Нормальные координатные функции оболочки вращения с двоякопериодическим дискретным продольным набором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 19 7 2

№ 4

УДК 517.935 531.2

НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ ФУНКЦИИ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИМ ДИСКРЕТНЫМ ПРОДОЛЬНЫМ НАБОРОМ

В. И. Наринский, Г. Г. Онанвв

Дана полная система ортогональных координатных функций для подкрепленной двоякопериодическим дискретным продольным набором оболочки вращения с недеформируемым в своей плоскости контуром поперечного сечения, представляющая собой обобщение системы координатных функций оболочки с регулярным продольным набором, полученной Г. Г. Онановым.

Рассматривается оболочка с набором стрингеров, ориентиро-

2я

ванных по образующим а — аг = — г (г = 1, 2, . . . , я). Стрингеры

ar = apk (k = 1, 2,..., m) имеют площадь поперечного сечения Fr = = Fpft — F\F, тогда как для остальных Fr=F. Общее число стрингеров п = рт.

1. Задача сводится [2] к отысканию спектра собственных функций интегро-дифференциального уравнения

2ти

Ф" + >,2 р* Ф _L J ф (5) cos (а _ I) d% = 0, (1)

и

где

п пт

р*(а)=1 + £ ¡j,r 8 (а — ar) 1 + а £ 8 (а — яТ) + Др £ 8 (а — арк), (2)

Г=1 Г—1 k=1

при условиях

Ф (0) = Ф (2я), Ф' (0) = Ф' (2л). (3)

Вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение

1 "

Ф" -f ^ Р* Ф-------^ [V Ф (яг) cos (а — <хг) = 0. (4)

/•=1

Как показано в работе [2], спектры собственных функций уравнений (1) и (4) при условиях (3) полностью совпадают за исключением, быть может, случая Х2 = 1.

Общее решение уравнения (4) может быть представлено в виде [2]

Здесь

Ф (а) = a cos а + b sin а + ¥ (а).

(5)

ЧГ (а) = С1 ¥•(«) + С2¥ц(а) — X2 ¿ [*г(а eos ¡x,+ sin аг) («, а,), (6)

т-1

где I111 — фундаментальная система решений однородного уравнения

*|7" + >.2 р* ^ = 0; (7)

{а, ^—фундаментальное решение соответствующего оператора:

gfc + *»p*af=S(a —р);

константы а и b удовлетворяют системе уравнений

1 "

(1 — Х2)а + — а cos “/■"+■ b sln “/•)cos ar 0;

v r=i

1 "

(1 — X2) b -f — ^ M’*’/- + a cos ar + b sin a.r) sin ar = 0,

r=l

(8)

(9)

где

ЧГ,= ЧГ(«,).

2. Обратимся к уравнению (7). Переходя к частично вырож-

денному виду [1], можно с учетом (2) записать

к= 1

где

р(а)= 1+|*2 8 («- О-

г=1

Частные интегралы 1о, однородного уравнения

найдены в работе [2]:

+ Х2р¥ = 0

(t, S) = [cos ts sin X (1 — £) + cos (t + 1) s sin XS] ^

'F0 (t, £) = [sin ¿ssinX(l — ?) + sin (t + 1) s sin X£]

sin X 1

sins '

(10)

(H)

(12)

(13)

Здесь t — E(a) — целая часть а:

2ir

2я/я ’

(Í + S); t = 0, 1, я; 0<E<1;

параметр s связан с X соотношением

— М.Х —

cos s = cos X ^- sin X,

(14)

(15) 89

п ’ г 2тг •

При Х = Х^, которым соответствуют значения 5 = •кк, выражение (13) содержит неопределенность, которую следует раскрывать предельным переходом.

Частный интеграл неоднородного уравнения (10) нетрудно найти методом вариации произвольных постоянных. Используя (13), запишем общее решение уравнения (10) в смешанной форме:

т

ЧГ (а) = С, < (<*) + С2 У'о1 (а) + X £ Чрк 6 (« “ X

X

cpk u V“ ^рк) k—i

sin X

sin pks ¥¿(a) — eos pks Wo (a)

sin s

^Pi — Q eos pls -f- C2 sin pls — A^X^^¿¥pftsin/>(/ — k)s, (18)

k=i

1= 1, 2, ..., m.

