РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛУЧЕВОЙ ЗАСЕЧКИ НА ЗЕМНОМ СФЕРОИДЕ ПРИ РАССТОЯНИЯХ ДО ЦЕЛИ НЕ СВЫШЕ 1000—1500 км Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО _ ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА_

Том 154 1967

(

v

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛУЧЕВОЙ ЗАСЕЧКИ НА ЗЕМНОМ СФЕРОИДЕ ПРИ РАССТОЯНИЯХ ДО ЦЕЛИ НЕ СВЫШЕ

1000—1500 КМ

Б. Ф. КРУТОЙ

(Представлена научным семинаром кафедр геодезии и маркшейдерского

дела в январе 1960 г.)

В моей статье [1[ даны два способа решения прямой лучевой засечки на земном сфероиде при любых расстояниях до цели. В первом из этих способов находятся только геодезические координаты цели. Во втором же способе координаты цели определяются совместно с расстояниями до нее от исходных точек.

В настоящей статье излагается несколько иной, более простой способ решения прямой лучевой засечки на земном сфероиде, который был найден мной ранее общих способов [1] и пригоден при расстояниях до цели не свыше 1000—1500 км. При этом ставится следующая задача:

Известны геодезические координаты ВиЬх и В2уЬ2 исходных точек 1,2 сфероида, а также известны геодезические азимуты А\.з, в точках 1,2 для выравненных лучей ^«Якз, ^Дг-з,

засекающих определяемую точку 3 сфероида. Найти геодезические координаты В3у ¿3 точки 3. '

В основе предлагаемого частного способа решения прямой сфе-роидической засечки положены те же соображения, что и для первого общего способа [1]. Приведем эти соображения.

Предположим, что мы каким-нибудь способом, например — по карте, определили приближенное положение Вр широты определяемой точки 3. Тогда мы можем по каждому засекающему лучу ^Лкз» ^ Л2.3 € 0 Л* вычислить совершенно точно соответствующие ширбт те В^р приближенные разности долгот В итоге получаем 2 при-

ближенных положения 3(г0), 3£0)€3(г0) определяемой точки 3, которые лежат на соответственных лучах ^ Л1.3, ^ Л2.3, имеют одну и ту же

широту Бз0) и несколько различающиеся между собой долготы ЬТ *

где

Ы1 - ц + (1)

з

Для точных разностей долгот Д£*з = ¿3 — между опорными точками / = 1,2 и определяемой точкой 3 будет справедливо очевидное тождество

Д^.з — Д12.з = Д£|.2. (2)

57

Если же в это тождество вместо точных значений Д^з вставим найденные выше приближенные значения то получим некоторую невязку '101:

ОЬ = (Д¿<°> - ДЩ) ~ ДЛ,.2, (3)

которая вызвана, очевидно, ошибками 8(Д£§>) указанных приближенных значений ДА^. Полагая, как обычно,

Д1(03) = Д1Й + 8(ДОД, ' (4>

получим с учетом тождества (1), что

ть = 8(Д1<о>) —(5)

Ошибки 8(Д/,<°>) приближенных разностей долгот вызваны,

конечно, ошибкой 8Б<°> в принятом значении В<°> широты точки 3, где по определению

83<°>= В<°>-В3. (6)

Поэтому если учесть, что

Д1Й - /=• (В/, Л в , £3) = (В,, Лгз, В<°> - ЗВ<0)) = , (7>

то отсюда при малости ошибки Ввр можно написать:

М13 = (б., л,3, В<°>) — 8В<°> = - 8Я<°)

* ?

о - - Ж

Но из (7) вытекает, что и, следовательно,

д(Д1*з)

Д£Й = Д1<5>

8В<°>. (8)

о

Определив отсюда 2 значения Д£<°) = Д^, и подставляя их

в выражение (3) для невязки получим уравнение для вычисления ошибки 8Вр в принятом значении В<0) широты точки 3:

д(Ы1Я) а(ДА2.з)1 в(в1л_вм)8шо,_ ^ =0, (9)

дВ, сШ3

3

о

где значок ° напоминает, что производные должны подсчитываться при Вг = Из сравнения (8) с (4) находим затем ошибки о(Д1<°>) в приближенных разностях долгот Д£(;з>:

о(М.т - - = (10)

В заключение вычислим уточненные координаты определяе-

мой точки 3:

1) В^ = Вр ~ 2) = — 8(Д/-<°>) = — 8ж

3 3 (11>

которые можно принять в качестве окончательных В3, ¿3, если исходное значение £<0) взято достаточно точно. Если же исходное значение 5<°> широты точки 3 было слишком грубым, то придется

описанный здесь прием нахождения координат £3, ¿3 повторить еще один—два раза, взяв в качестве исходного значение полученное из первого приближения.

