Методика параллельного проектирования и ее применение к картированию эксплоатаций мощных и крутопадающих месторождений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 67, вып, 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г.

МЕТОДИКА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К КАРТИРОВАНИЮ ЭКСПЛОАТАЦИЙ МОЩНЫХ И КРУТОПАДАЮЩИХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

П. А. МАСЛЕНИКОВ Введение

•

При разработке свиты пологопадающих пластов или даже одного крутопадающего пласта (или жилы) план разработки полезного ископаемого, построенный методом ортогонального проектирования на одну горизонтальную плоскость проекций, обыкновенно не удовлетворяет всем требованиям эксплоатации месторождения, а потому приходится очень часто прибегать к построению вспомогательных ортогональных изображений разработки на вертикальной плоскости или на плоскости, параллельной плоскости изображаемого пласта. И все же по полученным ортогональным проектированием изображениям разработок, как не обладающим хорошею наглядностью, очень трудно воссоздавать в воображении пространственный облик изображенных разработок, трудно решать задачи, связанные с определением направлений и тем более трудно производить проектирование новых выработок.

Все вышесказанное наводит на мысль введения другого способа проектирования разработок полезного ископаемого и именно такого, который, обладая достаточною удобоизмеримостью, в то же время удовлетворял бы условию необходимой наглядности, т. е. давал такие изображения, которые позволяли бы видеть на одной плоскости проекций одновременно все три измерения изображаемой формы.

Из числа способов проектирования, удовлетворяющих поставленным требованиям, я остановлюсь на так называемых косоугольных осеизмери-тельных или косоугольных аксонометрических проекциях, получающихся в результате применения параллельного проектирования пространственных форм на плоскость, составляющую с направлением проектирования угол не равный прямому, и которые в то же время являются и наиболее простыми по построению.

Вывод общих формул параллельного проектирования

на плоскость

Пусть три взаимно-перпендикулярных отрезка ОД, ОВ и ОС, являющиеся прямоугольными координатами х, у и % некоторой точки и составляющие с перпендикуляром О 02 к плоскости проекций М углы а, р, у проектируются на плоскость М параллельно данному направлению 5, составляющему с перпендикуляром к плоскости угол <р, а с прямыми ОД, ОВ и ОС углы аи р! и ^ (Фиг. 1).

Как известно из основ параллельного проектирования, на плоскости проекций М отрезки ОЛ, ОВ и ОС должны изобразиться также отрезками прямых, в общем случае не равными их истинной величине.

Пусть длины изображений координатных отрезков стали равными

ОгА = хи ОгВ = у1 и ОхС — г 1 (фиг. 1), Обозначив отношения

Хл

У\

1\

соответственно через тх, ту и т2 и назвав их масштабами иска-

жений по координатным осям, выразим значения последних через величины углов а, р, 7, аь рь 71 и

Из прямоугольных треугольников 002Л, 002В, 002С и 0020? находим:

00_» = -x соэ а = ^ соб р =- г? с08 7

(а)

00>

СОЭа

соэр

С08 сс

СОЭ 7 соэ с?

Решая косоугольные треугольники ООхА9 ОО1В и 00,С, будем иметь:

х\ = х* + 00\ — 2 д;. 00,. сое а,

у? = ^ + 002~2з/.00|.созр1

= + —2 2.00,.совТ1

или после подстановки значения ОО, из (Ь)г

х3 + х

соэ2«

СОЭ2 <р

Л С05 «

2 Л;---^ . соэ а-

соя ф

^ о .> , сов-р п созр 0

Фиг. 1

сое- <р

СОБ^ср

С08 <Р

о - СОБ 7

2 г- -— .сое

собф

Разделив полученные уравнения соответственно на л;2, у~ и г2, после простых преобразований получим следующие общие формулы, выражающие масштабы искажений по координатным осям:

т

т:

т\

соэ- <р 1

[СО5" ъ СО£~ — 2 соз <р сов а соэ с^]

соэ-1

соб 9

;— [СОБ- ср 4- ссэ2 3—2 СОЭ гр СОБ ¡В С08 р5] [сое- <Р 4 СОБ2 7 — 2 СОЭ 4? соэ 7 СОЭ 7,]

(1)

Обозначая через о>г, «V и углы, противолежащие координатным осям Хи Г, и на проекции, и разрешая косоугольные треугольники АО\Въ ВОхС и СОИ, в которых стороны АВ, 5С и СЛ равны соответственно \гх2-\-у'2 > К/' + з'2 и'К^ + л3 .после несложных преобразовав

ний получим следующие общие формулы, определяющие углы между осями координат на проекции:

СОБ а> V

С08 ш.

СО 8

(да* — I) сое- 7 + (да* — 1) СОБ2 р

2ТПУ ГПг СОв Р СОв?

(да* — 1)со82 (да® — 1)сов2а 2тЛда2созасо8 7

(да; - 1)со83§ + (^—1)сов2а

2тхту соэасоэр

(2)

Приведенные выше формулы масштабов искажения по координатным осям (1) и общие формулы для определения углов между координатными осями на проекции (2) вполне разрешают вопрос построения в параллельных проекциях любых изображений.

