Графический метод определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доцент В.Ф. ТУРНИНСКИИ.

Графический метод определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта.

1!111111111!1111111!1111

томск 1929

/

Доцент В. Ф. Турчинский.

Графический метод определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта.

Введение.

Предлагаемый графический метод определения направлений прямых падения и простирания в данной точке поверхности пласта *) опирается, во первы;:, на один из отделов начертательной геометрии— отдел проекций с числовыми отметками—и, во вторых, на определении лоложения точки на конической поверхности.

ГЛАВА I. Построение конической сетки.

* 1.

В связи с дальнейшим необходимо напомнить решение следующей задачи:

Дана прямая двумя точками ее — А и В, отметки которых пусть будут, соответственно: гх =— 3, з:в = —7; требуется определить точку встречи прямой АВ с горизонтальною плоскостью проекций, отметка которой пусть равна нулю (черт. 1),

Решение: так как искомая точка должна иметь отметку О, то вращаем горизонтально-проектирующую плоскость прямой АВ около ее горизонтальной проекции аЬ вправо или влево до совмещения ее с плоскостью проекций (плоскостью чертежа). Вращаем влево. Тогда совмещенное положение А0 и Во точек А и В расположится на перпендикулярах к прямой аЬ, соответственно в расстояниях (—3) и (-|-7). "Соединив теперь точки А0 и В0 прямою, получим совмещенное положение А0 В0 прямой АВ (черт. 2). Точка пересечения X прямых АеВо и аЬ—искомая точка встречи прямой АВ с плоскостью проекций.

Замечание 1. Если направления прямых А0 В0 и аЬ таковы, что они пересекаются под Д,

острым углом, то для точного определения положения точки X их пересечения необхе-димо, как известно, отметки точек А и В ув-личить в одно и то же число раз.

Заметим еще, что при определении точки X прямые ЬВо и аАо можно провести, соответственно, в любом, параллельном друг другу, направлении.

*) По данным шурфования: (аг. йД (а3, 1ь) двух следов плоскости пласта на вертикальных стенках шурфа и отметке точки схода их.

Замечание 1. вх и г2—азимуты.

\\1 и Ь2—углы падения. I

Замечание 2. Все остальные случаи разведки, при решении вопроса определения элементов залегания поверхности пласта в данной точке, приводятся к случаю шурфования.

/

Замечание 2. Возможен случай, при котором указанное преобразование отметок концов прямой невозможно (см. § 11). Та же задача, как известно, просто решается, взяв две взаимноперпендикулярные плоскости Ни V: достаточно лишь провести в плоскости чертежа где— —либо ось проекций ОХ, Решение задачи см. черт, 3.

Замечание 3 В дальнейшем мы будем прибегать к тому или иному решению поставленной выше задачи.

§ 2.

Остановимся теперь на определении положения точки на конической поверхности.

Возьмем коническую поверхность (черт. 4), координаты центра S (S') которой суть (0,0, с) [где с^0]и направляющей служит окружность PQ:

х2 + у2—R2 = 0 )

z 0 }.........

Тогда уравнение конической поверхности, как известно, будет:

х2 + У2 —tg2a(z — c)2^0,........ . (2)

где а — угол конусности.

Выразим уравнение ее в сферических координатах, приняв начало координат за полюс, ось Z за полярную ось, а плоскость ZOX за полярную плоскость.

Для произвольной точки ее (г, G, ср) имеем:

x = rsin6cos<p y = rsin6sintp z — г cos б,

где г — радиус-вектор; 6 и ср—соответственно, зенитное (полюсное) расстояние и азимут (полярный угол) радиуса—вектора.

Тогда уравнение конической поверхности примет вид:

г2 sin2 е — tg2a (г cos е — с)2 = 0.......(3)

Возьмем предположения: Z

I. с>0

и, кроме того, пусть координата г точек конической поверхности удовлетворяет условию:

c>z>0.

Тогда получим часть конической поверхности, находящуюся над горизонтальною плоскостью Н и представляющую нижнюю полу ее.

В этом случае каждая из точек, допустим А, конической поверхности определяется пересечением трех поверхностей: заданной конической поверхностью (2), вертикальною полуплоскостью, определяв мою полярным углом ср —а и коническою же поверхностью, центр которой совпадает с полюсом 0 и уравнение которой: 0 = С.

Принимая, при нашем предположении, точки заданной конической поверхности за концы векторов, исходящих из полюса О, видим непосредственно из чертежа, что направление любого вектора определяется тождественно теми же сферическими элементами, как и точки заданной конической поверхности. В настоящем случае <р = а изменяется

ТС

•от 0 до 2 тс, а 6 — С — от 0 до — •

2

Заданное значение 6, при © переменном, определяет на конической поверхности окружность, представляющую геометрическое место концов векторов; плоскости окружностей, отвечающих постоянным б, перпендикулярны оси конической поверхности.

Приняв далее 6 как параметр, определим семейство или систему окружностей на взятой части конической поверхности, отвечающих

векторам, зенитные расстояния которых изменяются от 0 до -)- —

ТС

{или углам падения их, изменяющимся от-)--до 0).

2

II. Возьмем теперь другое предположение: с<0, а координату г точек конической поверхности удовлетворяющую неравенству:

0>2>с.

Получим второй конус, Б', симметричный первому Б, относительно горизонтальной плоскости Н, и пересекающийся с ним по окружности Р(3, отвечающей точкам конических поверхностей, Б и Б', для

тс

которых зенитные расстояния 6 = — . [Оба конуса Б и Б' представ-

2

ляют зеркальные изображения один другого].

Путем рассуждений, аналогичных рассуждениям, относящимся к первой конической поверхности Б, придем к заключению: на конической поверхности Б' получим также семейство или систему окружностей, симметричных окружностям на конической поверхности Б и отвечающих геометрическому месту концов векторов, зенитные расстояния которых

изменяются от-{--^- до4-^и, соответственно, углам падения векторов

— от 0 до—— 1 .

2/

Переходя к дальнейшему, заметим, что, при переменном азимуте ® и зенитном расстоянии 0 = сопз1апз, координата г соответственных точек поверхностей конусов Б и Б'—величина постоянная.

Спроектируем теперь две системы окружностей, соответствующих первой 5 и второй Б' коническим поверхностям, на горизонтальную плоскость Н. отвечающую полюсу 0. Спроектируются они концентрическими окружностями в натуральную величину. Так как две системы окружностей поверхностей Б и Б' симметричны плоскости Н, то проекции их совпадут, и каждая из проекций окружностей будет иметь две отметки, отвечающие векторам, зенитные расстояния которых дополняют друг друга до тт.

Ясно, что семейством проекций концентрических окружностей, выраженных отметками зенитных расстояний, и семейством следов вертикальных плоскостей (так называемой розой азимутов), выраженных

отметками полярных углов—азимутов, вполне определится (взаимными пересечениями их) как положение точек концов векторов, лежащих на конических поверхностях Б и Б', так и координата их — ъ.

В самом деле. Допустим мы построили для заданных конусов упо- ^ мянутые выше системы проекций концентрических окружностей и $ следов вертикальных плоскостей. Пусть заданы: азимут а и зенитное * расстояние £ вектора (что мы и имеем при шурфовании для каждого- * из следов плоскости пласта на вертикальных стенках шурфа). *

Находим точку встречи Ь направления а с окружностью, имеющей отметку £ (см. черт, 5).

Вращаем теперь горизонтально-проектирующую (вертикальную) плоскость заданного вектора около ее горизонтального следа ММ дс совмещения с плоскостью проекций.

По отметке , с" вершин конусов найдем совмещенное положение образующих конусов. Восставив из проекции Ь, конца В вектора ОВ, перпендикуляр к оси вращения ОМ и найдя точку Во встречи его с совмещенным положением соответствующей образующей конуса, видим, что искомая координата г конца В вектора ОВ определяется отрезком ЬВо.

Замечание 1. Легко видеть, что совмещенные положения соответствующих векторов можно получить иначе, именно приведя сначала горизонтально-проектирующую (вертикальную) плоскость соответствующего вектора (и образующих конусов), путем вращения около оси С^,. в положение, совпадающее с основною вертикальною плоскостью ЫЯ — плоскостью меридиана (или с плоскостью 0\У, перпендикулярной N5).

Замечание 2. Нетрудно усмотреть, что лучи розы азимутов в то же время могут рассматриваемы, как совмещенные положения векторов (или—как роза зенитных расстояний, высот, углов падения): следует только представить себе повернутою горизонтальную плоскость Н розы азимутов около прямой — следа меридиана—(или прямой 0\У) до совмещения ее с вертикальною плоскостью, отвечающей той же прямой N5 (или прямой ОАУ). |

В дальнейшем мы воспользуемся именно последними двумя * замечаниями. *

§ з.

Полагая известным построение розы азимутов, приступим к построению семейства концентрических окружностей, выраженных отметками зенитных расстояний.

Берем произвольное вертикальное осевое сечение (отвечающее, например, прямой N5) одного из конусов при заданных: расстоянии его вершины—центра от плоскости Н проекций и угле его конусности. Проведя через полюс О лучи иод различными зенитными расстояниями, изменяющимися через определенный интервал и найдя точки их встречи с одной из образующих, проектируем последние ортогонально на горизонтальный след взятого нами вертикального сечения. Расстояния полученных проекций точек от полюса О суть искомые радиусы проекций окружностей, как геометрических мест проекций концов векто-

\

Ж- / A 1»

^rr X

о.

^á/i m 6

ров— следов, Остается теперь дать каждой из полученных окружностей отметки, отвечающие векторам, зенитные расстояния которых, как мы знаем, дополняют друг друга до тс.

Остановимся несколько подробнее. Взяв вертикальное осевое сечение конуса и обозначив угол, составляемый образующей с основанием конуса, через проведем из полюса О систему прямых-векторов, равнонаклоненных под произвольным углом а друг к другу и притом такую, в которой одна из прямых ОР перпендикулярна образующей КЫ (см. черт. 6).

Тогда: наклонные прямые, расположенные по каждую из сторон перпендикуляра ОР (ОР') к образующей КЫ(КБ), будут отсекать, как

известно, на образующей отрезки, последовательно возрастающие направлении от основания перпендикуляра Р (Р') к точке N (Б).

Поэтому:

PP1<P1P2<P2P3<. • ■ . .(й)

Так как отрезки образующей КЫ (КБ) принадлежат одной прямой, то последовательно же будут возрастать и ортогональные проекции их на ось БЫ,

Найдем проекцию /х наименьшего отрезка / = РРЬ отвечающего

выбранному нами углу а.

Проекция /х наименьшего отрезка / равна разности радиусов смежных концентрических окружностей с отметками зенитных расстояний 1 и 1: + о£, именно:

1

в

Естественно теперь перейти к определению радиусов гп окружностей, отвечающих векторам, зенитные расстояния которых изменяются через а. Примем ось конуса ОК за ось ОZ, горизонтальную проекцию одной из двух образующих за ось ОХ. Проведем векторы (см. черт. 7). Замечаем, что радиусы гп последовательных окружностей суть координаты хп точек Рп, отвечающих точкам пересечения последовательных радиусов— векторов с образующей.

Уравнение образующей KN в нормальном виде Гессе:

xcosp-f-28^ — р = 0. . . . (1)

_ Из треугольника OPN, прямоугольного при точке Р, имеем

(ON = R):

р = R sin t

Уравнение (1) примет вид:

х sin t-f-z cost—Rsin t —0.........(2)

Уравнение вектора Рп:

z = xtgo.............(3)

Уравнения (2) и (3) совместно определяют координаты хп и zn произвольной точки Рп образующей. Вставив (3) в (2), получим:

xn (sin t -f- tgЬ cos t) = R sin t;

откуда:

R sint cos § /T4 х» ^ = r".........(I)

формула, определяющая радиусы rn последовательных концентрических окружностей.

§ 4.

£ = t + х

Определение /х = Д г^ ^ —

Из чертежей б, 7 находим, что

/,=+(Ч г-,--. х>_о)........О)

-1- * 8 = р + а 8 = ¡3

следовательно:

Т

а поэтому, в силу формулы (I) § 3, имеем:

X —

R sin t sin (t + а)

о = р + а С08а

Rsintsint . „ ,Qs х = -= R sin-1......(3)

8 = 3 sin^-2

Вставляя (2) и (3) в (1), получим:

. . _ . , í sin(t + a) . , ]

I =-hRsint{-v — — sint —

i eos a J

, ~ . , í sin t eos a + cost sin Я . , I

= + R sin t {-=--sin t \ =

[ COS ОС J

= + R sin t (sint + cost tg a — sin t) = R sin t costtg a, и окончательно:

C = t + « 1

lx = Ar = —— R sin 21 tg at........(II)

C = t 2

При данном значении ос, наибольшее значение наименьшего от-

резка / отвечает t = —, в силу чего:

4

TZ

1

(Дг) . ={1\ =(Дг) 4 = 4-Rtga, . . . .(III)

V /min 4 x/max \ / ^ 2

r=T

и неравенство (G) даст:

:=- + « c = -±2.

(ДОш,„ = (Дг) f <(Аг) 4 <

с-—±« •

4 4

£ — — + 3« ü = —+ na

<(Ar) t <. . . . <(Ar) 4 . . .(K)

С = —- + 2a i = + — l)a

4 4 —

При обычных размерах ватманской бумаги можно свободно взять R = 250 шт. Полагая затем а =15 минутам [точность непосредственного измерения азимутов и зенитных расстояний или углов падения], находим по формуле (III):

(Аг) = --- . 250 . tg 15'= 0,54541

V /min л

mm

Следовательно (Аг)т1п удовлетворяет неравенству:

0,6 тш>(Аг)п11п>0,5 шт.

В силу неравенств (К), разность радиусов всех остальных последовательных окружностей будет больше (Д г)т1п . Так как, при тщательном вычерчивании, ширина штриха, отвечающего линии, не превосходит 0,1 шш, то ясно, что, в пределах точности вычерчивания линий, предлагаемая коническая сетка может быть свободно построена для всех азимутов и зенитных расстояний с интервалом в 15 минут.

§ 5.

Построение роз азимутов и зенитных расстояний. Коническая сетка.

Согласно замечанию 2 § 2, достаточно построить только розу азимутов. Применим при построении углов метод хорд; при этом достаточно было бы, как известно, построить углы т в пределах двух, каких-либо, смежных квадрантов. Независимое построение углов па в пределах двух смежных квадрантов послужит поверкою правильности построения в пределах первых.

В нашем случае а = 15'; точность откладывания расстояний в плоскости бумаги примем з —+ 0,1 гпт. Радиус вспомогательной ок-

ружности, центр которой совпадает с точкою О—точкою пересечения оси конуса с горизонтальною плоскостью Н—, определяется, как известно, по формуле:

3438

1 +4 8Ш2

А

асоэ

, как видно из формулы

О<А : — 2

Вставив в формулу значения:

а = 15'; а:— 0,1 шгп и А —

, будет при А

, получим:

гтах = 56 тт. (с недостатком). В нашем случае гтах — И — 250 тт.

Заключаем, что ошибка построения углов (азимутов и зенитных расстояний) не превзойдет величины равной + 4' (с избытком); последнее значение определится из формулы:

3438

4 эт*

А

г соэ

вставив в нее значения:

0,1 шш; А — иг 2

И = 250 тт.

Приступим теперь к построению' роз азимутов и зенитных расстояний в. связи с построением концентрических окружностей, как геометрических мест проекций концов векторов (черт. 8).

Чертим отрезок ОБ, равный 250 шш; из точки О, как центра, описываем окружность, радиуса, равного 250 тт. Далее, принимая ОБ за одну из сторон искомых углов, строим при стороне ОБ последовательно углы, изменяющиеся через интервал в 15'.

Именно: из точки Б, как центра, описываем последовательные окружности, радиусов равных хордам, отвечающим ОБ =250 тт. и углам пос;* (п изменяется через единицу от 1 до 360> и а = 15').

Проведя прямую БК (совмещенное с вертикальною плоскостью-меридиана БЫ положение образующей конуса) и найдя точки ее пересечения с лучами 02п, получаем ординаты (А0 а0, В0 Ьо, Сос0 . . .

определяющие на прямой ОБ радиусы Оао, ОЬ0 Ос0 .... системы концентрических окружностей, как геометрических мест проекций концов векторов, и таким образом приходим к конической сетке.

Замечание /. Коническую сетку лучще изображать на миллиметровой клетчатой бумаге, как это будет вытекать из приводимых ниже примеров.

Замечание 2. При построении сетки именно лучше определять радиусы гп вычислением.

Мы ранее приняли 1 = ~ , поэтому:

4

Коническая сетка изображена на чертеже I, на котором розы ■азимутов и зенитных расстояний (углов падения) построены через интервал в 7°,5. Окружность, отвечающая Ь = + 22°,5, касается, совмещенной с горизонтальною плоскостью проекций Н, образующей конуса в ее средине (что легко доказать).

Замечание 3. На чертеже каждая окружность имеет отметку, отвечающую углу наклона соответствующего вектора к горизонтальной ¡плоскости Н.

ГЛАВА II.

Наивыгоднейшие условия построения конической сетки.

§ 6.

Мы видели, что определение радиусов окружностей, отвечающих заданным зенитным расстояниям *п, связано с предварительным определением точек пересечения направлений Сп, исходящих из полюса О, с соответствующей образующей конуса.

Естественно может быть поставлен вопрос о точности определения положения точек Рп пересечения упомянутых направлений, исходящих из полюса О, с соответствующими образующими конуса.

Ошибка в положении произвольной точки Р пересечения будет зависеть от ошибок направления вектора, определяемого зенитным расстоянием С и азимутам а, и направления 1 образующей конуса. В дальнейшем примем эти ошибки направлений—1, С и а—равными:

3t = Sc = 8а

О.

взято по абсолютной величине].

Приняв во внимание на время только ot и

легко усматриваем, что любая точка Р пересечения направлений С и t (черт. 9) определяется „засечкою вперед" относительно двух постоянных (данных) точек О и S (или, соответственно, О и N).

Обозначив переменный угол SPO через ср, средние ошибки углов POS и PSO через 8, среднюю ошибку положения точки Р через М, будем иметь:

М

Sin Ф

SP2 + ОР2 .

Замечание. Для прямой, определяемой точками 8 и К,

7Г > ? > 0.

Далее, ошибка 5а азимута вектора (ОР) даст перемещение РР0 точки Р по дуге окружности в плоскости, проходящей через точку Р и перпендикулярной оси ОК конуса.

На чертеже 10: ОБК—вертикальное осевое сечение конуса. ОК-ось конуса. БК—образующая ¡конуса. О —полюс. ОР—радиус-вектор

/О

OSK = t; Г SPO

POiP0

рр

m.

Вследствие малого перемещения точки Р, по дуге РР0 окружности в точку Р0, мы, ошибку т, обусловленную 8а> будем рассматривать как параллельное перемещение плоскости БКО на величину перпендикуляра Р0Р1.

При И = 250 шш. и угле = 15' величины дуги, геометрических

1 1

синуса и тангенса равны l,0q08 с точностью до

104

В таком случае выходит, что средняя ошибка (берем абсолютную величину) положения точки Р есть: *

(И)

Обозначив радиус окружности, отвечающей точке Р, через г, будем иметь:

и, следовательно, (И), в связи с (I), даст:

М 2

62

Sin- 9

SP2 + OP2 + Г2 82 = 82

Sp2+0p2+r2

SinJ cp

М

Далее, из чертежа имеем: откуда:

/SP» +OP' sin2 cp

= t + <P,

+ Г2

(t + cp)

Обозначив OP = R, получим:

г = R sin С = — R cos (t + ср) Полагая SO = b, из Д-ка SPO получим:

sin t

OP = R = b

Sin 9

(2), в связи с (3), дает:

Из Д-ка SPO имеем:

, sin t ,, i ч

b-cos (t -J- <p)

sin Cp

C = 7T—(t + cp)

(6), в связи с (5), дает:

sin 9

SP

= b _sin(t + ?)_ sin cp

откуда:

(но

(о (2)

(3)

(4)

(5).

(6)

(7)

Вставляя значения SP, OP иТ в формулу (III), получим:

b2 sin21 cos2 (t + ф)

Мр2 = 82

b2sin2(t-f-cp) b9 sin2!

Sin2cp

sin 2 ср

sin2 cp

b2 82

1

sin2? | sin29

sin2 (t —j— ф) —j— sin21

sin2 <p + sin21 eos2 (t + cp)

откуда:

M.

b 8

—1/=

Sincp y si

sin2 Ф

sin2 (t + cp)-j-sin2t

sin2tcos2(t-j-9) .

Обозначая

M.

b8

— {х и называя последнее мерою точности определе-

ния положения точки Р,*) получим: 1

sin ср

1

sin2 ф

sin2 (t + фН- sin21

sin21cos2(t + ф). . (A) .

—искомое уравнение кривой точности определения положения точки Р.

Принимая в формуле (А) величину \ за параметр, а ср за перемен ную, изменяющуюся в пределах тг>ср> 0, мы могли-бы найти интересующий нас, для каждого заданного ^ именно ех^етит у, или ехкетшп же у, приняв 1 и ? либо независимыми переменными, либо удовлетворяющими условию:

1 2

где С — параметр.

Аналитическое решение этой задачи мы опускаем. Обратимся теперь к графическому изображению функции у или, проще, функции Ьу. Мы имеем:

М„

= Ы

(8)

С другой стороны, по формуле (III),

М.

82

SP¿ + OP

Sin^ ср

(IHi)

Сравнивая (8) и (III]), получим:

b^|/sP' + OP' + I,

Sin- ср

:) См. Иордан. Руководство высшей геодезии.

