Геодезия без … геодезической (координатизация поверхности эллипсоида вращения по азимутам прямых нормальных сечений) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Геодезия

УДК 528.23

ГЕОДЕЗИЯ БЕЗ ... ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ

(КООРДИНАТИЗАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ ПО АЗИМУТАМ ПРЯМЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ)

Владимир Абрамович Падве

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53, e-mail: kaf.pi@ssga.ru

Приводятся алгоритм и числовой пример координатизации поверхности эллипсоида вращения по азимутам прямых нормальных сечений, наблюденных с двух известных точек на определяемую.

Ключевые слова: координатизация, эллипсоид вращения, прямое нормальное сечение.

THE GEODESY TO GO WITHOUT ... GEODESIC LINE (COORDINATIZATION OF THE ELLIPSOID OF ROTATION SURFACE BY THE DIRECT NORMAL SECTION AZIMUTHS)

Vladimir A. Padve

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Professor, Department of applied information SSGA, tel. (383)343-18-53, e-mail: kaf.pi@ssga.ru

It is done an algorithm and numerical example for coordinatization of the ellipsoid of rotation surface by the direct normal section azimuths who were observed from two known point to a one determined.

Key words: coordinatization, ellipsoid of rotation, direct normal section.

Классическая технология передачи координат на поверхности эллипсоида вращения (сфероиде) по измеренным направлениям между нормальными сечениями реализуется с использованием геодезической линии, так как с помощью последней устраняется двойственность первых. При этом необходимо вводить поправки за переход от азимутов нормальных сечений к азимутам геодезических и решать сфероидические треугольники. Алгоритм последующей передачи координат представляет собой либо прямую геодезическую задачу, либо азимутальную засечку на сфероиде, решаемую по геодезическим линиям. Отметим, что оба варианта имеют ограничения по расстояниям.

Еще в 1865 г. проф. Ф.А. Слудский [1] дал формулу связи азимута прямого нормального сечения aik с координатами точек Pi и Pk, через которые оно проходит:

tgAik

1 + Qik ’

(1)

24

Геодезия

где

tgAik

cosBksinLlk

sin Bk cos Bi - cos Bk sin Bi cos Lik ’

Qik -

e2 cosBi(Wk sinBi - Wi sinBk) Wi(sinBk cosBi - cosBk sinBi cosLik)

Используя эту формулу, Ф.А. Слудский предложил осуществлять передачу геодезических координат на поверхности единичного сфероида (его большая полуось равна единице) путем решения системы двух тригонометрических уравнений (1). Второе уравнение составляется для пунктов j и k. Два таких уравнения предлагалось решать методом итераций, что практически оказалось неприемлемым.

В 1969 г. в статье «Азимутальная засечка на сфероиде» [2] в системе геоцентрических прямоугольных координат единичного сфероида [1] дано решение задачи, поставленной Ф.А. Слудским. Математическая модель засечки (рисунок) описывается следующей системой трех векторных уравнений:

уравнение сфероида - р 2 + e'2 z2 -1 - 0 уравнение нормальной плоскости, прямой в P1, уравнение нормальной плоскости, прямой в P2,

"Ч

(Р -Р1) • 91 - 0 > .

(Р-Р2) • 92 - 0

(2)

Рис. Азимутальная засечка на сфероиде

25

Геодезия

Из решения уравнений (2) в координатной форме находятся компоненты радиус-вектора р определяемой точки P. Решение реализуется в системе безразмерных геоцентрических прямоугольных координат единичного сфероида x, y, z, которая связана с его геодезическими координатами B, L следующими соотношениями [1]:

x = (1/W) ■ cos B ■ cos L

y = (1/W) ■ cos B ■ sin L > .

z = ((1 - e2)/W) ■ sin B

(3)

Здесь W - первая функция широты, дополнительно выраженная через аппликату z:

W = V1 - e2 sin2 B = 1/-\Д + e2e2z2 .

В уравнениях (2) и (3) обозначено: e = 1 + e' - функция второго эксцентриситета сфероида; р = x • i + y • j + z • k - радиус-вектор точки на сфероиде;

qs = us • i + vs • j + ws • k - вектор, перпендикулярный плоскости нормального сечения, прямого в точке Ps (s = 1, 2).