Вместо системы m уравнений (18) относительно неизвестных ¥рг будем рассматривать одно разностное уравнение с переменными коэффициентами специального вида относительно функции

2тг

(17)

дискретного аргумента ¥г = ¥^ = ¥ I

¥* + ДрХ 2 ¥*sin(¿— к) ps = cos pis + sin pis. (19)

Решение уравнения (19) будем искать в виде

¥*= еш. (20)

Внося (20) в (19) и производя суммирование, получим

др: sinX sin/>s Ь„ /с. ¿¡а sini i ь,„

где

sins cosa—eosps) \ 2i sins e~i^~ps'> — 1

(2,)

-T (c<- TffiT«■) • c*=T (c-+ÍC=) • <22>

Из (21) следует, что при частных значениях констант интегрирования

Г*—г* ______1____. AfjL>T sin X 1 _

1 10 2i sins e~i(°-ps'1—Г 2 20 2i sins P '

выражение (21) обращается в тождество по I, если параметр о связан с s и X соотношением

2 sins cosa—cosps v ’

В этом случае уравнению (19) удовлетворяют функции

¥г* = ¥*+=е‘°г, W¡^W¡- = e-‘°l. (25)

= 2і sin а ,

(26)

откуда следует, что последние линейно независимы при о ф тс/г. Это позволяет построить решение уравнения (19) при произвольных Сх и С2 посредством линейной комбинации частных решений (25):

(27)

где коэффициенты а, (3 с учетом (22), (23) удовлетворяют системе

eia а + е~‘а р = Cj sin ps + С2 а + р = Cj.

sinX

sins

эт рз

(28)

Условие разрешимости системы (28) совпадает с условием линейной независимости частных решений (25). Разрешая систему (28) и внося результат в (27), имеем с учетом (24), (25):

¥1 =

или, заменяя

sinX sin ps sin s sin О

-ClCosd + + C,

+ C2 на новую константу C2,

, sinX sin/?s . ,

¥; = Cj COS a I 4- C, —----—sin о/.

1 sins Sin a

БШ а/,

(29)

(ЗО)

_ Заметим, что при некоторых дискретных значениях параметра X = ХА соотношение (24) и решение (29) уравнения (19), строго говоря, теряют смысл. Однако решение (29), где о и в связаны с X соотношениями (15), (24), тождественно удовлетворяет уравнению (19) в сколь угодно малой окрестности точек Х = ХА, и поэтому легко показать, аналогично [2], что в этих точках следует пользоваться соответствующими предельными выражениями, в связи с чем соотношение (24) следует переписать в виде

ДоД sin ps

cos о = cos ps-----------sin X —----------

r 2 sins

(31)

Найденное решение (30), (15), (31) разностного уравнения (19), а следовательно, и системы (18), необходимо внести в выражение (17). Представив предварительно дискретную координату £

в виде ¿=/7/ 4У, где I = Е ^ , имеем:

2

a■ = — (pl + j + ZУ, / = 0, 1, ..., т; /=0, 1. ..., р—1; 0<£<1. (32)

С учетом (32)

т I

X9 (а — v)/K Ь) = £/

г= 1

2тс

— (W 4- У 4- £), k

(33)

где /(а, ^ — произвольная функция, удовлетворяющая условию

Производя в (17) суммирование на основе (33) и заменяя, как

Д U.X

и выше, С1 + С2 на С2, найдем:

1

; [eos (/ + 1 )aY{j, I) —eos la.Y (j — p, S)];

sinXsin/?s

(*. J> S) = „.-A—-fon (/ -t- l)a V (y, Ü) - sin la Y(j -p, Ü)],

sin s sin O

(34)

где

Y (r, £) = sin rs sin X (1 — $) + sin (r + 1) s sin X£. (35)