откуда:

SP2 -f

OP

b2

sin2 cp § 7.

Графическое построение выражения

Выражение (1У)представляет гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого суть:

j/"spa+c¡p2

и г.

smc?

Построим сначала выражение

VsP

2 + ОР2

Sincp

, а затем (IV).

Построение выражения

Ksp2 + op2 в

sino

Пусть имеем (черт. 11) вертикальное осевое сечение конуса. Возьмем произвольную точку Р образующей sk и соединим ее с полюсом о. Далее восставим к прямой sk в точке р перпендикуляр рр2 и отложим на нем от точки Р отрезок РО' —РО. Тогда отрезок

SO'

/

SP 4-ОР'

(1)

откуда:

pd

Затем к той же прямой БК (образующей) восставим в точке Б второй перпендикуляр 8С и отложим на нем от точки Б отрезок 5С = 50'. Через точку С проведем прямую СО, параллельную прямой X БК. Находим точку О встречи прямой СО с прямой РО. Отрезок Р£) — искомый.

в самом деле: проведя из точки О прямую ОЕ, параллельную БС, из треугольника РОЕ находим:

ЁО = РО этср,

УЪ>2 + ор2

Остается теперь отрезок РБ от точки Р отложить по направлению РО'. Соединив точки Р1 плавною кривою, получим графическое изображение выражения

]/]5Р2 ОР_а

Замечание. Как легко видеть, кривая изображает именно функцию (Ь[х0) точности определения положения точек пересечения векторов с образующей конуса при существовании только ошибок 8Г и направлений векторов и образующей конуса. "

Приступим теперь к графическому изображению функций (IV). Опустив из точки Р перпендикуляр Р(3 = г на ось конуса ОК, отложим отрезок Р(2 = Р(3 —г от той же точки Р по направлению ЭК. Проведя через точки С}' и прямые, параллельные, соответственно,

РРх и БК, получим точку Р0. Отрезок РР0 —искомый. _

Отложив на перпендикулярах к 5К от точек Рп отрезки РР.^^РРо и соединив концы их плавною кривою, получим графическое изображение изменения функции Ь^, а следовательно легко получить и (Ь — сопз1апз).

Подобное построение функций:

]/~§Р2 I ОР2 .

---1--и

эту

указано на черт. II при значении Как видим, течение точек

кривой таково, что \ьт{п отвечает углам:

Со =51° 30' и <ро = 96030'; [?0 = Со + 45°]. Для значений: С > С0, ?>?о и С < ?<?0 ординаты кривой непрерывно возрастают.

§ 8.

Из рассмотрения графического изображения функции Ъ\ь (след. и [х),

4. 71

соответствующего углу х = —, мы видим, что предельные значения

4

7Г

этой функции, отвечающие зенитным расстояниям С = 0 и С = —, неоди-наковы.

То же явление будет обнаруживаться и при других значениях угла I, Естественно, поэтому, поставить вопрос определения такого значения угла 1у при котором меры точности, отвечающие крайним значениям тг

С:— и 0, ^_ тг и [л _ф были бы равны или, по крайней мере,

мало отличались друг от друга.

Обратимся к формуле (V) § 6 и рассмотрим нижеследующие предположения.

I. цг=

2

В треугольнике бро (черт. 11) точка Р совпадает с Б, поэтому:

бр2 ~)-ор2 — Ь2; г — Ь и о = тг — 1. •Формула (V) принимает вид:

Ц -- —

1

;т31

1,

(I)

«откуда:

/

в нашем случае

2

— 1

■к

Так как должно быть выполнено неравенство:

0<5Ш1<1,

то имеем:

V-2 — 1 >1,

ч-

2

и окончательно:

2

Итак, при любом заданном удовлетворяющем в нашем случае неравенству

т>,>0-

всегда имеем:

!'4142.....

Рассмотрим теперь предположение:

С = 0.

В треугольнике SKO точка Р совпадает с точкою К.

OP = btgt.

SP = b sec t,

и

OP2 + SP2 = b2 (tang21 + sec21) = b2 (1 -f 2 tg21); r = 0

? = —-t; c = 0 2

следовательно

sin <p = cost. Формула (V) § 6 преобразуется в

-Ц-l/ l+2tg=t.......(И)

ist у

По условию

i>t>0.

и, следовательно, из формулы (II) вытекает: значение ¡^_^ таково,

что всегда имеем ^_^ > 1.

С —О cos

Итак, в результате:

0>1 ir >1,4142

о

В связи с дальнейшим, преобразуем формулу (И). Имеем:

sin21

1+2

г С = 0 = eos21 ~ (1 — sin21)2

1 — sinn 1 — sin2t+ 2 sinn uA — —

1 +sinn_ '..........(Ш)

(1 — sin2 t)2

Найдем теперь то значение угла t, при котором

¡V _ 77 = ^ = 0.

2

Возвысив выражение (I) в квадрат и приравнивая его выражению (III), получим:

1-1-sinn _ 1 ~j-sin2t ^

sin21 ~~ (1 — sin21)2 .Преобразовав (IV', получим:

sin4t —3 sin2t+ 1 = О,

откуда:

Согласно условию и задаче отвечает при котором

л[ з-К5

sint = + у - У

2

Ограничиваясь при вычислении до секунд, получим

t = 38° 10' 22".

Замечание. Разделив уравнение (IV) на

1 -j— sin21

и извлекая из обеих частей его квадратный корень, получим:.

1 _ 1 sint 1 — sin21

или

sin214-sin t— 1 =0,

откуда:

Sint =---------•

2

Задаче отвечает корень

Y 5~— 1

2

и, по предыдущему,

1 = 38° 10' 22".

Вставляя полученное значение 1 в каждую из формул (I) и (II). получим:

\ьг_^ = 1,90 (с недостатком).

2

_ тг

Итак, в результате исследования мы нашли, что при угле 1 = 38° 10'22" мера точности ^ отвечающая крайним точкам любой образующей прямого кругового конуса, одна и та же; именно:

¡1> __ = __ 0 = = 1,90 (с недостатком). 2

Замечание. Из формул (I) и (II) следует:

1) уменьшая меры точности таковы, что для значений 1 <38° 10'22"

2

2) увеличивая t, меры точности таковы, что для значений t> 38° 10'22"

^ = <*Vs и \=0>РК,* ' 2

Сказанным наше исследование еще не закончено, что подтвердится последующим.

Наименьшая разность /х радиусов двух смежных концентрических окружностей (при выбранном значении угла а) должна быть такова, чтобы последние при начертании не сливались. Последнее, как известно, возможно только при условии:

/х>0,2 mm.

Поэтому [формула (II), § 4] выражение

= Rtga sin2t

должно удовлетворять неравенству:

-у Rtgoc Sin2t>0,2,

откуда:

sin 2 t >0,4 — ctga . R

Полагая

R —250 mm и а.— \Ъ', получим:

sin 21 > 0,4 —-— ctg 15', 250

откуда

2t>21°30'42"...........(1)

и

180° — 2t>21°30'42".........(2)

Соответственно (1) и (2), получим:

^>10° 45'2 1"

и

t2<79°14'39".

Окончательно:

10° 45' 21" < t < 79° 14' 39"........(В)

—условие, при котором окружности при начертании не сливаются при данных значениях: R —250 mm. и а =15'.

Приходим к заключению, что найденное выше значение t = 38° 10'22" удовлетворяет неравенству (В).

Приведем еще значения;

1) наименьшей разности радиусов /х = (Дг)т1п [формула (II) § 4} и высоты Ъ конуса (Ь = 1), отвечающих углу 1 = 38° 10' 22";

2)

ч-

7Г И IX

С = 0 [формулы (I) и (II)], отвечающих'углу t =

тг

Имеем:

/х = (Дг)ш1п = 0,5300037. h= 196,538181 . . . mm. = 1,73204 . . . .

2

2,4495 ....

шт.

»V

!V

о

Сравнивая значения ^г

и

0'

отвечающие, соответствен-

но, углам t = 45° и t = 38°10'22", мы убеждаемся непосредственно, что лучше пользоваться конусом, отвечающим углу t = 38° 10' 22".

Замечание. Понятно, что не исключается возможность пользоваться сеткою, построенною для других значений угла t [например t = 40°,35°...]; в этих случаях должно быть поставлено лишь условие, чтобы, отвечающие каждому случаю, _ и ¡jy_ мало отличались друг от друга.

--S - U

2

Вывод формулы (А) § 6 можно сделать и иначе.

Возьмем (черт. 12) вертикальное осевое сечение семейства конусов. Пусть ÜN — радиус основания семейства конусов. ОК — направление общей оси семейства конусов.

Р — точка пересечения одного из векторов с образующей одного из конусов. < OPN = <pi Обозначив углы при основании ON через h и t, приняв далее ON за ось ОХ, ОК — за ось ОУ и назвав координаты точки Р через х и у, из соответствующих треугольников получим:

b sin h

ОР

b sin t

. (3); NP

Sin cp

. (5); y = (b — x) tg t

sm <p y — x tg h . . Сравнивая (5) и (6), получим:

xtg h = (b — x) tg t,

откуда:

__ btgt

(4) (6)

Далее имеем:

tgh + tgt

h + t-f <p

b eos h sin t sin (h + t)

(7) (8>

Исключив из (4) и (7), при помощи (8), угол h, получим:

ÑP — b 51П» + Ф) .........(9)

sin ср

х = _ b sintcos(t + y)........(Щ

sin ср

Полученные формулы (3), (9) и (10) тождественны, соответственно, формулам (3), (7) и (4) § 6.

Изобразив графически или аналитически функцию ¡а 1иеры точности [формулы: (IV) и (А) § 6] для значений t, определяемых неравенством (В) § 8, мы найдем, что каждому значению t будет отвечать единственный вектор (а следовательно и единственное значение С), при котором значение [х — minimum, и следовательно наиболее точно определяется положение точки пересечения его с соответствующею коническою поверхностью. Дальнейшее же возможное исследование [которое нами произведено, но не приводится], с точки зрения именно практического использования его при всех случаях заданияС, является излишним (смотри замечание относительно определения extremum'a меры точности ¡¿).

ГЛАВА III.

Решения вспомогательных задач.

§ 9.

Решению по предлагаемой конической сетке поставленной задачи— определения направлений прямых падения и простирания—необходимо предпослать решения ряда вспомогательных геометрических задач, на которых опирается решение нашей основной задачи:

I.

Пусть даны в пространстве два вектора 01 н ОН, Первый и второй векторы заданы координатами начала О векторов (0,0,0), азимутами аЬ2, зенитными расстояниями СЬ2 и координатами z1)2 концов векторов, причем:

0<Zi<~ и Zl>0.

Z

И Z2<0.

Предложим найти пересечение плоскости, определяемой векторами, с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей началу О векторов.

Решение. Одна из точек искомого пересечения, как видно,—точка О; другую— Р—получим, соединив концы векторов прямою и найдя пересечение последней с горизонтальною плоскостью Н (черт. 13).

Замечание 1. Читатель без труда убедится в следующем: если С1 и С2 векторов одинаковы:

или

то предварительно необходимо азимут и зенитное расстояние одного из векторов, не изменяя его величины (и допустим 01), преобразовать при том же начале на прямопротивоположные; именно берем:

а1, = а1 + и .

С/= и-С, .

Замечание 2. а) Если расстояние между точками О и Р мало, то достаточно (полагая С1 и неодинаковыми) векторы, не изменяя их величины, преобразовать, при том же начале О, на прямопротивоположные. Найдем третью точку Р1 искомого пересечения, симметричную р, относительно точки О;

Ь) если С1 и одинаковы, то предварительно один из векторов подвергаем указанному выше преобразованию (замен. 1).

И.

В предыдущей задаче предполагалось, что расстояние между проекциями концов векторов достаточно. Пусть теперь это расстояние мало. Чтобы избежать в последнем случае значительной ошибки в проведении прямой, соединяющей проекции концов векторов, мы прибегнем к такому построению.

Представим себе два прямых круговых конуса с равными углами конусности и имеющих общую ось. Пусть они заданы направляющими — окружностями, лежащими в горизонтальной плоскости Н, положением и отметками их центров: и Ъ2 (^СЬД

Проведем из точки О—точки встречи общей оси конусов с горизонтальною плоскостью Н — два направления ОР и 0(3. Из чертежа 14 (представляющего горизонтальные проекции направлений ОР, ОС} и окружностей на конических поверхностях, отвечающих векторам зе нитных расстояний ^ и С2) мы непосредственно видим, что прямая сс1>аЬ. Следовательно, задача сводится к определению по данным векторам ОА, ОВ векторов ОС и 00. Возьмем теперь вертикальное осевое сечение конусов, отвечающее какому-либо из направлений, например ОР (черт. 15).

Обозначив проекции точек АиС направления ОР, соответственно, через а и с и положив:

Оа = г; Ос = г,; аА = Ь ' сС = Ь , .

из подобных ^треугольников 0]А0 и 02С0, ОаА и ОсС получим:

_ ОА _ Оа __ аА И, ОС Ос сС

А = = = _ 1

Ъ2 гс Ьс п

Гс = ПГа И К = ПК *

Мы взяли произвольный вектор; для другого вектора, следова-

Гс1 = пгь и = пЬь •

Заключаем, что, пользуясь только одним данным конусом, мы можем увеличить расстояние между концами векторов, увеличив радиусы соответствующих окружностей (отвечающих зенитным расстояниям ^ и С2) в одно и то же число раз.

В подходящих случаях возможно применение и такого способа.

Отмечаем на продолжениях совмещенных (например с вертикальною плоскостью ЭК) положений векторов ОА и ОВ приличным образом по одной точке, и дальнейшее решение не представляет затруднений.

Замечание 1. Если значения га и гь весьма малы, то лучше их предварительно определить по формулам (I) § 3.

Замечание 2. В связи с ( замечанием 1 § 1 необходимо заметить, что, для определения точки пересечения прямой, соединяющей концы векторов, с горизонтальною плоскостью Н, значения Ьс и при встретившейся надобности одновременно увеличивают или уменьшают в произвольное число раз приличным образом.

III.

Определение проекции прямой падения.

Определение горизонтальной проекции прямой падения плоскости пласта основывается на следующем геометрическом образе. Пусть имеем горизонтальную цлоскость проекций Н и какую-либо наклонную плоскость Р. Возьмем точку О вне плоскости Р (черт. 16).

Проведем через точку О две прямые: нормаль ON к плоскости Р и вертикальную прямую ОУ. Прямые ОЫ и ОУ определяют вертикальную плоскость 5, следы которой на плоскостях Р и Н представляют, как °ЧсЛт.16.

известно, соответственно, прямую падения

ЫУ плоскости Р и ее горизонтальную проекцию МК. Легко показать,

или:

0

откуда:

тельно, получим:

что проекция МК прямой падения ЫУ сливается с проекцией нормали,, проходящей через любую точку прямой падения ЫК. Отсюда: определение проекции прямой падения сводится к вопросу определения проекции нормали к плоскости Р.

Обратимся теперь к черт. 17. Пусть V! и У2 —плоскости вертикальных стенок шурфа.

А1 и АН — следы плоскости пласта Р на плоскостях V] и У2, азимуты и зенитные расстояния которых—соответственно:

И <а£,;2).

ИБ—отвесная прямая, как пересечение плоскостей V-! и У2; последняя проходит через точку А (хд,уд,гд) — точку схода следов А1 и АН.

Для определения нормали к плоскости Р пласта, отвечающей точке А,*) берем на вертикальной прямой ИБ произвольную точку О (как и на черт. 16) и через последнюю проводим две плоскости С?! и нормально следам А1 и АН.

Пересечение плоскостей С^ и <32 даст, как легко видеть, нормаль ОЫ к плоскости Р, **) проходящую через точку О и отвечающую прямой падения АЫ. ***)

Далее—прямые пересечения ОВ и ОС вспомогательных плоскостей <3! и <32 с вертикальными плоскостями V! и У2 представляют прямые падения вспомогательных же плоскостей и <32 [так как плоскости и У2—вертикальны и включают нормали А1 и АН к плоскостям (^1 и <32, то они необходимо включают и прямые падения плоскостей О1 и (32, как пересечение последних с V! и У2].

Из чертежа непосредственно усматриваем, во первых, (А1, ОВ и АН, ОС, соответственно, лежат в плоскостях V"! и У2), что прямые падения вспомогательных плоскостей и <32 таковы, что горизонтальные проекции их совпадают с горизонтальными проекциями следов А1 и АН и, во вторых, (ОВ А1, ОС АН), для плоскости С^ имеем [а, И и С — соответственно азимут, угол падения и зенитное расстояние]:

- + hj, где hM<0.

аво = ал, + ^

с ,

ВО 2 *AI

*) и следовательно прямой падения, проходящей через точку А (точка V на черт. 16).

**) прямые AI и АН—прямые пересечения плоскости Р с вертикальными—V! и V2.

***) сравни с черт. 16.

и, соответственно, для плоскости <32:

а = а + тг

"со АН —!—

Г — — Г •

^СО 2

или словами: для плоскостей О! и <32 соответствующие им прямые падения таковы, что азимуты их противоположны азимутам следов, и

углы падения их дополняют до — (по абсолютной величине) углы падения следов. 2

Рассмотрим частный случай: точка О совпадает с точкою А. Вспомогательные плоскости (3! и 02, следовательно, будут проходить через точку А. Ясно, что мы придем к тем же заключениям.

Все изложенное выше приводит нас к выводу:

Нормаль к плоскости пласта Р в точке ее А (хч, уд, г^ определяется пересечением двух плоскостей, заданных тою же точкою А (хА, уд, гд) и прямыми их падения (и, понятно, простирания), перпендикулярными следам (вообще двум произвольным прямым плоскости пласта, пересекающимся в точке А).

Замечание 1. Решение последней задачи *) известно, В нашем случае достаточно провести какую-либо горизонтальную плоскость и найти точку пересечения полученных одноименных горизонталей плоскостей и О2. Соединив прямою полученную точку с данною— А (хд, уд, гд), получим искомую нормаль.

Замечание 2. Нами был взят пример (на черт. [1]), в котором следы А1 и АН, исходящие из точки А, таковы, что для них, соответственно, Ь, и 0 ^ > ^ „ > • При других, возможных и даваемых, практикою, комбинациях, именно (см. черт. 17):

[21 - \и > 0.

[3] - \а 3£ о.

[4] - \и 3= 0.

мы придем, как нетрудно убедиться читателю, к тому же выводу и обнаружим, кроме того, лишь одно обстоятельство: азимуты прямых падения плоскостей О! и <32 в одних случаях (Ь1П>0) совпадают с азимутами следов, в других (Ь1П<0)—отличаются на (+~) и, наконец,— третий случай Ь1Х!^0)—один из азимутов совпадает с ази-

мутом соответствующего следа, другой—отличается на (+тс) от азимута соответствующего же следа.

Рассмотрим теперь решения вспомогательных геометрических задач при частных случаях задания прямых падения вспомогательных плоскостей <3! и (32.

*) задачи пересечения плоскостей.

IV.

Углы падения плоскостей и <32 весьма круты. В этом случае, при решении- по предлагаемой сетке, расстояния г&1 и г^ (черт. 18) одноименных горизонталей вспомогательных плоскостей С^! и С}? от точки О малы. Для точного определения проекции прямой падения плоскости пласта Р необходимо расстояния эти— Гз1 и тн—У^личить в одно и то же число раз.

В самом деле.

Возьмем вертикальное осевое сечение конуса, отвечающее прямой падения одной из вспомогательных плоскостей, допустим <3,;. Пусть расстояния секущих горизонтальных плоскостей (следы которых на вертикальном осевом сечении —и 82) от основной Н будут, соответственно, Н1 и Из. Обозначим через г , гй)

радиусы окружностей, лежащих, соответственно, в плоскостях и 52 и отвечающих направлениям зенитного расстояния С. Из соответствующих треугольников получим:

\ 11! 1

е.,

1т

п

откуда:

пг.

а)

Для других направлений зенитного расстояния С получим аналогично:

пг

(2)

Замечание. Если значения г^ и г^ весьма малы, то лучше их предварительно определить по формулам:

г.

с.

Приведем еще другое доказательство формул (1) и (2). Пусть (черт. 19) ОГ^ и ОМ2—проекции нормалей к следам (проекции прямых падения вспомогательных плоскостей (3! и (32); 11,, 112 и 22ь 223— горизонтали вспомогательных плоскостей (Зх и (32 соответственно, определяющие проекцию нормали (прямой падения) 01.

Из чертежа ясно, что

а2

откуда и следуют формулы (1) и (2).

п

V.

Углы падения Ьд и плоскостей О! и <32 весьма пологи.

В этом случае пересечение следов 8П горизонтальных плоскостей: Нц с совмещенными направлениями прямых падения получается под.

острым углом. Для избежания пересечения под острым углом поступим так:

А). Из черт. 18 *) имеем, при произвольно взятом Ъ ,

г — h tgC

Sr, П о -J

tgc,

^ = hntg:n......

[hl = hn; С = С; С = С,,i

Деля (1) на (2), получим: ctghQl tg hQo

Q>

tgh,

и окончательно:

KtghQ.

(О

(2)

к tgh.

.(3)

(4)

= _7С_ _ ь

1,п ~— 2

Задав произвольно, но приличным образом, г^ (или г ) значение

Ч (или гзп) опРеде" П " 1

ляется, как четвертая :

пропорциональная графически или аналитически. Само собою разумеется, что при графическом определении^ (г' ) числителя и знамена-теля правого отношения выражения (3) увеличивают в одно '

и то же число к раз Черт. 20.

(см. форм. 4). Соответствующие построения указаны на черт. 20 (СЮ^И).

