Общие способы решения основных расчетных задач на земном сфероиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 131

1965

ОБЩИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАЧ

НА ЗЕМНОМ СФЕРОИДЕ

Б. Ф. КРУТОЙ

(Представлена маркшейдерско-геодезической секцией Юбилейной конференции ТПИ в феврале 1961 г.)

Главной целью настоящей статьи является изложение общих,, преимущественно новых способов решения в геодезических координатах основных расчетных задач на земном сфероиде: вычисление положений точек, кратчайших расстояний, направлений по кратчайшему пути, прямых лучевых засечек, площадей координатных трапеций, и некоторых других задач.

Дел. 1. Постановка вопроса

1. Введем прежде всего новые, уточненные наименования для некоторых понятий, возникающих при изучении поверхностей.

Назовем поверхностной нитью непрерывное одномерное множество точек поверхности.

Среди поверхностных нитей выделим в силу их особых качеств те нити Г, в каждой точке которых главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности. Такие нити Г принято называть геодезическими, так как они широко применяются при решении различных задач геодезии. Однако подобное наименование этих нитей является чисто случайным, ибо оно не отражает ряда их замечательных внутренних свойств:

а) Если дуга АГгу- геодезической нити Ги- на поверхности 5, проверенная между некоторыми двумя точками ¿, у этой поверхности, не содержит вершин нити Ои, то эта дуга АГи является кратчайшей на поверхности 5 между указанными точками ¿, у;

б) Если на гладкой поверхности 5 один конец I гибкой вещественной нити закрепить, а другой конец пропустить через малое колечко во второй точке у поверхности то под действием натяжения, приложенного к ее свободному концу, гибкая вещественная нить между указанными точками г,у поверхности 5 расположится по геодезической кривой и в то же время будет наиболее выравненной нитью между этими точками;

в) Если в каждой точке геодезической нити Г1}- на поверхности 5 провести касательную плоскость к поверхности 5 и затем построить огибающую поверхность Д для этих плоскостей, то геодезическая нить Ги поверхности 5 будет геодезической и для поверхности Л. Поэтому при развертывании поверхности Д на плоскость геодезическая нить поверхности перейдет в геодезическую нить плоскости, т. е. превратится в прямую.

Приведенные соображения говорят достаточно убедительно о том, что поверхностные нити с совпадающими главной и поверхностной нормалями более обосновано будет называть не геодезическими, а выравненными нитями поверхности. Такого наименования для поверхностных нитей подобного рода мы и будем придерживаться в дальнейшем.

2. Заметим также, что геодезические координаты В, L поверхностных точек земного сфероида являются частным случаем поверхностных координат и, v, в качестве которых здесь взяты две угловые величины: широта В и долгота L. В указанной отсчетной опоре положения поверхностных точек i земного сфероида определяются пересечением двух семейств координатных нитей: меридианов L = Li и параллелей В=В}. Легко установить, что нити первого семейства L = Lt являются выравненными на сфероиде, а нити второго семейства B = Bj не будут выравненными, причем всякие две нити L = Lt и В = В,- этих семейств пересекаются под прямым углом. Поэтому геодезическая от-счетная опора В, L на сфероиде может быть отнесена к разряду прямоугольных полувыравненных отсчетных опор.

Отметим еще, что две пары координатных нитей L~Lh L=Lh и B = Bj, B=Bk сфероида, взятых парами из каждого семейства, образуют при своем пересечении сфероид и ческу ю координатную т р а п е ц ию ihkj с четырьмя прямыми углами. Определение площади Sh.k такой координатной трапеции входит в число основных расчетных задач на сфероиде.

3. Введем теперь для поверхности земного сфероида ряд обозначений:

Bh Li — геодезическая широта и долгота точки ¿земного сфероида;

Atj— геодезический азимут в точке i выраьненной нити Гц, проведенной на сфероиде через точку i и соседнюю точку /';

su — длина дуги АГ/у выравненной нити Ги между точками г, у сфероида;

— разность долгот Lh Lj точек i} J сфероида;

xij — длина дуги IX и меридиана Хц между точками у сфероида с широтами Вц Bj\

Шу —длина дуги 1Пц параллели /7,-у между точками г, у сфероида с широтами Вц Bj и разностью долгот AZ,/;-;

Sij"—площадь сфероидической трапеции, ограниченной двумя меридианами Хм, XiK с разностью долгот и двумя параллелями TJij, fIhK с широтами Вь = Bj, Вп = Вк.

Приведенные здесь обозначения и связанные с ними понятия требуют некоторых уточнений и дополнений, которые вызваны в основном тем, что выравненные кривые Пу сфероида не являются вообще замкнутыми и касаются своими последовательными вершинами двух граничных параллелей: северной /7^') и южной равноудаленных

от плоскости экватора. На этих уточнениях и дополнениях мы сейчас и остановимся.

а) Так как между двумя точками у сфероида можно провести

V

две выравненные дуги: кратчайшую А Гц и более длинную АГ<у, то

v v

расстояние по дуге А Гц обозначим через ¿¿у, а по дуге АГ/у —через S/y,

причем Sij и Sij будем считать положительными. В соответствии с этим

геодезические азимуты в точке i дуг А Ги-, А Г/у обозначим через Л/

V v у

и Aij\ как правило, Ац Ф Aij+180°, что будет установлено ниже [Дел. 7].

б) Геодезические широты точек / сфероида отсчитываем в обе

стороны от плоскости экватора, от 0 до+ — . Для северной половины

2

сфероида широты точек I обозначим через и примем положительными; для южной половины широты точек I обозначим через и примем отрицательными. Таким образом, широты В/ изменяются в следующих пределах:

1) 0<£/< + — ; 2) 0 2 2*

в) Геодезические долготы точек / сфероида отсчитываем двояко: к востоку и к западу от Гринича, от 0 до+2~, и обозначим соответ-

о о

ственно через ¿/ и Ц, полагая при этом, что /.¿>0, а ¿¿<0. Отсюда будем иметь для точки I две разности долгот:

1) Ми = ¿у - Цу 2) - ¿у — = ¿у. Такой двойной способ счета долгот и их разностей удобен при решении прямых засечек на сфероиде, а также в некоторых других случаях.

г) Северные и южные вершины выравненной кривой Г/у, т. е.

точки на этой кривой с наименьшим абсолютным значением широты,

/ — /

обозначим: к востоку от начала ¿—через О,/, О,у > к западу от нача-

о

ла—через О0\ 01]\ где 5^=1,2,... есть порядок удаленности вершины данного вида относительно начальной точки ¿. Соответственно этому широту северных вершин 0\)\ 0!у} обозначим через Воу\ а широ-

ту южных вершин С\у\ 0$ — через причем очевидно В(ьи'} В^ *

Долготы Г точек 0/у} и будем обозначать ¿((/у'5) и долготы

1 точек О/у1, 0$ обозначим через Ъ{о''*}, Ьои).

д) Точки пересечения выравненной кривой Г/у с экватором обозначим: к востоку от начала / — через а к западу от ¿ — через Э^ , где 5 = 1,2,.,, есть порядок удаленности точки пересечения относительно начальной точки ¿. Соответственно этому долготы £ восточных точек Э/у} обозначим через а долготы Ь западных точек Эи- — через ¿э . Постоянный же азимут выравненной кривой Г/у

в точках Э/у} обозначим через

е) Иногда для точек ¿, у северной и южной частей сфероида мы будем вводить особые обозначения: точки ^северной части обозначим через ¿, у, точки южной части—через ¿, у. Эти и все приведенные выше обозначения различных точек на выравненной кривой Г/у показаны на рис. 1.

Используя указанные выше обозначения, запишем теперь кратко условия шести расчетных задач, которые можно считать основными для поверхности земного сфероида:

1.Прямая задача для дуги А Г/у выравненной нити Г/у. Даны Ви Ьи -Л1,2, 5].2; найти В2> .51.2.

2. Обратнаязадачадлядуги А Ги- выравненной нити Г/у. Даны В1,Ь1 и Ву, Ь2\ найти Л1.2, Л2.1 и 51.2.

3. Прямая выравненнолу чевая з а с е ч ка(/= 1, 2; у = 3). Даны Ви Ьи Л 1.3 и В2, ¿21 Л2.3 ; найти ¿3, а также А3л , и Л3.2, 52.з -

4. Прямая задача для дуги Д/7/у параллели Пц {I = 1, у = 2), Даны Вх — В2 и Д^.г; найти щ.2.

б) Геодезические широты точек / сфероида отсчитываем в обе

стороны от плоскости экватора, от 0 до+ — . Для северной половины

2

сфероида широты точек I обозначим через £/ и примем положительными; для южной половины широты точек I обозначим через £/ и примем отрицательными. Таким образом, широты 5/, В/ изменяются в следующих пределах:

1) 0<£/< + — ; 2) 2 2*

в) Геодезические долготы точек / сфероида отсчитываем двояко: к востоку и к западу от Гринича, от 0 до+2~, и обозначим соответ-

о о

ственно через ¿/ и Ц, полагая при этом, что А/> 0. а ¿¿<0. Отсюда будем иметь для точки I две разности долгот:

1) Ми = ¿у - Цу 2) ¿1и = 1у — Ц = ¿у. Такой двойной способ счета долгот и их разностей удобен при решении прямых засечек на сфероиде, а также в некоторых других случаях.

г) Северные и южные вершины выравненной кривой Г/у, т. е.

точки на этой кривой с наименьшим абсолютным значением широты,

/ — /

обозначим: к востоку от начала ¿—через О,у, О/у > к западу от нача-

о

ла—через О0\ где 5^=1,2,... есть порядок удаленности вершины данного вида относительно начальной точки I. Соответственно этому широту северных вершин 0\)\ 0!у} обозначим через ВоУ), а широ-

ту южных вершин ()\у\ 0$ — через причем очевидно В(ьи'} В^ *

Долготы Г точек 0/у} и будем обозначать ¿((/у'5) и долготы

1 точек О/у1, 0/у} обозначим через Ъ{о''*}, Ьои).

д) Точки пересечения выравненной кривой Г/у с экватором обозначим: к востоку от начала / — через а к западу от ¿ — через Э^ , где 5 = 1,2,.,, есть порядок удаленности точки пересечения относительно начальной точки ¿. Соответственно этому долготы Г восточных точек Э/у} обозначим через а долготы Ь западных точек Эи- — через Гэ . Постоянный же азнмут выравненной кривой Г/у

в точках Э/у} обозначим через

е) Иногда для точек ¿, у северной и южной частей сфероида мы будем вводить особые обозначения: точки ^северной части обозначим через ¿, у, точки южной части—через ¿, у. Эти и все приведенные выше обозначения различных точек на выравненной кривой Г/у показаны на рис. 1.

Используя указанные выше обозначения, запишем теперь кратко условия шести расчетных задач, которые можно считать основными для поверхности земного сфероида:

1.Прямая задача для дуги А Г/у выравненной нити Г/у. Даны Ви Ьи -Л1,2, 5].2; найти В2> .51.2.

2. Обратнаязадачадлядуги А Ги- выравненной нити Г/у. Даны В1,Ь1 и Ву, Ь2\ найти Л1.2, Л2.1 и 51.2.

3. Прямая выравненнолу чевая з а с е ч ка(/= 1, 2; у = 3). Даны В1, Ьи А 1.3 и В2, ¿2, А2.з ; найти В3, ¿3, а также А3л , и Л3.2, 52.з -

4. Прямая задача для дуги А/7/у параллели Пц (¿' = 1, у = 2), Даны В1^=В2 и А/,1.2; найти П1.2.

а) конечное

Sb^-b^Mu J

eos В dB

(1-е2 sin2 В)2 Bi

• LL„

В/г

sin В , 1 , 1 +£sin В ln

1 — ¿2sin2 В 2e 1 — é?sin£ б) в виде сходящегося ряда

Bi

sí? = J j ( ) (- sin2 fl)x cos BdB

X o

_LL sin2X-i в

X + 1

(4)

где а и Ь — большая и малая полуоси земного сфероида, а ^ д2 ^ а? — Ь2 ^ ( т \ — 1)... [т — (X— 1)1

X ) 1.2..., X

Отсюда видно, что основное внимание должно быть уделено первым трем задачам (1) — (3), над усовершенствованием и обобщением решения которых трудится немало геодезистов во всех странах.

Дел. 3. Получение общих выражений, лежащих в основе решения

первых трех задач

1. Для решения первых двух задач (1), (2) было предложено более десятка частных способов, пригодных для расстояний 51.2 не более 1000 — 3000 л:^, и один общий способ, принадлежащий Бесселю [1], —для любых расстояний 51.2. Что касается третьей задачи (3), то пока не было найдено достаточно простых и одновременно совершенно общих способов ее решения.

Учитывая сказанное, мной открыт и разработан еще один общий способ решения первых двух задач (1), (2), в котором вопрос о возможных соотношениях между исходными и определяемыми величинами рассмотрен с предельной полнотой. На основе выведенных при решении этих задач рабочих выражений найдены два независимых способа решения последней задачи—прямой сфероидической засечки. Сущность предлагаемых способов рассматривается ниже, причем вначале мы получим свод исходных замкнутых выражений, из которого выведем затем соответствующие рабочие выражения для решения упомянутых трех основных задач (1) —(3).

2. В основу новых способов положен свод трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами, который определяет выравненную нить Г земного сфероида, проведенную через точку С (В, Ь) под азимутом А:

з*. 35'

M. dB -f- 0 • dL -— cos A ds -f- 0 • dA — 0, O-dB + rdL - sin Ads + O-dA = 0, O-dB + sin AdL + 0.ds-l-dA = 0.

Кроме того, используется вытекающее из этого свода известное уравнение Клеро

г sin А ~ h = г0 = пост. (7)

Здесь М и г суть радиусы кривизны меридиана и параллели в переменной точке С заданной выравненной нити Г сфероида, выходящей из С под азимутом Л; постоянная h есть, очевидно, радиус параллели г0 в вершине О выравненной кривой Г, т. е. в точке, где азимут А = Л0 = 90° или 270 \

3. Используя указанную совокупность равенств (6), (7), найдем сначала значения ds, dL и dA в функции широты В. Имеем прежде всего: _

h оч cos А У г2 — № 1) sin А = — ; 2) cos А =----;

г (собЛ | г

4) 3 ds = Mr

dB

cos Л

dB

[cos ЛI \dB\

±1;

Vr2 — h2 ' 6) dA = h

5) §dL = h —

dB

(8)

r | r2 - h2

M sin BdB

г уг-—№ '

Множитель р = + 1 введен здесь потому, что ds принимаем всегда >-0, уг2 — ¡г2, считаем здесь >-0, и, следовательно, при этих условиях имеем:

Таблица 1

o^cj sin Л>0 cos Л>0 dB> 0 dA> 0

sin А>0 cos di4>0

sin cos /IscO

sin Л^сО cos dB> 0 dL^O dA

Учитывая теперь, что а( 1-е2)

1 )М

2) г^

а(\ -е2\

W3 a cos В

(1 - е2 sin2 By!z a cos В

W (1 — е2 sin2 В)] подсчитаем отдельно величины

; 3) г2 ; 4) е'2

а1 — Ь2 а2

о?—Ь2

Мл

УИ

входящие в (8). Мы получим после простых преобразований

п и 94cosВ Ж 1-е2 1) Mr = а(\ — е2)-; 2) -=

W4 г flacos Я

(Ю)

3)Vr2-/i2^-fj/cos2B-j

h2 _ W 2

В (10.3) введем обозначение:

sin2 Л = — - sinM8 = v2< i, (11)

а2 а2

где Лэ есть, очевидно, азимут выравненной кривой Г в точке Э ее пересечения с экватором. Тогда вместо (10.3) получим:

=^¡Е? 1 / .

