^tgCaSinía! —a2)

Умножая далее уравнения (3) и (4) соответственно на sin a2j sin а! и вычитая из второго первое, получим:

tg : (ctg vi sinat — ctg^ sina2) ~ coscp (sin а(соза2 —cos aiSina2), откуда

coso = tg;- tgrMSinax-tg!:8sina8 .......(6)

tgí, t :g2sin(a1— a2)

Положим на время, что в формулах (5) и (6) зенитное расстояние £ известно; непосредственно усматриваем, что формулы (5) и (6) совместно, именно векториально, определяют искомый азимут ср.

Но С — неизвестно; однако его легко исключить, определив у в функции tangens'a.

Именно:

tg í2 cosa2 — tg cosaj

tg:

t J»in?_ tg ;ttg :2 sin(a1 — a3) ^ . - (7)

cos? i r tg^sinai—tgC2sina2

tgtgC2 sin(ai —a2)

—формула, векториально определяющая ср.

Она представляет отношение тригонометрического синуса к тригонометрическому косинусу; следовательно, совместно знаки числителя и знаменателя именно определяют квадрант, отвечающий искомому азимуту ср.

Поэтому дальнейшие преобразования формулы (7) должны быть таковы, чтобы не изменить знаков числителя и знаменателя.

Переходя к дальнейшему, заметим, что угол С удовлетворяет условию:

и, поэтому, <0.

Формулу (7) представим теперь так:

^соза2 —tgC1cosaL tg£l Сг в1п(а2 — а^

1ё? =-

(-tgC)-

tgCj sina, — tg C2 sina2

Обозначая

tg íi tg'2 sin(a2 —a,)

tgCj tg r,2 sin(a2 — a^ = к,

и заметив, что, по условию, (—tgC)>0, формулу (7) можно представить двояко:

tgy= ^ ^cosa2 — tgCt cosax..........(А)

tg^ sinat — tg sina2

tg? = ~ C2 cosaa ~tg CQsa,).........(B)

— (tg Ci sinaj — tg C2 sina2)

Формула (А) отвечает предположению к>0, формула (В)—предположению к<С0.

Очевидно, проще принять формулу (А), полагая, следовательно, к>0.

Выбор же знака „к", как мы показали раньше, определяет порядок обозначения следов—векторов.

Замечание, Вывод логарифмических формул tg<p тождествен ранее указанному.

Определение зенитного расстояния С.

1. Найдя <р, зенитное расстояние С определяется непосредственно формулами (1) и (2) [взаимный контроль при вычислениях].

2. Зенитное расстояние С легко определить как функцию, зависящую только от данных аргументов.

Именно, взяв соотношение

sin2 ср —f— eos2 ^р = 1 и вставив в последнее из формул (5) и (6) значение ср, получим:

tg2:

tg cosa2 — tgCi cosaj)2 -f-

= 1,

tg2-ltg2C2sin2 (а, — а2)

+ эта! — tgC2sina2)2

откуда, полагая

tg ч tg зт(а2 — а,) = к>0

и, в силу условия, tg£<0, получим:

_______________ — ________________ ^

|/ ^ С2 соэа2 — tg ^ соэаО-' + ^^ ьт^ — tgС2 эта^ —формула, которую мы раньше получили другими методами.

Замечание. При другом расположении основной оси N5 формулы (А), (В) и (С), как нетрудно убедиться читателю, сохраняют свой вид. При выводе формул мы предположили, что ^ и С2 удовлетворяют

условию:

Легко однако показать, что, при любом расположении векторов— следов относительно плоскости Н, вид формул не изменяется. Ограничимся одним примером.

В самом деле. Возьмем один из векторов, допустим 01 С1); изменим его направление на прямопротивоположное. Тогда новые и старые азимут и зенитное расстояние определяются из соотношений:

-о

ТС —CV, а1 = а'1+тг.

Вставив последние в формулы (А), (В) и (С), убедимся, что вид формул постоянен.

Формуле определения зенитного расстояния С можно дать другой

вид.