*) на чертеже: вертикальные осевые сечения конуса, отвечающие прямым падения вспомогательных плоскостей <3Х и (32, путем вращения около оси конуса, совмещены в одну плоскость; вспомогательная плоскость 8Ц — произвольна.

В). Совмещаем оба направления следов—вращением около оси конуса— с вертикальною плоскостью, отвечающей прямой ЭИ.

Возьмем один из следов» Пусть отметка вспомогательной горизонтальной плоскости будет Ь (черт. 21).

К прямой ОБ ((Ж) в точке ее Б [конец радиуса И] восставляем перпендикуляр ЬБ и на нем откладываем от точки 5(Ы) отрезок 8М = Ь, взятый в приличное число раз, например п. Получим отрезок ББ'. Затем, найдя точку К встречи данного следа ОК с перпендикуляром ЬЭ, откладываем расстояние КБ, по перпендикуляру ЬБ от точки Б, взятое то же число п раз. Получим отрезок ЭЬ. Точку Ь соединяем прямою с точкою О. Затем через точку Б'проводим прямую Б'Х, параллельную ОБ. Найдя точку X пересечения прямых Б'Х и ОЬ, проектируем последнюю на прямую ОБ; отрезок ОУ—искомый радиус. Доказатель-.ство решения предоставляется читателю.

ГЛАВА IV. Решение основной задачи помощью конической сетки.

§ ю.

В нижеследующем дано решение задачи при различных, четырех возможных, случаях положения следов на вертикальных стенках шурфа, причем приведены независимые определения—сначала прямой простирания в порядке: прямая простирания и, соответственно, проекция прямой падения плоскости пласта (А), затем—проекции прямой падения в порядке: проекция прямой падения и, соответственно, прямая простирания, угол падения плоскости пласта (В).

Замечание 1. Предполагается, что коническая сетка построена на клетчатой миллиметровой бумаге для направлений, азимуты а и зенитные расстояния С (или углы падения И) которых изменяются через интервал в 15 минут.

Замечание 2. Азимуты прямых простирания и падения обозначим, соответственно, через ар и af .

Чертеж Ш.

Элементы, определяющие положения следов, пусть будут, соответственно, таковы:

1. Точка О(х0,у0ги)

а! = 225° ^ = + 15°.

2. Точка О(х0,уо,гг)

а2 = 315° Ь2 = + 30°.

а.

Определение прямой простирания.

1. Определяем совмещенные с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О, положения 04 и 06 направлений 1 и 2, вращая горизонтально-проектирующие плоскости их сначала около вертикальной оси Ъ до совмещения с вертикальной плоскостью БЫ, а затем эту последнюю—БЫ—, с заключенными в ней направлениями 1 и 2, вращая вправо около следа БМ.

4. Изменив направление вектора (а2, Ь2) на прямопротивоположное (а2', Ь2'), находим точки пересечения а и Ь2 направлений (а! И,) и (яг\ Ь/)с отвечающими им окружностями.

5. Находим точку встречи Р (р, р01) прямой АВ2 плоскости пласта

с горизонтальной плоскостью Н, отвечающей точке О. Горизонтальная *

проекция прямой—аЬ2, вертикальная—а"Ь2".

6. Прямая рО—искомая прямая простирания (и ее проекция). Для контроля и точного проведения прямой рО находим еще и вторую точку Р2 (рь р'01) прямой простирания, симметричную Р (как указано на чертеже, или независимо); ар — < КОр1.

Определение проекции прямой падения.

Прямая {11, перпендикулярная ррь—искомая проекция прямой падения; а{= < N01.

Определение угла падения плоскости пласта.

Один из векторов плоскости пласта, например ОВ2 (горизонтальная проекция которого—ОЬ2), проектируем ортогонально на плоскость падения пласта (след которой наН—Угол, составляемый последней проекцией ОВ20 с горизонтальною плоскостью Н, как известно,—искомый угол падения плоскости пласта. Поэтому проектируем точку Ь2 на проекцию прямой падения í1í и получаем точку Ь20 Далее—первый способ—вращая влево вертикальную плоскость падения пласта около вертикальной оси Ъ до совмещения с вертикальною плоскостью и затем по-

вернув последнюю влево (с заключенною в ней прямой падения ОР) около следа ее Оэ1\У до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О, находим совмещенное положение В02 точки В2 прямой падения (отметка точки В20 равна отметке точки В2—конца вектора ОВ>: Ъов = 56)- Угол Ь02ОВ02—искомый угол падения прямой

падения пласта; или—второй способ—вращаем плоскость падения около вертикальной оси Ъ влево до совмещения с вертикальною плоскостью^, а эту последнюю (с заключенной в ней прямою ОР) вращаем влево около следа ее БЫ до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О. Точка В'02—совмещенное положение точки В20 прямой падения ОР (отметка точки В20 равна отметке точки В2).

Угол Ж)В'о2—искомый угол падения плоскости пласта.

Замечание. Ясно, что для определения угла падения плоскости пласта можно пользоваться любою точкою) (приличным образом вы- ♦

бранной) любого из двух направлений. Наконец,—третий способ—в силу только-что сделанного замечания, угол наклона 9 прямой падения может быть определен, взяв точку Ц того же вектора ОВ2.

Именно из точки 1Х опускаем перпендикуляр Ц на проекцию прямой падения затем вращаем вправо около вертикальной оси Ъ горизонтально—проектирующую плоскость вектора ОЬ до совмещения с вертикальной плоскостью SN и эту последнюю {с заключенною в ней прямою ОЬ) вращаем вправо около следа SN до совмещения с горизонтальною плоскостью Н. Точка Ь0—совмещенное положение точки Ь прямой падения (отметка точки Ь равна отметке точки 1^). Угол БОЦ. —искомый угол падения плоскости пласта.

Укажем еще видоизменение первого способа. Именно: вертикальную плоскость прямой падения плоскости пласта вращаем вправо около, вертикальной оси Ъ до совмещения с вертикальной плоскостью а эту последнюю, с заключенною в ней прямой падения, вращаем около следа SN до совмещения с горизонтальною плоскостью Н. При построении пользуемся точкою Угол 5ОВ30—искомый угол падения прямой падения плоскости пласта.

В.

Определение проекции прямой падения.

Выше мы показали (см. III § 9), что ортогональные проекции на горизонтальную плоскость Н нормалей к следам и нормали к плоскости пласта в точке О совпадают—каждая, соответственно—с проекциями следов и прямой падения.

Поэтому, определив проекцию нормали к плоскости пласта, мы тем самым определим и проекцию прямой падения.

Находим совмещенные с вертикальною плоскостью БЫ положения нормалей к следам в точке О, вращая каждую из горизонтально-проектирующих плоскостей следов (нормалей) сначала около вертикальной оси Ъ, а затем, повернув БЫ с заключенными в ней нормалями, около следа БИ вправо до совмещения с горизонтальною плоскостью Н. Совмещенные положения нормалей суть прямые Ои0 и О'Г0, соответственно перпендикулярные к совмещенным положениям 04 л 06 векторов-следов (зенитные расстояния нормалей к следам равны углам падения следов).

На основании доказанного выше (см. III § 9), для определения горизонталей плоскостей и (32 (для которых нормали к следам является их прямыми падения) проводим—приличным образом выбранную—произвольную горизонтальную плоскость Б, , след которой на совмещенном положении (с горизонтальной плоскостью Н) вертикальной плоскости БЫ есть Б Б .

V V

Точки С0 и Б0—совмещенные положения точек пересечения плоскости Б с нормалями к следам. Находим их горизонтальные проекции с и (1. *)

Проведя через точки с и (1 прямые, перпендикулярные к проекциям нормалей Оа^ и 0/ь получим искомые горизонтали й! и с! плоскостей <32 и <Э,.

Взаимное пересечение I горизонталей (И и с!---проекция точки Р нормали, проходящей через О, к плоскости пласта.

Аналогичным способом определена и точка 1и отвечающая вспомогательной плоскости Б], симметричной плоскости Б относительно горизонтальной плоскости Н. **) Точки О и 1—точки проекций соответствующих точек Рь О и Р нормали к плоскости пласта. Соединив последние прямой, получим искомые, совпадающие взаимно, ортогональные проекции нормали к плоскости пласта в точке О и прямой падения.

Прямая ррь перпендикулярная прямой У,—прямая простирания.

*) точки С и Б расположены над горизонтальною плоскостью Н.

**) Точки и Р расположены, соответственно, под и над горизонтальною плоскостью Н.

Определение угла падения плоскости пласта.

Предварительно определим угол падения нормали к плоскости пласта в точке О. Для этого достаточно найти совмещенное положение F0 точки F нормали. Заметим, что отметка точки F—отметка вспомогательной горизонтальной плоскости S и равна ОК0. Поэтому:

1) вращаем горизонтально-проектирующую плоскость нормали, к плоскости пласта в точке О, около вертикальной оси Z влево до совмещения с вертикальною плоскостью OstW и далее,

2) вращаем эту последнюю, с заключенною в ней прямою OF, около следа ее—OstW—до совмещения с горизонтальною плоскостью Н.

Точка F0—совмещенное положение точки F нормали к плоскости пласта в точке О.

Угол NOF0—искомый угол падения плоскости пласта [угол F0, О, Ost—угол наклона нормали OF к горизонтальной плоскости Н].

Замечание. Совмещенное положение нормалей к следам в точке О можно получить и иначе.

В самом деле: повернув горизонтально-проектирующие плоскости нормалей к следам около вертикальной оси Z до совмещения их с вертикальною плоскостью Ost О и вращая затем последнюю, с заключенными в ней нормалями, около следа ее Ost О влево до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, получим совмещенное положение 04 и 06 нормалей к следам SvJ Sv',—следы вспомогательной плоскости S' (отметка плоскости S' равна отметке плоскости S). Указанное сейчас построение, очевидно, предпочтительнее приведенного выше.

Чертеж IV.

Случай, при котором углы падения следов весьма пологи.

Элементы, определяющие положения следов, пусть будут, соответственно, таковы:

1. Точка О (x0,y0,z0)

aj = 137° h! = + 3°.

2. Точка О (x0)y0,z0)

а, = 44° 30'. ha = —Io.

А.

Определение прямой простирания.

Моменты построений 1, 2, 3 совершенно аналогичны моментам построений 1, 2, 3 предыдущего случая.

В моменте 4 непосредственно усматриваем, что направления какого-либо из векторов не приходится изменять.

В моменте 5, для возможно точного определения положения точки Р встречи прямой AB с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О, отметки точек А и В (см. § 1) увеличиваем в десять (10) раз. Ясно, что увеличение отметок лучше произвести аналитически, пользуясь формулою:

_ R sin t cos В

~~ sin(t-f-S) '

приведенной в § 3.

В остальном решение аналогично предыдущему случаю.

Определение проекции прямой падения также аналогично предыдущему случаю.

Определение угла падения плоскости пласта.

Для определения угла падения лучшим, в настоящем случае, является третий способ, примененный при решении первого случая задания. Угол Е0О101—искомый угол падения плоскости пласта.

В.

Определение проекции прямой падения.

В настоящем случае горизонтально-проектирующие плоскости нормалей к следам в точке О сначала вращаем около вертикальной оси Z до совмещения их с вертикальною плоскостью О Ost, а затем эту последнюю, с заключенными в ней нормалями, вращаем, около

следа О СЫ, влево до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О. Ясно, что совмещенные положения нормалей совпадут с найденными, уже совмещенными, положениями следов. Подобно предыдущему случаю, и здесь, для определения горизонталей вспомогательных плоскостей и проводим вспомогательную горизонтальную плоскость Б (на чертеже

Так как при этом получаются окружности (геометрическое место точек, отвечающих концам Е нормалей, соответственно имеющих одни и те же отметки и зенитные расстояния) малых радиусов, то—по доказанному выше (см1 II § 9)—■ последние (радиусы) увеличиваем в одно и то же число раз (10); именно имеем:

г> = (250 . ^1°) 10 пил. г2 — (250 . tg 3°) 10 пнп.

Найдя точки пересечения с, (1 и сь с!, *) окружностей, радиусов г, и г2, с соответствующими проекциями нормалей, проводим искомые горизонтали: и с1 определяют горизонтальную проекцию f одной точки Р нормали к плоскости пласта в точке О, а сМ, и с, ^ определяют горизонтальную проекцию ^ другой точки ]-г1 нормали же в той же точке О.

Заметим, что, для определения угла падения плоскости пласта, нельзя воспользоваться точками Е и Рьибо отметки их, соответственно, равны+ 2,5 метрам.

Прямая ^01—искомая проекция прямой падения. Точки Е и р! расположены, соответственно, над и под горизонтальною плоскостью Н.

Чертеж V.

Случай, при котором один из углов падения следов—крутой, другой—пологий.

Элементы, определяющие положения следов, пусть будут, соответственно, таковы:

1. Точка О (хо.уо^о)

ах = 328°.

И, = — 75°.

2. Точка О (хсУо^о)

а2 = 55°,

Ь2 = —3°.

A.

Определение проекций прямой простирания и прямой падения таково же, как и в первом случае.

B.

Приведем несколько замечаний к чертежу V.

1. Горизонтально-проектирующие плоскости нормалей к следам в точке О сначала повернуты около вертикальной оси Ъ до совмещения их с вертикальною плоскостью ОШ, а эта последняя—OW—,вместе с заключенными в ней нормалями, повернута около следа "\VOst влево до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О. Совмещенные положения нормалей—прямые ОЕ)0 и ОС0.

*) точки С и Б расположены над горизонтальной плоскостью Н; точки Сь соответственно,—под горизонтальной плоскостью Н.

2. Вспомогательная плоскость Б (на чертеже след ее 8У) проведена таким образом, чтобы совмещенному положению О0 точки О— пересечения Б с нормалью к следу (аь Ь])—отвечала окружность с отметкою равною нулю. Вообще же, при проведении—в настоящем

случае задания—следа вспомогательной плоскости Б, задаются

сначала произвольной, но приличным образом выбранной, точкою на совмещенном положении пологой нормали.

3. Радиус малой окружности лучше определять по формуле:

г = К0С0 = ОКо tgC,

где С—зенитное расстояние нормали, отвечающей пологому следу; С= | Ь | пологого следа; в настоящем случае С = 3°.

4. Для определения угла падения плоскости пласта лучше воспользоваться или точкою Р (Р^ нормали к плоскости пласта (отметка точки Р равна с10О0), или первым способом (указанным при решении первого случая), взяв вектор 1.

и

27<Г

¥

Угол РоОСЫ—искомый угол падения плоскости пласта. Примечание. Отметку точки Р—при определении ее проекции { и угла падения ср плоскости пласта—лучше определить по формуле:

где

И > 250 шт. и С' = 90°— | Ь |. |Ъ — угол падения крутого следа].

Чертеж VI.

Случай, при котором углы падения следов близки •

2

Элементы, определяющие положения следов, пусть будут, соответственно, таковы:

1. Точка О (х0)уо,2о)

г1 = 145°

Ь1== —84°.

ч

2. Точка О (х0,у0, г0)

а2 = 236° 30'.

Ъ2 — — 87°.

A.

В настоящем случае:

1. Горизонтально-проектирующие плоскости векторов—следов сначала повернуты около вертикальной оси Ъ до совмещения с вертикальною плоскостью ОШ, а затем эта последняя, с заключенными в ней следами, повернута около следа Ои^ вправо до совмещения с горизонтальною плоскостью Н, отвечающей точке О.

от0 и ои0—искомые положения совмещенных следов, и углы наклона их к горизонту, соответственно: ъ1 = "\уот0 и ь2 = ^оио.

2. Так как радиусы окружностей, отвечающие векторам—следам, малы, то—для возможно точного определения направления прямой простирания—они увеличены в восемь (8) раз (см. II § 9); затем достаточно (см. § 1) отметки точек и и Т концов векторов Ои и ОТ уменьшить—при определении прямой простирания—в два (2) раза (впрочем, точнее положение точки р01 определится, взяв отметки точек и и Т без изменения). Прямая р! р—искомая прямая простирания, а прямая М—искомая проекция прямой падения плоскости пласта.

B.

Определению проекций 1 и ^ точек Р и Р\ (расположенных соответственно, над и под горизонтальною плоскостью, Н) нормали, к плоскости пласта в точке О, предшествуют построения, изложенные выше.

Горизонтально-проектирующие плоскости нормалей к следам-векторам в точке О сначала повернуты около вертикальной оси Ъ до совмещения их с вертикальною плоскостью БЫ, а эта последняя, с заключенными в ней нормалями, повернута около следа БЫ от наблюдателя вперед до совмещения с горизонтальною плоскостью Н.

Углы 5Ои0 и БОТо—углы наклона соответствующих нормалей к горизонту.

Построения, отвечающие способу (А), обозначены теми же буквами, как и на чертеже 20, V, § 9; к = 8И; И = 250 шт.

След С0Е>0 (Б/Б/) отвечает прямой Б'Х чертежа 21 [способ (В), V, § 9]; п = 8.

Определив точки с0 и далее мы—лля определения точек I и ^—поступаем также, как и в предшествующих случаях задания следов.

Прямая fjOf—искомая проекция прямой падения; прямая ptOp, перпендикулярная прямой fiOf в точке О,—прямая простирания. Определение угла падения плоскости пласта произведено, пользуясь точкою fj. Угол F0i OOst—искомый угол падения плоскости пласта.

Замечание. Во всех случаях задания угол падения плоскости пласта можно получить, определив в последовательном порядке прямую простирания, проекцию прямой падения; затем, выбрав на последней приличным образом произвольную и лежащую на какой-либо из проведенных уже окружностей равных отметок (высот, зенитных расстояний) точку f или ^ (проекции точек F и Fj), определить отметку F (Fi), зная совмещенное положение нормалей.

В самом деле: для последней цели достаточно опустить перпендикуляры fc и fd (fi С! и fj di), провести окружности радиусов Od и Ос (OdjOcj) и найти точки их пересечения с0 и d0 с прямыми SN или WO (смотря с какою плоскостью совмещены нормали).

Тогда отрезки перпендикуляров, восстановленных в точках с0 и d0 к SN (WO) и заключенных в пределах углов падения нормалей, и будут равны отметке точки F.

В заключение заметим, что предлагаемой коническою сеткою легко решаются задачи, относящиеся к смещениям; *) решения последних составят предмет отдельной статьи.

§ п.

В замечании 2 § 1 было указано, что возможен случай, при котором преобразование отметок концов прямой невозможно; последнее проистекает в силу того, что отметка одного конца прямой велика, а другого—мала, и размеры плоскости бумаги ограничены.

Тогда—для определения точки встречи прямой с горизонтальною плоскостью H—приходится обратиться к графо-аналитическому методу решения.

Именно: составляем уравнение плоскости пласта, определяемой следами и точкою схода их; затем переходим к уравнению прямой простирания, проходящей через точку схода следов и, наконец, задав произвольно, но приличным образом, координату xf какой-либо точки F прямой простирания, определяем из уравнения последней другую координату уг Точка F и точка схода следов определят графически прямую простирания.

Составление уравнения плоскости пласта.

Примем точку О пересечения следов (определяемых как направления) 1 и 2, плоскости пласта Р на вертикальных стенках шурфа Vi и У2,за начало координат, определяемое пересечением трех взаимно-перпендикулярных плоскостей: горизонтальной H и двух вертикальных, из которых одна—ZOX —совпадает с плоскостью меридиана. Положение каждого из направлений, в принятой при наблюдении системе координат—сферической—определяется, как известно, азимутом а и зенитным расстоянием С Обозначим азимуты и зенитные расстояния направлений, первого и второго, соответственно, через аь ^ и а2, С2 (черт. 22).

*) к вопросам кристаллографии, и вообще к вопросам, которые связаны с направлениями.

Остановимся на одном из методов составления уравнения плоскости пласта. Опишем из начала координат О, как центра, сферу ироизвольного радиуса И. Далее заменим направления, определяющие

плоскость, тремя точками, из которых одна —начало координат О (0, 0, 0), а две другие --точки встречи направлений с поверхностью сферы; координаты последних двух точек, как известно, определяются, как проекции соответствующих векторов, (И, аь СО и (1?, а2, С2), на оси координат. Имеем:

а)

____} ^^ „ Y xi»2 = R sin С1)2 cos аЬ2

yb2 = RsinCb2 sin аЬ2

Щеры.П. Zb2 — RCOSCI>2

Уравнение плоскости, определяемой точками (0,0,0), (xj, yj, Zi) и (х2, y2,z2\ будет:

x у г 1

xi yi гх 1 х2 у2 z2 1 0 0 0 1

0,

или:

У1 Zi X — Xi Zj У + Xi Yi

У2 z2 x2 Z2 X2 У2

z = 0 .... (2)

Соответственно (1), каждое из хЬ2, уь2 и гЬ2 включает К; поэтому после внесения их в уравнение (2), последнее можно сократить на И*, и мы получим:

siníi sin аь cos Ci

sin ;2 sin a2, cos C2

sin Ci cos ab cos Ci sin i2 cos a2, cos C2

y+

+

sin si cos aIt sin Ci sin

sin s2 cos a2, sin v2 sin a.

Преобразуем последнее уравнение, вынося в первых двух определителях, за знаки их, произведение cosCiCOsC2, а в третьем—произведение sin Сх sin С2.

Получим:

cos С] cos í2

tgíi sin аь 1 tgí2 sin a2, 1

tgCi eos ab 1 tgí2cosa2, 1

sin Ci sin C2

eos sin ai

cosa2, sin a2

z —0.