В изложенном здесь способе решения прямой засечки остались не выясненными два вопроса: 1) точное вычисление разностей долгот соответствующих принятому значению Бд0) широты точки 3;

2) вычисление коэффициентов a¿3 уравнения (9).

Что касается коэффициентов aiS, то они могут быть найдены

так:

V гп<? R

1) Л;. - Аы ± 180°; 2) sin А' = 3 U ¿ sin An ;

V» cos В.

¡ \-uo i-» 3

d(^Lf)) tgAy

3) а,-з =-=->

дВя VI cos Б,

(12)

где при подсчете коэффициентов полагаем

Для точного же вычисления разностей долгот Д£}°> можно предложить несколько путей. В первом общем способе [1] решения прямой сфероидической засечки для этой цели были взяты разложения по степеням малого параметра к\ъ полученные для интеграла

ъ

Г йу

Д1|3 = Ый j (1 ,л{8з1п2т)/1^д8,п,т . Р* = ± 1, (13)

где , т\ — параметры, зависящие от В* и Л/3 , а <р —- переменная интегрирования, зависящая от В¿, Л(-3 и В. Для подсчета разностей долгот в общем случае могут быть взяты также найденные в (2) разложения по степеням е2^3 интеграла

а'

ВЙ = I ^йА. (14)

Наконец, если длины si3 засекающих сторон ¿3 не выходят из некоторых определенных пределов, то разности могут быть

подсчитаны совершенно просто и точно из замкнутого выражения

sin — (fif-5,)

• tglA¿g> =-\-tgi(Mg)-3iS)f' (!5)

cos-(B<°) + e,) 2

i

где ДЛ(§> = А'^р — Л/з, а о/3 — очень малая поправка, не превышающая 0". 5 при s¿3~1500 км. В настоящей статье рассматривается тот способ решения прямой сфероидической засечки при ограниченной длине 5,-з засекающих сторон ¿3, в котором для подсчета разностей Д1<°3> используется выражение (15). Основным содержанием статьи является вывод выражения для очень малой поправки Si3, входящей в (15). Дадим этот вывод.

Отобразим выравненную дугу ДГ 1.2 земного сфероида на выравненную дугу ДУ®2 шара радиуса а таким образом, чтобы для любой

пары соответственных точек С, С° на дугах ДГ 1.2, Д^,°2 были равны их сфероидические В и сферические ср широты, а для дуг ДГ|.2, ДГ°2 в целом были равны их сфероидические Д!^ и сферические ДХ1<2 разности долгот точек 1,2 и 1°, 2°. Таким образом мы принимаем следующий закон отображения сфероида на шар:

1) В = 2) ¿¿1.2 = ДХ1.2. (16)

Если при этом. Л. и а — азимуты дуг ДА.г, ДГ° 2 в соответственных точках С, С0, а Ь и X — долготы этих точек, то вообще

1) ¿Ф1 2) А фа, (17)

что вытекает из дифференциального соотношения

— = — = (1 + е 2 соэ В) —= , (18)

аь ал с tgA

справедливого при законе отображения (16).

Предположим теперь, что сфероидический треугольник Р12, об-. разованный дугами меридиана Р1УР2 и выравненной дугой ДА.2, отображен по закону (16) на шар радиуса а. Тогда для соответствующего отображенного треугольника Р°1°2° на шаре, который будет по условию выравненным на этой поверхности, можно написать известное соотношение

1 . гх) 1

& —---tg —Да,.2,

2 1 2 соэ — (<р2 + п)

где Да1.2 = л'2Л — сц,2 есть разность прямых в точках 2° и 1° азимутов выравненной дуги Д/^°2. На основании равенств (16) это соотношение может быть переписано в следующем виде, совпадающем с (15):

1 эт-^ (В2 — Вх) \g-Mu2 = _±_tg(^Ла.2 - 8,.2), (19)

С05 I (В2 + вг)

где

1) ДЛь2- А'2Л — АгЛч 2) á,.2 = AaU2-AAx,2. (20)

Разность ДЛ1.2 может быть подсчитана совершенно точно, если известны широты ВЪВ$ концов 1,2 дуги ДА.г и азимут А 1.2 этой дуги в точке 1, так как

V2COSB1 . . . л /Л1Ч

sin Л2] =—-Г1-Sin л 1.2 ~ 5*1.2 sin Л 1.2. (21)

l/icos В2

Поэтому наша основная задача заключается в получении рабочего выражения для поправки 81.2 и исследовании величины этой поправки при различной длине S1.2 дуги ДА.2.