Возьмем сферический треугольник OHIO и напишем, с одной стороны, соотношение между сферическим углом при точке О и амплитудою треугольника, с другой—, соотношение между высотою OFj и амплитудою же треугольника.

Обозначая амплитуду треугольника через S и заметив, что дуга OFí^tt — С, получим:

sin(a-> — а,) = ^ ^ ..........

SÍnCiSÍn^2

sin^^H,.............(9)

sine

где

C = wIH = <^IF1-{- w F, I1 = C: + C2.

Определяя из (8) и (9) S и сравнивая, получим:

sin Ci sin C2 sin(a2 — ai) = sincsin£........(10)

Определим Tenepbsinc. Имеем:

C=Cj+C2

Sine = SÍnCiCOSC2 -f~ COSC!SÍnC2..........(11)

Из прямоугольных, при точке F,, сферических треугольников 01Рг0 и OIIFiO имеем:

cos м ,2 = COS (- — u) COS С1,2,

откуда

cosCiJ2 /19 \

COSCi — — ...........

cos С

И, далее,

sincj = sin^i sin(ai —<р)...........(13)

sinc2 = —sinC2sin(a2 —-f) . .......(14)

Вставляя сначала полученные значения этс^, совс^ из формул (13), (14) и (121)2) в формулу (11), а эту последнюю б формулу (10), получим:

эт^ БШ^ ь\п(а.г — а^ -----

вт С, соэ зт(а, — ср) +

откуда

бш С2 соэ С, бш(а2 — ?) ^С] tg С,8т(а2—а,)

tgС, вт^ — <$,) — tg 81п(а2 — ср)

. . .(15)

—формула, которую мы имели раньше.

Можно было бы привести и другие выводы указанных выше формул, но недостаток времени и места ограничивает нас.

Замечание. Легко убедиться, что числитель и знаменатель выражения (А) [или (В)]—величины, отвечающие, соответственно, геометрическим синусу и косинусу направления ср.

В самом деле. Примем центр сферы за начало прямоугольной системы координат, в которой ось X совпадает со следом №> меридиана, ось 1—вертикальна.

Назовем координаты точек встречи I, И, И направлений—векторов

(а„ ^(а^); (% С) со сферою, соответственно, через

(Хз,уь2,);(х„ у2, г2)\ (х, у, г).

По условию, точки I, II, И и О лежат в плоскости пласта.

Условие совпадения четырех точек с плоскостью выражается определителем:

| 0 0 0 1'

| х у г 1 I

| х3 у! гх 1 !

: х2 у2 г21 ;

— о,

(16)

или

; х у г \

; Х|У121 =0............(17)

! ^У212

Развернув определитель по элементам третьего столбца, получим:

У1 х2 у2

X у

X у

ХзУ2 I I X, У!

= 0

(18)

Раньше мы нашли, что координаты точки встречи любого вектора Л со сферою определяются формулами:

х. — {^тСсова. у. = Яз1п(;1з1па1

г, = КсоэС.

Поэтому предыдущее условие перепишется так:

sin íi cos ab sinCj sin |_

sin C2 cos a2, sin C2 sin a2 |

R3 cos Z — R2 cos Ci + R2 cos C2

x у

sin C2cosa2,sin C2sin a2

x у

sin Ci cos absin ^ sin Приняв во внимание, что

1

cos С =---»

+ = o.

V i+tg;

с

получим:

— R

sin С, sin г.

Y

cos ax sin a

cos a2 sin a:

-f-xtgC, cosCi cos C2

xtgi2 cosCj cos ^

i ^

x =0

1 У

x

cos a2 sin a2

+

cosa, sinaj !

или, окончательно,

x (tgCi sinaj —tg:2sina2)-f (tgs2cosa2 —tg Cj cosa:)

= R

Ho

tgCi tgC2sin(a2 —a3)

V i+tg2:

............(20)

X = tg <p = tg :, cos a2 — tg_:Lcos a, x tg C) sin a( — tg C2 sin a2

поэтому уравнение (20) принимает вид:

(tg м sin at — tg C2 sin a2)2 (tg eos a2 — tg eos at)2

x

tg Cj sin aj — tg v2 sin a2 R tgCi tg :2sin (a2;--aI) .