Разделив последнее уравнение на произведение cosCj cosí2 и далее, развернув определители, получим окончательно:

(tgíi sin aj — tgC2 sin a2) x — (tgC, eos a2 — tgC2 eos a2) y -f-

+ tgC1tgC2sin(a2 —a0z = 0 . . ......(3)

—искомое уравнение плоскости, определяемой двумя следами, исходящими из одной точки.

Уравнение прямой простирания.

Уравнение прямой простирания плоскости пласта мы получим, положив в уравнении (3):z = 0. Имеем:

(tgCi sin ат — tgC2 sin a2) x — (tgüi eos ax — tgí2 eos a2) y — 0.....(4)

—искомое уравнение прямой простирания. Из (4) определяем у:

_ tgCj sin ai — tgC2 sin a2

iCosai —tgC2 eos a:

x,

и в дальнейшем мы должны поступать так, как указано вначале.

Однако последняя формула является неудобною при вычислении. Приведем теперь ее к виду, удобному при вычислении.

Вывод логарифмической формулы.

Перейдем от системы ХУ2 к системе Х'У'2', вращая первую

около оси Ъ вправо на угол

а = ( 31 + 32

Тогда азимуты А] и А2 следов, относительно новой оси X', будут, соответственно:

А] — — а —|— ах; А2 —— а —|— а2. Внося в последние формулы значение угла а, получим:

А!

А,=

2 2 Уравнение прямой простирания примет вид: ,_ tgCi sin Ai — tgt2 sin A2

tgCi eos Aj — tgC2 eos A2

Внося в последнее выражение значения Аг и А2, получим: tgCjsiny ^aj — а2 j— tgCjSin^-j а2 —

У —-:-—

tgCi cos а, — а2 j — tgi2 cos { a2 — a,

или:

y' = Kx'.

Преобразуем коеффициент К. Имеем:

sin-i-( aj —а2 HtgCi + tgCa) .

2 \ ' 1 / \ sin(Cj-fC2)

K =--1----_ = tg— U-aa* ^

1 / \ & 2 V J Sin^-Ca)

cos — ^ й! — a2 j (tgCi — tgCa)

- sin Ct sinC9 sin cos C2 + cos Ci-sin

ибо: tgCi + tgt2=.-— +-— =-í-— --- =

cos si COS C2 cos Cj cos c2

__ sin(Cj+C2) cosCi cosC2

Таким образом, окончательно, уравнение прямой простирания принимает вид:

у' = ь±( ......(i)

ё 2 \ ' ) sin (С, —

Непосредственно, графически, построение оси X' не представляет затруднений, вспомнив, что она, относительно оси X, определяется углом

а = — ( ai +а9 | .

2\ ^ )

Задав хиз уравнения (1) определяем у' и строим точку F. Прямая, определяемая точками О и F,—искомая прямая простирания.

Замечание. Вводя обозначение:

п sin (Cj —I— С2) , , , /ТТч

Х = . )„ г \ * = tg?X>.....(И)

sin (Ci — С2)

получим:

tg у ( а, - а2 j х"........(Ill)

и, следовательно, определение у', графически, не представляет затруднений. Легко однако видеть, что проще вычислить у' по уравнению (I), чем строить последовательно выражения (II) и (III) [уравнения прямых].

Определение элементов залегания в данной точке поверхности пласта можно произвести аналитическим методом, который изложен отдельно в моей статье1.

ГЛАВА V.

Приложение. Аналитические методы определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта.

В настоящем труде мы позволим себе привести те аналитические методы определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта, которые не вошли в мою статью. 1

§ 12.

Определение азимута ср прямой падения плоскости пласта.

Вращаем прямоугольную систему координат ХУ1 около оси Ъ на угол ср, отвечающий азимуту прямой падения плоскости пласта (черт. 23).

Обозначая, соответственно, через (х,у,г) и (х',у',г') координаты любой точки прямой падения в системах XVI и Х'У7', имеем:

откуда

х = х СОЭ ср — у' эш ср у — х' ЭШ ср —|— у' СОЭ ср г = г'.

Оьз)

Но в системе X'У' Ъ' координата у' любой точки прямой падения равна нулю: у' = 0 (ось X' совпадает с направлением проекции прямой падения).

Поэтому система (11)2) переходит в систему (2):

х = х соэ ср

у = х' ЭШ ср г =

(2)

БШ ср

СОЭ с?

и, следовательно, знаки этср и соэср, взятые одновременно, определяют квадрант, отвечающий искомому азимуту ср.

Поэтому, векториально, искомый азимут ср прямой падения определится по формуле:

У

(3)

Формулу (3), как легко видеть, можно упростить; именно: для точек прямой падения, отвечающих

г'^0 (или г^О),

формула (3) переходит, соответственно, в формулы (4) и (5):

= ............(4)

х

ибо х'>0;

= ...........(5)

— X

ибо х'<0.

Замечание. Так как угол ср мы определяем векториально, то, в формулах (4) и (5), числитель и знаменатель можно сократить только на положительную величину.

Остается теперь, в формулах (4) и (5), выразить координаты (х, у) произвольной точки прямой падения в функции г, (а2>С2) и, в

некоторых случаях, еще в функции, заранее вводимых при решении, параметров.

§ 13.

Определение координат (х, у, г) произвольной точки прямой падения

плоскости пласта.

1.

Опишем из начала координат, как центра, сферу произвольного радиуса И. Уравнение ее поверхности:

х'2 + У2 + г2 —Я2 = 0..........(1)

Далее вообразим, взаимно-касательную со сферою (1), цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны прямой простирания плоскости пласта.

Искомая точка прямой падения, очевидно, определится пересечением трех поверхностей: плоскости пласта, сферы и цилиндрической поверхности.

Вывод уравнения цилиндрической поверхности может быть произведен различными способами. Остановимся на двух. 1. Имеем;

пх — шу кг — 0 . . . . .......(2)

—уравнение плоскости пласта.

Положив в (2) г = 0, получим уравнение прямой простирания плоскости пласта:

= = .........(3)

т п О

Возьмем теперь на поверхности сферы произвольную точку Р

(«, Рл).

Через точку Р проведем прямую, параллельную (3). Уравнение ее:

X —а _ у —¡3 _ 1 — .......(4)

т п О

Так как точка Р лежит на поверхности сферы, то

«2 + Р2+Т2 —И2 = 0..........(5)

Найдем точки встречи прямой (4) с сферою (1). Из (4) имеем:

п

у = —

Ш

г = т.

Внося полученные значения у и г в (1), получим:

2

X2

или

+2 р(х — оО + Р2 + Т2 — К2 = в ш2 \ / ш

и, наконец,

ш2 / \ ш ш2 / ш

— 2 —а Р + Р2 + т2 — И2 = О

гп

(т2 + п2) х2 4- 2 п (тр — па) х + [п2 а2 — 2 тпар +

+ тЧР2 + Т а —^)] = 0.........(6)

Поставим условие, чтобы прямая (4) касалась поверхности сферы (1). Тогда в уравнении (6) мы должны положить Х1 = х2; поэтому получим:

п2 (щр — па)2 — (щ2 -{- п2) [п2 «2 — 2 тпар + щ2 (р2 -]- Т2-К2) ] = 0 = А.

Преобразуем последнее выражение.

А = п2 (па — гпЗ)2 — (ш2 + п2) [ (па — тр)2 + ш2 (Т2 — — !&)] = —т2 (па — тр)2 — т2 (ш2 + п2)(т2 —К2) = О

и, наконец,

(па —тр)2 + (т2 + п2)(т2 —1*2) = 0.......(7)

—первое условие, которому должны удовлетворять параметры а, ¡3 и ? для того, чтобы прямая (4) являлась касательной к сфере. Второе условие, очевидно, есть выражение (5). Система уравнений:

(па — тр)2+ (т2 + п2) (у2— И2) = О

а2 + Р2 + т2 — И2 = 0

х — а _ у — р _ г — у

ш п О

(8)

определяет любую образующую, параллельную прямой простирания плоскости пласта, искомой цилиндрической поверхности, взаимно-касательной со сферою (1).

Исключая в системе уравнений (8ЬЗ) параметры а, р и у, получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Из (83) имеем:

(х —а)п = (у—Р)ш

г = у

пос — шр = пх — ту..........(9)

Т^г . . ......... (10)

Внося (9) и (10) в (8,)> получим:

(пх — ту)2 + (т2-{-п2)^2 — ......(11)

-—искомое уравнение цилиндрической поверхности.

2. Возьмем в плоскости ¥01 произвольную точку (О, р, у) и проведем через нее прямую, параллельную (3).

Уравнение прямой, проходящей через точку О и параллельной (3), будет:

х = У-Р_= г~Т ,........(12)

тп п 0

где параметры р,у должны быть выбраны так, чтобы (12), оставаясь параллельной (3), касалась поверхности сферы (1).

Найдем точки пересечения прямой (12) со сферою (1). Из (12) имеем:

2 = у

Ш

Внося последние в (1), получим:

п* -\х2 + 2-П-рх + (р2 + у2-1?2) = 0 / т

или

тп-

и, наконец,

(т2 + п2) х2 + 2 тпрх т2 (р2 у2 — = 0.

Из последнего уравнения найдем два значения х, отвечающие искомым точкам пересечения. Так как, по условию, (12) должна касаться поверхности сферы (1),то, для совпадения точек пересечения в одну— точку касания, необходимо выполнить:

т2 п2 Р2 __ т2 (тз л_ П2) (рг _[_ Тз —1^2) = о

или

П2 рз — (ш2 + п2) (¿2 Т2 _ £2) = 0

и, наконец,

т2 Р2 + (т2 + п2) (у2 — = о

—условие, связывающее параметры р и у, при котором (12) является касательной к поверхности сферы (1). Итак уравнения:

х _ у —р _ г —у т п 0

т2 р2 + (т2 п2) (у2 — И2) = 0

(13Ь2)

взятые совместно, определяют любую образующую искомой цилиндрической поверхности.

Исключая из них параметры р и у, получим уравнение искомой цилиндрической поверхности. Из (13,) имеем:

о п

** = У--х

ш

Внося последние в (132), получим:

Щ21 у--— X (т2 + п2) (г2 — И2) = О

и, наконец,

(пх — ту)2 + (т2 + п2) (г2 — И2) — О

—уравнение искомой цилиндрической поверхности, касательной к поверхности сферы (1).

Координаты искомой точки прямой падения плоскости пласта являются решением системы уравнений:

пх — ту • KZ — О

x2 + y2 + z2 — R2 = 0 (пх — ту)2 + (т2 + п2) (z2 — R2) = О Из (14^ имеем:

пх — ту = — kz; последнее вставляем в (143) и получаем:

к2 z2 + (m2 f n2) (z2 — R2) = О,

откуда

(14)

zi>2— + r1/ .ttt . ......<,5>

m2 + n +к

Теперь определяем значения координат х и у, которые только нам и нужны; ибо геометрически ясно, что получим два значения равных по абсолютной величине. Из (142) имеем:

—Я2 = —(х2 + у2). Внося последнее в (143), получим:

(пх — ту)2 — (т2 + п2)(х2 + у2) = 0......(16)

Из (14,) имеем:

у^-^пх+кг)..........(17)

Внося последнее в (16), получим:

т2 к2 г2 — т2 (т2 + п2) х2 — (т2 + п2) (п2 х2 + 2 пкгх + к2 г2) = О

или

[m2 (m2 + n2) + (ш2 + n2) n2] x2 + 2 пкг (m2 -f- n2) x — — [ш2 к2 z2 — (m2 + n2) к2 z2] = O

и, окончательно,

(m2 -f n2)2 x2 -f- 2 hkz (m2 -f- n2) x + n2 к2 z2 = 0

или

[ (m2 -j- n2) x -f- íikz]2 — 0,

откуда

xj,2 =--"K , zb2;........(18)

внося далее найденное значение хЬ2 в (17), получим:

тк /т\

У 1)2 — —— Z,)2........(19)

m2-f"n

Остается теперь применить формулы (4) и (5) § 12. Замечание. В формулах (18) и (19) входит величина

к=tg^itgC2 sin (а2 — aj),

которую мы можем положить либо положительной, либо отрицательной В моей статье1 (§ 5) указано, что знак величины „к" определяе порядок обозначения следов [(abCi); (а2, С2)]-Положим, что к>0.

Тогда, при г,,г5 0, будем, соответственно формулам (4) и (5) § 12, иметь:

ш к

--Zj

— у m2 + n2 —ш tgT =-—---=-;

— X. ПК п

j__2

Ш2 + П2 1

шк

тг TTV

tg?

Хо ПК

■ —ъ>

Ш2 + П2

ибо (— z2)>0.

Легко убедиться, что, взяв к<0, получим:

4 Ш

tg? =--

— П

II.

Определение произвольной точки прямой падения плоскости пласта пересечением трех плоскостей. Уравнение плоскости пласта:

пх — my-j-KZ=:0..........(i)

Уравнение произвольной горизонтальной плоскости

z = H . ............(2)

-z2

у 2 ш2 + п2 \ / „т

Уравнение плоскости падения пласта (§ 51):

шх-|-пу = 0 |

Координаты (х0,уо) точки прямой падения получим, внеся (2) затем решив систему уравнений:

пх — ту кН = О тх-|~пу =0

(31)2) в (1), и

Имеем:

хо

кН, 0

т п

кп

Уо

П, — m

m n

п, кН

m 0

п, — m

m n

т2 -j- п2

Н

кт

т2 + пз

Н .

z0 = H.

Остается теперь применить формулы (4) и (5) § 12.

III.

Опишем из начала координат, как центра, сферу произвольного радиуса R.

Уравнение поверхности сферы:

x2 + y2 + z2 — R2 = 0.........(1)

Возьмем уравнение нормальной плоскости (см. § 10 статьи 1):

пх — ту

1

к

т2 + п2 z=0

Уфавнение пучка плоскостей, параллельных (2), будет:

1

пх — ту

к

m2-fn2 z + c = 0

(2)

(3)

Из пучка плоскостей, параллельных (2), выберем ту плоскость, которая находится от (2) в расстоянии равном R.

Последняя плоскость будет касательной к поверхности сферы в искомой точке—точке прямой падения.

По формуле, определяющей расстояние между параллельными плоскостями, имеем:

/

Ш- П'

1 / Х2 ш24-п2

откуда

= (т2 + п2) (т2 + п2 + к2).

Итак, уравнение плоскости, касательной к поверхности сферы в искомой точке, будет:

их

ту — — ^т2 + п2|г4(т2 + п2) (т2 + п2 + к2) = 0. .(4)

Искомую точку мы можем определить двояко: 1, решив систему уравнений—

* пх — ту -¡- кг = О

пх — ту--+ К -у^ (т2 + п2) (т2+ п2+ к2) 1- * (5)

к

х2 + у2 +г2 — И2 = 0

или 2, поступая так:

Уравнение плоскости, касательной к поверхности сферы в произвольной точке ее (х0, у0, г0), как известно, есть

х0х + у0у+2о2 —= 0 Умножив далее уравнение (4) на

Ик

(6

К(т2 + п2) (т2 + п3 + к2)

мы приведем его к виду: -г- Ипк

Итк

V (т2 + п2) (т2 + п2 + к2) У(т2 + п2) (т:

п2 + к2)

т2 + п2

т2 + п2 к2

г — Я2 = О

У±

(7)

Сравнивая теперь (6) и (7), получим координаты (х0,уо. г0) искомой»: точки:

-Г Ипк

Х0 = +

Уо

У(т* + п2) (ш2 + п2 + к2) Ишк

|/~(т2 + п2) (ш2 + п2 + к2) /

2, = +!*-' Ш, + П5

ш2 + п2 + к2 IV.

Определение координат произвольной точки прямой падения-плоскости пласта пересечением окружности

х2 + у2 —И2 = 0..........(1)

и проекции прямой падения [см. И, (Зх) ]

Х- -У............(2)

— п ш Из (2) имеем: *

ш

у =--х.

п

Внося последнее в (1), цолучим:

1 +-т-1х2 —1*2 = 0,

откуда

*Ь2 = ±

V Щ2 + П2

и, соответственно,

Иш

У Ъ2

V

го2 -4- п2

Соответствующее значение ги2 определим из уравнения плоскости пласта:

пх — шу -}- ш — 0...........(3)

Внося в (3) значения хЬ2 и уь2, получим:

_ — пх + шу _ 1 ( _ Ип2 _ Ит2

2Ь2~---— —; —------г + =

к К \ V т2 + п2 у т2 + п2

V.

Определение горизонтальной проекции точки прямой падения ^плоскости пласта, как точки касания к окружности

х2 + У2 — И2 = 0

прямой, параллельной прямой простирания, лежащей в плоскости ХОУ.

Опишем из начала координат, как центра, в плоскости ХОУ окружность:

х2 + У2 —К2 = 0...........(1)

Уравнение прямой простирания

пх —ту = 0...........(2)

Уравнение пучка прямых, параллельных (2), будет:

пх — шу —с = 0..........(3)

Из пучка параллельных прямых (3) выберем ту прямую, которая находится от (2) в расстоянии равном И.

Последняя является касательной к окружности в искомой точке —горизонтальной проекции точки прямой падения плоскости пласта.

По формуле определения расстояния между параллельными прямыми имеем:

Неоткуда

1Лп2 +

с = + т2 + п2 .

Итак, имеем два уравнения одной и той же касательной к окружности (1) в искомой точке:

пх — шу + к1/Лш2 + п2 = 0........(4)

хох + уоу —1*2 = 0..........(5)

Представим уравнение (4) в иной форме, умножив (4) на

У ш2 + п2

Получим:

- КП х+ Вт ... .(6)

|Лп2 + п2 V Сравнивая (6) и (5), имеем:

-г- Кп (7\

х0 = + , ...........\П

V

т2 + п2

у,,-:!- Л™...........(8)

V Ш2 + П2

Полученные формулы (7) и (8), как и следовало ожидать, тождественны формулам предыдущего метода.

VI.

Определение горизонтальной проекции точки прямой падения,, как полюса произвольной прямой, параллельной прямой простирания плоскости пласта, лежащей в плоскости ХОУ, относительно окружности

х2 + Уа — И2 = 0..........(1)

Уравнение прямой простирания /

пх —ту = 0............(2)

Уравнение произвольной прямой, параллельной (2):

пх — шу + с = 0..........(3)

Искомая точка—полюс,—как известно, определится координатами:

............(4)

с

Уо = - -.........•••(&)

с

Координата г0 плоскости пласта

пх — ту кг = 0,...........(6)

отвечающая х0 и у0, определится, внеся в (6) значения (4) и (5). Получим: *

го^-^-^тз + п2

КС

vii.

Определение точки прямой падения, как точки касания, к данной плоскости пласта, сферы, центр которой лежит на оси Z.

Возьмем на оси Z произвольную точку (0,0, zc) и из нее, как центра, опишем сферу, радиуса R, касающуюся плоскости пласта. Уравнение поверхности сферы

x2 + y2 + (z —zc)2-R2 = 0.........(1)

Уравнение плоскости пласта

пх — ту KZ = 0...........(2)

Напишем уравнение плоскости, касательной к (1) в произвольной; точке ее (x0ly0,z0). Уравнение ее:

x0x + y0y + (zo —zc)(z — Zc) — R2 = 0......(3)

Пусть теперь плоскость (3) совпадает с плоскостью (2). Напишем условие, при котором плоскость (3) совпадает с (2). Из этого условия, очевидно, определим искомую точку (xo,y0)z0). Имеем:

Хо X +Уо у + (z0 — Zc) (z — Zc) — R2 = l (nx — my -j- kz).

Откуда

x0 = ^n.............(4)

y0 — — x m............(5)

z0 — zc = л к...........(6)

zc(zo — zc) + Ra=0.........(7)

Уравнение (7) служит, очевидно, только для определения радиуса Я сферической поверхности.

Искомая точка определится решением системы: (2), (4), (5), (6). Вставляя в (2) значения х0) уо, из (4), (5), (6), получим:

X (т2 п2 + к2) = — кгс,

откуда

. к

Л =--хс

ш2 + п2 + к2

и, следовательно,

__кп

х0 — — -; ;-2С

Ш2 + П2 + К2

кш

у0 =-гс .

ш2 4- п2 4- к2

Не определяя хс в функции 20, легко сообразить, что знаки х0 и 2С одинаковы.

Поэтому, полагая к>0, при 2с<О)-<0> согласно (4) § 12, получим:

у0 шк2с —тк (—гЛ —ш

— =-= -—■ ——=-'

х0 — пкгс пк (— гс) п

ибо (— гс) > 0;

при 2с(О)>0, согласно (5) § 12, имеем:

— у0 — ткгс — ш

^ ? = ____ _ = _______ =-,

— х0 пкгс п

ибо гсУ>0.

VIII.

Определение точки прямой падения плоскости пласта, как полюса полярной плоскости, параллельной плоскости пласта, относительно сферы с центром на оси Ъ (0,0, гс). Уравнение поверхности сферы

х2 + у2 + (2-2с)2 —1*2 = 0.........(1)

Уравнение плоскости пласта

пх — ту4-кг = 0..........(2)

Уравнение плоскости, параллельной плоскости пласта:

пх — ту 4- кг + с = 0..........(3)

Принимаем (3) за полярную плоскость.

Обозначая через (х0, у0, г0) координаты полюса, будем иметь:

Хо х 4~~ Уо У 4~ (^о ^с) (г 2С) И2 ЕЕ X (пх — ту 4~ К2 4~ с).....(4)

Откуда

х0 = X п . . ,............(5)

Уо = — X ш..............(6)

20 — 2с — 1к...............(7)

2с(20 — гс)4-Н2 = — Хс..............(8)

Так как, по условию, полюс Р0 (х0, у0, го) лежит на данной плоскости (2), то имеем:

лх0 — 1пу0 + кг0 — 0.