Как не трудно видеть из приведенных формул, для данного направления параллельного проектирования можно получить бесчисленное множество изображений, форма которых будет зависеть от относительного положения координатных осей, с плоскостью проекций; и обратно, для данного положения координатных осей и плоскости проекций можно получить также бесчисленное множество изображений, форма которых будет зависеть от выбора направления проектирования.

Приведенные соображения о количестве различных возможных изображений при параллельном проектировании на плоскость заставляют полагать, что из бесчисленного множества изображений можно выбрать и такие, которые бы удовлетворяли поставленным выше требованиям достаточной удобоизмеримости при соответствующей наглядности изоб^ ражения и простоте его построения.

Для того, чтобы было возможно легче разобраться во всем бесчисленно большом количестве изображений, получающихся при параллельном проектировании на плоскость, при установлении должного, для данного проектируемого объекта, вида изображения, естественно возникает вопрос об изучении свойств этих изображений и приведении их в известную систему, т. е. вопрос проведения соответствующего анализа в целях установления классификации получающихся при параллельном проектировании на плоскость изображений.

Подразделение проекций по способу построения

По способу построения, как известно, все параллельные проекции на плоскость можно подразделить на три класса:

1. Класс триметрических проекций.

2. Класс диметрических проекций.

3. Класс изометрических проекций.

К первому классу относятся такие проекций, у которых по всем трем координатным осям масштабы разные, т. е. когда

тх ф ту ф т~.

Ко второму—проекции, имеющие по двум осям одинаковые масштабы искажений, но не равные третьему, т. е. когда

тх ~ ту ф щ2

10*. Изв. ТПИ, т. 67, В. 2 245

или

тх — //ь Ф шу

или

тх ф ту — mz.

И, наконец, к третьему классу относятся проекции, имеющие равные масштабы искажений по всем трем координатным осям, т. е. когда

тх = ту — т2.

В зависимости от того, какой угол образует направление параллельного проектирования с перпендикуляром к плоскости проекций, каждый класс можно будет разбить еще на бесчисленное множество родов; например, при <р = 0° получается так называемый род ортогональных или прямоугольных проекций, при ср = 45° — род полупрямоугольных косоугольных проекций и т. д.

Кроме подразделений на классы и роды, в зависимости от того, какое взаимное положение будут занимать оси координат с плоскостью проекций при данном направлении проектирования, каждый род проекций еще можно будет подразделить на виды; например, взяв какой-либо род проекций, характеризующийся углом <?, и положив а = 90° и ¡3=90°, получим проекции простейшего вида и т. д.

Выведенные ранее общие формулы масштабов искажений по координат-пум осям (1) и общие формулы, определяющие значения углов между осями (2), как формулы, в общем случае дающие различные масштабы искажения по всем трем осям, являются в то же время общими формулами и для класса триметрических проекций.

Класс диметрических проекций, кроме подразделения на роды и виды, можно еще разбить на три большие группы:

1. Группа, когда тл = ту

2. „ „ mx = mz

3. „ . my = mz

Общие формулы класса диметрических проекций, помня, что

cos2 a -j- cos3p + cos2 Т = 1

и

COS a COS flCj -f cos p cos Pi -j- cos y cos = cos <p,

мы определим совместным решением двух каких-либо уравнений (1), найдя значения масштабов искажений через углы о, р и ср, Р и Pi и у, а и а! для всех трех групп класса.

И, наконец, для получения общих формул класса изометрических проекций, совместным решением всех трех уравнений (1) выражаем масштабы искажения по координатным осям через угол 9,

Общие формулы, характеризующие классы, группы, два основных рода (прямоугольный при у = 0° и полупрямоугольный при <р = 45°) и простейший вид проекций, соединенные в одну сводную таблицу, приводятся ниже.

Таблица I

кЛАССЙФИКЦЙ^

йрйекцйй, Получающихся при параллельном методе проекгировайия нл ftюскость

Класс Род Вид Масштабы искажений по координатным осям

1. Триметрический (общие формулы) тх ф ту ф тг т*х+т*у + т\ = tg2?4-2 * т2 — * [COS5® -f COS2« — 2 COS COS a COS 1 * COS2cp 7 11 m2— 1 [cos2© 4- cos®3 — 2 cos© eos3 совЗЛ y cos2? ' - [cos2© + cos2v — 2 cose? cosy cosy, ]

Прямоугольный с? —0; а = в1; Р = Э»; Т = Vi-(общие формулы) cos s л — — ctg? . Ctg 1 COS S у — ~ ctg et .ctg 7 cos г г = — ctg et . ctg ß = sin Of my — sin 3 mz = sin у

Простейший ■% = 90°, 3=90°, у ~ 0°. (переходит в диметрический класс первой группы) = 1