№ У 1 — V2

Если затем введем новое обозначение

(12)

е2 V2

1 —V2

то для У г2 - h2 будем иметь окончательно:

у г2 - Л2 = л/1 - х2 sin2 В .

w V

(13)

М г-

Вставим теперь найденные для Mr, —- и у г2 — Л2 выраже-

г

ния (10.1), (10.2) и (13) в исходные равенства (8). Тогда с учетом , обозначений (11), (12) получим:

а(1— е2) cos В dB

1) %ds =

V 1—Va (1 — ея sin2 i/l —-С58 Sin2 -S"

2) a dL~ v(]-g2).__dB (14)

У 1 — v2 cos В У (\ — e2 sin2 B) (1 —t2 sin2 B)

v

1 -v2 /(\ -e2 sin2 В) {I -^sin 2B)'

Равенства (14) являются искомым развернутым представлением дифференциалов ds, dL и dA в функции широты В текущей точки С на выравненной нити Г сфероида. Входящие в эти равенства величины V2 и т2 определяются согласно (7), (11) и (12).

4. Выразим еще ds и dL в функции азимута Л выравненной нити Г в той же текущей точке С сфероида. Из (6.1) и (6.2) прежде всего найдем:

1) ds = =а— sin А--— = av cosec2 A dL;

sin Л a sin2 Л

2) dL=

sin В

Но из того же равенства (11) получим более развернуто:

9 г3 . „ sin2 Л cos2 В m¿ — - sin- Л —----

(15)

а2 /1-е2 sin2 В'

откуда обратно

• Q 1 Г S1 sin В = I/ —

S1I

Таким образом, окончательно

sin2 А — v2 sin2 А — е2 V2

1) ds = а vi / !Ё2 Л - g2 v-i cosec2 A dA,

V Sin2 А — v2

2) flíL= l/Ё1! y sir

A — e

(17)

sin2 Л — v2

dA.

Равенства (17) являются искомыми.

5. Равенства (14), выражающие dsy dL и dA в функции широты В, имеют сложный вид и потому перед интегрированием должны быть упрощены путем введения новых переменных.

Упростим сначала равенства (14.1) и (14.2) для ds и dL. Введя вместо широты В новое переменное с помощью подстановки

^ sin В — Sin ср,

получим отсюда, имея в виду строение равенств (14.1) и (14.2):

(18)

1) eos В dB ~ — eos о dy;

4)

dB

COS с? d<0

eos В т2 eos2 В

2) /T^^sin2В = У 1 - sin2ср = cose?; 5) eos2В = 1 - sin2В = (19)

3) 1 -é?2sin2fi= 1 - —sin2 ср.

Sin2 ср.

Вставляя теперь выражения (19) в равенства (14.1), (14.2) и учитывая (12), найдем:

1) $ds

2) iidL

а{ 1 — é1)

V (1 -е2)

d с?

sin2 ср)

(20)

/1 - е2 v2 ( j

LSin2cpj

е2

sin2 9

Введем в (20) обозначения:

1)

/1-е2 v^

¡i; 2) — = /с2 < е2; 3)

т- С 1.

(21)

Тогда вместо (20) получим следующие окончательные выражения для ds и dL в функции нового переменного <р, определяемого соотношением (18):

1) р ¿/s = a¡j

(1 — к2 sin2 с

С5) '2

2) ML

¿<х>

VU

(1 — т2 sin2 ср) у 1 — к2 sin2 <р

6. Упростим теперь найденное выше выражение (14.3) дифференциала dA через широту В. С этой целью введем подстановку

sec 2В = у. (23)

Тогда после простых преобразований равенства (14.3) получим следующее окончательное выражение дифференциала dA в зависимости от нового переменного у:

v(l—е2) dy

dA _ ___

2/ 1-v* у л^ + гХоу + Хз '

где введены обозначения:

v2 и — v2}2

1) X, = (1 - е2) (1 - т2) = - —-i-Л <0,

1

2) 2л2 = (1 -~е2)12 + (\-х2)е2 =

(I ~е2){\ -2g2v2)

1 - v2

3) Л;; - Г

é?2(l —ё

2

(24)

(25)

7). Найдя окончательные выражения (14.1), (14.2) для ds и dLч а также получив выражение (24) с учетом (23), (25) для йАч перейдем от них, наконец, к соответствующим интегральным соотношениям. Такой же интегральный переход произведем с равенствами (17) для ds и dL. Осуществляя тогда попутное решение простого алгебраического интеграла, вытекающего из равенства (24), и используя также уравнение Клеро (7), получим следующую совокупность замкнутых выражений для дуги АЛ.2 выравненной нити Л.2 земного сфероида:

92

1) P'Si.2 = Яр j

í/cp

(1 -K2sin2^ '

2.1

2) s,.

а у

V Sin2

е- v2

cosec A dA

А

1.2

3)

do

V¡¿ l----—

J (1 — m2 sin2 <p) y 1 — к2 sin2

2.1

л / С -i sin2 A -

4) A¿1'2 = J V ~ША

e2 v2

dA

l1.2

B, B. >

5) 2.АЛ].2 - are sin [2 v2(l - v2)sec2fi— (1 — 2e2v2)] 5a) 2-Aí4i.2 = are sin (1 - 2 sin2 Л1.2)—are sin (1—2^2 sin2 Л1.2);

V% eos Bí — Vj eos B2 eos А Л i.2 __ g — eos АЛ1.2 V2 eos Bi sin ДЛ1.2 sin ДЛ1.2

6) Ctgi4!.2=

(26)

7) — ctg Л2.1 =

Vx cos B2 — V2 cos Bx cos ДЛ

1.2

Vj cosB2sinAA1 (1 :g) — cos ДЛ 1,2

sin ДЛ1.2

8) sin Ai 2 — — = /T

'"i

9) sin А'2л = — -/Г

COS vl/.

/ 2 COS В2

10) Z2 = Ia+AL1.2; 11) Л2.1 = Л2.1+18О0 = (Л1.2+АЛ1.2) +180c В равенствах (26) введены обозначения:

6) т2 = 1 : т2 = m'i.2\

7) sin ср — т sin В;

1) V = i/l + e'2cos2£;

2) V = —sin Л 1.2 =

а

eos sin Л 1.2

= 1/1+*

3) у

'2

Vi

vi.2;

1 - ¿

V 1

^1.2;

4) X2 = -

1 — e2 v2

2. -2

= "1.2;

8) g

9) e2 =

l/2 eos ff ,

V.cos B, < ¿

a-

¿>2

a-

5) к2— ^ . 11) ? =

к\. 2;

COS Л1.2 eos Л

10) e'

B.

В,

1.21

Bz - B,

CD o —- Ф

2 _

'1.2

a-

b2

b2

(27)

1.

а и ¿ — большая и малая полуоси земного сфероида.

Свод (26) обладает двумя примечательными особенностями: а) равенство (26.1) имеет тот же вид, что и известное выражение для длины х\.2 дуги меридиана ДА^:

¡3x1.2 = а( 1 — е2)

dB

в,

(1 - в2 sin2 By -

(28)

Легко видеть, что (28) получится из (26.1), если в (27.2) — (27.7) внести азимут Л 1.2 выравненной дуги АА^.г, равный 0;

б) величины 51.2 и Д/,1.2 выражены не только через широту В в текущей точке С дуги А Г1.2 выравненной нити Г1.2 сфероида, но и в зависимости от азимута Л дуги ДГ 1,2 в той же текущей точке С. Это дает возможность осуществить поверку искомых величин несколькими путями.

8. Свод (26) является единой основой для предложенных мной новых общих способов решения первых трех расчетных задач (1) —(3) на земном сфероиде. Не имея возможности по недостатку места дать подробное решение входящих в этот свод эллиптических интегра-

лов (26.1) — (26.4), я ограничусь в дальнейшем лишь применением в указанных выше задачах (1) —(3) соответствующих рабочих выражений для интегралов (26.1) — (26.4). Здесь же только очень кратко намечу пути получения этих рабочих выражений.

Интегралы (26.1) и (26.3) являются частными случаями приведенного по Лежандру эллиптического интеграла 3 рода //(©,/с, п):

Л('*,к,п)= Г—- // =(/1^0, 0.<К2<1), (29)

,) (1 + ЯБШ^ср) у I — К БШ^ ср

0

решение которого согласно [2] может быть представлено в следующем конечном виде через эллиптические функции Якоби и тэта-функции:

и

nt \ \ da sn ¡3

П (ср, /с, л) = —--— = и

о

1 + n §n2u сп р dn р

^ +J_ln »4 (« — Р)

МЭ) 2 М« + Р)

где (30)

1) и = Г = 2) 8п2Р = -л:«2. (31)

J у 1 — /с2 sn2<p

С)

Однако применение выражений (30) и (31) к решению интегралов (26.1) и (26.3) при очень малом значении к2 {к1 < е2 = 0.0066934 для сфероида Красовского) оказывается крайне невыгодным:

а) требуется предварительный подсчет некоторых вспомогательных величин;

б) для интеграла (26.1) равенство (30) приобретает неопределенный вид раскрытие которого еще более осложняет это равенство;

в) для интеграла (26.3) решение его согласно (30) будет неточным, так как при—п ~ т2^> к2 значение snP определится из (31) весьма ненадежно (sn ^ становится в этом случае очень большим по модулю).

Учитывая сказанное, а также малость к2 для земного сфероида, целесообразнее будет интеграл (26.1) найти разложением в ряд по степеням к2.

По тем же соображениям интеграл (26.3), после разложения в ряд по степеням к2, решим по способу, предложенному в 1935 году проф. В. П. Ветчинкиным в[3].

Что касается остальных двух интегралов (26.2) и (26.4), то они являются эллиптическими интегралами общего вида, и их преобразование к выражению, содержащему только приведенные по Лежандру эллиптические интегралы 1 — 3 рода Е(®,к) и П (ср, /с, /г),

потребует большой затраты вычислительного труда. Поэтому интегралы (26.2), (26.4) получим разложением числителя (sin2А — е2^2)1* в ряд по степеням малой величины ¿V, или же найдем численным интегрированием по Гауссу.

Наконец, отметим то важное обстоятельство, что при заданном е2 интегралы (26.1) и (26.3) содержат только два параметра: интеграл (26.1) — параметры ср и к2, интеграл (26.3) параметры ? и т2. Поэтому указанные интегралы могут быть представлены в виде таблиц с двумя входами, наподобие приведенного эллиптического интеграла 1 рода /г(ср,к). Наличие таких таблиц существенно облегчает решение задач, в которых используются эти интегралы (см. дальше).

Дел. 4. Решение прямой задачи для выравненной дуги ЛГ12 на сфероиде

Приведем лишь с очень краткими пояснениями совокупности расчетных выражений для решения предлагаемым способом прямой задачи (1) при различных условиях относительно значений величин, входящих в эту задачу.

Условие задачи: Даны Ви Ьи Л1.2, $1.2. Найти В.>, Л2.ь Ь2.

1. Определение В2 1) Vj =-- j/~ 1 + e'2cos2ßt —из геодезических таблиц;

777 cos В] sin Л 1.2 -ч 9 е2

2) v = У1+е'2 — 1 l'¿ ; 5) «2 = <ß2

Vi

3) i» = --; 4) - 1 6 У 1; 6) Sin ?1 = т sin ßi;

у 1 — е1 V2 1 — V

3/2 \ /' 2 /.

7) с0 = i + 2 1 )Х -—Л1 х к2Х =1+2К'2Х;

х-л ' ^ 1-1

-3/2\ / 2 ?ч

X / \Х-и/ „, ^ 2;

8) С2И = 2 (- 1 )>-" ----= 2 К";

9 )^ÍL=D2a; (и=1,2.....я);

Со au ^ с0а\>

11) <?2 = ©i + Ä'fi-2; 12) sin ß2 = — sin <p2.

T

Расчет Acpj.2 согласно (10) мы производим из-за незнания путем последовательных приближений, а еще быстрее — следующим образом:

а) <р(о> - + ; «?) Д(р<о> = l^LL _ yD2tí(sin2tt©í?)-sin2tt?1);

С0 au С0 au ^

в) -AcpW = х - У2иО2иС0$211?^; г) A<pi.2 = —.

*Рг Та '

Если Дер 1.2 мало, то от А© 1.2 переходим сначала к Aßi.2, затем —к В2.

11 а) ДБь2 = (tg ß, ctg cPl) Acpí.2 - - ДЯЬ)" -

2 о

Dp

12a) ß, - ß, + Aßb2; p = 206264.8.

При A'fi.2 малом можно вычислять Д<р1>2 иначе:

Si9U7? 3 к2

10а) дф1.2 = Рр''--—-

a\i 4 U? J

Дф ] ,2

.-О 2 / 0 , 5/с2 sin2 9г sin --cos 2^ '

3 V 4W¡

(ДсрГ.2)2

где

1/!

13) Wí=^y 1 — /с2 sin2 <?i — у 1-е2 sin2 = -—= — из геодезических

у 1+г'2

таблиц.

2. Определение Л2л 1) sin Л2л = /* 1-е2

vl/2

cos B2

2) Л2л - Л2л ± 180° - (ЛЬ2 + ДЛ,.2) + 180°.

а) Если Л2л близко к 90° или 270°, но В2 — В1 = ДВ1.2 велико, то вместо Л2.1 вычисляют ДЛх.2:

1/i cos

4) 2-ДЛк2 = arcsin(l — 2 sin2 Л 1.2) — arcsin(l — 2g2 sinMi.2).

б) Если B2 — Bl = kB\.2 мало, то вместо Л2л можно также вычислить ДЛ].2:

cos 2Л 1.2 , 1 + 2 cos2 2Л 1.2 9

4а) 2-Д Л,.2 = р'

sin2¿

1.2

2 sin2 2Л 1.2 б sin4 2Л

1.2

где 5) s = 2 (g2 — 1) sin2 Л

1.2.

3. Поверка вычисления В2 и Л2л

г

Так как согласно (26.1) и (26.9) обратный азимут Л2л=Л2л:±: + 180° = /7(51.2, v, В2)9 то вычисленные В2 и Лгл поверяются совместно равенством (26.2) — вторым выражением для $1.2:

г

■а 2 л

51.2 = ßv

Г 1 /"sinM-g^v8 2л J I/ sin* Л - v2

Aba

Подсчитывая этот интеграл тремя различными путями:

а) разложением числителя (sin2 Л — e2v2)l:> в ряд по степеням малой величины eav2,

б) численным интегрированием по Гауссу,

в) разложением интеграла вблизи среднего значения

Л1.2 = — (Л1.2 +Л2.1) вряд по степеням разности ДЛ1.2 = Л2л — Л1.2 2

получим три соответствующих способа поверки В2 и Л2.i.