Внося сюда значения (х0, у0, г0) из (5). (6), (7), определим параметр

к

Х =

и, соответственно (5), (6),

Х0 =

Уо -

ш2 + п2 + к2 кп

т24-п2 + к2 кт

ш2 + п2 + к2 IX.

Определение произвольной точки прямой падения, как центра окружности сечения, данною плоскостью пласта, поверхности вспомогательной сферы, центр которой расположен на оси Ъ.

Возьмем произвольную точку на оси Ъ (0,0, гс). Примем эту точку за центр сферы радиуса И.

Уравнение поверхности сферы

х2 + У2 + (2 — — И2 = 0........(1)

Уравнение данной плоскости

пх — ту кг = 0...........(2)

Совместно (1) и (2) определят окружность, центр которой—точка лрямой падения.

Исключая из (1) и (2) переменную г, найдем проекцию—эллипс— на плоскость г = 0 (ХОУ).

Из (2) имеем:

* ПХ-{-П1у| .

г =

Вставив г в (1), получим: , , 9 , (пх — ту)2

Х2 ! у2 _]--V-11--

К

к

или

(х2 + У2) к2 + П2 х2 — 2 тпху + т2 у2 + + 2 пкгс х — 2 ткгс у + к2 (гс2 — И2) = 0;

и, наконец,

(п2 + к2) X2 — 2 тпху + (т2 + к2) у2 + + 2 пкгс х — 2 ткгс у + к2 (гс2 — I*2) = 0

—искомое уравнение эллипса. Как известно, для кривой второго порядка

аи х2 + 2 а12 ху + а22 у2 + 2 а13 х + 2 а23 у + а33 = 0, координаты (х0, у0) центра кривой определяются по формулам:

Хо

а13 а12

а23 а22

Я11 а12 я 21 а22

; Уо

аИ а13 а21 а23

ац а12 а21 а22

где

В данном случае

<*21 ГГ а12 •

hkZc, — mri -mKZc, m2~j-K2

Хо = —

п2 + к2, —mn

— та, т2-|-к2

nKZ,

1, — ш т, т24-к2

(ш2 -f к2) (п2 + к2) — т2 п<

nKZc

п2 к2 + к2(т2 + к2)

ПК

Zc .

Уо

т2_|_П2_|_к2 П2~|~К2, nKZt

— шп, — mKZc — mKzc

n2 4- к2, п

п, 1

к2 (m2 + n2-f к2)

тк

т2 + п2-[- к2

к2 (т2-f п2-[-к2)

zc .

Замечание. Читатель может a priori убедиться в том, что последние три решения должны дать именно тождественные результаты.

X.

Определение точки прямой падения плоскости пласта, как центра окружности сечения поверхности вспомогательной сферы

x2 + y2 + z2 — R2 = 0..........(1)

произвольною плоскостью, параллельною нормальной плоскости

nx — ту--— ( т2 п2 ) z = О

Уравнение произвольной плоскости, параллельной (2):

1

пх — ту

т2 + п2 \г-{-с~0

(2)

(3)

Исключая из (1) и (3) переменную г, получим проекцию—эллипс— на плоскости ХОУ. Из (3) имеем:

ъ — к (их — ту + с)

т2 + п2

Внося (4) в (1), получим:

Х2 1 У2 ■ к2(пх-ту + с^_К2==0 (т2 + п2)2

или

[ (т2 + п2)2 + к2 п2] х2+ [ (щ2 + п2)2 + к2 т2] у2 — — 2тпк2ху-[-2пк2сх — 2 шк2 су + [к2 с2 — I?2 (т2п2)2] = О . . . (5)

—уравнение эллипса.

Из (5) определяем координаты (х0,у0) центра эллипса:

пк2 с

х0 = -

(т2 + п2) (т2 + п2 + к2)

шк2с

(т2 + п2) (т2 + п2 + к2)

Уо

(6) (7)

Наконец, координату г0 проще определить из уравнения плоскости пласта:

пх— ту-\-кх = 0...........(8)

Внося (6) и (7) в (8), получим:

КС

ш2 п2 к2 xi.

Представим себе прямую коническую поверхность, центр которой и ось совпадают, соответственно, с началом координат и осью Ъ\ направляющей конической поверхности является окружность:

х2 + у2 —И2 = 0 г — с.

Данная плоскость,

пх — гпу-|~к2 = 0,

пласта пересекает коническую поверхность по двум образующим, симметричным относительно прямой падения плоскости пласта.

Произвольная точка Р прямой падения плоскости пласта определится, при данном значении 2 = Н, очевидно, координатами:

хр = —^ хх -)- х2

УР = у^У1-гУ2 2р — 2^,2 ~ Н,

где (х1,уъ21) и (х2, у2,г2), отвечающие гЬ2,—координаты точек двух образующих, соответственно.

х2+У2___^ = о.........(1)

И2 с2

—уравнение конической поверхности.

пх — ту = 0...........(2)

—уравнение плоскости пласта.

Исключая из уравнений (1) и (2) переменную г, получим проекцию кривой сечения на плоскость ХОУ. Из (2) имеем: .

_ —пх-|-П1у

к

и, вставляя последнюю в (1), получим:

С2(х2+у2)_К2_("Х-тУ)2 =0

к2

или

(к2с2 — Н2п2)х2 + 2шпН2ху + (к2с2 — Я2т2)у2 = 0 . . . . 1З) —уравнение кривой сечения второго порядка

ап х2 -{- 2 г12 ху -)- а22 у2 = 0.........(4^

Непосредственно усматриваем [дискриминант левой части (3) равен нулю], что кривая второго порядка, как и следует ожидать, распадается на две прямые:

хЧ---у = 0,......(42)

ац

являющиеся проекциями образующих конической поверхности и симметричных относительно проекции прямой падения плоскости пласта. В выражении (4Ь2):

ап = к2 с2 —Я2 п2 # а12 = тп1?2

а22 = к2 с2 — И2 т2,

и

аи а12 а21 а22

—дискриминант членов второй степени.

Определяем значение А, полагая, что удовлетворяется неравенство:

Д<0.

Имеем:

Д = (к2 с2 — И2 п2) (к2 с2 — И2 т2) — ш2 п2 И4 = = к4 с4 — к2 с2 Я2 п2 — к2 с21?2 т3 = = к2 с2 .(к2 с2 — И2 п2 — И2 т2) = к2 с2 [к2 с2 — И2 (т2 + п2) ].

Уравнения (43) проекций образующих принимают вид:

шп Е2 + кс (™2 + п2) — к2

к2 с2 —1*2п:

У — 0 . .(5), (6)

Введя обозначения:

Ъ>2 =

тп1*2 + КС (ш2 + п2) — к2 с2

к2 С2 — 1*2 П2

искомые образующие определим системою уравнений-

пх —шу-{-к2 = 0 х + ^>2у = 0 Систему (7) заменяем системою:

(П1ь2 + П1)у —К2 = 0

Х + ^зУ

(7)

О,

откуда

Найдя

__ у

1 / ш4-п1Ь2

+ П*Ь2 = т +

п^п^ + кс]/^^2 + п2) —к2 с2)

к2 с2 —И2п2

тк2 с2 + ксп У~Я2 (т2 + п2) — к2 с2

к3 с2 — И2 п2

КС (ткс + п (т2 + п2) — к2 с2

к2 с2 — I*2 п2

искомые уравнения образующих представятся цод видо^:

х _= у_

1

шпЯ2 + КС У Я2 (ш2 + п2) — к2 с2 к2 с2 — I*2 п2 г

с (шкс + п У И2 (ш2 + п2) — к2 с2 к2 с2 —1*2п2

.(8)

Преобразуем числители знаменателей отношений, умножив каждое из них, соответственно, на

шкс + п (ш2 + п2) — к2 с2

1. (птЯ2 + кс У Я2 (т2 + п2) — к2 с2) (ткс + + п У К2 (т2 + п2) — к2 с2) = т2 п к2 кс ± + тк2 с2 Укг (т2 + п2) — к2 с2 + тп2 И2 Yя2 (т2 + п2) — к2 с2 — пкс [И2 (т2 + п2) — к2 с2] = икс (— п2 ^ + к2 с2) +

+ т У^ (т2 + п2) — к2 с2 (к2 с2 — п2 Я2) = = ксп (к2 с2 — п2 И2) + т УИ2 (т2 + п2) — к* с* (к2 с2 — п2 К2) = = (к2 с2 — п2 Я2) (ксп + т У Я2 (т2 + п2) — к2 с2) .

2. ткс + п У К2 (т2 -[- п2) — к2 с2 .

3. с {т2 к2 с2 — ■ п2[и2 (т2 п2) — к2 с2] } =

= с [ к2 с2 (т* + п2) — п2 И2 (т2 + п2) ] = = с (т2 + п2) (к2 с2 — п2 И2).

Наконец,

(ксп + т Уп2 (т2 + п2) — к2с2) У _

ткс + п ]/ К2 (т2 + п2) — к2с2 с + п2)

—искомые уравнения образующих конической поверхности; откуда, полагая ги2 = Н, получим *

(9)

хЬ2 — — |ксп + т И2 (т2 + п2)-к

2.2' Н

уи2— ткс + п л/ I?2(т2-(-п2) — к2с2

1 / кмш^ + п'5 —к-^с- -

Vх* ) с(т2 + п2)

с(т2 + п2) Н

Координаты (хр, ур) искомой точки прямой падения определяются по формулам:

XII.

Приведем несколько иной способ решения. Мы имели:

Уравнение конической поверхности:

х2 + у<

г2

0

И2

.или

С2 (х2 + у2) — И2 г2 =0 Уравнение плоскости пласта

пх — ту кг — О. .

Искомые образующие определяются пересечением (1) и (2). Разделив (1) на г2 и (2) на г, получим:

х \2 , / у 42

И2 = 0 к = 0

Из (4) имеем:

х

п

т

к

Последнее вносим в (3) и получаем:

П'

т

12

К

= 0

и, наконец,

2 тк

+

К'

Ни

0,

откуда

г

Окончательно:

111 к + I/ ш2к2 — (ш2 + п2)

ш2 +п:

шкс + П У Я2 (ш2 + п2) — к2 с2

С (ш2 п2)

у

Внося в (5), получим:

ксп + ш (ш2 + п2) — к2 с2 с (ш2 + п2)

Теперь (6) и (7) совместно и определяют искомые уравнения образующих, именно:

х __

— (ксп + т (т2 + п2) — к2с2)

=_ У 2_ . . .(8)

шкс + п ]/> (т2 + п2) - к2с2 с (т2 + "*>

Замечание 1. Если поставить условием, чтобы плоскость пласта была касательна к конической поверхности, то, очевидно, подкоренное

о х у

количество выражении- и должно равняться нулю.

г г

Тогда уравнения (8) непосредственно переходят в уравнение прямой падения плоскости пласта. В самом деле. Имеем:

_х_^ _у__ = г

— ксп шкс с(т2-[-п2)

или

х _ у ____ .

— п т / т2-\- п2

о)

к

откуда искомые координаты:

кп

х —--z

т2 + п2

кш

у = -Z>

m2 п2

Замечание 2. Переходя к другим методам, заметим, что косинусы углов, составляемых данными следами [(abíi); (а2 С2)] с осями координат X, У, Z, как известно, определяются, соответственно, формулами:

cos аи2 — sin Ci,2 cos аЬ2

cosp1,2 = sin Ci,2 sin аЬ2 r I

Уравнения следов будут:

_____У_=_г_.......(2)

COSab2 COS pi,2 COS Хьз

Приняв во внимание формулы (1), получим:

_х_^__У _ z .

sin Ci,2 cos а1)2 sin СЬ2 sin аЬ2 cos СЬ2

или

_*_=_У_= JL......(3)

tgC1)2cosab2 tg С1з2 sin аЬ2 1

—уравнения следов.

XI1Í.

Система уравнений—следов и горизонтальной плоскости

х ___ у _ z

tgCb2 cosa Ь2 tgCb2 sin а Ь2 z = H

определяет две точки (1,2) прямой простирания:

Xi,2 = Htg СЬ2 eos аЬ2 Уьг = Htg Ci,2 sin аЬ2 zb2 = H

Уравнение прямой простирания, следовательно, будет X ■ Xj,2 У —УЬ2 _ Z — Н

(4.)

или

хЬ2 — х2)1 X —Htg сь2 cos аЬ2

Уь2 — Уги О

у —Htgib2 sin аЬ2

tg Сь2 cos аЬ2 — tg C2íi cos a2>1 tg Cb2 sin a,,2 — tg C2)1 sin a2

z —H

>i

0

(5

Прямая падения, отвечающая точке (0,0,0), как известно, опре делится уравнениями (6Ь2):

(tg СЬ2 cos а,,а — tg C2,i cos а2,0 х + (tg СЬ2 sin а1)2 — tg Í2íl sin а2)1) у = 0.

х — Н tg Сьа cos аЬ2. у — Н tg СЬ2 sin аь2, z — Н

tgCb2cosab2 , tg C|,2 sin аЬ2 , 1 =0.

tg eos a1)2 — tg C2)1 eos a2,i, tg Cb2 sin a„2 — tg C2)1 sin a2,i, 0

Преобразуя (62), получим:

x y z

tgCb2COsab2S tg wb2 sin аЬ2, 1 =0

tgC2,iCOsa2)1, tg C2,j sin a2)1, 1

или, развернув определитель по элементам первой строки,

(tg СЬ2 sin аЬ2 — tg C2,i sin a2,i) х — (tg CI)2 cos a1?2 — tg C2)I cos a2íl) у -f +tg tg Сы sin (a2)1 — ab2) z = 0

и, окончательно,

(tg Cj sin aj — tg C2 sin a2) x — (tg Ci cos a3 — tg C2 cos a2) у -f + tgCitg C2 sin(a2 — aj)z = 0.

Введя обозначения:

tg Cj sin a! — tg C2 sin a2 = n tg Ci cos aj — tg C2 cos a2 = m tg Ci tg C2 sin (a2 — aj) = к.

уравнения (6Ь2) принимают вид:

mx-f-ny = -0

пх — my-|-KZ — 0;

откуда

X — — пк! у = mKt z = (m2 + n2) t.

XIV.

Возьмем на данных следах (аЬ2, ii,2), соответственно, две точки (1,2) отвечающие одному и тому же значению координаты z = zx — z2 = H, и определяющие, следовательно, прямую простирания. Примем прямую простирания за линию центров пучка сферических поверхностей.

Опишем из точек 1 и 2, как центров, две сферические поверхности произвольных радиусов, соответственно, Ri и R2. Уравнения сферических поверхностей будут:

(х-хЬ2)г + (У —yb2)2 + (z-z1>2)2 —R2„2 = 0 ... .(1)

Уравнение:

(l+X)(x2 + y2 + z2)-2(x1 + Xx2)x-2(y1 + Xy2)y^-

-2(z1 + Xz2)z + (M1 + XM2) = 0........(2;

где

Mj,2 = X?fг у 1,2 + zb —Rl,2 ,

и 1—произвольный параметр, представляет, как известно, общее уравнение пучка сферических поверхностей, центры которых лежат, в нашем случае, на прямой простирания 12.

х — хь2 __у —УЬ2 _ z Н......^

хЬ2 — x2-i Уь2 — Угп 0

Уравнение радикальной плоскости [из (2), при X — — 1], совпадающей с одною из плоскостей падения плоскости пласта, будет.

(Х1_Х.2)Х + (У1_У2)У__1(М1 _'мг) = о).......(4)

^ z = z I

Теперь поставим условие, чтобы радикальная плоскость (4) проходила через точку (0,0,0). Тогда (4) дает:

м1=м2.

Уравнение радикальной плоскости принимает вид: (хЬ2 — х2)1) X + (уЬ2 — у2„) у = 0

(5)

Искомая точка прямой падения, как легко видеть, определяется системою уравнений (5) и (3).

z = Н

(х1)2 — х2)1) X -f (у„2 — У2.1) У = О (У 1)2 — У2.1) X — (хь2 — X2,i) у + ХЬ2 y2íl — Х2,1 уЬ2 = О

откуда

X = —

z = Н О Уьг —У2,1

Xl,2 У2»1 -Х2,1 Уьг,-(Xj,2 X2jl)

Xb2 — Х2,1 , уи2 у2,1 Уь2-Уз?1 ,-(х1,2 -X2íl)

(Уь2 — У2,0 (хь2 y2,i — x2;i уЬ2) (Xl,2 — X2,l)2 + (УЬ2 — У2,1 )2

Хь2-Х-2,1 , О

Уь2-У'2,1 > ХЬ2 у2,1-Х2>1 У1,2

(X

1)2

хь2 — Х2,1 , Уь2 — y2?í УЬ2 —У2.1 — (Xl,2 — Х2>1) -х2,1)(хЬ2у2,1 — Х2|1уЬ2)

(хЬ2 — х2)1)2 + (уЬ2 — Уы)2

Вставляя в (7) и (8) значения:

хЬ2 — х2)1 = Н (tg Сьа cos аь2 — tgC2fi cos a2íI) Уь2 — y2,i = Н (tg Сь2 sin аь2 — tg C2,i sin a2íl) xí,2 y2)i — x2,i уЬ2 = H2 tg ti tg C2 sin (a2,i — ab2),

получим:

X —■

________tgtgí2sin (a^—-ai) (tgCj sin aj_j-tgj¡2sina2)__

(tg E¡j eos — tg C2 eos a2)2 + (tg Cx sin ax — tg C2 sin a2)2

=--пк H

m2-¡-n2

_ tgCatgC2sin(a2 — ад) (tgCi cosa! — tgC2cosa2) H (tg Ci cos a{— tg £2 eos a2)2 + (tg Ct sin — tg í2 sin a2)2

ГПК

m2 + n2

H .

XV.

Предыдущее решение можно представить в несколько ином виде. Поставим условие, чтобы радикальная плоскость (5) была каса-тельна к обеим сферическим поверхностям.

Как известно, получим общую, радикальной плоскости и обеим сферическим поверхностям, точку касания; последняя и будет искомою точкою прямой падения плоскости пласта.

Уравнение касательной плоскости к сферическим поверхностям в искомой точке (х0,уо, 20), как известно, будет;

(х0 — хЬ2) (х — хЬ2) + (у0 — уЬ2) (у — У1,2) + (г0 — Н) (г — Н) — ЯЬ = О

или

(х0 — хЬ2) X + (у0 — уь2) у + (г0 — Н) ъ — — [хш (х0 — хЬ2) + у, ,2 (уо — У 1,2) + н (го — н) + ЯЬ] = о . . .(9)

По условию, (5) совпадает с (9). Поэтому:

(х0 — хЬ2) х + (у0 — уЬ2) у + (г0 — Н) г — [хЬ2 (х0 — хЬ2) + уЬ2 (у0 — уЬ2)+ + Н (20 — Н) + ЯЫ Е X [ (хП2 - х2И) х + (у 1,2 — У2,1) у],

откуда

х0 — хь2 = х(хь2 — х2,0.........(ю)

Уо —Уь2 = ^(Уь2 —Уап).........(П)

20 —Н =0..............(12)

и, в связи с (12),

х1,2 (Х0-Хь._>) уЬ2 (у0-УыО 2 — 0.....(13)

Выражение (13), очевидно, служит только для определения тех значений радиусов, при которых сферические поверхности касаются.

Искомая точка определится из соотношений (10), (11) и уравнения (5) радикальной плоскости.

Деля (10) на (II), получим:

х0-х],2__xi,2-х2,]

■ У о — Уьг УЬ2 — Уг,1 Преобразуя последнее, найдем:

(УЬ2 — У2,0 Х0 — (хьз — хы) Уо + хЬ2 у2,1 ~ Х2,1 уЬ2 — 0.

Таким образом мы пришли к ранее приведенной системе уравнений (6),

Замечание. Для решения можно воспользоваться началом простого отношения трех точек: данных 1,2 и искомой. Как известно, можем написать:

+ / \ Х1 — X х2

1«.(х2 — х0 =----—

1 — Л

У = Уа+!х(Уа—Уд)= У'~~Хуз-,

1 -Л

где X—параметры, отвечающие х и у. Для определения параметров у, X, как легко видеть, необходимо значения х и у вставить в уравнение радикальной плоскости.

XVI.

Проведем через начало координат две плоскости, перпендикулярные следам.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (х0, Уо,^0) и перпендикулярной прямой

х—а _ у — Ь _ ъ — с

.(1) .(2)

ш п р

как известно, есть;

ш(х — х0) + п(у — y0) + p(z — z0) = 0 . . . .

В нашем случае: Xo = 0;y0 = 0;z0 = 0. Поэтому, (2) принимает вид:

шх + пу-[-рг=:0..........(3)

Теперь, соответственно формуле (3), замечания 2 раздела XII,

получим:

tgCi,2cos ab2x-ftgíi,2 sin ab2y + z = 0

(4)

—уравнения плоскостей, определяющих нормаль в точке (0, 0, 0) плоскости пласта.

Уравнение нормали, выраженное в функции параметра 1, будет:

: tgCj sin ai , 1

tg C2 sin a2, 1

1 , tgC, eos гх 1 , tg í2 eos a2

tgCtCosa!, tgCi sina! tgC2cosa2, tgC2sina2

t — (tg ÍA sin ai — tg C2 sin a2) t = nt. t = (tg C2 cos a2 — tg Ci cos aj) t = — mt.

t — tg Cj tg C2

eos aj , sin ai

eos a2 , sin a2

t =

= tg ti tg C2 sin (a2 — aO t = Kt .