}f l+tg4

откуда x = R-

tg Ci tg -»2 Sin (a2 — ai) (tg Cj sin a, — tg sin a2)

. (21)

}/ l+tg2í:[(tgrisina1— tg:2sina2)2+(tgí2cosa2—tgC.cosa,)2! и, соответственно,

tg Ci tg C2 sin (a2 — aj) (tg ;2 eos a2 — tg ^ eos a^

y = R

\/~l +tg2C[(tgCisina1 — tg:2sina2)--{-(tg:2cosa2-~tgC1cosa1)2

. (22)

у

Беря теперь формулу tg<p = —, мы можем утверждать положе-

X

пие замечания.

Следствием полученных результатов вытекает и новый метод векториального определения азимута <р; необходимо лишь иметь выражение tg<p.

Именно, сравнивая формулы (1) и (2), получим:

^^(сов ср соэа! -)- эт^та^ — tgС2(соэ9 соза2 + эт^паг),

или

вш?^ ^эта! — tg С2зта2) — соэ? ^ £2 соза2 — tg ^ соза^ и, окончательно,

tg С2соза2 — tgC1cosa1

tg?

tg С181па! —

Легко далее показать, что х и у представляют проекции вектора ОР (прямая падения) соответственно на оси X и У.

В самом деле: достаточно указать тождество формул

х = Нзт^соз?..............(23)

у — ИэтСзтср -.............(24)

выражениям (21) и (22), вставив в формулы (23) и (24) значения С и ср.

Примечание. Мысль решения предложенной задачи методом сферической тригонометрии навеяна моделью—стереограммою определения элементов залегания пласта, построенной проф. П. К. Соболевским и хранящейся в маркшейдерской лаборатории С. Т. И.

Собственно же решения указанным методом я не встретил в литературе и не получил от кого—либо ни письменно, ни устно.

Замечание 1. В предыдущем параграфе мы видели, что азимут ср определяется через тангенс, как отношение тригонометрического синуса к тригонометрическому косинусу.

Последним предложением мы вводим новый—второй—принцип определения азимута ср.

Раньше выведенные формулы прямо приводят нас к второму принципу.

В самом деле. Для определения азимута <р мы имеем

, ш

tg? =---

п

Последнюю формулу (см. 2 § 5) мы представили двояко:

= —............(О

= —............(2)

-П

Соответственно предположениям, что 9 отвечает третьему квадранту и последовательно сначала формуле (1), а затем формуле (2), мы получили:

ш>0;п<0 >

Sincp =

ш

/

т2 —|— п2

cos'f

У m2 + n2

(3)

m2

ш<0;п>0 | m

sincp

COSCf

У m¿

n

n-

(4

/

ГП'

7/"' + "°

Откуда, соответственно (Зь2)3) и (4Ь2,3), мы делаем заключение, что формулы (1) и (2), именно векториально, определяют искомый азимут 9: формула (!)•—при предположении (3^; формула (2)—при предположении (4^; знаки числителя и знаменателя формул (1) и (2) отвечают, соответственно, знакам синуса и косинуса.

Заменив теперь шип, отвечающими им значениями, получим:

tg üj cos aj — tg ;2 cos a2 > 0 íg C] sin a3 — tg r2 sin a2 < 0

tg Cj cos ax tg C2 cos a2 < 0 tg^! sin a!—tgC2 sin a2 >0,

откуда

tgCj cos a¡ > igí> cos a2 tgl{ cos a, < tg"2cos a2 tg v, sin a2 > tg Ci sin aj | tg C2 sin a2 < tg ^ sin a!

. . .(5)

Беря произведение левых и правых для каждого из столбцов (5), мы получим для каждого из результатов перемножения одно выражение:

tg Cieos a¡tg С2 sin а2 ^ tg Ci sin tg eos a2 или, преобразовав, получим

tg£j tgC2 sin(a2 — a^-.-O.