Полупрямоугольный <р = 45° (общие формулы) m2^ ~ 1 + 2 cos'a — 2 j/y COS a cos ctj m2y ~ 1 + 2 cos2P — 2/2 cos? cosfc m2¿ = 1 -f 2 cos2 y — 2 y^ cos y cosyi

Простейший (переходит в изометрический класс) Шх — 1 my" I = 1

Класс Род Вид Масштабы искажений по координатным осям

II. Первая группа дим&трического класса = ту 4= mz m*x + m*y + m*z= tg«y+2 л * (sin3 Y + 2 COS«P cosy cos yi) 2 cosacp n * [sin2y+ 2cos^cosy cosyi] y 2cos2cp /и2. — * [cos2<? -f cosaY — 2 coscp cosy cosyj] COS-cp

(общие формулы) Прямоугольныйч (общие формулы) «V=4" (l+cos2T) *»V=-L(1 + COS2V) m2z = sin2y

Простейший mx=z\ m7 — 0

Полупрямоугольный • m2^ = sin2y + yj . cosy • cosyi

(общие формулы) • m3y = sin2y + |/*2" . cos y cos^i m2z~ 1 + 2 cos3? —*2y2' cos у cosy i

■ t Простейший

; 1 (переходит в.иаомет^ич? с кий класс) - 1 m« да I t

К л а с с

Рад

ЛЬ Ёторай груЬпа . ¿иметрическ04"0 Класса (общие формулы) т2 ф т

Прямоугольный

(общие формулы)

Полу прямоугольный (общие формулы)

WM»*.MUl«W «' '*Ц-»И « I ■ к ■«.!» II < ».lilt Ичяи 1 . ят 1Щ ЦЙМ .1 8 it д 1 Масштабы искажений по координатным ослм _ А - \т* 3 4*- со5Ф . cos Э > cos 2 cos2© — 1' [cos2© + cos23 -- 2 coscp cosjfcos ft] ^ eos2cp /я2, — 1 [sin2 fi -f 2 cos <f> cos p cos ¡J,J 2 cos2©

*3,=4*"(1 + cos3p)

mav = Sin2 [i

m2r = -L(14-cos^)

Простейш ий m%=l

- /я2Л — sin2°+ /2 * cos 3 • cos Pi /л2у = 1 + 2 cos2 [3— 2J/2 • cos • cos

m2, — sin?p 4- y^ . cos 3 . cos ^

Простейший m2x ~ 1

(переходит в изометрический класс) m2y - 1 т*г = 1

К* л а с с Род Вид Масштабы искажений по координатным осям

IV. Третья группа диметрического класса /п2„— —[cos2 a cos- у. — 2 cos íp cos a cos a,] * COS-cp m2 * [sin'-'a 4- 2 coses cosa COSaJ , m y~~ 2cos2cp L u

(общие формулы)

тх 4 ту — mz тг 2 \ [SÍn2a 2 COS cp COSSt COSCÍJ]

Прямоугольный m2x = sin23 + cos b.) = (1-fcos2*)

(общие формулы) -

• Простейший дагл. = l

Полу прямоугольный — 1 -f 2 cos3 a — 2 l/*2 .cosacos^

(общие формулы) W2v = sin2a -)- |/"2" - COS a cosccj т2г=sin2a + -j/2 ■ cos a cos^i

Простейший «?,= ! m», r~; 1 llfi. ™ !

Класс Род' Вид Масштабы искажений по координатным осям

V. Изометрический 4-<2

(общие формулы) «Зу= (2 г 1ё2г) — (2 +

т х — ту — т2

Прямоугольный 2 2

(общие формулы) -ч 2 "'у^Т ч

Простейший ! ! !

Полупрямоугольный т- 1. ш 1

(общие формулы) гп\ = 1 пРг=\

I • [ 1 » | Простейший ! 1 1 = 1 /я». = 1

Искажение азимута направления

Для определения аксонометрической проекции а' азимута а некоторого направления UT представим себе аксонометрические оси перенесенными в точку U (фиг. 2). Построив по приращениям координат Ах, д v и Дz (с учетом^ масштабов искажений по координатным осям) проекцию t точки Т и соединив ее прямою ta с точкою а, из треугольника ata находим:

at

m*. А х

sin о! sin (а' + у)

откуда после несложных преобразований получаем для азимута направления на проекции следующее выражение:

tg <*' =

at. sin у

(с)

mx. A x—at. cos j

видеть (см.

Фиг. 2

Не трудно фиг.2), что

7 = 180"

0),

где. угол i может быть определен после решения косоугольного треугольника abt в виде

, . тг. kz .

Sin I =-Sin (Од..

at

Пользуясь полученным значением sin i, для sin у и cosy найдем после сйответствующих преобразований следующие выражения;

sin у = —-—[rrty. ¿ьу at

sin Шг 4" sina^]

cosy

1

--[/Itv. AyCOSüb-f-tfl¿. Дг COS «J j

at

где — ш~-\-о>х.