4. Определение L2 1

1) у'1-т2=р; 2) 91.2 = — (<Pi + ?з); 3) A<pi.2 = ©2 —

4) tg ? = 5) ? = ; 6) arc tg (pt) = »;

1Л<Р1.2|

/ 1 -e42 ' [v| у- (1—e2)—

.0 „«-<-.,

12) /=-(X) = g(X)0(X); (X = 0,1, 2,..., /г). Из (10)—(12) найдем последовательно:

13) F (0) = Ф (0) = — [arc tg (pt2) — arc tg (/>*,)] = p [ft, - ft,].

P

14) f(X) = £(X)[S(X-l)-0(X-l)], (X = 1,2,..., n), где обозначено:

m2 \ л / /тг

16) S(k- 1) - f sin2<x-!>

9i

Интегрируя (16), получим для функции S(X —1), входящей в (14): • 17) S(0) = <?2 - Тз = А<р,.2, (X = 1);

<0-1

' О)

18) = = + ( -<—1>х"—" х

СО / СО - У L

X

sin 2 (X. — х) tp, — sin 2 (X — -/.) ср1

, (X— 1 = со = J, 2,... ,/г).

После определения функций F(X) искомые значения Ali.2 и L2 подсчитаем так:

п п п

19) ß.ALi.2 = V!Jl2/7W = 2V^/7(X) = 2/?(X); 20) ¿2 - t AL,.2.

Ниже даются рабочие выражения для первых пяти членов ^/^(л) = /? (X) в равенстве (19):

20) v\>F(0) = — y 1-е2 [arc tg (pt>) — arc ig (/^i)] -

v

N

v

v

l/ 1 -e2 [»2—«M = TT Vi- e* Aih.2 = R( 0);

но если <?2 — ср1 = А<р1.2 невелико или если одна из величин ср2 близка к —, то лучше

20а) v¡г/=■(0) = ^гvЛí=¿гarctg Р^^

|v| cos Acpi-2 — т2 sin срА Sin 'f2

21) vu F (1) = - -Ç V. (o, - fi) -f 1- ^ R (0) = V e-

— У 1-е* [(»2-»i)-P(?2-?i)]=/?(1);

v Z

22) vp F (2) =

16

e2 к1 vu

(?2 — <Fl)

1

(sin 2®2 " sin 2

в2/?(!) = /? (2);

23) v^(3) =---— î'K'VH

16

3 1

— — ïi) ~ v(sin 2c?2 - sin 2?i)

8 4

+--(sin4?,-sin4?!) oZ

e2R(2) = R(3);

24) vP F (4) = 3

35 128

e2 vu

16

(r-?2 — 9l)

15 6-4

64

(sin 4œ2 — sin 4?!) —

192

(sin 6œ2 — Sin 69,)

(sin 2®o — sin 2<pi) -f-

- e*R(3) =R(4).

5. Заключительная поверка

Заключительную поверку найденных В2, А\.% и Д/-1.2 производим, используя равенство [Дел. 3; (26.4)]:

Л'

2.1

Г |/ sin2

J К sin2 Л — v2

Ал о

1.2

Здесь так же, как и выше в разд. 3 для sj.2, возможны три способа поверки.

Дел. 5. Решение обратной задачи для выравненной дуги ЛЛ.2 на сфероиде

Как и в прямой задаче, здесь будут даны в основном только последовательности рабочих выражений, вытекающие из начального свода [Дел, 3; (26)] и определяющие совокупность искомых величин в обратной задаче; будут также указаны пределы годности этих последовательностей в различных случаях.

Условие задачи: даны Ви LY и В2, L2; найти Л1.2, Л2л и s 1.2. I. Первый способ о п р е д е л е н и я Л1.2 и Лгл (при Si.2>1000 км) Прежде всего решаем 2 приближениями уравнение [Дел. 4, 4; (19)]

1) р. Д£К2 = v^ F (X) = J R (л) = R (0) + .R (к),

х^о

где

R(0) = —у 1-е2 [arc ig (р tg vj-arc ig(ptg о

V

= — [»2-0,1 - Д&1.

.2;

R(\) = ~R(0) ^(ъ -- ^R(0) - vj, д?1.2= á ¿h Á ¿t

v е-

vi 2

/ 1-е2 [Д»1.2 — /'-Д?1.2];

Я (2) = — е2Я(1)---- е2к2 v¡x

4 16

1

Дф1.2--(sin 2®2 — Sin 2® j)

2

/?(3)= --„4

6 16

8

Y1.'

— (sin 2^2 — sin 4- (sin 4<p^ — sin 4<?i) 4 32

и т. д.

относительно неизвестного р, причем сумма

есть малость по-

Л - i

рядка е

Начальное достаточно точное значение азимута А¡.2, входя щего в вычисление /?, находим из соотношения

cos В2 tg fíi — cos A ¿i.2 sin В] п2 — щ

2)

sin A L

1.2

sin AL

= Ctgai.2 = Ctff Aw2.

1.2

Соответствующее приближенное значение неизвестного р и начальное значение Ry{)) для /?(0), а также последовательные значения величин /я, входящих в /?('•), определим тогда из соотно-

шений:

3) р = cos В0 ^ sin Л1°2 cos В, - р^ ;

4) /?(0) = — AL,.2 - 0);

5) vjx = — е2 ; 6)sinB0=/n; 7)csc50 = -

lvl

8) к2 = e2 (1 - p2) - £2 sin2 S0; 9) sin cp = ^ sin В

при Ait2 = A\°2 и p =p{0\ P(1), /?(2),..., причем B0 есть широта вершины 0\,2 выравненной кривой Л .2.

Улучшенное значение неизвестного р в итоге 5-го приближения найдем так:

п

10) 2 - = ™ AL,,2,

х=о

¿Ws-1)__

П)—-= /1-е2 т2 [tg?2-tg?1] = *<*"'>;

др

12) /?<•*> = ---- = +

О

Решив уравнение (1) двумя-тремя приближениями, вычисляем затем окончательные значения азимутов А\.2, Л2.1:

13) = 4 cosg" i/i-^sm'fl, =

|v| COS Si |/ I — siná S0 |v| cosfíi VQ

14) sin а; г = ,/l-^W В2 = . *

1-е2 sin2

| cosfi2 |/ 1 — é* sin2 fl0 |v| cosfi2 l/0 15) Л2.1-Л2.1+18О0..

Необходимая в дальнейшем при вычислении расстояния S1.2 вспомогательная величина у может быть выражена следующим образом через^ найденную выше величину к2 = е2 (1 - - р2) — e2sin2£0:

16) (i - /(1 - е*)(1—к2) = /(1 - е2){\ —e¿ sin2B0) =

= ]/ 1 —ё1 = (1-е2) Ко.

Что касается величины v, то она связана с величинами р и к соотношением

. _ v р v cos В0 ___ v cos В0 _

"м ТТ^Г2 ~ ~м /1-е2 sin2 в; " "н" \г0 "

v COSfin

M j/ 1 - e2 I/o

2. Второй способ определения Ai.2 и Л2л (при S1.2 1000 км )

cos —(В, + 5,)

1 2 AL

1) tg—(а2Л +а,.2) = -1- tg —= tg ак2;

2 sin—(5,-Bt) 2

2

sin — (fi,+ В,)

2) tg — (а2Л — «1.2) =----tg —- = tg—— >

^ eos — - ВЛ ¿ 2

2

отсюда найти «i.2 и а2Л в отдельности.

3) Q = -( V! sin В2 - К2 sin fix);

sin AL 1.2

4) а2.1 = «2.1 ± 180° =(cti.2 + Да1.2)± 180е;

C\ - C0S • А Г C0S - AT

5) sin cL2 = -sin AL 1.2=--— sinALi.2;

sin «i.2 sin а2л

6) ctgi4i.2 = ctgaj.2 —Q

eos fi,

Vx eos fis

7) clg Л2л = ctg а2л Q (/С°5\ •; (см. [4]).

l/2COSfii

8) rii.2 = (0Î.2)2 sin Л 1.2 eos2 Bj icos Л 1.2 — tg- fi. V

6p V 4p" s ) '

9) 7¿i = gi- (a';.2)2 sin Л2л COS2 B2 ( cos Л2л - tg fi2 ) (CM' [51)* 10) Л 1.2 = Л1.2 — r(1.г ; 11) Л2д = Л2л — т|2л •

3. Поверка вычисления Л 1.2 и А2.\

Поверка вычисленных азимутов Ai.2 и Л2.1 производится их подстановкой в одно из следующих равенств:

^ sin Л1.2 = cos В2 /"f_g'¿ sin2 B¡ V2cosBi = ^ sin Л2.1 eos BY У 1 — e2 sin2 B¿ Vx eos B2

Л2.\__

2) Ыгл= f i/

J V sin2 Л v*

Л 1.2

Действительное решение интеграла (2) производим одним из трех способов, примененных выше в заключительной части прямой задачи.

4. Вычисление S1.2 четырьмя способами

Расстояние $1.2 может быть вычислено четырьмя путями из двойного равенства

2 = №. Г-^--= av (л'/smM-^

J (1 -K2Sin2<p)'/a J V SinM-v2

AL2

Из первой части этого двойного равенства имеем

п

?Si.2 = С0ау. (©, — c?i) -f (sin 2tó'f.> — sin 2« c?t),

и 1

где ерь cp2 и к2 найдены выше при определении /? = cosfí0l величина^ дана в [Дел. 5, 4; (14)], а коэффициенты указаны в [Дел. 3,1;

(7), (8)].

Вторую часть того же двойного равенства решаем одним из трех способов, упомянутых выше в прямой задаче.

Дел. 6. Решение прямой выравненнолучевой засечки на сфероиде

Прямой выравненнолучевой засечкой на сфероиде назовем задачу определения геодезических координат Вг, L, точки 3, если даны геодезические координаты Ви L{ и В2, L2 исходных точек 1,2, а также даны геодезические азимуты Л 1.3, Л2.з засекающих точку 3 лучей ¿J11.3, сГЛ2.3 с вершинами в исходных точках 1, 2.

При этом может быть поставлено дополнительное требование найти также длины 51.3, S2.3 засекающих сторон 1.3, 2.3 и обратные азимуты Л3.1, Л3.2 этих сторон в определяемой точке 3. Из сказанного вытекает следующее краткое:

Условие задачи: Даны Ви Lu Аиз и В2, ¿2, Л2.з. Найти В.,у а также Л3.1, si.3 и Л3.2, S2.3.

В указанной постановке данная задача может быть решена двумя общими способами, в основе которых лежит очевидное соотношение

A¿1.2 = ALl.3 - A¿2.3. (1)

Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности.

А. Первый способ решения прямой засечки на сфероиде

Этот способ целесообразно применять, когда нам нужны только геодезические координаты ß3, ¿3 определяемой точки 3. Сущность способа заключается в следующем.

Прежде всего из решения прямой засечки на шаре находим приближенные значения ßf, ¿з0) геодезических координат ß3, Z3 определяемой точки 3. Для указанного решения, которое выполняется с поверкой, применяются следующие рабочие выражения:

1) tg ALÍ°3 =

_ cos (90е — В2) cos A¿!.2 — ctg Л2.3 sin A¿1.2 — Ctg (90° - B{) sin (90o—ß2) .

ctg Л из Sm(9° — ctg Л2.з eos A¿ 1.2 - cos (90° - В,) sin A¿L2

sin (90°—B{)

2) Zf -¿,+AZÍS; 3) AZ^ = Z¿0>-L2;

4) tgßf = [ctg¿,.3slnAZ{ÍS + cos(9(r B{) eos aZ(3°;1] : sin (90° - BJ -

- [ctg Л2.з sin aZS + eos (90' — B2) eos aZ¡S] : sin (90° -- ß2). Вычисления производятся с точностью до 0,00001 для чисел и с точностью до 1" или до 0Г-0001 для углов.

Далее вычисляем с окончательной точностью (например, с точностью до 10 8) величины v/3 , ich, Уз, Piз, (vIJ)/3, ?f и 4>¿* для обеих засекающих сторон ¿3—1.3, 2.3. Соответствующие расчетные выражения даны в дел. 4 (sin cpf = sin B¿; tgí>¿5 = tg9®).

Теперь приступаем к вычислению на сфероиде последовательных приближений B(f\ (s = 1, 2,...), для геодезических координат ß3, ¿з определяемой точки 3.

Начиная первое приближение, берем в качестве исходного значение В{р = Ж0) широты точки 3, полученное из решения засечки на шаре. Затем решением обратных задач по сторонам ¿3=1.3,2.3 при известных азимутах Л1.3, Л2.3 лучей с?«//кз, сГЛг.з, вычисляем согласно [Дел. 5,1] соответствующие приближенные значения AL^, Д12?з на сфероиде разностей долгот А£ЬЗ) А12.з. При этом расчет ведем следующим образом:

1) ßf -'ßf Äß;l, 2) "-¿г sin ß;! — sin <рз, 3) 9?, — 9¿l=

4) pa tg = tg&fj, 5) <Hj —1>¿! — Aí)¿3) 6) - co¿3,

__|V/3(

7) o>/3 1 1-^ Ai)/;i....../?/;í(0), 8) МиД<Р/з = ЛЯ/з(0),

3.1

9) — [/?/з(0) — Д^з(0)] = /?/з(1), 2

10) — (л:2 v|j)/;i [Аср/з - (sin - sin 2®?) - ARl3 (1), 4

o

11) -e2 [Rí3 (1) - A/?¿3 (1)] = /?i3 (2), 12) Yr¿3 (X) - p,3 AZ-Í30. 4 '

Эти расчеты производим, удерживая 6—7 знаков после запятой.

Подсчитав = АА{°з, AL^, вычисляем соответствующие приближенные значения Lf\Lf долготы L.a точки 3 сфероида, а также вы-

3 :5 (0) числяем возникающую при этом невязку wL по долготе:

1) ¿(0) = Ll + Д1<°>, 2) Lf = L2 + bLfl 3) wT = Lf - if, (4.1)

3 о •> J

т. е. производим расчеты, вытекающие из основного соотношения (1) : ALK2 = AIi.3 — AL2.3, если вместо точного значения В-. широты точки 3 взять приближенное значение Bf} =

Найдя невязку wf\ вычисляем соответствующие поправки £Bfj0) и oL'i0), ôL(50), прибавляя которые к В(р, получим улучшен-

ные в первом приближении значения В\}\ L(.p широты и долготы точки 3. Выполняется это так:

^ . д' V 1-е2 v/з дЦ tgAv

1) sm Ai3 = —-- ; 2) — = а/3 =

cos В g 1/gcos В.. 3) ЗЖ°)=---; (5.1)

(cti.s — Д2.3)

4) = оЬГ; 5) ВХ> = ВГ + оВГ;

3

6) = ¿г + = 40) + З/Г.