Наконец, так как

tg Cj tg v2 sin (a2— ai)~K,

то

кЕ-0.

Теперь, чтобы окончательно определить знак „к" для формул (1 и (2), необходима обратиться, соответственно, к выражениям (34) и (44)

В последних, как мы знаем, соответственно

х'§0 и

Поэтому, для формулы (1) получим к > 0, для формулы (2) — к<0.

Знак же „к", как мы видели, определяет порядок обозначения векторов—следов.

Положив <р отвечающим другим квадрантам, мы придем к тождественным результатам анализа.

Замечание 2. Десятый метод (см. стр. 52) дает непосредственно решение вопроса по второму принципу.

§ 18. Графо-аналитический метод.

В заключение приведем графо-аналитический метод определения азимута ср и зенитного расстояния С прямой падения.

Из рассмотрения соответствующих формул вытекает, что, проще всего, для графического построения воспользоваться формулами:

или

cos — ( а. — а2 ) ^tg :2 — tgCi)

sin—(a,-a2)(tg!;2 + tgCi) 1......Oí)

? = Ф + a, + a3),

+ cos ^ a3 — a2 ) sin ^ — Ci )

..............------------------------- ----------

+ sin ---- ^ aj — a2 ) sin ^ Cj )......(I2)

V = ® + + аз) и

И.

tg^ = tg':b,cos('f — аЬ2) . ........(II,)

Система формул I, в ряду других, удобна тем, что в ней всегда выполняется приблизительно условие:

| cos ^ ai — а2 ) I = sin--- ^ ai — а2) J = sin 45° ^r cos 45° ) .

[ибо угол между смежными вертикальными стенками шурфа приблизительно равен 90°].

Поэтому абсолютная величина геометрических синуса и косинуса,

R cos — ^ ai — а2 ) | и R j sin --^ at — а2) | ,

ai — а2

приблизительно равны 0,7 R.

II.

Построение угла Ф, определяемого выражением:

1

\ёФ

сое —(а, — а2 ) —

( а! — а2 ) ^ г2 4- ^ С,)

(1)

Нам известно, что формула (1) выражает собою отношение геометрического синуса к геометрическому косинусу.

Таким образом, умножив числителя и знаменателя правой части (1) на произвольное положительное число И, мы получим искомые геометрические: синус Б и косинус С, отвечающие углу Ф и определяющие его векториально.

Итак:

Б = Я соэ ~ ^ а! — а, ) — tg £1)

(2)

(3)

Теперь очевидно, что построению й и С (а следовательно и угла Ф) должны предшествовать преобразования (2) и (3). Именно можем написать:

Далее, обозначая

¡п^-( а, - а., ) | ¡ + +

И

(4)

(5)

эш

соэ —~ ^ а^ а2 ) | ( а! — а2 ) | ,

можем написать:

или

в = ± | с2 — яв ^

с = + | ^с. + ^с,

5 =

с = ^ (± У + ^ <± ) >

где знаки (+) совпадают со знаками выражений

1

соб

1(а1-а2)и8т|(а1^а2)

Заключаем: отвечающий углу Ф геометрический синус Б (косинус С) есть, отвечающая радиусу (Нс), алгебраическая сумма геометрических тангенсов углов, являющихся функциями данных углов

С, и С2.

Построение угла Ф, определяемого выражением:

+ соб а! — а2) —С])

ig<t>

sin -l - ^ aj — а, ) sin + м)

• .(6)

Как нам известно, знак (-f-) в числителе и знаменателе берется в том случае, когда C¡ и С2 одинаковы:

cosacosС2> 0;

знак (—)-, когда С] и С2 неодинаковы:

eos Cieos С2<0.

Преобразуя выражение (6) для построения угла Ф, мы поступаем аналогично предыдущему случаю.

Именно имеем:

tg4>

+ Rcos-y^ а! — a2)sin —íi)

+ R sin ----- ^ aj — a2 ) sin -j-

eos Y ^ a, — a2 ) sin - íi) j

sin -y ^ a, — a2 ) | sin | + ^ + C,) J

и, окончательно,

ХёФ

К sin [+(:>-:,)]

где

RS = R R =R

Re «П [+(№>)]

C0ST () I

(a,-a2)|

1

sin — i ai — a2

Hi.