3. При найденной системе фундаментальных решений уравнения (7) фундаментальное решение W(a, Р) соответствующего оператора может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. При Р==аг имеем

% (а, а,) = -16 (а - а,) [W1 (.,) Wu (а) - Wn (а,) W' (а)] . (36)

Теперь, внося (6) в (9), нетрудно определить коэффициенты а, b и далее записать общее решение уравнения (4). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательные выражениядля то>2:

ф = X {Sin ~2 ^ Ф* ^ ф1' ^ + Р

т а

Р + sinІ-'(а) +

та „ 1] С2 ( та . п

+ Sin т Д^2 Wn (а) J + — {sin т [М3 Ф1 (а) + Mt ф" (а)] +

+ Р

та

та

(37)

sin -j N3 W1 (а) 4- (Р + sin -j N4)Wu (а)

Здесь W1, ЧГ11 — фундаментальные функции [34]; Ф1, Ф11 опреде ляются выражениями

*1/ ч ^ 1 Í 2и

Ф (а) = cosa -\-~2

eos S — COS

п

2ir

+ cos — t sin X (1 — í) + л 1 ti t1 sin s

Ají'. 1 cosX_cos —

2те

X

cosa — eos

m

X

2it 2it eos — (/+1)7(/, S) — eos — IY(/ - p, É)

Xfj.

Ф (a) = sin a -| 2

1

2k

2« |Sin-(<+l)sta« +

coss — COS — n

+ sin—ísinX(l—5)+ .

ti v J* Sin 5

_ 2tc

A|i 1 cosX — eos —

2я

eos a — eos

m

2тг 2ir

sin — (/ + 1) Y U, 5) - sin — l Y(j — p, 6)

(38)

Р, М, N, Д обозначают постоянные величины, зависящие от параметра X:

P = XS — 1 -

_ 2 я

eos X— eos---------

11« п

2я . ' 2я

eos s — eos--------

л

Др/га

2я

COSA — eos

2я \ 2

га

2к

COSS — eos-------

п /

2я

cosos — eos--------------

/га

' 2гс

eos 3 — eos

/га

(39)

M^KtR + PSú M^-^-ir+btiR + PSs,

M8 = PS2; Mt = KiR + PSú Ni = /(2S1 (l* "b ^t1) ^2! N2 = — ({*• + Д(а) S4 — K2S3;

Д = p* + p

Ns — — KtS2\ Né-KtSt;

St 2" (f1 "b ^H1) ^2 — Ki S4

, ma , sln~2 +

(40)

-+-K1K2R sin

ma _

“2" ;

/? = (5154-SaS,)eln-^;

где

a:,:

eos X —eos — cos ps — cos üü

______________n________________m

cos s — cos —- coso — cos J?ü

1,

ti

m

Кi

coss — eos

t" 2n

n л cosX — cos-----

■ 2я . A . 2« ti

2* I 11 "¡r V Sln »------------------------2F Г

ti

cos o — eos-

/га

s1 = -

та

і ■ т ■ cos ~ñ~

1 SinX Sin/PS 2

n Sins sin a 2«

eos S — COS----------

ti

-X

2jt

X I p sin — + Д(і sin

— 2tc

2rt eos X — C0S"X

~ñ 27

COS 3 —cos-----

m

Sa =

1 sinX sinps тс sins sin a

Ш

(ji-f Д{*) sin ~2--------V

. m<¡ . sin sin o

coso — cos

2tc

от

•X

X 1 +

СОЭ 5 — СОЭ

y COS /?S — COS

2tcN

m

cos s — cos-

2it coso — eos ps n

та

я

cos s — cos------

n

Г 2ttn

2tc 2ucos cos ~jf

[a sin--------(- A¡j. sin —-----------------------

2л l ti tn 2n

СОЭ а—сое

m ,

та

та

(ji. + Д|л) sin ~y + Д]х cos ~2

віп а

СОЭ а—сое

2 я т

X

х 1 +

соэ

v cosos—eos s — cos X

2 я'

m

СОЭ5 — соэ

2тс eos о — eos ps п

(41)