.> .$ о .3

На этом первое приближение заканчивается.

Переходя ко второму приближению, в качестве исходного берем значение В{Р широты точки 3, полученное в итоге первого приближения. При этом вычисления производим с полным числом знаков и определение выполняем с учетом поправочного члена (3). Таким образом, во изменение и в дополнение к (3.1) будем иметь для второго приближения:

о

, 1

3 1

— Дср;з--(sin 2»' — sin 2 '¿1) +

8 4

(8ш4^ -апФ?,3)] = Д/?/з(2);

о/*

(2.2)

13) — е2 [/?«, (2) - ЫЬа (2)] = /?,3(3); 14) V /?и (X) = рв-Д^0 . 6 ^

Подсчитав = М(2г)

в соответствии с (2.1) и (2.2), нахо-

з :з з

дим согласно (4.1) (с заменой (0) на (1)) значения ¿(11}, долготы точки 3 и невязку w{L\ после чего вычисляем согласно (5.1) (с заменой(х) на (х+1)) широту В<р и долготу ¿<а2> точки 3 в итоге второго приближе-

ния. При этих подсчетах значения tg Л3,- и -- = а^ можно взять из

первого приближения.

По окончании второго приближения производим поверочное третье приближение, в котором ограничиваемся вычислением лишь величин /?гз(0) и при = В$\ Остальные же члены 7?гз (2)

и /?/з(3) берем из второго приближения. Подсчитав затем соответст-50

вующие разности долгот AZj2), находим невязку w^ третьего приближения. Если расчеты второго и третьего приближений выполнены правильно, то эта невязка wT~0 в пределах точности вычислений. Тогда в качестве окончательных координат В3, L3 определяемой точки 3 принимаем их значения Lipy полученные во втором приближении.

Найдя координаты Lz точки 3, вычисляем в случае надобности также обратные азимуты Лз/ и длины s/з, что может быть выполнено согласно [Дел. 5].

Б. Второй способ решения прямой засечки на сфероиде

Применение этого способа целесообразно в том случае, когда кроме геодезических координат ВЪу L3 определяемой точки 3 нужно знать одновременно расстояния si.3, s2.з и, может быть, также обратные азимуты Л3.1, Л3.2- Решение прямой засечки по этому способу производится в следующем порядке.

Прежде всего по известным координатам Ви Lx и В2, ¿2 исходных точек 1,2 и по известным азимутам А\.з, Л2.з засекающих лучей cT«/7i.3, с?Л2.з на этих точках решаем на шаре соответствующую прямую засечку, определяя из этого решения сферические расстояния oi.2, <?2.з дуг Г 2°, 1°3°, 2°3° и сферические углы Тз в вершинах 1° ,2°, 3° сферического треугольника 1°2°3°, отображающего данный сфероидический треугольник 12 3. Эти вычисления выполняются так:

1) 90° - Bi = еь 2) 90° - В2 = е2;

3) | (в, + в2) = 01.2; 4) -1 (в2 - в2) = 8©1и2;

1 дг Sin 801.2 ctgoLli2 , >

5) — AL1.2 = OL].2; 6) -—s- = tgoaj.2;,

2 Sin ви

7v cos 01.2 ctgoL1>2

7) ---=tga1.2; 8 + =

COS 01.2

9) a,t2 — 3ai.2 = ?2; 10) + Л2,з = Tt*>.

11) p! - Лкз = T2; ' 12) 1 (Ti + T2) = T1.2; (1)

2

13) ~~~ (Y2 ~ T1) = BT1.2;

Zd

„ 14 iift '01 . л г Sin 00 , , r

-1 sin AL]2 = -- sin ALi.2 = sin 01.2;

sin sin Pi

1 Sinoyi.2, о , *

— 012 = 001.2; 16) —'—tgoai.2 = tgSa0;

2 sin 71.2

COS^т12 COS T1.2

tg Soj 2 — tg o0; 18) O0 + 800 = 0|.3;

19) о0 — 8з0 - а23; 20) 5Ш 11 эШ ок2 = ^ {2 БШ = В1п у3;

зтз2.з эШ 0]#з

21) Т1 + Т2 + Тз + 180° = е.

Вычисления на шаре производятся с точностью до 0.00001 для чисел и с точностью до Г или до 0'. 0001 для углов.

4*. 51

Далее мы вычисляем с полной точностью вспомогательные вели-

2 ill

чины vi3, /€¿3, piZj Со, С2й, £>2«, Q/з, <?/з, (^¿з для обеих засекающих сторон ¿3= 1.3, 2.3, необходимые для решения соответствующих прямых задач согласно [Дел. 4.].

Чтобы начать затем решение указанных прямых задач по стороне 1.3 и по стороне 2.3, нам нужно каким-то образом найти прибли-

(0) (0) 1—г

женные длины sb, sy этих сторон. Проще всего и, пожалуй, достаточно надежно это можно сделать следующим образом. Исходя из выполненного выше решения прямой засечки на шаре, произведем построение соответствующего сферического треугольника 1°2°3° на глобусе или построим равноугольное изображение Г2'3' этого треугольника на карте. Разбив затем длины засекающих сторон 1° 3° у 2°3° или Г3',2'3'на равное число частей {ек)13, например — на 5, определим для каждой такой части (ек)я среднюю широту Век\ Для каждой широты Bej? вычислим средний радиус кривизны Rel? и затем подсчитаем их среднее значение RW по каждой засекающей стороне /3. Тогда можно принять, что

1 = 2) sg3 = o2.3fl<2-3), (2)

где 01.3, <з2.з — найденные выше сферические расстояния.

Теперь переходим к последовательным приближениям, в которых вычисляются совместно улучшенные значения расстояний si>3, s2,3 и координат Ви L3 определяемой точки 3. В качестве исходных для этих приближений берутся значения si?з, s!u расстояний S/з, полученные согласно (2). Каждое *-ое приближение распадается при этом на три ступени:

а) нахождение невязки Wb'^ в двух вычисленных значениях

В2Х_1) широты точки 3, которая была вызвана ошибочностью полученных в (/ —1)-ом приближении значений Sus]\ s2,з IJ для расстояний s 1.з, S2.3;

б) нахождение невязки в двух вычисленных значениях L(ix_i), L{i~V) долготы точки 3, которая была вызвана той же причиной, что и в (а);

в) составление свода двух плоскостных уравнений с поправками osl3~1}, приближенных значений s\*fl\ s2.3l) для расстояний S/з и решение этого свода; вычисление соответствующих поправок оМ*-1^ об(2_1) и вычисление улучшенных в */-ом приближении

значений si*3, для сторон s,;3 и улучшенных значений Ц*> для координат В3, L:] определяемой точки 3.

Рассмотрим более подробно каждое из этих основных действий, выполняемых в *-ом приближении.

Нахождение невязки w{b~{\ Взяв в качестве исходных значения s(i.sl\ s(2,3l) расстояний S(3, полученные в предшествующем (*--1)-ом приближении, вычисляем согласно [Дел. 4.1 ] широту В3 точки 3 дважды—по стороне 1.3 и по стороне 2.3. При этом мы используем указанный там прием резкого усиления сходимости при вычислении Дер«"1*. В итоге решения этих двух задач мы получаем два соответствующих значения В\Мх™1} для широты В,} точки 3, и тогда

зз

(3)

Нахождени е невязки Взяв в качестве исходных значе-

ния^'"0, «р?"0 преобразованной широты <р3 точки 3, которые были получены при вычислении двух значений широты 53этой точки, мы определяем затем согласно [Дел. 4.4] долготу ¿3 точки 3 дважды— по стороне 1.3 и по стороне 2.3. В ,итоге решения этих двух частных задач мы получаем два значения ¿»х_1) для долготы Ь3 точки 3, и тогда:

.^-1) = __ Ь(Г1) (4) зз* 47

Вычислением^, Найдя невязки (ы)в"г\ ~1}, составля-

ем свод двух плоскостных уравнений с искомыми поправками ^иГ1* , ^¿Г0 расстояний 5(кз_1), з^Г1* и свободными членами _1):

й (х-1) дВ\ ? (х-1) , л.

т------о52.З -+■ Wb — U;

os1.3 ds2.3

dL* bst- Ъз&ъ + w£-X) = 0.

(5)

• ds 1.3 ¿52.3

Входящие сюда коэффициенты вычисляются так:

1) s,„ л;, И ; 2)fi = -fcosA

COS В'3 ¿5/3 Af3

3/

(6)

¿5/3 N,

3

где

; 2) TV

(1-е2 эШ3 Л)'/- (1-е2 эш2 Ву>'*

3) р"- 206264.8. (7)

Определив из решения свода (5) поправки 85/з~1), вычисляем соответствующие поправки оо

1) гяГ" = ; 2) = ^ 0 (8)

■5 ¿5/3 3 дБ1з

Теперь улучшенные в итоге -/.-го приближения значения 5/3), В(з\ £зя) расстояний 5/3 и координат £3, ¿3 найдутся так:

1) s)S' = si3 ' + &5Й 2) = В(ГП + ЪВ(ГХ) = +

' ° 3 3 3 1 3 '

3) ¿(зк) = Lix_1) + 8L(r{) = /i*"^ oL(r1}.

' 3 1 3 3 1 3

(9)

На этих трех основных действиях *-ое приближение заканчивается. Опыт показывает, что при длинах 5/з засекающих сторон до 10000 км достаточно двух приближений; в третьем же приближении путем сокращенного расчета нужно только убедиться, что новые значения Щ2\ Ьз2) расстояний и координат дают невязки т^^О, ^¿^гО в пределах точности вычислений.

В случае надобности, после определения ¿¿з, В?>) 13 могут быть найдены согласно [Дел. 4.2] также обратные азимуты Аы лучей <?Лз1 на засекаемой точке 3.

Дел. 7. Некоторые обобщения и дополнения

Рассмотрим некоторые обобщения и дополнения, относящиеся к решению первых трех задач на земном сфероиде.

Дополнение 1. Прежде всего найдем значение преобразованной широты <ро = — <ро Для северных ü(5> и южных 0{s) вершин выравненной кривой Г, исходя из введенных в делянке 3 обозначений v, ^ и подстановки^

sin ср = т sin В.

Заметив, что в вершинах 0(5), Ó{s) выравненной кривой Г соот-

тс

ветствующий азимут А0 = А- + = ~> найдем:

2

1) 72 = -^151п2Л = -^-sin2 A COs2jBn

/ О Í1

а2 а2 1-е2 sin 2В{

1 — г2

2) 1-е2 v2

1 -e2sln2fl0 '

J _ v2 _ 0-g2) Sin2B0 4) X2 = J-^í = cosec2fiü; 5) sin<p0=l.

^ 1-е2 sin2 B0 l-v2

Отсюда следует, что независимо от значения геодезической широты В0 ~ — для вершин выравненной кривой Г получим всегда

?о= —VíT^y •

Обобщенные разложения. Используем равенство (1) для получения некоторых соотношений, имеющих более общий вид, чем в делянках 4—6.

Дело в том, что разложения, которые мы применяли при решении прямой и обратной задач для дуги ДЛ.2 выравненной кривой Г 1.2 на земном сфероиде, а также для решения прямой сфероидической засечки, были получены из замкнутых выражений (26) делянки 3

__0 о_

в предположении, что вершины 0\f, 0¿/\ 0\')\ выравненной кривой f¡j расположены вне соответствующей дуги ДГ0-. В том же случае, когда на выравненной дуге ДГ^ между концевыми ее точками /,у

__ о 2.

лежит одна из вершин Оу\ Ó\f, 0\f или даже несколько таких вершин (рис. 1), то предшествующие разложения для решения указанных выше задач должны быть надлежащим образом обобщены.

Для получения соответствующих обобщений будем исходить из ранее найденных разложений для вычисления расстояния s¿J и разности долгот ДL¿j между концевыми точками /, у выравненной дуги ДГ(7. Но только теперь мы разобьем всю дугу ДГ/у- на ряд частных дуг Д, выбрав при этом в качестве промежуточных наиболее подходящие точки х. х-f-l, что будет сделано несколько позже. В таком случае разложения, приведенные в делянках 4, 5 и используемые также в делянке 6, при решении прямой сфероидической засечки, могут быть представлены в следующем обобщенном виде: 54

1) s'7'

a

X + Î =/ (fx+1

& Í (l-kïjsin^r

* + 1=/

x-i .У >.-0

- 3 2

kV. sin2X o ¿/'f

x+w

х — i

V-Ij

хЧ-1 =/ _ п

2 ß*'*^1

2 (sin 2iiVy.jr\ — sin 2й cp*)

и = 0

х + 1 = / x í

л х-Ы /

+ У// 2 2 (SÍn 2 ~~ Sín 2

2í=l

* + W

2 =

« (:j c0)/y

2 2 D^(sln — sin 2дсрх)

X — í

X "T 1 — У _ Л

x=¿

¿i -1

_^__y n(ij)

a V-lj C О Д

2 (sin 2исрх+1 — sin2wçx)

x--¿

3) Д1у = (v|i)y

х-{-1 -y

X

W. j

do

(1 — mïj sin2 o) ]/l—sin2 cp

л 7' i —• y _ /¿ X -J • 1 ^y — /2

x-¿ [ . o J X - i L и

tí _ x -f-1 — /' n

2

X-f i =y

(2)

(2)

где

x+l -y

Л) Ä/,(0) - ^ ]/i_^ 2 [are tg (/?/ytg<p,+i) -arctgG^tg©*) v.. _

Х+1-/

/?у(1) = 1е2/?(7(0)—(v,,);7 2 fW, (?,+,-<?,);

X — t

в) RlJ(2) = -7e2RiJ(\)-^eHk*<,i¡)lJ 2 Р-и (<?.-и - ъ) 4 Jo у. i

--— Зх, : i (sin 2?x+i — sin 2fx)

2

и т. д. (см. Дел. 4.4). Здесь

q — C0Si4x.x: i _ — Ух _ , 1

px.y.-M — . i , — ± 1 •

Icos j |<px+i — cCxl

Допустим теперь, что в разложениях (2) точки /., х + 1 располагаются в зависимости от границ изменения азимута Ai;- в одной из следующих последовательностей (см. Дел- 1.3 и рис. 1):

Э\)\Щ\ ЭЬ2),...,х+1=у при 0<Л„<-(рис. 1,а):

2

(3)

б) Г. = i, 3ÍJ>, OÍj\ ......- -'-+1 = / при 7, < Аи О (рис.. 1,6);

б) * = i, 6fj\......, * + 1 = У при * < Ли < 1 * (рис. 1,6);

г) г. = г, Óij\ Ó¡}\ 3¡?. ..., х + 1 = j при Л,7 < 2*(рис. I,г).