Построение зенитного расстояния С, определяемого соответственно выражениями:

tg С = tg СЬ2 cos (ср — аЬ2),........(7)

где

2

1. Умножая обе части уравнения (7) на произвольное положительное число R, получим:

Rtg С = R Введя обозначение

tgC1>a [±cos(?-aIl2)].......(8)

Rtll2 = RitgClt2|,...........(9)

получим:

Rtg: = Rtl>2cos(<p-ai,2),........(10)

соответственно знаку (-}-) перед косинусом выражения (8); или

Rtg: = Rtb2cos[180° + (?-aIl3)l......(11)

соответственно знаку (—) перед косинусом выражения (8).

Замечание: В формуле (11) может быть взят, очевидно, любой из знаков перед биномом (ср — аЬ2) : или (—).

Из рассмотрения формулы (10) заключаем: отвечающий радиусу R геометрический тангенс Rtg С угла С равен, отвечающему радиусу Rtl,3 — R I tgii,2 I i геометрическому косинусу Rtbo cos (ср — аЬ2) угла (Т — аЬ2).

Рассмотрение формулы(11) приводит к аналогичному заключению. Итак, построение искомого угла С включает три момента: 1) построение радиуса R 2) построение геометрического косинуса правой части выражения (10) или (11), соответственно; и, наконец, 3) построение угла С

Для построения проще и естественно формулу (7) представить под видом:

tg(±:i,2) = Rctg(±c,,2). II*

Rtgí~R[ cos(cp —а,,2) Формулу

tgC = tg;1>2cos — ai>2)

можно преобразовать иначе и—в соответствии с преобразованием—

указать другой способ построения угла С-

Имеем:

t г sinC1>2cos (? —аЬ2).........

cosCi,2

Умножив числителя и знаменателя правой части (12) на произвольное положительное число R, получим:

tgr = ^sin!:liacos_(?-alf2)

RcosCi,2

Остается теперь применить в последовательном порядке построения: Ri,а = Rsin Сь2; Я1П = Ri,2 cos Op — а, >2); Rm IV = Rcos C1>2

и, наконец, зная, что отношение —— есть именно отношение геоме-

р

um,iv

трических синуса и косинуса (второй квадрант), определяем построением угол С

Замечание. Понятно, излишне напоминать читателю, что графические построения практически ограничены пределом, как функцией заданных численных значений величин.

§ 19. Примеры построения углов Ф и

I. Построение угла Ф. Формула (Ij).

Первый пример преобразования формулы (Ii). Имеем:

а1 = 13°30' í а2 = 281° 15'. ^ — 65° 45' ! :2 = 105°30/.

l(ai — а2) = — 133° 52 30".

ф — R(— cos 46° 07' 30") (— tg 74° 30' — tg 65° 450 _ g ~ R sin (— 46° 07' 30") (— tg 74° 30' • tg 65° 45') _ R cos 46° 07' 30" (tg 74° 30' -)- tg 65° 45') _

я

где

R sin 46° 07' 30" (tg 74° 30' — tg 65° 45') R,tg74°30'-f Rg tg 65° 45' " 1^74^30^- Rc tg 65 io ' Rs = R cos 46° 07' 30" RC = R sin 46° 07' 30",

и R—произвольное положительное число.

Преобразование формулы можно представить в изящной и естественной форме. Именно:

t Ф = -Rcos 133° 52' (tg 105° 30' — ^ 650 451 _ g " Rsin ( 133° 52' 30") (tg i 05° 30' -tg 65° 45')

R j cos (— 133° 52' 30") i (— tg ¡05° 30' -f tg 65° 45')

Rj sin (— 133°52'30") (—tgl05°30' —tg65°45')

Второй пример преобразования и построения формулы (Ь). Имеем:

а, = 13° 30'. i а2 = 101° 30'. C¡ = 50° 30'. | ^ = 23° 15'.