Исключая из полученных значений х, у, z параметр t, получим искомое уравнение нормали:

х _ у _ z

п

(5)

m

к

Замечание. Переходя к дальнейшему, заметим, что координаты (хп, уп) точек нормали тождественны координатам (хр, ур) соответствующих точек плоскости пласта; знак же координаты гп точек нормали противоположен знаку координаты гр соответствующих точек плоскости пласта.

Из (5) имеем:

п

х —- 2п

К ш

откуда, соответственно замечанию, получим:

1. tgcp =—полагая к>0

п

2. tgъ = —, полагая к<0.

— п

XVII.

Примем прямые простирания и падения плоскости пласта, отвечающие точке (0,0,0), за биссекторы; тогда биссекторам будет отвечать бесчисленное множество пар прямых плоскости пласта, проходящих через точку (0,0,0) и, соответственно, равнонаклоненных, как к первым, так и к горизонтальной плоскости ХОУ.

Данные две прямые [ (0,0,0); (аь ^1) и (0,0,0); (а2, С2)], определяющие плоскость пласта, заменим двумя произвольными, но равнонакло-ненными к горизонтальной плоскости ХОУ (или оси 2), прямыми 1 и 2 той же плоскости пласта.

Пусть их уравнения, соответственно, будут:

........(1ь-/>

тЬ2 пЬ2 р Так как прямые 1 и 2 равнонаклонены к ХОУ, то

+-р-= +--Р--;

|/т2_иП2+р2 |/т2+п| + р2

откуда

га? + п? = т| + п»...........(2)

С другой стороны, прямые 1 и 2 лежат в данной плоскости

пх — ту кг — 0 . ..........(3)

Приняв во внимание, что прямые 1 и 2 проходят через точку (0,0,0), условие совпадения их с плоскостью (3) выразится, соответственно, формулами:

пшьз — тпЬ2-]-кр = 0.........(4Ь2)

Уравнения (4Ь2), по исключении р, дают тгц — пт I — шп? — пт2;

откуда

("1 — п2) гп = — (т2 — Ш1) п

или

= _. .....- ... (5)

гп2 — тг ш

Уравнения горизонтально-проектирующих плоскостей прямых 1 и 2, соответственно, будут:

пь>х — шЬ9у = 0

(6ь3)

или, в нормальной форме, "1,2

т,.2

±V™h + nh ±V mi,2 + ПЬ

y = 0

• .(7b2)

Уравнения биссектральных плоскостей, отвечающих плоскостям (7i,a), будут:

П! п2 \

Щ + п<

х

/

Л-

У • •

(8)

Ш]

_| lib

У = 0

2 / Z = Z

П1

т2 т, \

(9)

у = 0

г— г

±V™l + *l ±}fm\ + n*J

В силу (2), уравнения биссектральных плоскостей принимают вид

(ti! -J- п2) х — (mj -f~ m2) У = О

z = z

(10)

(ni — п2) х + (m2 — mi) у = 0

г — z

или

гщ + т2

П1 + п2

у = 0

Ъ — Ъ

П1 —п2

т2~Ш1

х + у = 0

z = z

(И)

(12)

(13)

Далее, из (2) имеем:

(nj — п2) (п, + n2) = (т2 — mi) (т2 + nij), откуда, в связи с (6),

mi-f-m2 __ nx —n2 tgCi sinai —tgC2 sin а2 ___n_ ^

П! + n2 m2 — m! tgCi cos ai — tg C2 cos a2 m

Вставив в (12) и (13) соответствующие выражения (14), получим:

п

ш

у = 0

гп

х + у = 0

и, окончательно,

гпх пу ---- - О г = г

—уравнение первой биссектральной плоскости;

пх — шу — О г = г

(15)

(16)

(17)

(18)

—уравнение второй биссектральной плоскости.

Найдя теперь, последовательно, пересечения плоскостей (17) и (18) с данною плоскостью (3), определим, отвечающие им, прямые падения и простирания. Именно: 1. Система:

пх — ту = 0

г=г

пх — ту 4- кг = 0

.(19) -(20)

определяет прямую простирания, что видно непосредственно. 2. Система:

шх - пу — 0

г — г

пх — ту-[-кг —0..........

определяет прямую падения.

Приведем уравнение прямой падения к нормальному виду. Представив (21) в виде:

(21) (22)

(23)

т

определив, далее, из последнего одну из переменных, допустим х, и вставив последнюю в (22), получим:

п2

ш

у ту —[- кх = 0,

У =_____z

m (

^ m2 + n2 j

Последнее уравнение (24), в связи с (23), дает:

= =_5. .....* . (5

- П Ш / Ш2 -[" п2

v к

—искомое уравнение прямой падения в нормальной форме. Наконец, из (25) определяем х и у в функции z. Имеем:

кп

х_--z

m2 + n2

шк

У —-------z-

m2 + n2

XVIII.

Уравнение плоскости пласта

пх —■ my kz = 0..........

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку (0,0,0):

х _ у _ z

mt Hi pi

Условие совпадения пучка прямых (2) с плоскостью (1):

n . 0 + т . O-f-к . 0 + 0^0,.......

как и должно быть; »

nmi — mni-)-Kpi = 0.........

Для прямой простирания

mi ~ mp; nj = пр; pi = 0 . Поэтому, (2) и (4) принимают, соответственно, вид:

X __ У __ Z nip пр 0 nmp — mnp — 0..........

Представим (5) в виде:

х _ у _ z mp \ 1 0

Из (6) имеем:

пр

mp _ т

пр п

Внося (8) в (7), получим:

= ш п

—уравнение прямой простирания, которое легко получить и из (1),' положив 2 = 0.

Далее, прямая падения перпендикулярна прямой простирания. Поэтому условием совпадения прямой

= .........(10)

с прямой падения являются соотношения:

пт[ — ШП[ —|— Кр{ = 0 тгги4-пш = 0,

откуда

Ш; =

П\

ш, к п, О

п ГП

п, — ш ш. п

1 = — пк1

[ — шк1.

1 = (т2 + п2)1.

Внося значения ш¡, и р в (10), получим уравнение прямой падения плоскости пласта:

ш

Ш2 -I- П2

откуда

пк

X =

У =

ГП2 —¡— п2

шк

ГП2 + п2

г.

Замечание. Другие методы определения координат (х, у, г) произвольной точки прямой падения плоскости пласта изложены в моей статье

Наконец, приведем еще один, заслуживающий внимания, метод определения азимута ср прямой падения плоскости пласта.

§ Н.

Особый метод определения азимута © прямой падения плоскости

пласта.

Имеем:

пх — ту-|-к2::==0...........(1)

-—уравнение плоскости пласта.

х2 + у2 + г2 —1*2 = 0......... (2)

—уравнение поверхности сферы.

Исключив из (1) и (2) переменную z, получим в проекции на плоскость ХОУ эллипс, короткая ось которого именно совпадает с горизонтальной проекцией прямой падения плоскости пласта. Именно, из (1) имеем:

ту — пх

ъ =

к

Внося z в уравнение (2), получим:

К2 Х2 К2 у2 т2 у2 _ 2 тпху + п2 х2 — R2 к2 = 0 или, окончательно,

(п2 + к2) х2 — 2 тпху + (т2 + к2) у2 — R2 к2 = 0.....(3)

—уравнение искомого эллипса, где, соответственно общему уравнению' кривых второго порядка (после преобразования к центру),

ап = п2-\-к2

а12 = — mn

а22 = ш2 + к2

а33 = —R2K2.

Остается преобразовать уравнение (3) к главным осям эллипса, вращая систему XyZ около начала координат 0 на угол отвечающий азимуту прямой падения плоскости пласта.

Угол же ср, как известно, определяется соотношением:

tg2?= 2а'2 ;..........(4)

Зц — а22

последнее соотношение оставляет совершенно неопределенным вопрос, в каком из четырех направлений главных осей эллипса лежит новое (начальное, основное) направление—ось X'.

Условимся, временно, считать угол вращения ср острым: o = В связи с дальнейшим, перейдем к sin 2 ф0 и, как известно,

sin 2,0 = -^-' • • ■.......(5)

Р

где

р = f(an,a12, а22) .

В силу условия

0<? = <Ро<-77*,

в формуле (5) мы должны положить знаки а12 и о совпадающими; поэтому, вытекают два предположения:

аГ2>0 и а12<0 .

Переходим теперь к определению инвариантов э, ри коеффициен-тов а^, а'22 и а^ преобразованного, к главным осям эллипса, уравнения:

а'11х'2 + айу'2 + азд = 0)

где х' и у' — координаты точек эллипса в новой системе координат Х'У'Г.

A. Определение инвариантов б и р.

1. $™ап + а22"П2 + 2к2 + ш2 . 2. рз = (ап — а22)2 + 4а?2 = (п2 — т2)2 + 4т2 п2 = = п4 + т4 + 2 т2 п2 = (п2 + т2)2,

откуда

рр,п = + (п12 + п2) .

B. Определение коеффициентов а'п, а'12, а^ ,

I. Пусть а12>0, следовательно, р > 0.

1. аи=^(8 + рр) = -^(п2 + 2к2 + ш2 + п2 + ш2) = т2 + п2 + к2 . ^ л

?22 = у(5"Рр) = к2 '

а'зз=азз = —К3«2 '

Наконец, приводим уравнение эллипса, в системе Х'У'2', в нормальную форму:

х'2 у'2 —+-у—1-0, Р1 Р2

где

азз азз

Р1 =--— > Р2

В настоящем случае:

311 а22

К2

Р1— т2 + п2 + к2 К

р2 = Н2 .

Непосредственно усматриваем, что:

р!>0; р2>0 и р] <р2 .

Заключаем, что, после вращения вправо (соответственно взаимному расположению осей ОХ и ОУ) на угол

0 < фо < --

новая ось X' совпадает с малою осью эллипса (проекцией прямой падения плоскости пласта).

Так как новая ось X' должна совпасть именно с направлением проекции прямой падения, то нетрудно видеть, что, векториально, ось X должна быть повернута вправо на угол ср, удовлетворяющий либо условию (черт. 24, 25):

либо условию (черт. 26, 27):

...........(<5)

При этих условиях, (Р) И (С2),

Соответственно условию (Р)—

и, как известно, значения

sin *р = —j—

cos =

Vs-

1/1

1 —

all — З22

Pp

(P,>

an -^22

Pp

Соответственно условию (Q)-

и значения

sin ср

Sin ср0 = —

cos ср = — COS

и

Vi

41

а

(Qi)

1 +

Переходим к непосредственному определению sin 9 и cos ф в функции заданных величин.

1. ап —а22—п2 —ш2 .

1 РР —(ац — а22) _ т2

2.

3.

ш2 + п2

1 Рр + (аи ~ а22)

2 pp m2 -f- п2

Внося 1, 2, 3 в (Pj) и (Qj), естественно написать:

m

Sin ср =;

COS ср = +

]/m2 + n2 n

|/"m2 -f n2

(6), (7)

Переходим теперь к определению знаков выражений (6), (7) или. что то же, к векториальному определению угла удовлетворяющего-условию:

или условию:

/ / 3

в связи с определением знаков количеств шип. Мы имеем:

аГ2>0 или (—шп)>0, откуда равновозможны четыре предположения.

1.

— m>0 n>0

и, соответственно условию

°<»<-b

икеем:

m

sin cp =

Y m2 + n2

. n

COS cp = --—

]/~m2 -f- n2 2.

— m<0 n<0

и, соответственно условию

/ / 3

имеем:

ш

sin cp —

|Am2 + n2

COS cp " -f-

n

]/m24-n2

3.

ш >0

—n>0

и, соответственно условию получим:

, m

sin ? =

COS cp = —

Г"2

n

|/m2 -4- n2 4.

m<0

-n<0

и, соответственно условию

/ / 3 т: <Т со <Г — тс,

^ ' ^ 2 '

получим:

, ш

sin ср = -]--==

{ЛпЗ + П* п

cos ср =--•

}/~m2-f п2

Из рассмотрения предположений 1, 2, 3, 4 вытекает, что независимых предположений только два, и эти последние мы и должны взять:— либо 1 и 2,-—либо 3 и 4.

Далее, мы устанавливаем, что, при каждом из неравенств:

0О<-^-тс...........(Р)

...........(Q)

предположения 1 и 2 определяют, векториально, искомый азимут ср прямой падения плоскости пласта, формулою:

sin ср —m . /о\ tg ср —-!— =--,.........(о;

COS ср П

предположения 3 и 4 определяют, векториально, именно тот же искомый азимут ср прямой падения уже другою формулою:

tg(p== sinq, __ —Н-.........(9)

COS ср — П

Приходим к заключению, что необходимо и естественно поставить вопрос, в каких именно случаях имеет место та или другая формулы (8), (9).

Ответ на поставленный вопрос должен вытекать из соображения, что мы повернули ось X на угол ср, отвечающий азимуту именно прямой падения.

В самом деле. После вращения системы XYZ около оси Z на угол 9, мы имеем (для точек прямой падения):

X — х' COS ср

у — х' sin ср }...........(10)

z = z'

Выразим теперь г (или г') в функции х' и <р. Из уравнения (1) плоскости пласта мы имеем:

ъ = — (— пх ту), к

Внося сюда соотношения (10), получим:

х'

2 =--(— n cos sin if).......(1IV

к

Соответственно предположениям 1 и 2, формула (11) дает: х' / n2 m2 \ х'

г =--

к

_ __т2 +п2 . . (12)

]/т2 + п2 ]/т2 + п2 I к У

Соответственно предположениям 3 и 4. формула (11) дает:

z^^—y^ m2 + n2.........(13)

Возьмем теперь точки прямой падения, для которых

zSO;

тогда, как мы знаем,

х'^0,

и формулы [(12), (13)] дают, соответственно, к^О.

Таким образом мы получаем окончательный ответ на поставленный выше вопрос. Именно: Формула

, —m

tg? =-

n

определяет векториально искомый азимут <р. приняв к>0; формула

т

-

— п

определяет, векториально, именно тот же искомый азимут ф прямой падения, приняв к<^0. Знак же величины

к tg tg С2 sin (а2 — aj)

определяет, как указано в моей статье,1 порядок обозначения направлений—следов.

II. Пусть я12<05

следовательно р<0.

1 • а'и = Y(s+ pn) = ^ (S " Рр) = tg2 Cl tg2 Ca SÍn2 (32"" 3l) = K2*

2- ^2 = y(s-Pn) = -l(s + Pp) = m2 + n2 + K2.

3- a^ = a33 = -R2K2.

Приводим уравнение эллипса (3), в системе X'Y'Z', в нормальную* форму:

х'2 , v'2

—__—í__1 —о

Pi Р2

где

р1 = -

В настоящем случае:

Р2

"33

р! =

=

; р2 = -

р2=я2 •

к2

'22

Ш2 -)— П2 —(— К2

Непосредственно усматриваем, что

р; > 0; р'2 > 0 и р; > р'2 . Заключаем, что. после вращения вправо на угол

0<<Ро<-~*; £

новая ось X' совпадет с большою осью эллипса (прямою простирания плоскости пласта).

Так как новая ось X' должна совпадать с проекцией направления прямой падения, то нетрудно видеть, что векториально ось X должна быть повернута вправо на угол ф. удовлетворяющий либо условию (черт. 28. 29)

28.

7Г < ф < 7Г.

либо условию (черт. 30, 31)

2 7Г © - 7Г

^ 2

При этих условиях, (И) и (в),

^ <р < о.

Соответственно условию (И),

, 1

? = ?о + — тс,

■ (Ю -(в)

и значения

sin<p = cos<p0 = -f |/ 1 + — " 322

eos 9 = — sin 9о =

Vi V М'Щ

Соответственно условию (S).

"Г То,

и значения

sincp — — cosepo —

eos ¥ = sin epo =

Vi Vi

1 +

Pn

1 —

Pn

Y

( % С\

Х «¿efunZl

.(15)

Переходим к непосредственному определению sins и cos<p в функции заданных величин.

1. аи — а22 —п2— т2. о 1 рп — (аи- а22)

п:

3.

2 рп ш2 п2

1 рп + (ац —а22) _ т2

Рп

m2 -f- п:

Поэтому, (14) и 15) переходят в

8Ш<р = +

ГП

СОБср = +

}Лп2 + п2 п

]/т2 + п2

(16), (17)

Переходим теперь к определению знаков выражений (16), (17) или, что то же, к векториальному определению угла ф, удовлетворяющего условию

1 ^ / — - < ср < те,

или условию

2 ТС > ф > 7Г,

в связи с определением знаков количеств шип. Мы имеем:

а12 < 0 или (— шп)<0, откуда равновозможны четыре случая.

1.

и, соответственно условию

ш>0 п<0

те < ср < те,

получим:

БШ ср =

Ш

}/т2 + п2

СОБср

П

|/"ш2 + П2

2.

и, соответственно условию

•ш<0 п>0

2тс>ср> —те,

получим:

m

sm ср —---;-;--

|Лп2 +П2

COS ср = -f-

j/m2 + П<

3.

ш>0

— п<0

и, соответственно условию

1 ^ / — ТГ < ср < 7Г,

получим;

ш

БШ ср =

]/~т2 + П:

COS Ф =

у Ш2 —[— П2

4.

ш<0 — п>0

и, соответственно условию

2т:>ср>-|7Г)

получим:

, ni

Sin ср =

С08

}/т2 + П2 п

]Лп2 +п2

В дальнейшем анализ совершенно тождествен анализу при существовании неравенства а12>0; необходимо лишь условия (Р)' и ((3) заменить условиями (И) и (в). Итак, при любом

312^0,

имеем:

1. Положив к>0, азимут прямой падения плоскости пласта определяется векториально формулою

, — ш

- - .

П

2. Положив к<0, азимут прямой падения плоскости пласта определяется векториально формулою

т

=--

§ 15.

Метод совместного определения азимута ср и зенитного расстояния С прямой падения плоскости иласта.

Возьмем на данных следах (а^з, Сь2)> соответственно, две точки 1 и 2, отвечающие одному и тому же значению координаты х=г1=г2—Н и определяющие, следовательно, прямую простирания.

Вращаем теперь систему координат ХУ2 около оси Ъ на угол ср, отвечающий азимуту прямой падения плоскости пласта. .

Тогда, в новой системе координат Х'У'2', координаты х' точек 1 и 2 будут равны:

" Х2 >

ибо плоскость падения будет перпендикулярна прямой, определяемой точками 1 и 2 (прямая простирания).

Берем формулу преобразования координат х[ 2:

х'1(2 = хЬ2со8<р-4-уьзэтср...... . . (1)

Вносим в (1) ранее выведенные значения:

*ь2 = Н1§СЬ2 соэ а1)2 Уь2 = ^С1,2£ша1,2

и получаем: откуда, положив находим:

Но

хг,2 = соэ (ср — аЬ2);

Х| — Х2 —' х ,

х'

„ = ^ соэ (ср — аЬ2).

н

у'

Н

поэтому, окончательно

сов(ср —аЬ2).

В дальнейшем, определение ср и С изложено в моей статье 1 (§ 17).

§ 16.

Методы определения зенитного расстояния С прямой падения плоскости пласта.

I.

Повернув систему ХУ2 около оси Ъ на угол ср, отвечающий азимуту прямой падения, видим, что, соответственно точке (х'>0, г<0),

= ...........0)

г

где

—— тс <Г С <Г тс. 2

Выразим х' в функции г.

Возьмем инвариант выражений (1ь2) § 12:

Х2 + У2=х'2+У'2.

В нашем случае

х'>0;у'^0;

поэтому

=+!/**+у*

Внося сюда значения х и у, выраженные в функции г, и принимая к>0, получим:

К

х =------г ;

}Лп2 + п2

и, окончательно, формула (1) принимает вид:

^^ ^ ==——

у Ш2 —|— П2

II.

Проведя через начало координат прямую падения плоскости пласта Р и нормаль к последней, обозначим зенитные расстояния прямой падения, нормали над и под плоскостью Р, соответственно, через С, Ьи Ь2.

Легко видеть, что:

1. С = взяв удовлетворяющим условию

0<Ь1<-^тг

2. С = — тс — h2, взяв h2 удовлетворяющим условию 2

В первом случае

tgC = — ctghj Во втором случае

tgC = ctgh2

cos hj

у 1 —cos2hj cos h->

(1.)

(h)

1 — cos2 h >

Усматриваем, что в обоих случаях вид формулы один и тот же и, поэтому, отбросив знаки 1 и 2,- получим:

. - , cos h

tgC =

/

(2)

1 — cos2 h

Так как нормаль перпендикулярна следам, то, как известно,

А.

cos h = Н--

Т

sin ср

где ср—угол между следами, и определяется по формуле:

5т2ср = Д2а + Д| + Д2т.....

Вставляя (3) и (4) в (2), получим:

tgc =

(3)

(4)

(5)

'Р

Приняв во внимание формулу (1) замечания 2 раздела XII, получим:

Аа =

cos pj , cos Yi' COS p2, COS 72

sin Ci sin at, cos Ci sin C2sina2, cos C2

cos Ci cos C2

= cosCi cos ts

tgC, sinaj, 1 tgC2sin a2, 1

COS fi , cos 04 cos y2, COS 0i2

1 , tgCi cosaj 1, tgC2 cos a2

= cos Ci cos C2 (tg Ci sin aj — tg C2 sin a2).

cos Cj, sin Ci cos ax cos C>, sin C2 cos a2

cos Ci cos C2 (tg C2 cos a2 — tg Ci cos aj).

COS atj , COSp!