Тогда не трудно прежде всего подсчитать, что при таком расположении точек x,x-f-l будем иметь всегда:

1) 2 1 2п(?х 1 sin — P//Sin2ttffiy — Рг/Sin 2ü'f¿, /- i

где ( (4)

г»\ о cos А.-,- оч 0' eos A ¡i

2) р"= ' 3) - 4)^=^ ±

Сказанное вытекает из того, что если х, х + 1 = 3(¡}\ то ~ = <Рх+1 = 0; если же * + 1 = Óíf, то срх> <?х+1 = ± -

Значит, во всех этих случаях

sin 2u?x+i — sin 2«<?* = 0, (х Ф г, х + 1 ^у). Что касается сумм

х-! Ь У *-И j

i) 2) 2 - = (5:) X ¿ X ••= í

то на основании (1) и смысла множителя Р-л.^ы имеем всегда:

1) = + 2) A»/y=^+(p;i»y-P//»i), (6)

где q есть число вершин О^ или 0¡j\ 0¡j\ содержащихся между концевыми точками г, у дуги Дrih причем в (6) преобразованные широты OJ и дуги ft¿, !>у берутся с их знаками Таким образом,, например, для дуг ДГ/у, изображенных на рис. la, 1Ь, имеем: 56

Рис. 1,а: 1) Д?у = 3*-(?;+?/). 2) Д»/у = + »*).

(?Л>0, Ну<0);

Рис. 1,0: 1) Д®/у = — — 2) Д&у = 2« - (*>у-»,),

Равенства (4) — (6) являются обобщением соответствующих частных равенств в делянке 4, которые там были записаны без множителя р|у. = перенесенного в левую часть. Вставляя равенства (4)—(6) в разложения общего вида (2), получим следующие окончательные выражения для этих разложений при любой длине 5/у выравненной дуги ЬГи:

0

а

hj CoÍJ) + \4j 2 sin 2a?J - pí7 sin 2u?¿);

u = -1

2) Д-

Slj

а\ч> aj)

2 (Зл sin 2uoj - pij Sin 2a®í);

и I

3) A/-// V Я,;(>•).

A 0

(2a >

где

a) (0)

- í?2 Aí>/y; í) У?,7 (1) = —/?,y (0) - ~ (v¡i)/y- Деру;

6) #¡7 (2) - -y e- Rij (1) 4

16

— -jr (h sin 2'Sj - $¡J sin 2®,)

/и

г) Ru (3) = -А б2 (2) - e2 (/e4 o 16

До,

— 'У (p)í sin 2c?y. - p,7 Sin 2®¿) + i. (¡b); sin 4?y — sin 4?,)

т

И т. д.

Дополнение 2. Исходя из общих разложений (2а), покажем, что* азимут Л 1.2 выравненной дуги ДЛ.2, идущей от точки 1 к точке 2 по

v v

кратчайшему пути, не равен азимуту А 1.2 выравненной дуги ДЛ.2, соединяющей те же точки 1,2, но проведенной в противоположном направлении и потому вообще не являющейся кратчайшей на сфероиде между указанными точками.

Предположим ради определенности, что 0 < Aj.s < — и что между

2

концевыми точками 1,2 дуги ДГ12 не содержится вершин выравнен-

V V

ной кривой Г\.2. Тогда азимут А\о противоположной дуги ДГ12 будет

v з

удовлетворять условию т:< А 1.2 < — гс, и между концевыми точ-

2 v

ками 1,2 этой дуги будет содержаться две вершины кривой Г\.2: юж-

Л о

ная 0\,2 и северная O1.2. Учитывая указанные особенности расположе-

v

ния выравненных дуг ДГ1.2 и ДЛ.2 на сфероиде, напишем для них,.

ограничиваясь 2 членами, общие выражения разностей долгот Д£].2, Д1к2 согласно (2а.3), (6) и [Дел. 5; (5)]:

ALi.2 - V(»2 - ftl) + —Vl-г2 (V"*>l) - — />1.2 (?2 - ?l);

2 2

v

Д/.,.2 = _)Л-е-

v v

2- - (»2 -

^V'l-e2 [2--OK.-&01 + £

Р2 V ___V

причем эти разложения будут точны до малостей порядка е1 [см. (2а)].

v v

Так как Д1].2>0, а А1и2 < 0, и концы дуг ДГЬ2, ДЛ.2 — одни и те же,

v

то Д/-1.2 — Д^1.2 = 2-, и мы будем иметь после деления обеих частей

на Vl-e2

у 1-е2 [28/ { 2

+ (1 l(í>2 - »,) - (»2 - ».)]-

Zj

¿l v V v

--[/>1.2 (<?2 — — /'1.2 (?2 —

2

Разделив затем последнее равенство на получим далее опять

с точностью до е4:

3 1 v v е2 v

± ei~ о ж —[(&а - &,) - (1>2 - »01 - ^ГРХЛ -о ¿>

v v v

— — />1.2 l(?2 - ?l) ™ (?2 - ¥1)]. 4т:

Отсюда вытекает, что

—[(»о — í>i) — (»2 — 0|)]= —P1.2 + ост.(е4) = — eos Во + ОСТ (*?), (7)

2 2

и, значит, в данном случае

К-К Ф (8)

Но, согласно делянке 5:

р sin В*

1) »х = are tg (р tg Оу.) = are tg

eos2 Вж—р2

eos B0 Sin Bx DX

arctg -} =/(fi0,flO;

У cos-Bx — cos-B0

o\ - /1 vi-2 c°sB0 Al — el sin2 B, , D o

2) sin ¿1.2 = —--— 1/ --Г—— = 1¥(В0,В1

|vL2| eos Bi V 1 — e¿ Sin- B,

Поэтому из неравенства (8) следует, что

f(B0, В,) - f(B0, В,) ф /(So, fi2) -/(fio, Si),

т. е.

v

Отсюда заключаем, что

,.2 = W (В0> fíj (BV0, В,) = sin Лк2.

81п Л

(10)

Наше утверждение доказано.

Из рассмотрения преобразований, выполненных при выводе неравенств (9), (10), вытекает, что эти неравенства будут сохраняться и в том случае, когда на дуге ДГ1.2 находится, например, северная

V

вершина 0\,2 выравненной кривой А.2, а на противоположной дуге ДГ1.2 лежит южная вершина б\2 соответствующей выравненной кривой Гк2.

v

Неравенства (9) и (10) еще более усилятся, если на дуге ДЛ.2 содер-

У V

жится д>2 вершин О1.2, 0\.2 выравненной кривой Г(.2.

Дополнение 3. Подсчитаем разность долгот Ддля того случая, когда начало 1 дуги ДГ\.2 есть южная вершина О1.2 выравненной кривой Л.2, а конец 2 дуги ДЛ.2 есть северная вершина О1.2 кривой Ги2у

причем дуга ДЛ.2 пересекает экватор под азимутом л£1-2), который удов-

(12 ГС

.летворяет условию: 0 < Лэ < — .

При такой постановке задачи будем иметь прежде всего:

3)

'1.2

Г'1.2|

3) Í), = -

2) ?!

5) р

2

о, — о

+

4) Л

1.2

?0

Л2л ~

1.2

fl

сс

7) Рал »2

р1.2 Í>1

+ 1 = р2.1; ДО, о = гс:

6) р2 1?2 = Д?1.2 = гс;

8) Р>2Л Sin 2иф2 — Р1.2 Sin 2И?! = 0.

Вставляя найденные значения вспомогательных величин в разложение общего вида (2а. 3) и используя также равенства (3) — (8) делянки 5, выразим искомую разность долгот А А 1.2 для дуги ДГ1.2 через вершинную широту В0:

A¿i.2 = V¡-e* гс+ — Vl-e2 rc(l~cosfío) +

2

e-

(1 — eos fí0)--е'У\—ё1 rcsinfí0cosfí0

16

= y 1

■е- к

е-эт'

So

е4 вт-

—e4sin2 В,

3_ 32

У 1—е-

1 — 6~ sin2 Вп 1

16

32

ei sin 2В,

Таким образом, если 0 < , то для данной выравненной ду-

2

ги ДГ1.2 разность долгот ДЛ.2 < Отсюда следует, что для противоположной дуги ДЛ.2 соответствующая разность долгот

д1,.2 = 2тг — ¿¿1.2 Из найденных соотношений

ДЛ.2<0, Д ¿1.2 > 0 при Л1.2 = ^2 1 = —, В^В^-—В>,

2

v v

заключаем далее, что длины 81.2, $1.2 дуг ДЛ.2, ДЛ.2 также не равны

V

друг другу, а именно $1.2 <$1.2.

V ^

Наконец, так как для экваториальных азимутов А(э]-2\ А{^'2) дуг

v

ДЛ.2, ДГ1,2 имеем

1) А™ = Р (Вь В2, ДЛ.2), 2) - ^ (Вь В2, А!К2)

ч / \;

(12) * (1

и по доказанному выше ДЛ.2 ^ ¿¿1.2» то, следовательно, Дэ" ^ -

Дел. 8. Примеры решения новыми способами первых трех основных задач на земном сфероиде

В заключение рассмотрим примеры решения предлагаемыми новыми способами первых трех основных задач на земном сфероиде.

Пример 1. (прилож. 1, рис. 2а). Дается решение прямой задачи для выравненной дуги ДЛ.2 при расстоянии $¡.2 = 25649 км и азимуте ЛК2 - 229°03', причем Вх > О, В2 = ВГ< 0. Проложив дугу ДЛ*

длины 51.2 и под азимутом Л1-2 на глобусе, найдем, что между конце-

о

выми точками 1 и 2=2 этой дуги лежит южная вершина Оь2 кри-

— 3

вой Г 1.2, а азимут Л2л в точке 2 = 2 лежит в пределах—*<-42.1<2-.

2

Применяя поэтому для решения данной задачи разложения общего вида [Дел. 7; (2а)], будем иметь следующие рабочие выражения для вспомогательных величии Р1.2, Р2.1, 60

.'s, Д&1.2 И (В2Л sin 2й?з —ßi.2 sin 2«©j):

n ft COS Л 1.2 cos Л2.1 , «

1) Pl.2 = ,-—7 = — 1, Р2.1 = ;-TT- = + I;

|cos Лк2| |cos Л2л|

2) Дсркз = TT + Р2.1Т— — ßi,2 ©! = тс + ^ — |cp—I;

3) A&1.2 = TT + p2.1 »r - ßl.2 »1 = - + »i -1 VI;

4) ß2.i sin 2щ- — ßi.2 sin 2uol = sin — sin 2

Решение задачи разбиваем на четыре части: 1) вычисление величин V, т2, С0, D?u; 2) вычисление ß2; 3) вычисление 4) вычисление Л2.1. При нахождении чисел С0, ¿>2ü используем готовые значения вспомогательных коэффициентов С2ы.2>., помещенные в приложении 3. При вычислении преобразованной широты <р2 применяем ускоренный способ расчета поправки Аср1<2, указанный в примечании к [Дел. 4; (10)].

Пример 2. (прилож. 2, рис. 2,6). Дается решение обратной задачи для выравненной дуги Arli2, длина которой S1.2 = 24447 км, а азимут Л1.2 = 147°27\ причем Вх >0, В2 = Вт< 0. После проложения дуги АГ1.2 на глобусе выяснилось, что между концами 1, 2 этой дуги находится южная вершина O1.2 кривой Г1.2, а азимут Л2т1 лежит

в пределах 0<Л2.1< —. Отсюда следует, что

2

1) ßi.2 — ■ 1, fei = + 1; 2) Дч>1-2 = ^ + «i — |?Н;

3) Д»1.2 = тс -L Й-J — 4) hiS\n2uo- - ¡3L2 sin 2^ -

==■ sin 2«©!—sin 2a |©-|.

Все существенные вопросы решения данной задачи изложены достаточно подробно в делянке 5. Здесь же только отметим, что если в прямой задаче основной рабочей величиной является vK2 = sin то здесь такой величиной будет р\.ч = cos ß(üL2), которая находится последова-

п

тельным приближением из уравнения Ali.2 = (Ц. Для опреде-

ли о

ления величины /?к2 с точностью до 8—9 знаков достаточно 2 полных приближений и одного неполного, поверочного приближения даже при 5i.o^25000 км.

После вычисления основной величины а попутно — и разности Дф1.2, находим азимуты Л1.2, Л2л и расстояние 51.2 из равенств, в которых vL2 и ¡Aj.2 выражены через p\.i = cos ßy-2).

Примеры 3 и 4. (приложения 4, 5; рис. 3). В этих примерах дано решение прямой сфероидической засечки двумя путями: а) с вычислением только координат В.и L?) определяемой точки 3, б) с одновременным вычислением расстояний s 1.3, 52.з и координат L,.

В обоих примерах решается одна и та же прямая засечка, опорные точки которой 1, 2 взяты вблизи Мурманска и Хабаровска, а определяемая точка 3 находится вблизи Сан-Франциско в США, так что расстояния 51.3, 52.3 от опорных точек до определяемой оказались почти равными: Si.3 = 8073 км, 52.3 = 7947 км. Азимуты засекающих лучей равны соответственно: Л1.3 = 341°13', Л2.з^53с06/, причем северный полюс Р сфероида попал внутрь треугольника 123 (рис. 3).

Последовательность вычисления прямой сфероидической засечки обоими указанными способами достаточно подробно изложена в де-

лянке 6, но только в данных примерах вместо частных разложений были взяты разложения общего вида [Дел. 7; (2а)], так как на дугах ДЛ.з и ДГ2.з лежат северные вершины О1.3 и О2.3 выравненных кривых Л.з, Г2.з. Здесь же мы ограничимся лишь отдельными замечаниями.

1. При вычислении прямой засечки по первому способу начальное значение В\30) широты определяемой точки 3 было получено ре-

270°

Рис. 3.

шением засечки на шаре с 5 десятичными знаками. Для вычисления координат В.А% Ц точки 3 на сфероиде с 8—9 знаками потребовалось два полных приближения (одно — с 6 знаками, другое—с 8—9 знаками) и одно поверочное неполное приближение.

2. При вычислении прямой засечки по второму способу начальные значения с{"з. засекающих сторон 1.3, 2.3 в дуговой мере были получены 5-значным решением засечки на шаре. Но дальше требовалось найти соответствующие начальные значения 5кз, $2°з длин этих сторон на сфероиде. С этой целью была вычерчена мелкая картографическая сетка северного полушария в полярной стереографической проекции (рис. 3), на которой затем было построено равноугольное изображение Г 2'3' соответствующего сферического треугольника 1°2 3°. Разбив каждую засекающую сторону г'З' = ГЗ', 2/3/ треугольника 1'2'3' на четыре части, определили по картографической сетке с точностью

Приложение 1 Решение прямой задачи для выравненной дуги А Г 1.2

1. Исходные данные.