Для решения поставленной задачи учтем, что еще проф. Ф. А. Слудский в [2] нашел точное соотношение, связывающее ази-

■мут-Ащ прямого нормального сечения Дв точке * сфероида

с азимутом Яг?, выравненной дуги в соответственной точке

шара при изображении сфероида на шаре по закону (16):

е2 [Vx sin Bp - V„sin Вх] cosВх = 1, 2 4 * I/« cos В^ sin Д/^ - V fA = 2, 1

Ctg Лхи. = Ctg aX|jt —

Азимут же АХр прямого' нормального сечения ДГ^ в точке * сфероида при расстояниях з^^ЮОО км очень мало отличается от азимута Ащ выравненной дуги Д-/?^ в той же точке * сфероида. Это

видно из полученного в [3] выражения для разности 8Л*,* = Лхр. — — АХр=г1щ указанных азимутов:

,, (еУ

ъа'

-

(Л xjj. А * р.)

— cos2 ßx sin АХр

6 4t

созЛ

XJJ.

аЪ

-^tg Вх +3í C0SА 4 6

(е')2 cosM

12 >

__ ^Л cos 2ß* sin 2ЛХ|Л - р" ^ sin 2ßx sin Л 6 ) 48

Щ

где

1)

р" Í£j!L 02(f C0S2ßx sin 2ЛХ1, cosM^ 12

x= 1,2 f = 2,1

■<l

xp. '

(23)

2) ax„ =

>*|JL

M

'jx*

3) К

a2 (1-е'2) 1 +^,2cos25:

a2-b: b1

(24)

a, 6 —большая и малая полуоси земного сфероида. Из приведенных соображений вытекает, что искомую поправку oi.2 целесообразно представить в следующем преобразованном виде:

8i.2 = ДЛ 1.2 Д&1.2 - (ДЛ 1.2 — Aai.2) — (ДЛ1.2 — ДЛ1.2), где на основании (21)

ДЛ1.2 - ДЛ-1.2 - (Л2л - Л1.0 ± 180°)— (Л2л - Л 1.2+180°) -

- (Л2л - Л2л ) - (Л1.2 — Л i.2) = 8Л2л — 8Л1.2 = чал - -41.2- (25)

Отсюда для поправки 81.2 получим уточненное выражение

81.2 = (ДЛь2-ДаЬ2) - (§Л2Л - 8Л,.2) = £i.2 - Дчь2, (26)

которое сводит вычисление 8Ь2 к расчету двух частных поправок £1.2 и 2.

Поправка Д41.2 = — ^1.2) может быть найдена согласно (23). Определение этой поправки существенно облегчается применением номограмм, составленных А. Г. Лесняком [4]. Что касается первой частной поправки si.2, то мы получим ниже простое выражение для ее подсчета ^через поправки и т&ь

) Слудский выразил разность (ctg — ctgj4 через приведенные широты и ^

61

Для нахождения указанной поправки ^.2 мы прежде всего приведем исходное выражение (22) к виду

SÍn(i4xljL — otxjj, ) =

е2 eos Вх sin Л

хр.

Vx sin ax¡í

(Vx sin Дх — sin £*),

где было учтено, что если оХ[Х — угловая мера дуги , то

sin <v

eos Д. sin AL 3

cosec

(27)

(28)

Заменив теперь в правой части равенства (27) величину Лхи. че рез ЛХ1Д. согласно (21):

хр. - J »Х[)

Ащ + 5Л XII ,

разложим sin A4¡, в ряд Тейлора. Мы получим:

1

sin Лхц. = sin Avt. + eos Ац:. о Л*,,.

sin /4Х(1(8Л^)2 — ...

(29)

Кроме того учтем, что основному свойству выравненной кривой Г на сфероиде вращения

соз5а эш А{1.х. (30)

eos Вх . .

Sin Л xa

-— sin Л =--L-

Vx

V,

JJ.X

к

Используя затем цепную связь (30) и равенство «V = а[ХХ, введем

в (27) сокращенные обозначения С}^, определив их соотношениями:

е соъВх этВх)

Qxa sin АУ,к

e'¿ eos Вр

Vx Sin a

Х[1

(VV sin Bx — Vx sin By)

sin АЩУ = sin A[íx = sin Atxx. (31)

Цх sin a^

Разложив, наконец, в левой части равенства (27) синус малой дуги

(А

x¡j. ^xa

) в ряд, представим (27) в следующем развернутом виде:

( Лх[х Яхр. )--(Л Ctxti

Q

Х{Х

sin Ащх + eos Аць оАщ,

1

sin Лх!х(оЛХ!Х )s

(27 Л)

Чтобы вывести теперь нужное нам выражение для поправки

31.2 = ДЛ1.2 — Д«1.2, входящей в (26), положим в (27Л) сначала * = 1, ¡¿ — 2, затем примем х == 2, р.= 1. Вычитая тогда из второго значения для равенства (27Л) его первое значение и пренебрегая очень малыми разностями порядка выше ен:

!)■—Г(Л2л-а2Л)3-(Л1.2--а1.2)8

2) —- [Q2.i eos Л2л(ЗЛ2.1)2 - Q,.2cos Л1.2(6Л1.2)2],

2

получим с учетом обозначений (31) следующее сжатое выражение разности (Л2.1 —Д2.1) — (Л 1.2 — ai.2) = (Л2.1 — Л1.2 ± 180°) — (a2.i — ai.2 + ± 180°) АЛ 1.2 — Aoti.2= £1.2 через поправки 8Л1.2, 8Л2л:

£1:2 = АЛ 1.2 — Aai.2 = (Q2.I COS Л2.1) 8Л2.1 — (Q 1.2 COS Л1.2) оЛЬ2. (32)

Так как величины Q*^, 8/1X(Jl, входящие в равенство (32), имеют малость порядка не ниже е2, то сама величина si.2j определяемая этим равенством, будет порядка не ниже eé при расстояниях S1.2 до 1000 /слс.

Определив первую поправку £1.2, входящую в (26), мы можем вычислить наконец и полную поправку §1.2:

81.2= £1.2 — AT]I.2 = (Q2.I COS Л2.1 — 1) 8Л2.1 — (Q1.2COS Л1.2 — 1) 0Л1.2. (33)

Полученное выражение для полной поправки 8L2 показывает, что при расстояниях S1.2 до 1000 км величина S3.2 будет порядка не ниже е2. Действительные значения поправки 8j.2 для расстояний s 1.2 до 400 км будут очень малы, что видно из сводки 1. На основании данных этой сводки можно подсчитать, что даже при Si.2 = 400 км поперечное смещение h.2 конца 2 для луча qJI\.2 за счет поправки oL2 будет

равно'2 см, т. е. пренебрегаемо мало. Поэтому для расстояний S1.2 до 400—500 км можно с высбкой степенью точности принять Aai.2=АЛ1.2. Для расстояний же 500 я;лс< Si.2< 1000 км достаточно положить, что 81.2 = 8Л2.1 — 6Л1.2 = *г\2.\> — ^1.2, и расчеты всех членов разложения (21), кроме первого, произвести по номограммам А. Г. Лесняка [4].

Сводка 1

В-2 sí2M ^1.2

1 50- 40 00 50 59 37 50 000 43 08 04 43 30 39 +0". 000020

2 50 40 00 51 30 54 „ 130 401 43 08 04 44 08 02 000330

3 50 40 00 52 20 55 250 802 43 08 04 45 10 58 002567

4 50 40 00 53 10 00 391 203 43 08 04 46 17 02 + 0". 009013

Насколько мала поправка 81.2 даже при очень больших расстояниях «1.2 показывает следующий пример. Пусть Вх = 50, Л12 = 40°, $1.2= = 1500 км. Тогда В2 - 59°17'03", Ая12 = 17°03'34", А'2 , - 53°57'00", и мы найдем, что 81.2= + 0^.513. В этом случае поперечное смещение Х1Л конца 2 луча 0 Л 1.2 достигнет 3,8 м, чем при некоторых расчетах можно также пренебречь.

Из сказанного, таким образом, вытекает, что при решении сферои-дической засечки с длинами 5/3 засекающих ■ сторон до 1000—1500 км для точного подсчета приближенных разностей долгот А/,<°> уместно применить очень простое выражение (15), в котором при указанных выше пределах для 5гз можно даже принять 8гз = 0.

Что касается приближенного значения В£}> широты точки 3, которое входит в равенство (15), то его можно взять прямо с карты с ошибкой Г — 5' или получить решением прямой засечки на шаре, как это сделано в [1]. Тогда для нахождения значения В3 с достаточной степенью точности потребуется 2 приближения. Наконец, если известен измеренный угол при определяемой точке 3, что имеет место в поверхностных лучевых сетях со всеми измеренными

углами, то с высокой степенью точности может быть вычислено с помощью последовательности расчетных выражений, указанной в моей статье [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. Б. Ф. Крутой. Общие способы решения основных расчетных задач на земном сфероиде. Томск, Известия ТПИ, том 131, 1965. г .

2. Ф. А. С л у д с к и й. Триангуляция без базиса. Москва, 1865.

3. Ф. Н. К р а с о в с к и й. Руководство по высшей геодезии, часть 2, Москва, 1942.

4. А. Г. J1 е с н я к. Номограммы для вычисления поправки за уклонение геодезической линии от прямого нормального сечения. Томск, известия ТПЙ, том 154, 1967.

5. Б. ф. Крутой. Общие способы решения основных расчетных задач на поверх-ности земного сфероида. Томск, Известия ТПИ, том 118, 1963.