Вставив значения sin у и cosy в формулу (г), для tg a' получим:

tg«'

ту. Ду sino»¿ 4" mz • kz sin a¿

mK% , Ду eos й>г4 Д^ cosa¿

и наконец, после разделения числителя и знаменателя на Ал: и помня,

Ау „ tg 8

что

tga и

где а — простирание, а 8 — падение

Дх Дх cos a

прямой UT, можем написать окончательное выражение для tga' в виде;

Шу sino)2 sina m^sin a¿tg8

tga'

(3)

mx cosa -f~ friycos^z sinot-i- w¿cosa¿tgS

По полученной формуле (3), для любого вида параллельного проектирования, не трудно будет вычислить по известным простиранию и падению прямой в пространстве простирание ее изображения на проекции.

Ш

Вставив значение iga' из уравнения (3) в известную формулу

1-ftgatga'

получим следующее выражение для величины искажения азимутов:

. . „ musiría cosa -f- mysina sin( a — a>¿) -f- tnz\gh sin(a — az) ,

tg(a — 7 ) = —----------- (4 )

mjcCOS2a -J- meinet cos(a ~ -[- mztgS cos(a — a¿)

Найденное выражение (4) для величины искажения азимутов на проекции является общим для всех видов проекций параллельного проектирования на плоскость. Для получения значения искажения азимутов, отвечающего данному виду проектирования, достаточно поставить в формулу (4) соответствующие значения масштабов искажений и угла <o¿; так, например, для первой группы диметрических проекций простейшего вида при тх = m у — 1 и 0^^=90°) находим:

, , mz sin(a — az)

tg(a — a ) = ——--*-;-— , (5)

ctgo -[- m g cos(a,— az)

a для проекций простейшего вида полупрямоугольного рода изометрического класса:

tg(.' (6)

ctg о H" COS (a — «¿J

Масштаб искажения длины прямой произвольного

направления

Назовем длину проектируемой линии UT через I, длину ее изображения через Ii и обозначим через m частный масштаб искажения длины. Связь названных трех величин обыкновенно выражается формулою:

h

m = ——. /

Из треугольника ata (фиг. 2) имеем:

I* = m2xáx~ -f~ at2—2тЛхлЬ cos/

или после подстановки выведенного ранее значения для cosy:

ls¿ = т2хАх2 -j- at1 -f- 2 mxmyAxày cos<*>¿ -H 2 mxmzàxâzcos»*.

Вставив еще значение at'1, которое может быть получено из решения треугольника abt в виде

at2 = Я12уду- -}- m2zàz2 -j- 2mymzAyAzcos (a* — шД

лолучим

1Л- т2хАх2 + m2yáyí¿ -{-m2z&z2 -\-2mxmykxAy cosa), -f -\~2mxtnAx&zco$<xz 2mymzkykz co${<xz— ш2) m наконец, разделив обе части на Р и помня, что

F = + ду f JlL = tga, ^ = ,

&x àx cosa

получим для частного масштаба искажения длины при параллельном методе проектирования на плоскость, после некоторых преобразований, такое выражение:

т2= [/re2¥cos2a-f- m2ySinL>a]c0S28 + *nAySln28 -(- шхтуsin2ot cos28cos»z t-

■ f m^f/WySina cos(az — w2) + mucosa cosa J sin28 (7)

Полученная для частного масштаба искажения длин формула (7) так же, как и формулы (3) и (4), является общей для всех классов параллельного проектирования. После подстановки соответствующих значений для тХу ту> Шг и coz, для первой группы диметрических проекций простейшего вида находим:

т2 = cos28 +OT2asin2o + mzcos (a — a2) sin 25, (8)

а для простейшего вида полупрямоугольного рода изометрического класса

т?= 1 + eos (a— a¿)sin2 8. (9)

Масштаб искажения площадей

Представим себе некоторую плоскость, имеющую элементами залегания простирание— ар и падение—8^. Выделим из этой плоскости квадратную площадку ABCD, стороны которой пусть будут равняться единице, а следовательно, и площадь ее будет также равна единице. Допустим, что стороны AD и ВС взятого квадрата будут направлены по простиранию плоскости, а стороны АВ и DC—по падению ее. Так как при параллельном проектировании параллельные прямые изображаются параллельными

Фиг. 3

же прямыми, то, следовательно, изображение АфхС^ взятого квадрата АВСй в общем случае будет представлять параллелограмм, площадь которого Т7! может быть представлена в виде (фиг. 3)

где

. Fi = B1C1y^AíBl sin v, г> = 180° —(a2' -«,'),

¡' — простирание прямой -45 на проекции,

' --н . ВС ш 1

АХВХ и ВХС\ — длины сторон параллелограмма.