Ву

А

1.2 '1.2

68°34'15".739 29°42'16".347 229°03'15".460 25 648 923.7

2. Вычисление величин:

V, /с2, ср, С0, В.2и

^ соэ В\

е-

-1 ёУ 1

е2 1—

К2

/С4

9.878 13727п 9.562 70597 -0.000 19522 —9.998 54165

9.442 10636п

8-884 21272 7.825 64818

6.709 86090

0.006 693422 0.000 512697 0.076 59717 0.006 180725 0.999 48730

0.923 40283 7.791 03942

9.999 77728 9.965 39120

7.791 26214 0.034 38608 0.006 183895 0.000 038241

к*

к*

а БШ ВХ х

1

*) Со* «2 Со4 К1 СоъКЬ Сц^КГ8

Со

С-пК? См** Со

с1бл:г> С4

Сс=себл:6

С2:С0=О2 С4:Со—£>4 Сб:Со=Аз

0.000 000236 0.000 0000015

9.968 88962 0.017 19304

9.986 08266 76°34'19".741

1.000 000000

0.004 637921 0.000 026888 161 1

+ 1.004 664971

-0.002 318961 -0.000 017925

— 121 — I

-0.002 337008

+ 0.000 002242 + 21

+ 0.000 002266 —0.000 000027

-0.002 326156 +0.000 002255 -0.000 000027

3. Вычисление В

51.2

е2^

Со

7.4090 69146 9.9998 88636 6.8017 84509 0.0020 21260

1в я ' 0.6051 52013

<? 4.028 58019 4.460 57550

—0.431 99531

= —24°45'05".4

4- -0.760 440

Т 51П 2срх 51п4«р2(0) 1 +0.482 605

-0.9877

+ 81п 4срх — 0.8454

—0.52

+ БШ бср! + 1.00

-0.277 835

—1.8331

•Г +0.48

-0.000 646289

-м0) +0.000 004134

+ 13

Ц0) —0.000 642142

СОБ 2Т<0) СОБ 4?(20) +0.649 408 —0.156 54

СОБ б^ -0.060

-2Л..со82^0) +0.003 02125

_4^4СО54ср(20) +0.000 00141

-6£>6СО5бср(20) + 1

+ 0.003 02267

) Значения чисел с2и-21 Даны в приложении 3.

1-Т.— + 0.996 97733 Р X 0.275 90490

-0.000 644089 —0.996 6477

—0.431 99531 V —0.274 9800 -0.2787

-0.432 63940 +0.1394

— — 24°47'18",282 + 4.460 576 Л» - 1.2 +4.0279

— 0.432 639 а.» +4.1673

X

—0.761 276 Л?1.2 +4.027 937 3/16 — 0.00000 213 И

БШ 4ср^ —0.9873 X —0.274 9800 ДЯ(1) —0.00000 8893

вШ 6ср21} еП> 2 —0.52 -0.278 671 0 -1,107 602 0.005 020 1

—1.8327 +0.48 9.664 47223п Д(1) —0.009 0854

4 4° Ыр 9.440 75941 3/4^(1) —0.00Э 045610

—0.000 648232 0.589 60696 -Д/?(1) +0.000 008893

-о.,,'1» +0.000 004133 9.105 23164л -0.000 037717

+ 13 lgtg(/>Л) 0.030 36637

Аср(0) —0.000 644086 —7°15'41 ".038 -1.8327

—0.431 99531 Р*\ !)[ +47°00'05".268 + 1/32еА | 1.5105

-0.432 63940 — 24с47'18".282 180°+([|[ : ».,) А») _ * 1.2 219°44'24".230 3.835 18761 +0.0697 -0.0573

X -0.996 64767 + 1.5229

9.622 49221 п -3.822 33080 X —0.00000 00220

0.017 19304 — 0 + 1.107 602 АУ?(2) — 0.000 000034

9.605 23917л Со X -2.714 729

-23°45'*5".858 0.003 316711 5 0.005 578

Ч Рииигп^иио I , -0.00Э 085413 X Я<2) — 0.000 037717

3/16^ 0.0Э1 2550 5/6е-7?(2) -Д/?(2) - 0.000 000210 + 34

V — 1 5/16<?-' 0.002 2092 •':>-/;(3) -#(3) Я(2) —0.000 000176

1 3/1&?2/с2 0.00000 77608 -0.000 037717

1 0> -0.27 498 /?(1) -0.009 085413

9.982 80696/7 5/16^*' 0.00000 00800 —3.822 33080

-73°59'02".590 9.440 75941 3/16 е2к\* —0.00000 21341 -0.00000 00220 АЛ _ 1.2 —3.831 45411

+

Л!

и

1.2

-219°31'34".139

29°42'16".347 170°10'42".208

4. Вычисление А

-е-1« ^

-^СОБ В2

51п А'— 6 2. 1

АГ2Л

А--2. 1

2.1

9.998 54166 9.442 10636/2 0.001 22217 9.961 51714

9.480 35305л 342°24'27".940 162с24'27".940

Приложение 2 Решение обратной задачи для выравненной дуги ДГ1.2

. Исходные данные

В, В1

1у

М -1.2

-31°13'27".653

+ 68°34'15".739

233°16'53".814 29042'16".347

203°34'37".467 3.553 09023

2. Вычисление Л^у

tg в,

X

СОБ Ву

соэ М _

1.2

X

бШ В1

П1 п->

-0.60 621 + 0.36 535

-0.91 653 0.93 087

—0.22 148 —0.85317

пх — п2

вШ М —

1.2

с1д а — 6 1.2

1.2

+ 0.63 169 —0.39 998

-1.57 930 147°39'30"

3. Вычисление р^собВо а) Приближение 1

бШ А

соэ В1

о(0) (0) соэ В =р

X

В0

сэс В(}-

+0.53 496 +0.36 535

+0.19 545 +0.99 665

+ 0.19 480

+ 78°43'44"

1.01 967

<?2:т2=к2

X

X

б1П В\

у.2

<Р* П

X

0.00 6693 1 03 973

0.00 6438

—0.51 839 + 1.01 967 +0.93 087

-0.52 859 +0.94 918 -31°54'.36" + 71°39'18"

219°45' 42" + 3.83 527

+0.19 480 ,

+ 0.74 171

М -1.2 X V 1-е- +3.553 090 +0.996 648 -0.62 269 + 3.01 58 ^ 18 Р 9.794 39292лг 9.293 28519

+3.541 180 С*+ 4) X +2.39Л ^ п 0.480 30178

— о —0.747 11 +1.03 623 9.08767811 п

"о X + 2.794 07 0.003 3467 1'] ¿т (0) йр ~~ г + 2.4798 + 0.195 450 9.773 58697 —6С58'35".936

> +0.009 351 (0) :у.= + 1 015 + 30°4Г55".529

=V (I) р б) При б 180он-(!)г:-)и) 203°43'19".593

+ 811129! -0.8974 +0.59 75 + 0.196 465 л и ж е и и г 2 1.2 X + 3.555 62156 + 0.996 64767

со —0.2999 +0.196 46500 1 '1 + 3.543 70194

1 '2 £2 + До— ' 1.2 +0.15С0 , (1) . 9.293 28519 - о —0.751 066

+3.8353 Во + 78 40'10".857 -0 X + 2.792 636 0.003 34671

+3.9853 0.008 54760 + 0.009 34614

3/16^ 0.001 255 И1"1- * +0.996 648

3/16 ^«з 0.0000 08079 X Р +0.196 465 0.006 435

3 v + 0 0000 01574 +0.195 806 /с1 0.0000 4141

а +3.9853 3/16 <?-' 0.001 255

0.0000 0627 \g й! п В,у 9.714 65700л 5/16 е-' 0,002 092

X 0.008 54760 3116 еЖ X X 5/16 0.0000 08076

3( 4 ^ 0.005 020 9.9В8 88962 +0.19 581

+0.009 351 9.723 20460 п 0.0000 000866

3/4 е-7?(1) + 0.000 047 -0.000 006 ^ э1п <рх 9.977 43722 —31°55'02".186 см. дальше -0.8975

+0.000 041 +71°4Г26".029 + 51П 2(р1 +0.5965

80; : 219°46'23".843 -0.3010

Я (0) + 3.541 180 +3.835 76731 -1/2 ея - i- +0.1505

Я(1) К (2) +0.009 351 X +0.195 806 + 3.8358

+ 41 0 + 0.751 066 -2 X ЗДбе-'/^.л - +3.9863

+3.550 572 +0.0000 01581

а ¿1.2 ; +3.553 090 ДЛ>(1) - +0.0000 06302

(0) т 2 518

3/4 £>2 0.005 020 - -0.62 286 1 203°43'19".371

X +0.009 346 +3 02 188 = А& -1*2 +3.555 62291

3/4 +0.0000 4692 X

-АЛ (1) -0.0000 0630 + 2.39 902 +0.996 64767

X у(1) ар (1) (О —т : х = 1 )

+ 0.0000 4062 + 1.03 666 ^(0)=/?(0) +3.543 70328

-О —0.751 070

+2.48 70 X 30 е3/2 +2.792 638 0.003 34671

+ 53 +0.009 34613

ЫпЦъ -0.7916 +0.196 46500

Б1П 4<?1 —0.9575 +0.196 46553

-1 .7491

4.Поверочный расчет для р Л(0) +3.543 70328

3/8 ДТ1Т2 + 1.4384 р=соэ В0 + 0.196 46553 Л 0) +0.009 34613

—1/4 ец +0.0753 ^ Р 9.293 28636 я (2) + 04062

+ 1/32 в4 -0.0547 Во 78°40/10".746 Л(3) + 20

X 5/16 + 1.4590 ^ э1п В 2- 9.714 65700п (2) +3.553 09023

+ 0.0000 000170 ^СБС Во = ^% ^ 5111 Ву 0.008 54765 ДЛ -1.2 (2) ге; +3.553 09023

Д# (2) +0.0000 000248 9.968 88962 0

9.723 20465л

5/6 X 0.005 578 9.977 43727 1 5. Вычисление Л 1 - й д-

Л (2) +0.0000 4062 — 31°55' 02я.201 р М VI 9.923 28636

5/6 (2) + 0.0000 00227 91 + 7Г4Г26'М00 0.000 19522

-Л/? (2) — 025 219°46'23".899 —0.000 05647

+0.0000 0020 Г 1.2 + 3.835 76799 —^ соэ Вх -9.562 70597

X + 0.195 807 9.730 71914

Я(0) + 3.543 70194 О + 0.750 070 147°27'27".800

ЖО +0.009 34614

Л (2) + 4062 Ч £ 9.794 39299 N1 9.923 28636

Я(3) + 20 ^ р 9.293 28636 18 V, 0.001 06741

.2 +3.553 08890 18 0.480 30229 -0.000 05647

Д£ -1.2 +3.553 09023 9.087 67935 — ^ СО Б В5 -9.932 03927

(1) ЗУ - 133 ЧР* 1 9.773 58865 эш Л'-1 9.362 25803

ри = —6°58'36/г.038 А 2.1 13°18'49".009

1 + 30°4Г55".87С 193°18'49".009

1

Окончание прилож. 2.

6. Вычисление зШ 2ср_ —0.897 524

1§(1-е2) 9.997 083312 + эШ 2<р1 +0.596 488

0.000 056473 + эт —0.7916

9.997 139785 -0.9575

ы а 6.804 701197 +0.21

6.801 840982 + +0.87

£2 —0.301 036

\ge-~ 7.825 64818 -1.7491

0.017 09530 е6 + 1.08

7.808 55288 Со £2 + 0.000 732330

# 0.00643 50641 + с4 е4 — 4291

А4 0.00004 14100 6 — 34

0.00000 02665 + 0.000 72802

0.00000 00017 ^ ЧГ2 6.86214_10 6.80 184

1 1.000 000000 & 1.2 3.66 398

0.004 826298 1.2 + 4613.0 м

с04 ¿4 0.000 029116

£(.16 0.000 000 187 Со 0.002 103657

с08 01 0.583 852331

Со + 1.004 85560 6.801 840982

6 1.2 7.387 796970

Со2 -0.002 413149 1.2 24 422 885.1

— 019411 Д5<°> 4613.0

— 137 1.2 ^3.2 24 427 488.1

с2 —0.002 43270

+0.000 002426

¿16 + 27

С, +0.000 002453

ст —0.000 000031

*) См. Приложение 3.

Приложение 3 Значение чисел

3/2 \/ 2л

х \ х А х

*) с0.2х =(—1)

2) = (—1)Х"Л-

—3/2\/ 2), I )\Х-и 22\и

(«, Х = 1,2, ... ,п-, и ^ л)

С02=+0.75 С22= -0.375 с01== +0.703125 <^ = -0468750 с06=+016836 с2(5=—0.5127 Сое—+0.63 с28=—0.54

+0.058594 0,5,5= - 0.116 с4>6=+0.1025 <^=-0.03 с4>8=+0.13

с88-+0.0517

Приложение 4 Решение прямой выравненнолучевой засечки (первый способ)

1. Исходные данные. с X 31пв2 -2.9410 + 0.69 202 X 5тД12.з + 0.75 101 + 0.97 053

Вх 67°28'52".763 : 8100! + 0.38 298 СО50О ' +0.72 188

36°54'39".412 CtgA2.S X соэД/л.г + 0.75 101 X С05Д/-2.3 — 0.24 099

_ 0.644 21757 - 0.16 004 ЖХ Жо + 0.72 888 - 0.17 397

А[. з 341°13'15".376 СОЭ02 X п А 1.2 + 0.72 188

+ 0.98 711 Ж| + Жо + 0.55 491

в2 46°12'34".548 + Их — 5.31 420 : 51П02 + 0.69 202

и 136°07'13".693 2.375 75039 — н2 — Н3 Ъ + 0.12 019 — 0.71 257 + 0.80 187

Л 2.3 53°05'34".727 — 5.90 658 з о 38°43'27"

2. Вычисле ние В(0), 1(0) а * V / (°) 1 = Д1(0) 1.3 + 0.42 766

3 3 203°09'16"

90°—^1=01 22°31'07" + ¿1 36°54'39"

9О°-£2=02 Д11.2 43°47'25" 99°12'34" Ш 3 -¿2 240°03'55" 136°07'14"

Д1(0) 2.3 ЮЗ^бЧГ'

соэво X СОзЛ/,1.2 + 0.72 188 - 0.16 004 (^Лкз X — 2.9410 — 0.39 321

X 51пД1.1.2 + 0.75 101

+ 0.98 711 СОБ©! X соэД!^ + 0.92 376 -0.91 945

+ 2.41 200

X з!пва + 0.69 202 + 1.15 643 — 0.84 935

+ П1 — 0.11 553 г3

— щ — Из — 0.74 133 - 1.66 915 Г1 + Го : 51110! + 0.30 708 + 0.38 298

а — 2.52 601 + 0.80 182

3. Расчет величин , № , , р1г , Р 0.123 23565 0.553 02697

; (/ = 1,2) -0.996 64767 + 0.996 64767

\[Х —0.122 8226 + 0.551 1730

9.507 74760 п 9.902 87881

\gcosBi 9.583 18128 9.840 12007 9.965 55668 9.858 46269

—0.000 21452 -0.000 69961 0.003 32312 0.079 26984

—9.998 54166 -9.998 54166 9.968 87980 9.937 73253

9.092 17270 п 9.743 75761 1 ?3 68с34'03".855 60°02'46".239

№ 8.184 34540 9.487 51522 0.406 11008 0.239 36934

7.825 64818 7 82564818 + 9.090 73637 9.742 74631

6.009 99358 7.313 16340 *)з 1 9.496 84645 17°25'44".940 9.982 11565 43°49'14".183