COS a2 , cos p2

sin Ci cos at, sin Ci sin ai

sin C2 cos a2, sin sin a2

= sin Ci sin C2

sin Ci sinC> sin (a2 — ai).

tgc=

cos ai, sin at cos a2, sin a2

Внося полученные значения Да, Др, A^ в (5), получим:

_1__sin Ci sin С2 sin (а2 — ах)

cosCi cosC2 у^(tg^sinaj—tgv2sina2)2-Htg^cosa2—tgCi cosaj):

_ __tgCj tg ;2 sin(a2 —aQ_________________

(tg Ci sin aj — tg C2 sin a2)2 + (tg Ci eos a! — tg C2 eos a2)2

Приняв tgCi tgC2 sin (a2 — а^^к^О и условие

1

получим окончательно: tgC = -

tg С i tg ü2sin(a2 — a,)

|/~ (tg Ci sin aj — tg С a sin a2)2 -f- (tg C, eos a! — tg í2 eos a2);

III.

Мы имели:

tg

cos h

cos2 h

где Ь— один из углов, составляемый направлением оси Ъ и одним из направлений нормали. Но известно, что

cos h

nij m2 —J— n¡ n3-j- pi p2

, . • • - О)

где

]/ т^ + п^ + р2 . |/т2 + п| + р\

тх = 0; п, =0; р1 = 1 т2 = п; п> -- — ш ; р2 = к

—угловые коеффициенты, соответственно, оси Ъ и нормали к плоскости пласта:

х у г

О 0 1

x _ у _ z

(2) (3)

п

ш

к

Поэтому, (1) принимает вид:

СОБ Ь = +

j/m2 + n2 + K:

и

cos2h

tg

ma Ч- n-

m2 + n2-f-K2 к

Полагая к>0, в силу условия

ш2Ч-п2

7Т < С < ТГ,

получим окончательно:

tg

к

V

IV.

т- ч- п"

Обозначим через Ь угол падения плоскости пласта, Угол Ь есть угол между плоскостями: пласта

пх — шу + кг = 0......

и произвольной горизонтальной

2 — Н = 0.......

.........(1)

..........(2)

Легко видеть, что зенитное расстояние С прямой падения удовлетворяет условию:

С = —1С — Ь

2

и, следовательно, «

tg С — ctg h

1 —sin2h

cosh

ибо

эш Ь

1 — С052 Ь

---7С<Ь<0.

2

1. Имеем вообще:

sin2 h —

а, в, 2 1 В, с, 2 [ с, ai

а2 В2 + в2 с2 + с2 А2

(А?+В?+С0(А1+В| + С1)

В нашем случае, соответственно (1) и (2), А! = п; В1 = — ш; С! = к А2 = 0; В2 = 0; С2 = 1.

А1 в, п, ш

а2 в2 0 0

в, с, 2 — т, к

в2 с2 0 1

с, а, 2 к, п

с2 а2 1 0

— тг.

= П".

А1 + В1 + С? = т2 —|— п2 —{— к*

БШ2 Ь

гп2 —п2

/ПГ

БШ2 Ь

ш2 + п2 + К2 к

т2 —(— п2 —[— к:

2. Имеем вообще:

созЬ = +

уГ ш2 + п2 ^аа + в, в2 + с,с.

В нашем случае знак (—) отпадает, и

А,А2 = 0; Вх В2 = 0 ; 0^2 = к.

]/" А?+В? + С? = }/" т2 + п2 + к2 ■ .}/" А2 + В2+С! = 1.

Поэтому

СОБ Ь

т2-|-п2

|/ т2-|~п2 + к

1 —соэ2Ь = ~|/ = —

т2 —п2 —¡— к5

§ 17.

Решения методом сферической тригонометрии.

Опишем из точки (черт. 32) 0, точки схода следов, как центра, сферу произвольного радиуса., Отметим далее точки 1, II, Z встречи следов 01, ОН и вертикальной прямой ОZ с поверхностью сферы. Полученные точки соединим дугами больших кругов, как указано на чертеже (чертеж представляет ортогональную проекцию сферы на плоскость горизонта).

Проведем далее из точки О дугу OF2 — - — С (дуга OAF=C), перпендикулярную дуге IFrl II = с. Пусть СЬ2 удовлетворяют условию:

у*>Сь2>0.

1. Из сферического треугольника 01 НО имеем:

sin (а2—ai)— 2S-(!)

sin Cj sinC2

sin (u — C)

2 S

sin с

где S—амплитуда сферического треугольника.

Определяя из (1) и (2) 2S и сравнивая, получаем:

sin (а2 — ai) sin Ci sin

sin

......(3)

sin с

Далее имеем:

cos с = cos Cx cos C2 sin Ci sin C2 cos (a2 - a{) и, соответственно,

sin С = -(- y 1 — cos- с

ибо

Внося (5) в (3), получим:

-V 1

тг>с>0

(4)

(5)

sin С

sin (а2 — ai) sin sin С2

cos С —

/

v

cos¿ с

sin2 (а2 — а^ sin21¡ sin2 С.

1 — cos2 с

• .(6.) • -(7)

ибо

Разделив (6) на (7), получим: *

г _ sin(a2— aQsinCi sin С.

tg

V

у 1 — eos2 с— sin2 (а2 — ai) sin2 С, sin2 C2 sin (a2 —a,)tgCitgC2

соэ2 1х соэ2 с2

1 — eos2 с — sin2 (a2 — ai) sin2 íi sin2 C2

Но, в связи с (4), 1

1 — eos2 с — sin2 (а2 — at) sin2 Ci sin2 í2

eos2 Cj eos2 C2 [ = (1 + tg2 Cj) (1 + tg2 C2) - 1 - 2 tg Í! tg C2 eos (a2 - a,) -— tg2 Ci tg2 C2 eos2 (a2 — aO — sin2 (a$ — a,) tg2 íj tg2 C2 =

= tg2 ü, + tg2 C2 - 2 tg ti tg C2 eos (a, - ai) = — (tg Cj eos a! — tg C2 eos a2)2 -f- (tg t, sin at — tg C2 sin a2)2.

Окончательно имеем: tgC = -

tg£, tg sin (a, —aj)

/(tgci

соз а

tgC2 eos a2)2 —H (tg Ct sin a! •—tgC2 sin a2)2

—формула, определяющая зенитное расстояние С прямой падения. Замечание. Анализ формулы см, статью

2. Продолжим луги О (Т) I и 0 (2) II до пересечения с окружностью АВСЛЗА. соответственно, в точках К] и К2.

Из сферических треугольников ВП^В и 0ПК20, прямоугольных, соответственно, при точках К] и К2. получим:

tg tg

-»i

БШ

БШ

+<р

а-> -I--тг

~ 2

W-T"

tg к

откуда

tg С = tg С],2 соб (ср — аЬ2)........(1ь2)

3. Формулы (1Ь2) можно получить иначе.

Проведем через точку О нормаль к плоскости пласта, определяемой следами 01 и ОН, и отметим точку N1 встречи ее с поверхностью сферы. Соединим далее точку N1 с точками ОД и II дугами больших кругов. Легко видеть, что сферические треугольники 01^10 и 01^110— прямосторонние:

Имеем:

^N,1 =

eos (aj — ср) eos (ср — а2)

ni ii = — tu .

2

- * ICtgC, п ictgC2,

tg- = tgCl52cos(cp — aJ>2).........(13)2)

Дальнейшие преобразования формул (1ь2)—определение ср и С— указаны в § 17 статьи Ч

4. Из сферического треугольника OHIO имеем:

Но

следовательно

cos с — cos íi cos С2 sin Ci sin cos (a2 — c = c, + c2,

(1)

(2)

COS С — COS C2 COS C2 — Sin Ci sin c2.......

Сравнивая (1) и (2), получим:

cos Ci cos c2 — sin Cj sin Ci — cos C] cos C2 -j- sin Cj sin cos (a2 — aj). . . (3)

Определим теперь значения ct и c2, входящие в формулу (3). Из сферических треугольников OI F\ О и OIIFjO, прямоугольных при точке Fi, соответственно, имеем:

cos Ci

cos Ci

cos С

sin Ci = — sin Ci sin (ср — aj)

coso

cos C2

cos (.

sin c2 = sin C2 sin (cp — a2) Внося (4) и (5) в (3), получим:

1

(4)

(5>

cos cos C2

— 1 — sin Ci sin

Ho

cos2 С

- sin (cp — aj sin (cp — a2) 1

cos(a2— a,)

cos2 С

l=tg2C

(6).

(7)

Ho

Внося (7) в (6) и разделив последнее на (cos Ci cos С>), получим: tg2 S = tg Cj tg C2 [cos (a2 — a,) — sin (cp — a^ sin (cp — a2) ] . . . (8)

cos (a2 — aO = cos [ (a2 — cp) + (cp — 3l) ] = = cos (cp — a2) cos (cp — ax) + sin (cp — a2) sin (cp — at) . . . . (9) Внося (9) в (8), имеем:

tg2 С = tg ti tg t2 cos (cp — aO cos (cp — a2);......(10),

откуда, приняв условие получим:

tg £ = — |f tg ti tg C2 cos (ф — ai) cos (cp — a2).

Формула (10), очевидно, является следствием ранее выведенных формул:

tg С = tg С,,2 COS (ср — аЬ2).

5. Обозначим сферические эксцессы треугольников 01 ПО, OIFjO, ■ОН Pi О, соответственно, через е, е( и е2.

Имеем:

1 1,1

Но

_ __ _ _ , _ £.

2 2 С'Т 2

(1)

tg — Ч +tg — во = - 2 2- -.........<2)

2 11

1 — tg-г, tg--г.,

ё 2 S 2 ■

tgAs =___anion......(3)

2 11

ctg —С, ctg — С2 +cos IOII 2 2

tg J- ei =___sinIQF'......(4)

2 ctg^C.tg—C + cosIOF,

tg 1 aa =____sin ■......(5)

2 ctg^C2tg ^C + cosIlOF,

IOII = 2 тг — (ai — a2). sin IOU = sin (a2 — a^; cos IOII = cos (a2 — aj. IOFi = — aj -j- ? -J- ir. sin IOF( = — sin (cp — aj); cos IOFt = — cos (cp — аД

IIOFj =— cp-f-a2 + t. sin IIOFj = sin (cp — a2); cos IIOFj = — cos (cp — a2).

Внося теперь (3), (4) и (5) в (2) и преобразуя правую часть последнего, получим:

sin (а2 — at) _

^ 1 г . Г~ 1 _

Ctg — Ci ctg — cos (a2 — aO

sin (cp — aO

sin (<p —a2)

ctg y Ci tg ~ С — cos (cp — a,) ctgy C2 tg ~ С — cos (cp — a2)

sin (cp — ai)

sin O — a2)

ctg — Ci tg— С — cos (cp — aO

ctg ~ C> tg -i- С — cos (cp — a2)

Z t

sin (cp 3i)

*ctg — C2 tg — С — cos (cp — a2) 2 2

+ sin (cp — a2)X

ctg y Ci tg у С— eos (cp — aj)

ctg y C2 tgyC — cos(t —

+

X

ctg y Ci tg --- С — cos (cp — a,)

-j-sin (cp—ai)sin (cp — a2)

В

обозначая через А числитель, а через В—знаменатель. Выражение (6) перепишем так:

Бт(а2 — а,) А

ctg -i-í, ctg— í2 + cos (а2 — а,)

В

или

sin (а2 — ад) В =

ctg y Ci ctS y ^ + cos (а2 — ai)

(6)

Преобразуем теперь А и В.

А = — sin (cp — аО ctg С2 tg С + sin (cp — 3l) cos (cp — a2) +

Zi Áé

+ sin (cp — a2) ctg -i- Ü! tg JL С — sin (cp — a2) cos (cp — a,) = v Z 2

= - sin (<p- a,) ctg -1 C2 tg -1С + sin (cp - a2) ctg -1 C, tg у С +

+ sin (a2—aj) — — tg4" С

ctg у C2 sin (cp — aj) — ctg -J Ci sin (cp — a2)

+

-fsin(a2 — a,),.

(8)

sin (cp — a,) cos (cp — a2) — eos (cp — a2) sin (cp — a2) = = sin [ (cp — aO — (cp — a2) ] = sin (a2 — ах).

B = ctgy Cictg-i-C2tgay C — eos (cp — a,)ctgy C2 tg-jt — — ctg Cj tg С cos (cp — a2) + eos (cp — as) eos (cp — a2) + + sin (cp — aj) sin (cp — a2) = ctg y C, ctg -i- C2 tg» у С —

— cos(cp — a¡)ctg - í2tg

у С — ctg у С, tg -i- С cos (cp — a2) +

+ cos (a2 — a,) = ctg -1C, ctg у C2 tg2 -- С — tgy С

ctg — C2 cos (cp — a, 2

1

ctg — Ci cos (cp — a2) -[- cos (a2 — a{). 2

(5)

ибо

cos (cp — ai) cos (cp — a2) -f- sin (cp — aj) sin (cp — a2) = cos [(cp — aO — (cp — a2)] = cos (a2 — a,). Внося (8) и (9) в (7), получим:

sin (а, - aj) ctg у Ci ctg ~ t2 tg2 -у С —

sin (a2-a,)tg~-t

ctg t2 cos (cp—aj) + ctg ~ Ci cos (cp — a2)

£

ctg »"Ctctg-J-Ca

cos (a2 — aj)

*T<

ctg — c2 sin (cp — aj) 2

ctg—r Ca sin (cp — a2)

+ctg^ ;1ctg^C2sin(a2-a1), . . . (10)

по сокращении обеих частей уравнения на

sin (а2 — aj) cos (а2 — аг). Преобразуя (10), получаем:

sin (а2 - aO ctg -1 С, ctg -i- С8 (tg2 -1 С-1 ] =

= tg jsin(а2 — а,) + ctg^-Ci cos (cp — а2)

ctg у C2 cos (cp — a,) +

-f-cos(a2 —a^

ctg -J- C2 sin (cp — a,) — ctg -i- C, sin (<p — a2)

+ 1 Г

или, по разделении на tg — С,

2

2 ctg С sin (а2 — а,) ctg Ci ctg С,

sin (а2 — aj)

ctg ~ С2 cos (cp — ai) + ctg ~ Ci cos (cp — a,>) z* z*

+

11 1

+ ctg—- Ci ctg2 ~ C2 sin (cp — ai) + ctg ~-C2cos(a2 —ai)sin(cp —aO —

z ¿ zi

— ctg2 Ci ctg ^ C2 sin (cp—a2) — ctg ~ Ci cos(a2—ai)sin(cp—a2) ..(11)

Преобразуем правую часть уравнения (11), приняв во внимание, что

sin (а2 — ai) = sin (cp — ai) cos (cp — a2) — cos (cp — ai) sin (cp — a2). cos (a2 —a,) = cos (cp — aj) cos (cp — a2) + sin (cp — a^ sin (cp — a2). Имеем:

sin (cp — a^ cos (cp — a2) — cos *cp — ai) sin (cp — a2)

ctg^C2cos (cp—a,) +

+ctgy^i cos (? —

- [eos (cp-~ai) cos (cp—a2) sin (cp—aO sin (cp—a2)

ctg | C2 sin (cp — aj) — ctg - t, sin (cp — a2)

+ctg ~ Ci ctg2^ C2 sin (cp- ai)

— ctg2 -i- Ci ctg * C2 sin (cp ■ a2) = eos2 (cp — a,) sin (cp — a2) ctg -i- C2 —

Z Z Z

_ _ ctg -i- Ci eos2 (cp — a2) Sin (cp — a,) + ctg C2 sin2 (cp — a,) sin (cp — a2) —

¿i Zt

— ctg-^CiSin(tp —a,)sin2((p —a2) + ctg-J- ctg2 -i- C2 sin (cp — a,) —

^ z z

— ctg2 y C, ctg y C2 sin (cp — a2) = ctg — C2 sin (cp — a2) — ctg Cj sin (cp aj) -j- ctg c, ctg2 -Lc2Sin(«p_ai)_ — ctg2 y Í! ctg y C2 sin (cp — a2) = = ctgy C2 sin (cp —a2)(l - ctg'y -ctgy C, sin (?~at) /l - ctg*^- C2)'

Таким образом, окончательно, уравнение (11) принимает вид: 2 ctg С sin (а2 — а,) ctg у С, ctg -у С2 =

= ctgy C2sin («р —— ctg* у С,J — ctg у С, sin (<р—— ctg2y откуда

ctg« у с,-1 ctg2 -у t2 — 1

— Sin (ср — а2)-——- 1 sin (ср — а,).-—--

2 ctg—С, 2 ctg —С, ctgC =-----------

sin (а2 —ai) — _ sin (ср — a2) Ctg Ci — sin (ср — ai) ctg t2 sin(a2 — aO

и, окончательно,

tgC =__tg Ci tg C2 sin (a2 —aQ___

tg C2 sin (cp — a2) — tg Cj sin (cp — at)

6. Возьмем на дуге I II произвольную точку P, которую соединим с точкою О дугою большого круга ОР = р. Введем обозначения:

<OIII = a; < OllI — ß; <0Р1 = Хх; <ОРП = х2;

<ЮР = ть < ПОР = у2; <ЮП = т; — IFiII = c1 + c2 = c.

Обозначая через S амплитуду сферического треугольника OHIO имеем:

2 S = sin у sin íi sin í2..........(1)

2 S = sin a sin с sin ti .......... (2)

2 S = sin ß sin с sin t2..........(3)

Находим теперь значения sin a и sinß.

sin p . {лл

sin a = sin Xi-—».....W

sinCi

q sinp . /СЧ

Sin p — sin xx--—».........W

sin t2

ибо

Внося (4) и (5), соответственно, в (2) и (3), получим:

2 S = sin Xi sin р sin с..........(6)

Сравнивая (1) и (6), получим:

sin у sin ti sin t2 = sin X! sin p sin с =

= Sin X! sin p (sin C! COS c2 -f- COS Ci sin c2)......(7)

Определяем значения sincb sinc2, coscb cosc2.

Из сферического треугольника OIPO, соответственно, имеем:

sin C1,2 = SÍnCi¡

sin у, ,2

.....(8), (9)

sin Xi

COSCl!2 = COSp COsCi,2 + SÍnpSÍnCi,2COSy1,2 . . .(10), (11) Вносим теперь (8), (9), (10), (И) в (7). Имеем:

sin у sin íi sin í2 = sin p [sin Ci sin ti sin í2 (eos p ctg í¡2 + + sin p eos y2) + sin í2 sin y2 sin Ci (cos p ctg Ci + sin p eos Yi) ],

откуда

sin y

sin p

sin Yi eos p ctg C2 -(- sin Yi sin p eos +

-(- sin y2 eos p ctg Ci sin y*2 sin p eos yi = = eos p (sin Yi ctg C2 + sin Ts ctg Ci) + sin P (sin Ti cos Y2 + + sin y2 eos Yi) = COS p (sin Yi ctg sin y2 ctg Ci) + + sin p sin (yi + Ta) = eos p (sin Ti ctg í2 -f- sin т2 ctg -)- sin p sin y

или

sinT

sin p

— sin p sin y = cos p (sin y2 ctg C2 + sin y2 ctg íi) .

(12)

Преобразуем левую часть уравнения (12). Имеем:

sin y . . / 1

- sin p sin y — sin y

sin p

sin p

sin p

eos2 p _ .

sin y-— = sin y ctg p eos p.

sin p

Наконец, уравнение (12) принимает вид:

sin y ctg p = sin Ti ctg C-2 -f- sin т2 ctg íb

откуда

, áin т

(13)

sin Ti ctgC2 + sin TaCtgCi

В нашем случае точка Р такова, что она должна совпадать с точкою Ff. Поэтому

р = тс—

Т = < IOII = 2 тс — (ai — а2), Ti = <С IOFi = — я!"—(— —¡— ir» Т2 — < IIOFi = — ? + а2 + Внося выражения (14) в (13), получим:

tgí, tgC2sin(a2 —а,)

(14)

tgí

tg íi sin (аг — 9) — tg í2 Sin (a2 — <p) ■формула, определяющая зенитное расстояние С прямой падения

плоскости пласта.

7. А). Применим к каждому из сферических треугольников OIPO и OIIPO формулу котангенсов. Имеем:

ctg ti,2 Sin Р — ctg Xj.2 sin y1|2 COS P COS 7i,2 • . . .

В силу условия

формулы (11>2) принимают вид:

cos р (ctg ti,2 tg p cos 7í,2) ^t ctgX] sin .....(2b2)

где знаки плюс и минус отвечают, соответственно, индексам 1 и 2. Деля (22) на (2t), получим:

ctg t2tgp — cosy2 ___sinT2 ?

ctg ti tg p — cos sin 7!

откуда

ctgt2 tg p sin Ti — cos t2 sin 7i = — ctg ti tg p sin y2 + cos ^ sin y2

или

tg Р (ctg t2 sin У! -f- ctg ti Sin Yl>) = cos Yj sin y2 -j- COS y2 sin Tl,

откуда

tgp _ COS Tl sin y2 —|— COS y2 sinTl .......(3)

ctg t2 sinTl + ctgti sin y2

Внося в (3) значения (см. 6)

tg Р = — tg С, cos Yi = — cos (cp — aj), siny2 = sin(cp —a2), cos y2 = — cos (cp — a2), sinT! = — sin (cp — aj),

получим:

cos Yi sin y2 -f- cos 72 sin *¡t= — cos (cp — ax) sin (cp — a2) + -j— cos (cp a2) sin (cp ai) = sin [(? —aj) —(cp —a2)] = sin(a2 — a^

и

tgtj tgt2sin (a2 —aO

tgC

tg t2 sin (cp — a2) — tg tí sin (cp — a,) tgti tg t2 sin (a2 — ax)

tg ti sin — cp) — tg t2 sin (a2 — <f)

В). Полагая (как и должно быть для нашей задачи)

1

Xl=X2=-yic, формулы (1Ь2) принимают вид:

ctg Сьа Sin р = cos р cos y,,2,

откуда

cos Ti,2

tgp =

Ctgr

*Ь2

приняв во внимание значения р и уь2, получим окончательно:

tgCi=tgC,2cos (<р — а„2).