4. Обратимся к условиям периодичности (3). Используя (37)— (41), найдем

Рбіп = 0. (42)

Условие (42) совместно с соотношениями (15), (31) образуют

характеристическую систему для определения собственных значе-

ний параметра X и соответствующих им значений параметров 5, а. Из (42) следует

о = ^й, й = 0, 2, 3, (43)

либо

Р = 0. (44)

Внося (43) в (41) и присоединяя (15), при различных значениях & имеем Е характеристических подсистем относительно « и X:

I 2л

зШ — X

БШ р$ П

СОЭ ----К — СОЭ 08

т

4" ■

Др.Х

• 2«, вт—-X

л 2

---------^г-+4=°-

2тс Л

созя — сое — X п

(45)

Исключая из (44) параметр о с помощью (31), получим еще одну характеристическую подсистему

вш /75

•

ЭШ-------х

я

2те 2тс \ 2

сое —X — сое т I п п

соэв—соэ

Д[А

+

2ге

я

2тс 2тг

СОЭ X—СОЗ

1-ХМ-^ » Л

' 2я

СОЭ 5 — СОЭ

2тс

п

=0;

. 2те э1п — X п

2гс

СОБ5 — СОЭ—■ X П

[АХ

= 0.

(46)

Из (45) в предельных случаях имеем также:

7Г

5 =------г

Р

. 2тс.

81П------Л

Я

+ 4=0

я 2 я, иХ

сое —г —сое — X г

р п

г =

о =

1.2...., р—1; т — четно;

2.4...., 2£^'2 т~нечетно;

0 для четных г; тс для нечетных г;

(47)

, п 1, 2,...; га—четно,

х = о „

1 1 2, 4,...; л—нечетно;

для q четных в = 0; а = 0;

0, р—четно,

для д нечетных я = я; о =

я, р—нечетно.

(48)

Уравнения (45) определяют цепочек собственных зна-

чений параметра X и соответствующих им значений в при фиксированном для каждой из цепочек значении параметра о. Уравнения (46) определяют еще одну цепочку собственных значений X, каждому из которых соответствует своя пара значений в, о. Наконец, каждой из цепочек (47), (48) соответствуют фиксированные « и а.

Найденным цепочкам собственных значений соответствуют цепочки собственных функций:

при Х = Х09, 5 = 50?. определяемых системой (45) при ¿ = 0,

р ,ч,.„Ул

Ф0,(“) = cos ( ^2 ~ j) S sin х (1 — E)-f cosí-у—У — 1 jssin X?; (49)

при Х = Х1?, Я = «5 я, о = о1?, определяемых системой (46) и соотношением (31),

Ф1 !</ (а) = COS а +

Х[А

1

2 2тг

COSS — COS--------

п

_ * 1 COS X — eos

, 2я - Ди, 1 п

+ eos — (^/ -t- / + l)smxs -i- ______--------------------------—X

СОЭ а — СОЭ

т

X

О— О—

COS(I + 1) Y и, 5) ~ eos IY (j - р, Е)

Tív пъ

Ф11 !,(“) = Sln«'

X|j.

1

2 2и

COSS—cos------

7Г

(50)

sin — (pl + j) sin X (1 — \) +

TZ

Y

9 1 cos X — cos —

+ an^{pl+j+ 1)8|„« + -^ ——----------—l^x

COSO — cos

m

X

Г ,

sin------

L m

{l+\)Y{j, 6)-sin ^IYU-P, S)

при X = ХА?, 5 = 5Й(?, определяемых системой (45) при ¿ = 2, 3,..., т. — 1\

Ф14_ (а) = сое ——— (/ + 1) У (/’, Е) соэ ——¿г IV (у Р> У,

т

2т:к

т

2 пк

Ф11 кд (*) = 81п (* + 1) У (У. У - 31п — I У а — р ,%У,

т.

т

ПриХ = Хт , 5=5т , определяемых системой (45) при Л =-рг-

(для четных т),

Ф («) = (_!)»