-1 (а, - а2) = - 44е; ~ (а, + а2) = 57° 30 .

где

_ Ясоз (—44°) ^23° 15' - tg50° 30 ) ~~ ЯвтС— 44°)^230 15' + 50°30') -[^50° 30'-1^23° 15'] — [ ^ 50° 30' + кс1^23°15']" '

= {^соб 44° |

^ = 44° ].......

• (13)

(14)

и И—произвольное положительное число.

N2

На чертеже 17 показано построение искомого угла Ф, определяемого выражениями (13) и (14).

В плоскости бумаги берем произвольную, приличным образом выбранную, точку О и последнюю принимаем за начало плоской прямоугольной системы координат, осями которой служат: основное направление БЫ (направление меридиана) и направление ОСМ; следовательно, векториальный счет углов правый (по ходу часовой стрелки).

Из точки^ О, как центра, описываем окружность произвольного радиуса И —01. Строим угол ЫОА = 44°. Отрезок ОВ —И =Исо8 44°;

ф

отрезок ВА= Rc = Rsin44°. Далее строим углы: NOT = С2 = 23° 15' и NOR = ;,=50o30'.

1. Теперь из точки О, как центра, описываем окружность радиуса OB^Rs; тогда: BQ^Rstg23° 15'; BK = RS tg 50° 30'. Отрезок KQ — — (ВК — BQ) = — [Rftg50° 30' — Rstg23° 15'] —искомый геометрический синус угла Ф.

2. Далее—из точки О, как центра, описываем окружность радиуса ба = ВА~~ Rsin 44° = RC. __

Тогда: отрезок lp2 = rctg 23° 15'; отрезок L м = rctg 50° 30' и, наконец, отрезок MPj = р3L = — [rctg50°30' + rctg23° 15'] — искомый геометрический косинус угла Ф.

Замечание. Из чертежа видно, что для определения абсолютной величины последней суммы мы можем поступить двояко:

1) на продолжении прямой ML от точки L влево отложить LPj =LP2. Тогда отрезок MPi — искомый; либо

2) от точки L по оси SN откладываем вниз отрезок Lpi = LP2, затем через конец р{ отрезка Lpx проводим прямую, параллельную OOst; далее, из точки М опускаем перпендикуляр на pi р2; отрезок Мр2 = Lp7= LP¡ = Rctg 23° 15';_ последний и откладываем от точки М по прямой LM вправо (Мр3 = Мр2).

Теперь ясно, что

3. Наконец, остается построить искомый угол Ф по найденным его геометрическим косинусу и синусу.

a) Соответственно знаку знаменателя [см. формулу (13)] отточки О откладываем по отрицательному направлению оси SN отрезок

OS = МР, = р О = p¡L.

b) Соответственно знаку числителя [см. формулу (13)] в точке S восставляем перпендикуляр SJ и влево от точки S на последнем откладываем отрезок SJ = EQ непосредственно, или непрерывным построением:

SJ = Ок3 --- Ок2 — кк, - i<q KQ.

c) Соединяя точки О и J прямой, получим векгориально искомый угол Ф = 206°30' (на чертеже отмечен дуговой стрелк .й). Азимут ср прямой падения плоскости пласта

+ -~(aI + a2) = 264t'.

Замечание. Преобразование формулы можно представить в другой, изящной и естественной, форме.

Именно:

R| eos ;—44 ) (tg23° 15' — tg50е30') =---------------

Rj sin (-44°) ¡(—tg23° 15' —tg50'"' 30')

«

Построение угла Ф производится аналогично предыдущему.

Формула (12). Первый пример преобразования формулы (12).

Имеем:

а! = 13° 30'

С, = 65° 45'

а2 = 281° 15'. ;2 = 105° 30'.

(а, — а2) = —133°52' 30"; — (3l -f а2) = 147° 22' 30". 2 2

^, = 39° 45'; r2-j- ti = 171° 15'.

sin— (a! — a,) = — sin 46° 07' 30". 2

sin(C2 -f- г-л) = sin 8° 45'.