Из последних двух формул мы определим, в функции заданных величин (аЬ2Дь2), искомые С и ? (см. статью1, § 17). 8. А). Возьмем формулу

tgC =__tgCitgC2sm(a2 —ад) . . . . (1)

tg С2 sin (© — а2) — tg Cí sin (<p — aO

определяющую зенитное расстояние С прямой падения плоскости пласта. Преобразуя (1), получим:

tg С [sin ср (tg С2 cos а2 — tg Ci cos a¡) -f- cos <p (tg Cj sin ai —

— tg C2 sin a2) ] + tg Ci tg C2 sin (a2 — aj = 0.....(2)

Разрешим последнее уравнение относительно ср. Обозначая

tg С (tg С2 cos а2 — tg Cj cos а,) = а tg ^ (tg Ci sin aj — tg C2 sin a2) = b tg^i tgC2 sin (a2 — aj) = к, уравнение (2) принимает вид:

a sin cp -f- Ь eos cp -f- к = 0..........(3)

Уравнение (3), как известно, можно преобразовать в уравнение: (а2 — к2) tg3^p + 2 ab tg <р -f- (b2 — к2) = 0,......(4)

откуда

— ab + l/~ a2 b2 — (b2 — к2) (а2 — к2)

tg?=---------;--;.......<5)

а2 — к-

Преобразуем подкоренное количество выражения (5) Имеем:

a2 b2 - (Ь2 — к2) (а2 — к2) = к2 (а2 + Ь2 — к2).

Таким образом

— ab + к 1/Аа2 4- Ь* — к2

tg<p =---......(6)

а2 — к2

Положим теперь в выражении (6)

а2 -)- Ь2 — к2 = tg2 С [ (tg С2 cos а2 — tg ^ eos ai)2 + (tg U sin aj —

— tg C2 sin a2)2] — tg2 Ci tg2 C2 sin2 (a2 — ai) = 0.....(7)

Тогда

, ab

tg?o =--r~7 =

a2 — к2

_ _ tg2 С (tg C2 cos a2 — tg Ci cos aQ (tg Ct sin at — tg C2 sin a2) ^ ^ tg2 С (tg C2 eos a2 — tg Ci eos a^2 — tg2 C, tg2 C2 sin2 (a2 — a,)

UJ rit/l ri *J Vb.

Из (7) имеем:

tg2 t (tg t2 cos а2 — tg Ci cos aj)2 — tg2 Ct tg2 C2 sin2 (a2 — a,) =

= — tg2 С (tg Ci sin 3! — tg t2 sin a2)2.......(9)

Внося (9) в (8), получим:

tg ъ = *g COS a2 — tg Ci cos at.......

tg^sina!— tgt2sina2 Но из сравнения формул [3; (1ь2)],

tgC = tgCi,2 cos (? —аЬ2), мы имеем (см. § 17 статьи1):

tg = tg ta cos а2 — tg tt cos a! .......(11)

tgCxSinai —tgC2sina2 Сравнивая (10) и (11), заключаем, что

tg cp0 = tgcp.

Этот результат, понятно, мы и должны были ожидать.

В самом деле: геометрически ясно, что нашей задаче отвечает только единственное значение tgcp, соответствующее двум направлениям, прямой падения плоскости пласта*

Как следствие, из (7) вытекает, что

t ___tgti tgt2 sin(a2 —at)_

|/"(tg t2 eos a2 — tg Ci eos ai)2 + (tg ti sin at —tg t2 sin a2)2 откуда, полагая

tg ti tg t2 sin a2 — к > 0 и приняв во внимание, что, по условию,

1

получим окончательно:

tgt = -

tgtitgt2sin(a2 —а,)

j/~(tg t2 cos а2 — tg ti cos ai)2 -f (tg ti sin a! — tg t2 sin a2)-

Мы получили, таким образом, новый вывод формулы, определяющей зенитное расстояние t прямой падения плоскости пласта.

В). Перейдем теперь к векториальному определению азимута ср. Преобразуем уравнение (2) двояко:

1. tg t sin cp [ (tg t2 eos a2 — tg t¡ eos ai) -f- ctg cp (tg t, sin ai —

— tg t2 sin a2) ] + tg ti tg t2 sin (a2 - ai) = 0.....(12)

2. tg t eos cp [ tg cp (tg t3 eos a2 — tg ti eos ax) -f- (tg ti sin ai —

— tg t2 sin a2) ] + tg tj tg t2 sin (a2 — ai) = 0.....(i 3)

Из формул (12) и (13), соответственно, получим:

sin cp =

_____tgtitgt2sin(a2 —ai)__.(14).

tg с f (tg t2 eos a2 — tg ti eos ai) + ctg cp (tg ti sin ax — tg t2 sin a2)]

COS cp

tgCi tg C2 sin (a2 — aQ___(15)

tg С [ tg cp (tg C2 cos a2 — tg Cj cos a,) + (tg Í, sin aj — tg C2 sfn a2) ] Исключая tg cp из (14) и (15) посредством формулы (11), получим:

sin ф =

tg Ci tg C2 sin (a2 — ai) (tg C2 cos a2 — tg C, cos at)

(— tg C) [ (tg C2 cos a2 — tg Cj cos a,)2 + (tg Cj sin — tg C2 sin a2)2]

cos cp =

___tg C, tg C2 sin (a2 — a2) (tg Ci sin ai — tg C2 sin a2)__

(— tg C) [ (tg C2 cos a2 — tg Ci cos a^2 + (tg Ci sin a! — tg C2 sin a2)2]

Полагая

tg Ci tg C2 sin (a2 — a]) = к > 0

и заметив, что

£

векториально получим: %

tg С2 cos а2 — tg Ci cos аг

..(16)

. .(17)

tgcp =

tg Ci sin a! — tg C2 sin a2 Г Л А В А VI.

Нанесение на план прямой падения и изогипс плоскости пласта.

В моей статье1 (§ 1) указан обычный способ проведения на плане прямой падения по данным: х, у, азимуту, интервалу и отметке какой-либо из ее точек.

Укажем другой способ, при котором пользуемся координатного сеткою плана.

§ 18.

А). Случай шурфования: задана точка А и два, исходящие от нее, направления—следа I и II (плоскости пласта на вертикальных стенках шурфа; см. черт. 33)."

Отмечаем на плане точку А (ха, уа, za) схода следов, через которую проходит прямая падения плоскости пласта.

Другую точку (В или С) прямой падения определяем, как пересечение последней с какою-либо, приличным образом выбранною, плоскостью, параллельною одной из координатных плоскостей: XOZ (плоскость меридиана) или yOZ.

Точки А и В (или С) определяют искомую прямую падения.

Приняв во внимание систему координат плана, в соответствии с уравнением [(25), XVII], имеем:

X —Ха У —Ус

г — гг

либо

ГП

ГП2 —П2

у = Уч

г~г\

X —Ха _ У" Уа _2~2а_

— п гп / ш2 - п2

к

х = Х}

(11,2)

• .(2„,>)

г = г,

где [(Ь), (2^]—уравнения прямой падения плоскости пласта, [(12), (22)]— уравнения плоскостей, параллельных, соответственно, плоскостям меридиана и ей перпендикулярной (1 = 1,2,3,4....., соответственно)

¥

2 Ч 1 1 "г Л П

ц Ч *г> \ (1

J / Л4 1 V

. |-т—— V/ \ Н ^

X

X

Ъушт.Л3

Из уравнений (1ь2) и (2ЬЗ) определяем искомые точки В и С; именно:

п т2_|_п2

1. ХЬ = Ха--(У и — Уа); Уь = У и \гЬ — ХА~\--!-(Уц — Уа) . . . (Зь2,3)

ш шк

ш

2. Хс = х*.;ус = уа--(Х*—хй);г

_ Ш2 + П:

ПК

(Х1-Ха)....(41,2,з)

В дальнейшем, при начертании изогипс плоскости пласта, можно поступить двояко: либо так, как изложено в статье 2 [а) стр. 247 и Ь) стр. 180] проф. П. К. Соболевского, либо—, как указано ниже. Именно;

В уравнении прямой падения плоскости пласта

.......(5)

— п ш /т2-|-п2

V к ,

меняем значение г через заданный интервал (напр. через 0,5 т., 1 т., 2 т...) и определяем из (5), отвечающие значения координат (1=1,2,3.....).

— пк / \ Xi — Ха (Zi Za)

m2 + n* шк

(Zi — Za)

m2 -(- n

(6b,)

Остается теперь систему точек (х^, уь прямой падения наколоть на план, и через них провести искомые изогипсы плоскости пласта, перпендикулярно прямой падения.

В результате усматриваем, что каждая из изогипс определяется точкою и направлением.

В подходящих случаях, когда изогипсы могут получиться большой длины, следует каждую из последних определять двумя точками, из которых одна—3 (х1, уь ц)—известна.

Другую (К или Ь) определяем, как пересечение изогипсы точки Л с какою-либо, приличным образом выбранной, плоскостью, параллельною плоскости Х01 или УОк. Имеем:

X —Ха _ У — Уа .........(7)

— п ш

—уравнение проекции прямой падения,

в х = Хч;у = Уч..........(8Ь2)

—уравнения прямых, параллельных, соответственно, осям ОУ и ОХ (1Ъ2 = 1,2,3,4, .... соответственно).

Уравнение проекции изогипсы, как перпендикулярной (7) и проходящей через точку (х*, у^), будет:

у = У1+ — (*-*)..........(9)

ГГ1

\

Уравнения (8ЬЗ) и (9) совместно определяют, соответственно, координаты [(хк, ук), (х/, у/)] точек К и Ь:

xK = Xt,

i " /v \ ........(юь2

ук = yi — (Xt ■ Xi) m

Геометрический смысл вычитания понятен: координатная плоскость ХОУ переместилась в новое положение Х'О'У' по отвесному направлению на величину гх = гт . '

Теперь ясно, что точка встречи X прямой РИ с плоскостью X' О' У' — искомая, и задача приведена к ранее рассмотренной (Глава I, § 1),

Решение задачи, отвечающее неравенствам (4), (5), (6) представлено, соответственно, на чертежах 34, 35, 36 (вращение горизонтально - проектирующей плоскости прямой РМ влево, если смотреть по направлению рп).

II. Пусть 2Р> гп . Аналогично случаю I, получим:

0 > гр — гх > 2П — > 0 > гп

> гп — гх > 0

-(7) .(9)

как и в случае I).

Решение задачи, отвечающее неравенствам (7), (8), (9), представлено, соответственно, на чертежах 37, 38, 39 (вращение,,

III. Пусть гр = 2п .

Тогда прямая РЙ—искомая прямая простирания.

Мимоходом заметим, что перпендикуляр, опущенный из какой-либо другой из заданных точек (Ы или Р*), как известно,— искомая прямая падения, определяемая двумя точками, отметки которых—хп (или гр) и гт.

Замечание 1. При определении иско^-мой точки X берут такую из заданных точек, чтобы X лежала в пределах чертежа.

Замечание 2. Как в случае I, так и в случае II остаются, понятно, в силе замечания 1 и 2, § 1 главы I.

В случае, если преобразование отметок концов прямой РЫ не приводит к цели (см. §11, начало), то тогда можно прибегнуть к излагаемому ниже графо-аналитическому методу.

37

*) На прямую МХ.

Возьмем вертикальную плоскость, отвечающую прямой РЫ.

Примем одну из горизонтальных проекций точек Р и И, например р, за начало прямоугольной системы координат; ось ОХ' располагаем горизонтально по направлению от точки р к точке п, ось Ъ~ вертикально.

Так как мы имеем три точки—две данные Р и N и искомую X— то естественно применить начало простого отношения трех точек.

Как известно, можем написать:

Х'х = Х'т = Х'р + Iх (Х'п — Х'р)........(10)

Zy = Z,

Zp + ц (z„ — Zp),

(11)

где, в принятой при решении системе координат X' О' Ъ, (х'т. гт), (х'р, гр), (х'1Ъ гп)—координаты, соответственно, точек X, Р и N.

3ё.

h m

39

Исключая из (10) параметр [х помощью (11), получим:

X

X m -X

(Х'п-Х'р)

(12)

Zn Zp

В нашем случае х'р = 0; поэтому, (12) принимает вид

! / Zm — Zp

X

~ X'

п,

Zn Zp

• (13)

где х'п—горизонтальное расстояние между точками Р и N—может быть определено двояко: непосредственно по плану или аналитически по формуле:

х п = рп

Хп ~ X,

Уп —Ур

(14)

cos(PN) sin(PN)

в последнем выражении рп и (PN)—, соответственно, горизонтальная проекция и азимут вектора PN.

Остается теперь на плане от точки р — проекции Р — отложить отрезок х'х = х'т; конец этого отрезка и будет искомая точка X.

Графическое же определение по формуле (13) искомой х'х=х'т> как легко видеть, также не представляет затруднений.

Определение изоточек z сторон разведочного треугольника.

1. Применяя формулы (13) и (14), соответственно, к каждой из сторон разведочного треугольника, можем утверждать:

Изменяя переменную zm через заданный интервал, легко определить на каждой из прямых PN, NM, MP (и их проекций pn, nrn, тр) систему

равноотстоящих друг от друга точек, отвечающих изогипсам (и их проекциям) плоскости пласта (изогипсы—прямые, определяемые изо-точками г).

Приведем теперь другой метод определения на прямых Р1М, ЫМ, МР системы равноотстоящих друг от друга точек.

2. Возьмем одну из сторон, например РЫ, определяемую точками Р (хр, ур, хр) и N (х„, у„, хп)......

Уравнение прямой Р№

Ур

Хп

Ур —Уп

откуда

I 2

х = хр + —

У ~Ур

£р Ур

Уп

г — X,

Хр Ъъ

{г — :Ер)

(2 — Хр)

■ (15)

(16)

(17)

Изменяя в (16) и (17) переменную г через заданный интервал получим систему равноотстоящих друг от друга точек.

Замечание 1. Мы знаем, что для начертания изогипс плоскости пласта достаточно, как первый момент, наметить на прямой падения систему равноотстоящих друг от друга точек, отвечающих изменению координаты г через заданный интервал.

В соответствии с изложенным, находим уравнение прямой простирания плоскости пласта, отвечающей какой-либо из точек, например М (х Ш» Упъ 2 ш ). Затем составляем уравнение прямой падения, отвечающей точке Р, либо N.

Имеем:

г^Хъ............ (18)

—уравнение горизонтальной плоскости, отвечающей точке М.

Находим теперь точку К встречи прямой РЫ (15) с (18) и получаем

хк

Ук —Ур

Хк — Хх

Ур

2п У"

Хр Хп

(2. (2.

гр) Хр)

Уравнение прямой простирания, определяемой точками М и К, будет:

X Хк __У-Ук _ X-Хк

Хк Хщ Ук Ут Хк — Хт

Прямая падения, отвечающая точке N (Р) и перпендикулярная (19), определяется системою уравнений:

(ХК — Хт) (X — Хп(р)) + (ук — Ут) (У — Уп(р)) +

+ (хк — хт) (:г — 2П(Р)) = о X — хк, у — ук, X — 1К

Хп(р)-Хк

хк} Уп(р) — Ук, ^п(р) — Хк

•Ш)

Ук — Ут, гк — г,

Введя обозначения;

Хк Xm — Ai¡ Ук — Уш ^^ Bj¡ Zk zm = Cj — [Хп(р) (Хк — хт) + уп(р) (ук — Ут) + Zn(p) (zK — Zm)] = D

У n (p) — У к, Zn(p) — Zk

Xn(p) XK, Zn(p) ZK

= A

= B

'2

Ук Ут, ZK Zm

Хк — Xm, yK ym

получим уравнения прямой падения в общем виде:

A,x-f Bjy + CjZ + D^O А, х + В3 у + С2 z + D2 = 0

(21)

Наконец, остается привести к нормальной форме уравнения прямой (21) и поступить далее соответственно А).

Замечание 2. Изложенный прием определения изоточек г сторон разведочного треугольника применим и к следам разведочного шурфа.

В самом деле: достаточно на каждом из следов отметить произвольную точку и определить ее координаты. Тогда точка А (ха, уа, га) схода следов и, отмеченные на следах, точки 1, II определяют разведочный треугольник IIIА I.

Координаты искомых точек определяются, соответственно, по формулам [см. ф-лу (1), 1, § 5 статьи1]:

где И—произвольное, приличным образом выбранное, положительное число, аь2 и —соответственно азимуты и зенитные расстояния направлений—следов.

Примечание. Существенные моменты геометрии с'емки поверхностей тел залегания изложены в статье 2 проф. ГЪ К. Соболевского и в моей статье3.

1. В. Ф. Т у р ч и н с к и й. Аналитический и графо-аналитический методы определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта.—Известия Сибирского Технологического Института, том 50, выпуск 4. Томск, 1929 г.

2. П. К. Соболевский. Современное маркшейдерское искусство, как методология решения основных задач горного искусства, а) Известия Уральского Политехнического Института, том V. Свердловск, 1926 г.

Ь) Труды первого всесоюзного горного научно-технического с'езда 14—27 апреля 1926 г., том VII. Издание НТУ ВСНХ СССР. Москва, 1928 г.

3. В. Ф. Т у р ч и н с к и й. Геометрия с'емки поверхностей тел залегания в связи с принципом наименьших работ.—Труды первого всесоюзного горного научно-технического с'езда 14—27 апреля 1926 г., том VII.—Издание НТУ ВСНХ СССР. Москва, 1928 г.

Xi,II = ха + хЬ2 = ха + R sin СЬ2 eos аЬ2 yi.II = Уа + уЬ2 -- Уа + R Sin СЬ2 SÍÜ Эи2 Zi.il = Za -f" Zi,2 = Za + R COS Cb2,

Список литературы, упоминаемой в статье.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Введение. Постановка вопроса .............. 1

ГЛАВА I.

Построение конической сетки.

§ 1. Решение задачи: определение точки встречи прямой с

плоскостью......................... 1

§ 2. Определение положения точки на конической поверхности ............................ 2

§ 3. Построение семейства концентрических окружностей,

выраженных отметками зенитных расстояний......... 4

§ 4. Определение 4 и (Дг)тщ............... 6

§ 5. Построение роз азимутов и зенитных расстояний. Коническая сетка......................... 7

Г Л А В А II.

Наивыгоднейшие условия построения конической сетки. § 6. Точность определения положения точек пересечения

направлений с образующими конической поверхности..... 10

§ 7. Графическое построение выражения Ь[а....... 13

§ 8. Определение угла ^ при котором |хг_ тс _^ и

У —

¿>02 шгп.......................... 14

ГЛАВА III.

Решения вспомогательных задач.

§ 9. Решения 5-ти вспомогательных задач при пользовании

коническою сеткою...................... 21

ГЛАВА IV.

Решение основной задачи помощью конической сетки.

§ 10. Графическое решение, помощью конической сетки, задачи, отвечающей последовательно четырем случаям положения следов плоскости пласта на вертикальных стенках шурфа ... 28

§ 11. Рассмотрение особого случая, указанного в замечании 2 § 1......................... 38

ГЛАВА V.

Приложение. Аналитические методы определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта.

§ 12. Определение азимута <р прямой падения плоскости

пласта—метод аналитической геометрии............ 42

§ 13. Определение координат произвольной точки прямой

падения плоскости пласта (18 решений)............ 43

§ 14. Особый метод определения азимута ср прямой падения

плоскости пласта....................... 72

§ 15. Метод совместного определения азимута ср и зенитного

расстояния С прямой падения плоскости пласта........ 83

§ 16. Методы определения зенитного расстояния С прямой падения плоскости пласта (4 решения^—метод аналитической

геометрии.......................... 84

§ 17. Решения методом сферической тригонометрии .... 89

ГЛАВА VI.

Нанесение на план прямой падения и изогипс плоскости пласта.

§ 18. Случай шурфования; случай бурения........ 101

Список литературы................... 108

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

в статье доц. В. Ф. Турчинского „Графический метод определения элементов залегания в данной точке поверхности пласта".

Том 51 Вып. III щИз8. Саб. Техно л. И нет"

(звездочкою обозначены строки снизу)

Страница 1 4

7 10 11

Строка 4* 18, 19

4*

21

15

на чертеже 17 соединить точки А и N прямою

12 ■л О"

14 И

19 4

24 на чертеже

25 6*

26 2*

27 3

27 1*

30 8*

32 22

33 7

47 16

50 1

63 9

78 8

83 7

90 5 г

91 12

Напечатано Bi

из проекции Ь, конца В смежных квадрантов

азимутам М

Л

о

МР

: о2. PQ = PQ

7]

Должно быть а!

в точке Ь. проекции конца В смежных вертикальных квадрантов азимутом

| мР

| " 8 " | МР

; з

(h,

O.h

j111 ,U

О

^..hSOXHSO)

s2

Hu

Su

Именно из точки

нормалей к caeдам S'vS'v — следы Угол Е0О101 опрезеляе (х0, Уи, Z) (а1>2* Z^O

щущено скобка SinCiSÍnCi

Нп

Бп

Именно: из точки нормалей к следам. Б'уБ'у,—следы

Е0Ое01 определяет

(х0, уо. г0) [(0,0,0);(а1,С1)и(0,0, 0);(а2, С2)] г^О

[(О, 0,0)^,^(0, 0,0);(а2,С2)] в конце выражения

вШС^ШСй