е- е-'/2 0.006 693422 0.000 102328 0.006 693122 0.002 056664 4. Первс >е приближени е для Вз,1<з

0.015 28781 0.307 26650 В^^Ву 38°43'27"

0.006 591094 0.004 636758

0.999 89767 0.997 94334 \gslnB3 9.796 277 9.796 277

1—V2 0.984 71219 0.692 73350 ^¿3 0.003 323 0.079 270

7.818 95750 7.666 21443 9.799 600 9.875 547

9.999 95556 9.999 10588 39°04'40".4 48°39'47".2

9.993 30932 9.840 56619 г) 180°_(<Р»+Ч>') 68°34'03".9 60э02'46".2

7.819 00194 7.667 10855 + 72°2Г15".7 + 71°17'26".6

0.006 64624 0.158 53969 + 1.262 822 + 1.244 258

№ 0.006 591768 0.004 646314 X ^ — 0.122 82 + 0.551 17

0.000 043451 0.000 021588 о — 0.15 510 + 0.68 580

А1' 0.000 000286 0.000 000100

0.000 0000019 0.000 0000005 9.909 576 9.090 736 0.055 684 9.742 746

1 т 9.996 67688 9.920 73016 9.000 312 9.798 430

Во 82°55'16".038 56°25'30".272 Я г 3 5°42'52".8 32с09'24".5

\gcosBo~lgpo 9.090 73637 9.742 74631 аз 1 180°—(<)3+0 4 1 з' 17°25'44".9 4 3°49'14".2

— =03 м — 1 + 1 156°5Г22",3 104°0Г2Г'.3

г- ^ * 3 2.737 6571 1.815 5367

ЧX /ч со-| 1 — е-— о - 0.996 64767 + 0.996 64767

— 2.728 4796 + 0.155 10 + 1.809 4504 — 0,685 80

x 50 ^/о — 2.57 333 0.003 3467 + 1.123 65 0.003 3467

— 0.008 6123 +0.003 7605

3/16 & 3/16^ 0.001 2550 0.000 00827 0.001 2550 0.000 00583

[ + 0.979 + 0.680 + 0.992 + 0.865

— 1.659 - 1.857

1 "2 е' + 0.830 + 0.928

+ 1.263 4- 1.244

с •> у '4 3/16 + 2.093 -0.0С0 00102 + 2.172 +0.00000321

ДД(1) — 0.000 0021 + 0.000 0070

3/4 е* x Я(1) 4-0.005 020 — 0.008 612 + 0.005 020 + 0.003 761

3/4 е-Щ\) — 0.000 0432 4- 21 + 0.000 0189 — 70

2)=Я(2) /?(1) Я(0) — 0.000 0411 — 0.008 6123 — 2.728 4796 + 0.000 0119 + 0.003 7605 + 1.809 4504

* 1.3 2.3 Л,-2-, - 2.737 1330 + 6.927 4029 + 1.813 2228 +2.375 7504

1(0) 1 4.190 2699 4.188 9732

3 хчо) £ 0.001 2967 + 267". 46

9.99 854 9.99 854

9.09 217 п 9.74 376

\ЕУ3 0.00 089 0.00 089

— \gcosB з — 9.89 219 — 9.89 219

9.19 941 п 9.85 100

189°06'24" 134°48'00"

9.20 491 0.00 303 п

— 0.00 178 -0.00 178

- ^соэВз - 9.89 219 — 9.89 219

*авГ1ваа 9.31 094 0.10 906 п

+ 0.20461 - 1.28 541

+ 1.4901

'дЬ\ ¿Вз~д33) вв<0>+«4°>= 0

+ 1.49001 267".46^0

ЬВ§» — 0.000 87024 — 02'59".50

В(0) 3 38°43'27".0

3 38°40'27".5

а13 X ЬВФ) з + 0.20461 — 0.000 87024 — 1.28 541 — 0.000 87024

— 0.000 1781 + 0.001 1186

+ з (0) 4.190 2699 4.188 9732

Ь1 3

3 4.190 0918 4.190 0918

5. Второе приближение для

В( 1)

В*

/3

№ с

' 3 ©3 ' /

1803—(ср'1 + + ?3>

X

^Лз

180°—(&•; + + »з)

X

38э40'27".5

9.795 80539 0.003 32312

9.799 12851

39Э0Г38".777

68с34'03".855

<•> у 1—

^/?(0)=/?(0)

72^244 7".368

1.263 70258 — 0.122 8226

— 0.155 2113

9.908 79441 9.090 73637

8.999 53078

5Э42'16".082

17°25'44".940

156°5Г58".968

2.7^7 834817

— 0.996 647670

9.795 80539 0.079 26984

9.875 07523 48с35'32".882 60°02'46".239

71°2Г40".879

1.24549061 4- 0.551 1730

+ 0.686 4808

0.054 60416 9.742 74631

9.797 35047 32°05'33".491 43°49'14".183

v

3/1 бе-, 5/16е-

3/16^ 5

к"»

2.728 656691 -0.155 2113

— 2.573 4454 0.003 346711

0.008 612578

104°05'12".326

.816 656621

+ 0.996 647670

Н-1.810 566589

— 0/86 4808

1.124 0856 0.003 346711

0.003 761989

вт 2ср3

+

+

о

81п 4ср"?

£1 1

---со

2

X

X

0.000 12550 0.000 008273 0.000 000091

0.000 20917 0.000 005831 0.000 000045

3/16 ДЯ(1)

3/4 &

т

3/4 е?Я(\) 3 о

3 [-<*?+ 1

--£о

4 -1

+ — е1 ' 32

34

X 5/16

ДЯ(2)

5/6 е-Я(2) 5/6^(2) — ДЯ(2)

+ 0.9783 4- 0.68СЗ

+ 0.405 — 0.997

— 1.6586 + 0.592

+ 0.8293 4- 1.2637

+ 2.0У30 — 0.000 001016

0.000 002126 0.005 0200 -0.008 61258

— 0.000 043235 + 0.000 002126

0.000 041109

0.9922 0.8652

— 0.248

— 0.868

— 1.8574 + 1116

+ 0.9287 -4- 1.24^5

+ 2.1742 4- 0.000 003214

-1- 0.000 006988 0.005 0200 0.003 76199

+ 0.000 018885 — 0.000 006988

+ 0.474 + 0415

+ 0.019

+ 0.908 — 0.000 00001

+ 0.000 011897

+ 0.467

+0.464

+ 0.035

+ 0.966 + 0.000 000025

0.000 000010

0.005 578 — 0.000 04111

0.000 000229 10

— 0.000 000219

0.000 000024

0.005 578 + 0С00 01190 + 0.000 000С66 — 24

+0.000 000042

т — 2.728 656691 4-1.810 566589

ж и - 0.008 612578 +0.003 761989

Я(2) — 41109 + 11897

/?(3) - 219 + 42

У^-1.3, ^¿2.3 — 2.737 310597 + 1.814340517

¿1 + 2¿2 +- 6 927 402876 +2.375750387

(1) и 3 + 4.190 092279 +4.190090904

+ 0.000 001375 + 0".2836

^¿З^Г^ 9.09 060 п 9.74 319

— СОБ £3 — 9.89 239 — 9.89 239

9.19 921 п 9.85 080

189°06'09" 134°49'32"

Фг^з/ 9.20 471 0.00 264 п

-0.00 178 — 0.00 178

— 9.89 239 - 9.89 239

9.31 054 0.10 847 п

аа + 0.20443 - 1.2837

ь=а\.з~а2.ъ + 1.4881

( 1.4881 обз ) +0".2836=0

- 0.000 000924 — 0".1905

38°40'27".500

В<2> 38°40'27".310

+ 0.20443 — 1.2837

X ьвф ' - 0 000 000924 -0.000000924

(1) о/. / 3 — 0.000 000189 +0.000001186

(1) ч 4.190 09 2279 4.190 090 904

(2) и 3 4.190 092 090 4 190 092 090

240э04'28"533

6. Поверочный расчет для Вз, Ьз

#3 38°40'27".310

9.795 80489 9.795 80489

^¿з 0.003 32312 0.079 26984

9.799 12801 9.875 07473

39°0Г38".585 48°35'32".613

68°34'03".855 60°02'46"239

180°-(9;+<рз) 72°24'17".560 71°21'4ГМ48

1.263 703511 1.245 491913

X ^ — 0.122 8226 + 0.551 1730

О — 0.155 2114 + 0 686 4815

+ 9.908 79359 0.054 60302

9.090 73637 9.742 74631

8.999 52996 9.797 34933

а 1 3 5°42'16".044 32°05'33".248

чЗ 17°25'44".946 43'49'14".183

156°5Г59".010 104°05'12".569

Ф X 2.737 835020 1.816 657 800

шу/ I— ¿2 — 0.996 647670 + 0.996 647670

^Иф)=Л(0) — 2.728 656894 + 1.810 567 764

— О + 0.155 2114 -0.686 4835

"0 V - 2.573 4455 + 1.1240863

е*12 0.003 346711 0.003 346711

— 0.008 612576 + 0.003 761991.

Л(0) — 2.728 656894 + 1.810 567764

Я(1) - 0.008 612576 + 0.003 761 991

Я(2) 41109 + 11897

/?(3) - 219 + 42

Л1 1 , 11 2 3 3 ¿1+2-, и - 2.737 310798 + 1.814 341694

+6.927 402876 + 2.375 750387

(2) 1 1 4.190 092078 4.190 092 081

+ 0.000 000003 + 0".0006-

¿3 1 4.190 092 080 240с04'28".531

Приложение 5 Решение прямой выравненнолучевой засечки (второй способ)

1. Исходные данные "1.2 оаК2 44°58'14" 16°0Г22" СОЭ &Т1.2 —^соэ-^ 2 9.99 992 9.19 877

Ву 67°28'52//.763 60°£9'36" 9.68 198

¿1 34°54'39".412 28г56'52" 0.48 313

0.644 217568

^1.3 341°13'15/\376 ^2.3 28с56'52" 53э05'35" с/3 ± 71°48'06" 0°33'08"

В2 46°12'34/;.548 60°59'36" 72а2Г14"

¿2 136с07'13/,'.693 -^1.3 341°13'15" — 1.262 8136

¿2.3 2.375 750387 53°05'34".727 71 Та 82°02'27" 79°46'2Г' х2.3 71!14'58'/ 1.243 5374

2 80°54'24"

2. Вычисление 3, сг2 3 — (Т1-Та) = Т1*2 2 1°08'03" в1п Т! 9.99 305

'2.3 9.97 632

90г—Во=ва 43°47'25" эт 0! 9.58 318 Э1п 9.99 580

22э31'07" 9.68 486 9.97 907

^ БШ Э2 9.84 012 0.01 673

р. £=-"-©1.2 33°09'16" ^ БШ а у 9.94 179 9.89 269

\gniy 9.89 832 0.01 673

= й01.2 10°38'09" 9.99 437 9.90 942

1 1.2 = 99°12'34" ^ т2 9.89 833 ТЗ 54° 16'00"

9.89 269 1 - 82с02'27"

= ^1.2 ой1ПО012 — е1>2 49°36'17" 51°2Г30" 71 79°46'21"

9.26 615 — 9.73 788 1 2 ~1.2 = 031.2 25°40'45" 3 £ 7/ 1 1 £ 216°04'48" 36°04'48"

9.92 989

]§' 2 9.45 816 ^^П ЙТ1.2 8.29 653

сов ов1 2 9.99 248 вШ 7К2 9.99 451

— ^ СОЭ 6[ 2 -9.92 283 9.68 198

9.92 989 7.98 400

9.99 954

3. Расчет величин ^¿з, к%, Р1 з 1 1.000 000000 1.000 000000

с1 п1 О5 2и' *) С02 0.004 943826 0.003 484736

0.000 030551 0.000 015179

¿¡п А12 9.507 74760 п 9.902 87881 См ^ 196 68

^ соэ Вь -Ч VI 9.583 18128 —9.998 54166 9.840 12007 -9.998 54166 Сон № I 0

С1 + 1.004 974574 + 1.003 499983

—\gVi-& — 0.000 21452 -0.000 69961 с>*2 к~ —0.001 742368

9.092 17270п 9.743 75761 -0.002 471913

8.184 34540 9.487 51522 с,, к* -0.000 020368 -0.000 010119

7.825 64818 7.825 64818 С20 — 147 — 51

1 - !> \Q-e- ^"о 6.009 99358 7 313 16340 С-28 & - 1 - 0

¿3 С1 -0.002 492429 —0.001 752538

е2 0.006 693422 0.006 693422

е- ^ 0.000 1023^ 0.002 056664 с.и к* + 0.000 002546 -О.СОО 001265

0.015 28781 0.307 26650 с4в & + 29 + 10

.е- — е* V2 0.006 591094 0.004 636758 стк* + 0 4- О

0.999 89767 9.997 94334 С1 +0.000 002575 +0.000 001275

0.984 71219 0 692 73350

е-ч-1) 7.818 95750 7.666 21443 ст -0.000 000033 -0.000 000012

9.999 95556 9.999 10588 к? — 0 0

9.993 30932 9.840 56619 С1 -0.000 000033 —0.000 000012

А* 7.819 00194 7.667 10855

0.006 64624 .0.158 53969 а : а = 2 0 •2 —0.002 480092 —0.001 746426

к2 0.006 591768 0.004 646314 а : о = 4 О +0.000 002562 +0.000 001271

0.000 043451 0.000 021588 а: а = 0 0 ОК а -0.000 000033 —0.000 000012

А-5 0.000 000286 0.000 000100

к^ 0.000 000019 0.000 000005 18(1 -е*)а 6.8017 84509 6.8017 84509

0.0000 22221 0.0004 47059

5.» 9.996 67688 9.920 73016 1 еС' 0.0021 55074 0.0015 17369

82°55'16\038 56°25'30".272 <?,з 6.8039 61804 1 6.8037 48937

9.090 73637 9.742 74631

Р 0.123 23565 0.553 02697 V — = (.1 М —1 + 1

*) См. Приложение 3.