1 ,

cos - • (at

a2) = — cos 46° 07' 30".

В настоящем случае ^ и С2 неодинаковы. Таким образом:

. А —[—cos 46° 07' 30"] sin 39° 45'

t»'I> 1-----------------1- -

_[_ sin 46° 07' 30"] sin 8° 45'

cos 46° 07' 30" sin 39° 45' R sin 39° 45'

где

.sin 46° 07' 30" sin 8° 45' Rcsin 8o 45'

Rs = Reos 46° 07'30"

Rc = Rsin46° 07'30",

и R—произвольное положительное число.

Преобразование формулы (12) в другой вид:

tg<I>

cos (—133° 52'30") sin 39° 45'

— sin (—133° Ó2' 30") sin 171° 15' R¡ cos(-133° 52'30")! sin 39° 45'

sin(—133° 52'30")

R

sin 171° 15'

Второй пример преобразования и построения угла Ф, определяемого формулою (12).

Возьмем данные второго примера преобразования и построения угла Ф, определяемого формулою (I,). Имеем:

-!(а, —а,) = —44°.

2

г,__г,

V2 >1

-27° 15'. :2 +^ = 73° 45'.

В настоящем случае г,\ и одинаковы. Таким образом:

eos (— 44°) sin (—27° 150

íq-Ф =------- —.....— --

sin (—44°) sin 73° 45'

eos 44° sin (— 27е 15') R sin (— 27е 15')

___i___7 _ s .. 7 (i5y

sin 44° sin (—73° 45') Rcsin (—73е 45') ' "

где

R = Reos 44° I

>.........(16)

Rc — Rsin 44r )

и R — произвольное положительное число.

На чертеже I показано построение угла Ф. Как и в предыдущем примере построения формулы (Ь), описываем из точки О, как центра, окружность радиуса R.

Строим угол NOA — 44е. Отрезок

ОВ=: Reos 44е

отрезок

BA = Rsin44c = Rc .

Далее строим углы:

N00!= —27° 15' и NOC-. — — 73е 45'.

Затем:

1. Из точки О, как центра, описываем окружность радиуса

ОВ = Reos 44е = Rs;

тогда отрезок

ED = Rssín (— 27J lo')

— геометрический синус искомого угла Ф.

2. Из точки О, как центра, описываем окружность радиуса

ÓL ,--Оа - ВА R .,;

тогда отрезок

GF Rcsin (— 73" 450

— геометрический косинус искомого угла Ф.

3. Наконец, остается построить искомый угол Ф по найденным его геометрическим косинусу GF и синусу ED.

a. Соответственно знаку знаменателя [см. формулы (15) и (16)] от точки О откладываем по отрицательному направлению SN отрезок Oh = 6f~= GR

b. Далее — соответственно знаку числителя [см. формулы (15) и (16)] — в точке íj восставляем к оси SN перпендикуляр fг1> и влево от точки fj на последнем откладываем отрезок íjo — ED.

c. Соединив точки О и f-, прямой, получим векториально искомый-угол Ф = 206° 30'.

Замечание. Преобразование формулы для построения можно представить под видом:

R| cos (— 44°) | sin(—27° 15')

{аф —---- .

R¡ sin (— 44°) I sin (— 73° 45')

II. Построение угла С. Формула

tg: — tg:,,, cos (ср — аЬ2).

Первый пример преобразования формулы. Дано:

a3 = 28,°15'. С2 = 105° 30'. 9 = 223° 30'.

Следовательно,

ср —а2 = —57°45',

и

Rtg С = Rtg 105° SO' cos (— 57° 45') ^ = R| tg 105° 30' I cos (180° + 57°45');

или

Rtg 5 = R (_ tg 74° 30') cos (— 57° 45') =. = Rtg 74° 30' cos (180° + 57° 45'),

или (что лучше):

Rtg С = R| cos (— 57° 45') j tg 105° 30'.