в1п ( -----у ] 5в1п Х(1 — £)-|-

-4- э1п -----------------У — 1 I 5 $¡11 X

при Х = ХГ9 (47) Фг?(а) = (- 1)"

при Х = Х (48)

— У з1п X (1 — £) — б1п —(/ + 1) э1п Х£

я

Ф?(а) = 8Ш^-^а

(52)

(53)

(54)

Собственные функции (49)—(54) соответствуют ненулевым собственным значениям параметра X. При Х = 0 имеем три собственные функции

фоо(а)=1. Ф1 о(<*) = сов а, Фцо(а)=8ша.

(55)

Выражениями (49)—(55) представлены ортогональные собственные функции уравнения (1):

2к

| Ф1 (“) ф2 (а) Р* (а) ¿* = 0 ,

О

2тс 2те 2тс

| (а) Ф’2 (а) ¿а---------— | j Фх (т;) Ф2 (|) сов (»1 — I) = 0 •

(56)

Здесь Ф^ Ф2 — любая пара различных собственных функций.

Заметим, что, заменив функции (50) на функции (51) при А = 1 и отбросив функции Фю, Фцо (55), мы получим собственные функции задачи Штурма—Лиувилля Ф"4-Х2р*Ф = 0 при тех же уело-

2тс

виях периодичности, причем в этом случае J Ф| (а) Фг(а) ¿а = 0.

В заключение приведем разложение собственных функций (49)—(53) уравнения (1), соответствующих трансцендентным собст-

7—Ученые записки ЦАГИ № 4

97

венным значениям, в ряды; Фурье по тригонометрическим функциям: " “ ■;

(■ ^ .

. cos^i-cosi '

«.,<«> = ----£---------cos mb,

:: • : ■ • <=о ... . , cos—i — coss

: ........................ P '

Ф

(a) = --- m■ X8 sin Xsin -r---------

i-i>

X

X

cos —• (2 i'— 1) —• cOs X P

cos — (2i — 1) — cos s P

•m

cos гш—a.

■ ’ , mr

1 sill a

Ц

mr

-X2

i

00

— ^У[йт(-1соя(ш— l)a+ami+icosJ/wi + 1) a],

i==l

фт 9(*) = (1 —>-2)sina —

r 00 , '{

— sin (mi - 1)а — ¿>mi+1 sin (m* + If. a],

i— 1

Д|Ш

(a) = 2n sin X sin />s ja* cos kot -f aml-k cos (mi — k) 9+ami+k cos (mi + k)a\\,

i-1

ФП kq (a) = sin * Sin P5 sin ----

2 t*m/-frsln (mi — k)* — bmi+k Sin (mi 4- k) a]I i

i= I ■ ■ ■ .

где ' '

Л2 - 1

&ті± 1 — "ті ± 1

(ті± 1)2-Х2 ’

¿=Рё, ё = 1. 2, ...

2гс — 2я

. СОЭ 05 — сое— соэХ — соэ----------

„ и Д|А/ге т п

аті±\—Ьті±х— 2л 2я 2к X

сое о — сое — сое« —соэ--------

т п

сое /. — сое — (ті + ї) .

X----------- "

. 2к,, і .,(«¿±1)*-^’ сое Я — сое г— {пи ± 1)

Г. ё — 1, 2, ... '

сое — (ті-\-к)—сое л ,

_ и _ Я “ 7 1

аяі±к — Оті±к— 2п (7ИІ + б)2— X2

соэ— (ш + &) — совз 4 — 7

(58)

л

Пользуясь разложениями (57), нетрудно также аналогично [2] построить разложения тригонометрических функций по собственным функциям уравнения (1). '

ЛИТЕРАТУРА

1. Онанов Г. Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных. ДАН СССР, т. 191, № 5, 1970.

2. Онанов Г. Г. Нормальные координатные функции оболочки вращения с дискретным продольным набором. »Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 1, 1972.

Рукопись поступила 30/Ш ¡971 г.