Устойчивость гибкого стержня в упругой среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вест,пик Сыктывкарского университета.

Сер.1. Вып. 16.2012

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

В. Л. Никитенков, А. А. Холопов

В задаче о продольном сжатии вертикальной: силой в упругой среде гибкого стержня, при различных граничных условиях, получены условия реализации первой и последующих критических сил. Выведены асимптотические зависимости параметра, характеризующего критическую силу, от жесткости, объемлющей стержень, среды.

Ключевые слова: стержень, жесткость среды, критические силы, граничные условия, шарнирное опираттие, жесткая заделка, свободный край.

Рассмотрим гибкий стержень длины I в упругой среде, характеризующийся коэффициентом жесткости С. На стержень действует вертикальная сжимающая сила N. На концах стержня могут быть заданы следующие граничные условия (см. Рис. 1):

N 1 <<<<<<? < < < < < :>>>>>>•>>>>>>> >>>>>><>>>>>>! •<<<<<<• <<<<<< • >>>>>>•>>>>>> :<<<<<• <<<<<< >>>>>>•>>>>>> *>>>>>>•>>>>>> >>>>>>•>>>>>> <«<<<• <<<<< *>>>>>•>>>>>> •<<<<<• <<<<< <<<<<■ <<<<< >>>>>>•>>>>>> ">>>>>>•>>>>>>' .<<<<<■ <<<<<< Ор <<<<<<• < < « « < « <<<<<<• <<<<<< :<<<<<• <<<<<< >>>>>>•>>>>>> .<<<<<■ <<<<<< >>>>>>•>>>>>> >>>>>>•>>>>>> ">>>>>>•>>>>>> :<<<<<• <<<<<< • >>>>>>•>>>>>> <<<<<<• <<<<<< •>>>>>£^>>>>>> а) ¿ Г1 1 б) ^

\ в) ^ 1 1 © г) ^ 1 Р

Рис. 1 Виды рассматриваемых граничных условий

Никитенков В г Л.^ Холопов А» А..^ 2012.

а) Шарнирное опирание обоих КОНЦОВу

б) Оба конца жестко заделаны;

в) Нижний конет; жестко заделан, а верхний тттарнирно оперт;

г) Жесткая заделка на нижнем конце стержня и условия свободного края с вертикально действующей продольной сжимающей силой на верхнем конце.

Нас будут интересовать соотношения между параметрами жесткости среды (к) и сжимающей силы (Л), когда последняя достигает своих критических значений (первого и последующих). Переход к безразмерным координатам з — хтт/1. , изменяющимся на промежутке и введение обозначении ^ ^ С1л

2тг2ЕГ ' ~ тг4£/ позволяет записать уравнение продольного изгиба в виде [1, с. 100 ]:

и>п' + 2Ак>" + к2 ш — 0 (0.1)

Граничные условия задаются в виде одной из следующих однородных систем (см. Табл. 1): Таблица 1

а) Шарнирное опирание на обоих концах б) Жесткая заделка обоих концов в) Нижний конец -жесткая заделка, Верхний -шарнирное опирание г) Нижний конец - жесткая заделка, Верхний - свободный край

м<0) = 0 7?".°(а2) •м(я) = 0 *>"(я) = 0 ЦО) = 0 ■н>(я) = 0 у»Хя) = 0 м<0) = 0 <м> ■м(я) = 0 м>(0)=0 "'(0) = 0 ■н>'"(я) + 2Яь>'(я)=0 у 7 ■п>"(я) = 0

Необходимо при фиксированном значении к найти все значения параметра Л , которым соответствуют нетривиальные ретиения уравнения (0.1) при граничных условиях из набора а) - г). Интерес представляют также зависимости Л от к для задач а) - г). 1. Определяющие зависимости Характеристическое уравнение для (0.1)

р4 + 2Хр2 + к2 = 0 (1.1)