Назвав через т2 масштаб искажения длины для прямой АВ и через т1 масштаб искажения длины для прямой ВС и помня, что АВ = ВС — 1, найдем для сторон параллелограмма значепия:

AiBt = m2 и BxCx = mit

Вставив найденные значения для сторон параллелограмма и угла v в формулу для площади параллелограмма, будем иметь:

Fi — тхт2 sin (а2'— a/). (d)

Пользуясь приведенными выше формулами для тангенса азимута на проекции (3) и частного масштаба искажения длин (7), для направлений АВ и ВС, имеющих элементы залегания соответственно а~ая + 90°, и a = aPt 8 = 0°, получим следующий аппарат формул:

тх2 = т2хcos2otp + m2ysin2ap + 2mxmycoswz siWpQQsotp,

m22=m2xSin2apQQS2%p+m2yC0S2cLpCQS2bp+m22$\n\—2/n*/^coso>¿sina;Jcosc'/ícos^ —

—2/w^/w^cosazsinapsin8pcos8p + 2mymzcos{xz — w^cosot^sinS^cos^

mx$\napCos§p+myco$(ü2cQ$<xpcosbp^mzcosaz$\nbp

m2

cosa^=-

,_ /Hysinw^cosap eos Ьр + /Hzsina2sin87

Sin«9 —— ----

m2

, mx cosap +wycoso)zsina/7

COSí*i —----—----

mx

и

,_ my sin^ sinotp

sin#i —---,

mx

пользуясь которым найдем значение sin (а/ —«'i) в виде:

. sin (а/ — а/) = ^ \тхту sina^coso^ + mxm7ü\\oLzQosap$\mp r тхт2

+ тут zsin (a2 — ш2) sinap sin8p].

Вставив полученное значение sin(a'2— в формулу (d), для площади параллелограмма получаем окончательно выражение:

Fx = mxmysinu>z со$Ър + m^/WzSinatzCosctpsinSp + mym2$in(az-~ w^sinctpsinv

И наконец, назвав масштабом искажения площадей тр отношение площади изображения квадрата Fx к действительной его площади F, т е.

тр =

F

и помня, что, по условию, F = lt получаем для.масштаба искажения площадей в общем виде выражение:

тр = mÁmysmmzQO$bp-\-/Hvm2sinüEpCOsa/ísin8/74- /ny/nzsin(az— ü>¿)sinapsin8p. (10)

Подставляя соответствующие значения тх, ту> mz и <o¿, для первой группы диметрических проекций простейшего вида, получим:

тр = cos8p + mzsin(a2 — a^) sinS^, . (11)

а для простейшего вида полупрямоугольного рода изометрического класса

тр = со$Ь0 4 sin(a¿ — ар) sin8/;. (12)

Подразделение проекций плоскости по свойству

изображения

По свойству изображения проекции плоскости могут подразделяться пг следующие четыре вида:

1) равновеликие,

2) равноугольные

3) равноазимутальные,

4) произвольные.

При построении равновеликих проекций, сохраняющих истинную величину площадей отдельных фигур проектируемой плоскости, как известно, необходимо осуществить условие равенства масштаба искажения площадей единице, для чего приравняв единице уравнение (10):

?nxmysin<*>z cosomxmz simzcosoipsinbp + тутхsin(otz — ío^sinapSinS^ = 1, (13)

получаем должную для равновеликих проекций плоскости связь между масштабами искажений по координатным осям mXt ту> mz и углами

и <lz.

Назначив произвольно значения четырех неизвестных, входящих в условие (13), решением последнего найдем пятое неизвестное, определяющее равновеликость проекций.

Из числа возможных при параллельном проектировании равноугольных лроекций плоскости разберем лишь тот случай, когда плоскость проекции будет параллельна проектируемой плоскости, имеющей элементами залегания простирание ар и падение Ьр. Очевидно, что в этом случае (см. фиг. 1) значения углов а, 13 и у, определяющих положение плоскости лроекций в пространстве, будут:

cos я — sin ар sin Ър% cos [i — cos ар sin 8р и y = 8;? (е)

Вставив найденные значения для я, 0 и ? в формулы, определяющие значения углов между координатными осями на проекции (2), получим следующие три условия, выражающие связь между факторами, определяющими характер изображения (mXt ту, mZt naz):

cos ш.

= cos (a~ — Ш,) = - 1) cos2 s, + (mz2 — 1) cos* ap sin2 8,

(14)

2 my mz cos ap sin 8P cos Ьр _rft4a - (m*¿ — CQS" + — sin2 <*/> sin2 8,

•LOS «/у — COb 0LZ —-----

2 mx mz sin atp sin 8P cos ip

— 1) cos2 ap + (my2 — 1) sin2 ocp

COS Gb —---—---------

2mxmy sin ot0 cos otr

Для проекций, сохраняющих натуральную величину азимутов направлений, связь между величинами тХу myi m2t щ и а2 будет получена из условия равенства нулю выведенного ранее значения для величины искажения азимутов на проекции.

Приравняв к нулю уравнение (4), находим:

тм sin a cos а ~\- ту sin а sin (а — coz) mz tg 8 sin(ь. ..-»a*) = 0 (g)

Для определения условия равноазимутальности проекций плоскости положим первоначально в уравнении (g) азимут направления равным нулю и получим следующее частное условие равноазимутальности проекций плоскости:

— mt tg 8 sin = 0, (h)

J 56

откуда (так как в общем случае tg 8sin аа ф 0) имеем:

тг — 0.