Второй пример преобразования и построения угла С. Имеем:

а! = 13° 30' ! а2 = 101° 30' Ci = 50° 30' : с2 = 23° 15'.

Соответственно последним данным мы нашли (см. выше), что ср = 264°. Далее имеем:

ср — = 250° 30' ср _ а2 = 162° 30'.

Следовательно,

1. Rtg С = Rtg 50° 30' cos 250° 30' = Rt cos 250° 30',

где

Rti = Rtg 50° 30', и R—произвольное положительное число.

2. Rtg ; = Rtg23° 15'cosl62° 30' = Rtjcosl62° 30',

где

Rt = Rtg 23° 15'.

Примем (см. черт. 17) основное направление OZ, от которого векто-риально ведется счет углов, совпадающим с осью SN.

А. Построение соответственно заданию:

(аь Сь <р —а^.

1. Строим углы:

201* = :! =50° 30' ЫОАг = (р — а1 = 250° 30'.

Примем К = ОЬ; тогда

Ш = =0^50° 30'. 2. Далее, из точки О, как центра, описываем окружность радиуса

И = От = Ш,

находим точку М| пересечения проведенной окружности с направлением

(ОАО^ср — а! = 250° 30';

опускаем из точки М! перпендикуляр М1М2 на основное направление (52), и тогда отрезок

ОМ2 = К сое 250° 30' = С.

3. На продолжении прямой МЬ от точки Ь влево откладываем отрезок

1т, = бпь = ОМ7= Н^С

и, наконец, соединяем точки гщ и О прямой; направление (ш10) — искомое.

(ш, О) = (ОУ) = С = 157° 30'. В. Построение соответственно заданию:

(а2, С2, ? — а2). Строим углы 20Т = 2о° 15' и ША3 = 162^ 30'. Принимаем К = 01, и в дальнейшем построение аналогично случаю первому. Направление (^ О)—искомое.

(Ь О) = (т, О) = (ОУ) = С = 157° 30'.

Замечание /. Формулу для построения лучше представить под видами:

сов250о 30'

соз162°30'

№—50° 30') tg(— 23° 15').

Замечание 2. Формулы, определяющие азимут <р и зенитное расстояние С прямой падения, можно представить в виде номограмм, что составит отдельный труд.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

§ 1. Постановка вопроса в связи с изображением плоскости

пласта..............................1

§ 2. Принципы предлагаемых аналитических методов.....2

§ 3. Литература вопроса; отсутствие решения вопроса в общем виде. Необходимость аналитического решения в особых случаях практики разведки; связь аналитического решения с вопросом „определения общего простирания и падения пласта" .......... 3

§ 4. Геометрические элементы шурфования в связи с определением прямой падения.....................4

§ 5. Решения методом аналитической геометрии........4

Составление уравнения плоскости пласта. Определение азимута <р прямой падения методом вращения. Определение порядка обозначения направлений следов. Геометрическая интерпретация условий.

§ 6, Вывод логарифмических формул определения азимута ср

прямой падения................................14

§ 7. Тоже—метод вращения. Определение зенитного расстояния С прямой падения. Формулы преобразования..........20

§ 8. Другие методы (3) определения зенитного расстояния С

прямой падения. .......................29

§ 9. Приведение в логарифмический вид формулы tg ;-. .... 31 § 30. Другие методы (9) определения азимута <р прямой падения.............................42

§ 11. Пятый и шестой методы определения зенитного расстояния........................'......53

§ 12. Решения методом дифференциального исчисления (3 решения)............................-. . 55

§ 13. Решения методом интегрального исчисления (3 решения). 62 § 14. Один из методов определения зенитного расстояния С

прямой падения......... ...............73

§ 15. Один из примеров к замечанию § 4: случай задания трех

буровых скважин.........................74

§ 16. Приложение. Численные примеры............76

§ 17. Решения методом сферической тригонометрии......91

§ 18. Графо-аналити1^^©! метод определения элементов залегания в данной точке поЙё^^но^ЗЙй^пласта.............99

§ 19. Примеры по^фр&шя углов Ф и С........... 103

л.х ' ^ ■ '