Ниже приводятся два варианта формул для вычисления компонентов вектора q:

В. А. Падве [4]

u = - у • cos a + x • ez • W • sin a

v = x • cosa + у ez • W • sin a у

w = -(x2 + y2) • W • sin a

(4)

и А. Бьерхаммара [3]:

u = sinBcosLsin a-sinLcos a v = sinBsinLsin a + cosLcos a >. w = - cosBsin a

(5)

В первом случае модуль вектора qs переменен и равен радиусу параллели, что ограничивает использование формул (4) в высоких широтах. Во втором случае его модуль постоянен и тождественно равен единице.

Свободный член ds = ps • qs уравнения плоскости прямого нормального сечения может быть выражен через геодезическую широту Bs и азимут as этого сечения в точке Ps [4]:

26

Геодезия

ds =

2

e • sin2Bs • sin as

2W

Таким образом, координатная форма азимутальной засечки (2) принимает следующий вид:

X2 + у2 + £ ■ Z2 - 1 = 0

x ■ u1 + у ■ v1 + z ■ w1 + d1 = 0 x ■ u2 + y ■ v2 + z ■ w2 + d2 = 0

> .

(6)

Геоцентрические координаты определяемой точки находят из решения системы (6) [4]:

z = -S ±VS2 - T x = Az + B у = Cz + D

(7)

Положительная аппликата z в первом уравнении системы (7) соответствует северному полушарию, а отрицательная - южному.

Величины A, B, C, D, S и T - это функции коэффициентов и свободных членов уравнений (6):

A = C =

S =

v1w2 - v2w1

D ;

w1u2 - w2u1

D ;

D = Ujv2

AB + CD ,

e + A2 + C2 ;

d1v2 d2v1.

B = D ;

D = u1d2 - u2d1 .

D ;

- u2v1;

T

b2 + d2 -1

e + A2 + C2.

(8)

(9)

(10)

(11)

Найденные по формулам (7) прямоугольные геоцентрические координаты x, у, z могут быть преобразованы в геодезические:

B = arctg(ez л/x2 + у2) L = arctg(y/ x)

(12)

Ниже приводится числовой пример в сокращенном варианте для случая задания координат исходных точек в системе геодезических координат B и L.

27

Геодезия

Дано: Bi = 50о; B2 = 55о; Эллипсоид Ф.Н. Красовского

Li = 60о; L2 = 70о; е = 1,0067 3852 5415

а 1 = 110о; a2= 165о.

Решение: u1 = 0,6561 2129;

v1 = 0,4523 9512; w1 = -0,6040 2277; d1 = 0,0031 0320;

A = -0,5294 7491;

u2

v2

w2

0,9801 8580; -0,1311 3984; -0,1484 5251; \

Компоненты ортов qs

d2 = 0,0008 1579;

A = 0,2764 4490 B = 0,0014 6563 C = 0,9342 3066 D = 0,0047 3386

Вспомогательные

вычисления

S = 0,0024 6821 T = -0,511 24868

Коэффициенты ^ квадратного уравнения

x = 0,1984 4716 y = 0,6704 2236 z = 0,7125 5261

Г еоцентрические >. координаты точки P

B = 45° 44' 06,79'' Г еодезические L = 73о 30' 39,88'' * координаты P

Рассмотренная технология координатизации поверхности эллипсоида вращения по нормальным сечениям решает поставленную задачу в замкнутых элементарных функциях и не зависит от расстояния.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Слудский Ф.А. Избранные геодезические труды. - М.: Недра, 1967. - С. 71-72.

2. Падве В. А. Азимутальная засечка на сфероиде // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1969. - № 3. - С. 65-68.

3. Bjerhammar A. On the principal geometrical problems of geodesy // Kgl. tekn. hogskolans handl. - 1961. - № 170.

4. Падве В. А. Некоторые виды засечек на поверхности эллипсоида // Труды НИИГАиК. -1972. - XXVI. - С 217-224.

Получено 03.02.2012

© В.А. Падве, 2012

28