Подставив найденное значение mz в уравнение (g), найдем: тх sin a cos а 4- sin а sin (а — о>г) = О или по сокращении на sin а:

тх cos а -{- ту sin (а — а>2) = 0 (/)■-

Для того, чтобы последнее равенство (i) при всех значениях азимута направления оставалось равным нулю, как не трудно видеть из конструкции самой формулы, необходимо, чтобы тх = ту и — 90°.

Таким образом для построения равноазимутальной проекции необходимы следующие условия:

тх = тУ1(аг = 90°ит2 = 0; (15)

угол og отсутствует, так как т2 = 0.

В тех случаях, когда факторы тх% ту,тг>и>гъаг не будут удовлетворять поставленным выше трем условиям, будут иметь место так называемые произвольные проекции.

Выбор проекции при изображении подземных разработок

Наличие бесчисленного множества различных проекций при параллель-ном методе проектирования дает большой простор и одновременно затрудняет выбор наиболее подходящей проекции для изображения разработок данного пласта.

Наиболее удобными для изображения подземных разработок проекциями (в смысле простоты построения), несомненно, будут такие, у которых по крайней мере два масштаба искажения по координатным осям равнялись бы единице.

Такими проекциями, как не трудно видеть из приведенных формул, будут являться при проектировании на горизонтальную плоскость проекций проекции, не искажающие азимут и длину горизонтальных прямых, т» е. род полупрямоугольиых проекций изометрического класса и все роды первой группы диметрических проекций простейшего вида, т. е. такие ди-метрические проекции первой группы, вид которых определяется углом = 0°, и масштабы искажений по координатным осям у которых равны тх — 1,ту = 1 и mz = tg«p. При проектировании же на вертикальную плоскость проекций (т. е. при построении профилей) лучше всего брать род полупрямоугольных проекций изометрического класса или любой род второй группы диметрических проекций простейшего вида (при р = 90°),

для которых mx¿ = — (1 + tg2 <р), ту2 == 1 и mz2 = — (14- tg2 ©).

2 2

Если на площади данного планшета изображаемый пласт залегает спокойно, т. е. не имеет грубых скачков в изменении его простирания и падения, то взяв среднее значение на изображаемой части пласта его элементов залегания, лучше всего выбрать равновеликую проекцию простейшего вида прямоугольного рода изометрического класса, как наиболее простую по построению и наиболее удобную в смысле подсчета запасов полезного ископаемого. Необходимый для построения такой проекции аппарат формул может быть легко получен из основных приведенных зыше формул, если в последних положить ср = 45°, « = 90°, р = 90° и ? =0

Исходя из формул (1) для масштабов искажения по координатным осям, ¡будем иметь значения:

тх — 1, му = 1 и тг = 1 •

Согласно формуле (2) для угла <ог получаем:

о>г = 90°.

Значение угла а£ получаем из приведенного в уравнении (11) условия равновеликости проекций в виде: '

эт (а* — ар) = .

л*

Искажение азимутов направлений, значение масштаба длин и масштаба площадей для данной проекции определяются выведенными ранее формулами (6), (9) и (12).

Для общих обзоров, при одновременном изображении нескольких пластов и дневной поверхности, наиболее подходящей (в смысле простоты построения) будет равноугольная проекция первой группы диметрическо-го класса простейшего вида, для которой аналогичным предыдущей проекции решением получаем

тх = гпу — 1, ш2 = 90°, а для величин тг и исходя из 1 и 2 уравнений (14), находим:

к2 = %р 4- 270°

Значение искажения азимутов, масштаба длин и площадей определится формулами (5), (8) и (11).

Более подробно вопрос построения наиболее наглядного изображения разработок данного пласта, очевидно, можно будет разрешить лишь только практически, так как наглядность данных изображений будет зависеть не только от элементов залегания пластов, но и от мощности пласта, а также и от принятой системы разработок полезного ископаемого.

Приемы построения изображения I пространственной точки Т в простейшем виде проекций диметрического и изометрического

классов

Так как для построения аксонометрического изображения подземных выработок чаще всего может встретиться надобность в получении изображения на горизонтальной плоскости, мы в дальнейшем будем принимать за плоскость проекций эту последнюю. Оси ОхХх и Ох Ух на плоскости бумаги будут при этом располагаться одна относительно другой под пря* мым углом (для простейшего вида 'Шг —90, тх'=пгу-=\), ось же 0Х2Х может располагаться произвольно.

Расположим оси ОхХг и Ох Ух так, как это принято при построении обыкновенных планов, т. е. направим ось ОхХх вверх листа бумаги (на север), а ось Ох Ух перпендикулярно к оси ОхХх вправо (на восток), ось же Ох2х проводим таким образом, чтобы она при точке Ох с осью ОхХх составляла некоторый угол а2, отсчитываемый по ходу часовой стрелки и определяемый из условий залегания изображаемого месторождения.