Р-13 0.123 23565 0.553 02697 вШ 4срз + +0.418 —0.243

со У 1 — ^ -0.996 64767 +0.996 6476' / —0.997 —0.868

—0.122 8226 +0.551 1730 £ (00) — 1.65705 —1.85711

£(00) + 0.579 + 1.111

9.965 55668 9.858 46261 О, е<00> + 0.004 1096 +0.003 2444

0.003 32312 0.079 2698' 1 1 А е<°°> + 15 + И

9.968 87980 9.937 7325' . (00) 3 +0X04 1111 +0.003 2458

41 68°34'03".855 60°02'46".23«

соэ 2^ +0.21 420 -0.12 235

0.406 11008 0.239 36934 сое -0.908 -0.970

+ 9.090 73637 9.742 74631 —2/Х соб 2<р?, +0.001 0625 —0.000 4274

9.496 84645 9.982 И 56Е 4 О 1 соэ 4срз + 93 + 49

17°25'44".946 43°49'14".183 1- "А +0.001 0718 +0.998 9282 -0.000 4225 + 1.000 4225

4. Первое приближение для 5/3, Въ ¿з. , (00) скр/ 3 , (00) 3 + 0.004 1155 + 0.003 2444

а) Вычисление * (00) + 0.677 4641 + 0.846 7253

В^—с чертежа 75°, 72°, 62°, 46е 49°, 53°, 50°,43° (0) + 0.681 5796 +0.849 9697

6397, 6397 6381, 6384 ;- +39°03'05".9 + 48°4Г58".8

6390, 6378 6383, 6377

Я ¿К 4 К 6390500 м 6381 300 м 2срз + 0.97 852 +0.99 167

X а/з 1.262 8136 1.243 5374 +0.404 —0.255

80700 010 м 7935 385 м + 1.65 878 + 1.85 689

6.906 87407 6.899 56800 +0.593 + 1.123

Ъ 0/3 6.803 96180 6.803 74894 +0.004 1139 +0.003 2429

0.102 91227 0.095 81906 + О ,е(0) + 15 + 14

-1.267 3958 —1.246 8639 •1 . (00) +0.004 1154 +0.003 2443

+ г-срЗ + 1- 944 8599 +2.093 589/

(СО) \ <? г ж ъ л +0.677 4641 +0.846 7253 з 9.799 354 9.875 791

+ 38°48'57" + 48°30'50" 0.003 323 0.079 270

\gsinBP 3 9.796 031 9.796 521

' эШ 2<рг3 + 0.97 679 + 0.99 249 3 38°4Г53".3 38°45'00".0

1 + 0.68 026 + 0.86 522 ®<°> —0.000 9051 —3'06'\7

а

б) Вычисление 3/4 X ; 0.005 020 0.005 020

1.944 8599 2.093 5892 —0.008 612 +0.003 760

0.681 5795 0.849 9696 3/4 -0.000 0432 +0.000 0189

(г? + ?з — 1.263 2804 1.243 6196 -ДЯ(1) + 21 - 70

X —0.122 8226 +0.551 1730 —0.000 0411 +0.000 0119

0 —0.155 159 +0.685 449

1ё ?3 ХёР13 9.909 169 9.090 736 0.056 243 9.742 746 Л(0) Я (2) -2.728 5719 —0.008 6124 -0.000 0411 + 1.808 8730 +0.003 7598 +0.000 0119

8.999 905 9.798 989 Д/(0) А/(0) аь\.& 2.3 —2.737 2254 + 1.812 6447

5С42'33".7 32°1Г24".0 1х + 2г., ь. + 6.927 4029 +2.375 7504

о/ 17°25'44".9 43°49'14".2 +4.190 1775 +0.001 7824 +4.188 3951

156°51'41".4 2.737 7497 103°59'2Г'.8 1.814 9573 + 6'07".65

X о> |/"1—е-' —0.996 64767 +0.996 64767 ч о дв\ а/Д в) о ы числение величин __ , _;

^/ЧО)-Д(О) —2.728 5719 + 1.808 8730 ъвР. (/&'/ з С75/3

— О 4-0.155 159 —0.685 449 з »

X е-¡2 -2.573 413 0.003 3467 + 1.123 424 0.003 3467 вР*в> , 3 ^ 38°41'53".3 38°45'00".0

-0.008 6124 +0.003 7598 9.99 854 9.09 217 п 9.99 854 9.74 376

3/16 0.001 255 0.001 255 ^з 0.00 089 0.00 089

3/16 0.000 00827 0.00Э 00583 — ^сов В1ъ -9.89 234 -9.89 203

— 1.657 -1.858 ^ А'ы ¿и 9.19 926 п 189°06'13" 9.85 116 134°46'42"

+0.828 +0.929 1ёС03 Аы 9.99 450 п 9.84 780 п

+ 1.263 +1.244 + дВо сг/с 8.51 093 8.51 093

Зо X 3/16 е2 № ^ ДЯ(1) + 2.091 -0.000 00102 +2.173 +0.000 00321 1.50 543 п 1.35 873 п

—0.000 0021 +0.000 0070 а .-о — 13 —32.021 -22.842

ЫпАз 1 9.19 926 п 9.85 116

Ы^Уз 8.50 915 8.50 915

—^соэ В13 —9.89 234 —9.89 203

, сек ч км 1 о 0.81 607 л 1.46 828

дЦ Ь* = дГ -6.547 +29.395

дЦ

^1.3

двг

05

^2.3

дЩ

д82.3

-32.021 -6.547 •

22.842 В 4°з = + 186".7 367" 7

29.395 Ц°з

Л — + 1090.804; Д1 = + 2910.96; Д2= +12996.45

о^^ = + 2.6686 км\ Ц°^ = + 11.9145 км

ЬВ10) =—85",5; ЬВ(Р=—272\2. з ' з

&А(10) = — 17".471; В1.2))=+350".227.

о(0)

,00 /з

05

.0) ¿3

в(г0)

(0)

«О

8070 010 и/ -2 669 м

8.072 679 л

38°41'53".3 — Г25".5

о I

(0)

38° 40' 27".8

4.190 1775 -0.000 0847

4.190 0928

7.935 385 м + 1! 915 м

7.947 300 л/

38°45'00".0 —4'32".2

38°40'27".8

4.1883951 +0001 6979

4.190 0930

5. Второе приближение.

а) Вычисление ^

6.907 017684 6.900 219607

6.803 961804 6.803 748937

0.103 055880 0.096 470670

- =¿3 -1.267 814983 — 1.248 736109

3 + 1.944 859873 +2.093 589153

(10) 3 + 0.677 044890 +0.844 853044

9.795 807 9.795 807

^¿з 0.003 323 0.079 270

у вШ 9.799 130 0.875 077

3 39с01'39.2 48:35'33''.3

' 5Ш 2^ -г0.978 347 +0.992 15С

1 и'шг^ + + 0.680 267 + 0.865 218

+ 0.4050 —0.9972 —0.2482 -0.8676

"этв'/з 1 —0.81 -0.93

+ Цт бср^ + 0.78 +0.00

4° — 1.658 614 -1.857 368

+0.5922 + 1.1158

4° АеО) + 0.03 +0.93

+0,004 113515 +0.003 243756

А + 0.000 001517 +0.000 001418

Г) £(1> £б - 1 — 11

Л <■> 3 + 0.004 115031 +0.003 245163

(10) V + 0.677 044890 + 0.844 85 3044

(1) 1 +0.681159921 +0.848 098207

39°0Г39".319 48°35'32".813

+0.978 348 +0.992 150 3/16 ез, 5/16 & 0.000 12550 0.000 20917

-1.658 615 —1.857 368 3/16 б3 ¿2 0.000 008273 0.000 005831

л 4° +0.004 113518 + 0.003 243756 5/16 е~ № 0.000 000091 0.000 000045

Д 3 + 0.004 115034 + 0.003 245163

г 0.681 159 924 +0.848 098207 2 2 +0.8293 + 0.9287

39°0Г39".320 48°35'32".813 + 1.2637 + 1.2455

1 <!> 51П ср; з 9.799 12992 9.875 07510 X 3/16 е- к2 '/¡Л +2.0930 +2.1742

- ^ -/3 0.003 32312 0.079 26984 -0.000 001016 + 0.000 003214

3 9.795 80680 9.795 80526 АЯ0) -0.000 002128 +0.000 006988

в!0 3 38°40'28".038 38°40'27".452

+ 0.000 002841 + 0".586 3/4 е-X /?(1) 0.005 0200 -0.008 61258 0.005 0200 +0.003 76199

3/4 е-Я (1) -0.000 043235 +0.000 01888 5

б) В ы числение яи^ -Дй(1) РЯ (2)=/? (2) + 0.000 002126 -0.000 006988

3 п 1.944 8599 2.093 5892 -0.000 041109 + 0.000 011897

»3 0.681 159Э -0.848 0982

1.263 7000 1.245 4910 +0.474 + 0.467

X —0.122 8226 +0.551 1730 -1/4^

О —0.155 2109 +0.686 4810 +0.415 +0.464

4 9.908 79675 0.054 60387 4- — е(1> ^ 32 4 +0.019 +0.035

9.090 73637 9.742 74631 + 0.908 -г 0.966

9.999 53312 9.797 35018 X 5/16 е2 /г4 д/г (2) -0.000 000011 +0.000 000025

ч 5°42'16". 192 32°05'33".430 -0.000 000010 +0.000 000024

17°25'44".946 43°49'14".183

156°5Г58".862 2.737 834304 104°05'12'.387 4.816 656917 X 5/6 0.005 578 0.005 578

X о) 0)=/?(0) —0.996 647 670 + 0.996 647670 Л (2) -0.000 04111 +0.000 01190

—2.728 656180 +0.155 2109 + 1.810 566884 —0.686 4810 5/6 2) -ДЯ (2) -0.000 000229 + ю +0.000 000066 — 24

— о -2.573 4453 0.003 346711

* е-¡2 + 1.124 0859 0.003 316711 (3)=Л(3) -0.000 000219 +0.000 000 042

с 1 л. —0.008 612578 + 0.003 764991

Я (0) Я(1)

Я 2 )

/г (3)

г/<1) д/О

(1)

(О

-2.728 656180 + 1.810 566884

— 0.008 612578 +0.003 761991

— 41109 + 11897

— 219 + 42

—2.737 310086 + 1.814 340814

+ 6.927 402876 + 3.3'5 751387

4.190 092790 4.190 091 201

+0.000 001591 + 0".328

в) В ы ч и с ле н и е величин

двз

**

05 ^ , Щ

^з

^ соз Аы дВ{

!д

'л сек

дя13 100 м дв1

а'31

— 1£' СОв 63

! Щ сек

1 (1) 3 » в?.

9.09 160 п 9.89 239 9.74 319 9.89 239

9.19 921 п 189°06'09" 9.85 080 134°49'32"

9.99 450 п 8.51 093 9.84 816 п 8.51 093

0.50 543 п 0.35 909 п

—3.2021 -2.2860

9.19 921 п 8.50 915 9.89 239 9.85 080 8.50 915 9.89 239

дБ

/3 100 д£-!\

7.81 597 п 0.6546

8.46 756 +2.9347

3.2021 05^+2.2860 Ц^+0".586=0 -0.6546 Щ]-2.9347 Ц^+0".328=0 Д= +10.8936; Дх=+2.4695; Да=+0.66669

80

05<'Ь+22.669 В41^=+6.120

оМ!>=—0"-726; В5а!)=—0".140 з з

?^<11)=-0".1484 В/.21) = +0".1796

з з

5

(1)

/3

05

(1) /3

.(2) ¿6

в\

(1)

(1)

о В1

з

ь\1)

3

оЛ/

¡Г

з

8 072 679.0 7.917 300.0

+ 22.7 + 6.1

8 072 701.7 7 947 306.1

38°40'28".038 38°40'27".452

—0".726 — 0.140

38°40'27".312 38°40'27".312

4.190 092790 4.190 091201

-0.000 000719 +0.000 000871

4.190 092071 4.190 09272

240°04'28".529

6. Поверочный расчет

а) Определение

¿3

Ъ О/з чз

«г -(2)

т

6.907 018905 6.803 961804 0.103 057101 -1.267818547

-1-1.944 859873

6.900 219941 6.803 748937 0.096 471004 —1.248 737069 +2.093 589153

+

(2)

0.677 041326 0.844 852084 +0.004 115034 +0.003 245163

(2) I

ц =Ь

(2)

эШ <р/

3

+ 681 156360

39°0Г38".583

9.799 12801 0.003 32312

+ 0.848 097247 48с35'32".614

9.875 07473 0.079 26984

^ эш В-1

9.795 80489 9.795 80489

3 38с40'27".312 38°40'27".312 X со У [— е2 2.737 835025 1.816 657799

0".000 -0.996 64767 0 0.996 647670

б) Оп ределение 2.093 5892 — 0.848 0972 — 0 -2.728 656899 +0.155 2114 + 1.810 567763 —0.686 4816

1.944 8599 —0.681 1564 X -2.573 4455 0.003 346711 + 1.124 0862 0.003 346711

1.263 7035 1.245 4920 2 -0.008612578 +0.003 761992

X \[Х 0.122 8226 +0.551 1730

о ^ ^ <Рз —0.155 2114 9.908 79358 9.090 73637 +0.686 4816 0.054 60302 9.742 74631 Я(0) до) 2) /?(3) -2.728656899 -0.008 612578 — 41109 - 219 + 1.810 567763 +0.003 761992 + 11897 + 42

ч 9.999 52995 5°42'16".043 9.797 34933 32°05'33".248 ¿1+2 г., -2.737 310805 +6.927402876 + 1.814 341692 +2.375 750387

ъ 17°25'44".946 43°49'14".183 Л2) 4.190 092071 4.190 092081

180°—(9?+ 156°5Г59".011 104°05'12" 569 г 3 -0.000 00001 0 -0".0021

до 1—3° среднюю широту В1К каждой такой части и выписали отвечающее BiK значение RiK среднего радиуса кривизны (с точностью до 1 км). Теперь уже можно было подсчитать искомые начальные значения длин засекающих сторон 13 на сфероиде, приняв

№ = 2 Ru ) oß\ (¿=1,2).

Последующие вычисления выполнялись так, как это описано в [Дел. 6,Б]; причем выяснилось, что несмотря на кажущуюся грубость изложенного выше расчета длин s«0 ошибки этих длин оказались сравнительно малыми:

а) v^l?^ — 2.7 км при Si.3 = 8072-7 км;

б) = — 11-9 км при ¿>2.з = 7947*3 км.

Для нахождения на сфероиде длин «¿.з с точностью до 0,2 м и координат ¿з с точностью до О''.001— 0".002 потребовалось два полных приближения (одно—с 6 знаками, другое—с 8 — 9 знаками) и одно неполное, поверочное приближение.

3. Сопоставляя значения координат ß3, L3 определяемой точки 3, найденные обоими способами, убеждаемся в их хорошей сходимости

1-й способ: В.л = 38°40/27//-310; L:] = 240°04/28//-531.

2-й способ: В3 - 48°40'27".312; L3 = 240°04'28//-529.

Возникающие при этом расхождения не выходят из пределов точности вычисления по 8-значным таблицам логарифмов.

- ЛИТЕРАТУРА

1. F. W. В е s s е 1. Ueber die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodetischen Vermessungen. Astr. Nachr., Bd. 4, № 86, 1826.

2. Ю. С. Сикорский. Элементы теории эллиптических функций. ОНТИ, 1936.

3. В. П. Ветчинки н. Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций. Изд. ВВА РККА, М., 1935.

4. Ф. А. Слудский. Лекции по высшей геодезии. М., 1894.

5. Ф. Н. Кр а с о в с к и й. Курс высшей геодезии. Ч. 2, М., 1942.

6. Б. Ф. Крутой. Общие способы решения основных расчетных задач на земном сфероиде (краткое сообщение). Известия ТПИ, т. 118, 1963.