При построении аксонометрического изображения точки положение её может быть задано тремя способами:

1, Тремя координатами х, у и г.

2, Азимутом направления а на точку Т из некоторой второй точки £/, для которой аксонометрическое изображение и уже имеется, расстоянием / между точками О и Т и углом наклона к горизонту 8 для линии и Т.

3, Горизонтальным углом со, измеренным при точке и между направлениями на точки Т и V (точки и и V полагают^ уже нанесенными на проекции), расстоянием I между точками и и Т и углом наклона к горизонту 8 для линии ОТ.

Для построения изображения I точки Т при первом способе задания {см. фиг. 4) откладываем от точки Ох по оси ОхХг отрезок Оха — х> а по оси Ох К!—отрезок ОхЬ = у; восстановив из точек а и Ь перпендикуляры к осям ОхХх и Ох У|,на пересечении их находим некоторую точку ¿0 (точка ¿0 является ортогональной проекцией точки Т на горизонтальную плоскость), из которой проводим прямую, параллельную оси Ох Z1, и откладываем на последней от точки ¿0 отрезок = Полученная таким построением точка £ и будет являться аксонометрическим изображением пространственной точки Т.

В тех случаях, когда отрезки х, у и г значительны по величине и на плоскости бумаги уже имеются аксонометрические изображения некоторых точек, координаты которых так-же известны, надлежит определить 2 от ближайшей данной точки до точки Т приращения по координатам, вообразить в данной точке начало аксонометрических координат и проделать только что описанные построения с тем отличием, что на воображаемых осях придется откладывать не координаты точки Г, а приращения их от данной точки.

Построение изображения точки при первом способе ее задания еще более упростится, если вместо проведенных на бумаге аксонометрических осей построить координатную решетку по примеру координатной сетки при построении обыкновенных планов, т. е. провести на бумаге на равном расстоянии друг от друга линии, параллельные аксонометрическим осям, с пометками расстояния от начала координат.

В тех случаях, когда точка Т задана вторым или третьим способами, можно будет представить себе два случая ее расположения:

1- Прямые иТ и иУ горизонтальные (например, в штреке).

2. Прямые иТ и 1)У составляют с плоскостью горизонта некоторый угол 8.

В первом случае при втором способе задания (фиг. 5) надлежит через точку и провести прямую иЫ параллельно оси 01 Ль построить при точке а прямую иЬ под данным азимутом а и отложить на этой прямой отрезок Ы=1\ при третьем способе задания (фиг. 6)—при данной точке и построить прямую иЬ длиною равною / и образующую с данной прямой ЯФ угол со.

Если же прямая ЦТ будет наклонена под углом 8 к горизонтальной плоскости, то вместо угла а и длины /, проектировавшихся при горизонтальном положении От без искажения, придется строить некоторые угол а' и длину 1Л — т1, определяемые формулами (5), (6), (8) и (9;, или провести через данную точку и (фиг. 7) прямую — составляющую

Фиг. 4

с осью 01Х1 данный азимут а, из полученной та,ким построением точки гс прочертить направление, параллельное оси О^, на котором от точки Ь отложить расстояние = жением точки Т.

ХЛа/

а

/ / /

и

-ос

.'V

М 7

t

К

Фиг, 5

Фиг. б

Необходимые для построения точки t величины /в и Д^ являются гори-зонтальным проложением прямой UT и превышением точки Г над точкою U и определяются известными формулами:

Z0 = ZcosS

и

Д z = /sin §

Для нанесения изображения не ответственных точек величины $ и лучше всего определять графически, для чего надлежит, пользуясь приведенными формулами, построить предварительно соответствующие графики искажения длин и азимутов или воспользоваться графиком, дающим обе величины (а' и 1г) одновременно, построение которого, основанное на

принципах параллельного проектирования, надлежит производить, исходя из следующих соображений.

Взяв полусферу радиуса R= 1 в произвольном масштабе, рассечем ее рядом горизонтальных плоскостей, отстоящих от горизонтальной плоскости, проведенной через центр сферы на расстояниях, равных R sin 8 (фиг. 8 и 9). В результате такого сечения на поверхности полусферы получатся параллельные окружности радиусов, равных р — R cos 8. Соединив прямыми все точки полученных окружностей с центром сферы, получим ряд конусов с общей вершиною, в центре сферы, образующие которых будут наклонены к горизонту под углами, равными выбранным углам 8.

Спроектировав параллельными лучами, составляющими с перпендикуляром к плоскости проекций угол <р, все полученные конусы на горизонтальную плоскость, проходящую через центр сферы, получим на плоскости

Фиг. 7

бумаги ряд эксцентрических окружностей с радиусами p = #cosS, центры которых будут располагаться на одной прямой, исходящей из проекции центра4 сферы (вершины конусов) и отстоящей от нее на расстояниях Оси определяемых из прямоугольных треугольников ОТС и ОСсх (фиг. 8)'-формулой:1'

O^i = /? sinS tg ср.

Так как /?— latg? для проекций простейшего вида равен тг> выражение для Осх можно переписать в виде:

Осу = mz sin 8.

Полученные эксцентрические окружности будут, очевидно, являться аксонометрическими изображениями оснований конусов, а изображением вершин конусов явится центр сферы. По построенному таким образом

графику (фиг. 9) можно будет сразу определить и масштаб искажения длины и азимут направления на проекции, если представить себе еще все окружности оснований конусов и их изображения проградуированными

лу градусов, лежали бы на окружностях оснований конусов в одной вертикальной плоскости (на проекции прямые, соединяющие центры различных окружностей с одинаковыми пометками азимутов, между собой параллельны).

В самом деле, под любой образующей ОТ некоторого конуса ОАВТ можно будет подразумевать прямую, наклоненную к горизонту под углом о и имеющую азимут простирания равный <*; на проекции данная прямая изобразился прямою О/, где О—центр сферы, а точка Ь есть точка изображения окружности основания конуса, отстоящая от начала счета Ох на угловом расстоянии, равном а. Длина прямой 01 будет выражать собой

И.Изв. ТЛИ. т. 67, в. 2.

161

масштаб длин для направлений, определяемых азимутом а и падением 8, а точка пересечения ¿0 этой прямой с основной окружностью DE отметит на последней азимут (а') на проекции для взятого направления. В этом не трудно убедиться, если вспомнить значение частного масштаба длин и азимутов направлений.

Для масштаба искажения длин в простейшем виде проекции диметри-ческого класса мы имеем (уравнение 8):

т? = cos2 8 + т%2 sin2 8 -f mz cos (а — az) sin 2 8; (k)

разрешая косоугольный треугольник Ocxt относительно стороны Ot, находим:

Ot2 = te2 + Ос^-{-2 tcx. Осх. cos (a — a,); но согласно выведенному выше, tei = cos§ и Ocx — m¿ sin 8, следовательно Oí¿ = eos2 8 -j- sin2 8 -f mz eos (a — az) sin 2 8; (/)

сравнивая равенства (k) и (/), находим:

Ot — m.

Положив в уравнении (3) для tg— са азимута на проекции тх~ту — 1 и co. = 90°f длл диметрических проекций простейшего вида будем иметь:

, , sina + m^sina^tgS

tg« =-¡-ГТ-

cosa -f* mz eos az tg 8

Разрешая тот же треугольник относительно угла схOt, получаем:

tcx __Осх

sin ^ cxOt ~ sin [¿z + cxOt\

или, так как ¿c, = cos8f Осх = mz sin 8, ¿^Ocxt = 180° — (a* — a) и ¿£c\Ot —

_eos 8___W2Sin8

si n(<xz — ¿iXiOte) ~ $\n(</XxOh — a) '

откуда

tg¿= sin sin a¿ tg 8 . (n)

cos a 4- cos tg 8

сравнивая равенства (w) и (я), находим:

Итак, для определения масштаба искажения длины т и азимута направления на проекции а', подыскиваем на графике окружность, отвечающую углу наклона 8; на найденной окружности отыскиваем точку t9 отстоящую от начала счета 0° на угловом расстоянии равном а; точку t соединяем с точкою О прямой Ю—т\ измеряем длину прямой 10 —т\ определяем точку пересечения t0 этой прямой с основной окружностью и, наконец, определяем положение точки t0 на основной окружности, т. е, находим азимут направления на проекции а'.

162

Заключение

Сравнивая принятый для построения планов метод ортогонального проектирования на горизонтальную плоскость проекции (по приведенной ■классификации проекция эта относится к первой группе диметрического класса прямоугольного рода простейшего вида) и метод косоугольного параллельного проектирования диметрического и изометрического классов, можно отметить, что достоинством первого метода является неизменяемость азимутов направлений. В то же время этот метод, дающий видимыми лишь только два измерения, имеет большой недостаток—малую наглядность изображения, во-первых, и невозможность изображать на плоскости бумаги формы, расположенные одна над другой в горизонтальных плоскостях, во-вторых. В противоположность этому приведенный выше второй метод, обладая такими недостатками, как искажение азимутов направлений и значительное колебание частных масштабов, имеет преимущество—сохранять хорошую наглядность изображенных форм.

Если еще принять во внимание, что применение числовых отметок в простейшем виде проекций диметрического и изометрического классов (оредложенного мною в работе „Начала метода числовых отметок в простейшем виде параллельных проекций диметрического и изометрического классов") позволяет довольно легко решать все задачи, связанные с определением натуральной величины искаженных форм и задачи на проектиро^ яание, то можно надеяться, что этому методу будет отведено соответствующее место в решении различного рода задач и главным образом в горной промышленности при изображении и проектировании подземных разрабо-.т<?'<- полезного ископаемого в крутопадающих и мощных пластах.