имеет корни,

±у/-Х± \/Х2 — к2

62 Никитеиков В, Л., Холопов А. А,

которые являются чисто мнимыми при В — А2 — к2 > О

±г т = ± / у^Л - ч/Л^Т^ ±т ?г - ±г + (1.2)

/у. = ± (/5 + ¿7) ? и = ± (/? — ¿7)

где

При И = 0 уравнение (1.1) имеет кратные корни

±п = ±\/Л, п = у/Л (1.4)

Этим трем случаям соответствуют следующие фундаментальные системы решений (ФСР) (см. Табл. 2): Таблица 2

Дискриминант ФСР Значение б нуле Дифференцирование ФСР

о< 0 ск(/8г) соь^г)

4(2)= ск(/Вг) 5111(^2) 4(0) = 0

ВД = ЗЙ(^) 5ш(^) Г2(0) = 0 К(0) = 0

о = 0 Ш = со5(ж) ^о(О) =1 = -пУ2(г)

4(*) = 2 со в («г) 4(0) = 0 = У0(2)-пУ3(2)

ад= 5т(/к:) У2(0) = 0

У3(2) = г 51п(«г) К(0) = 0 У3-(2 -Га(г) + пЦ(г)

о>о со5(тг) Ш = 1 Го (* = -«4(г)

400 = 51п (тг) 4(0) =0 = т70(г)

со 5 (иг) Ш = 1 = -пГ3(г)

51п(лк) 73(0) = 0 Г3> = "Ш

Общее решение (0.1) запишется в виде

Произвольные постоянные определяются из однородной системы граничных условий, определитель которой в случае нетривиального решения должен быть равен рулю. Указанное равенство дает при фиксированном определяющее соотношение для параметра критических сил.

Сводом в таблицу эти определяющие соотношения для всех, рассматриваемых задач, группируя их в зависимости от знака дискриминанта. Начнем со случая отрицательного дискриминанта.

нп г" о

1аолица 3

Г><0

Матриц» СЛАУ

с1еМ = 0

а) Шарнирное оттирание на обоихканцш стержня

А=

да ад

^-Я* [ск\ря)5т\гя) сое* Ш) = 0

(1.5)

б) Жесткая заделка на обоих концах стержня

А =

Г 0 0

У,(я) ОД К,(я)

/¡од+>ад /ад-гОД ¿да+гад

-(£- Л)сй' (¿я) зш» (/я) +(к+Я)*к\ #я) соэ' (уя)+2* дй» (£я) вш* (уя) = 0 (1.6)

е) Жесткая задаток и шарнирное опирали*

А=

ОД-^(я) ОД ОД-^ОД ОД

£

(1.7)

г) Жесткая заделка и свободный край

А=

±(-ЫОД -2№й(я)) (-¿Щя)+;*ОД) Г*ОД) (-ЛУ£ я) + 2&уУй( я))

2(Р - Аг )сй* (¿я)согг {уя) -»-АтСк - Я)с й* (0я) эт* (уя) --к(к +Я)5Ь\0я) соэг(>я) - 2 Я*&\#я) яп \уя) = 0

(1.8;

Как будет показано ниже (см. Утверждения 1-3) при отрицательном дискриминанте для задач а) - в) первая критическая сила не реализуется. В задаче г) при О < 0 (Утверждение о) первая критическая сила реализуется для значений к , превышающих некоторое пороговое значение к* (Утверждение 4). Приведем теперь определяющие соотношения в случае, когда дискриминант равен нулю (А = к ).

64

Нмкмтсиков В, Л., Холопов А. А.

Таблица 4

£> = 0

Мириц» СЛА7

<1еМ = 0

а) Шарнирное спиранта на обоих концах стержня

А =

У,(Я) ^(Я)

-я^Ся) -7пУ^Я)-п%(я)

-2пзт5(пя) = 0

(1.9)

б) Жесткая заделка на обоих концах стержня

А=

ХЮ-пУ^я) У,(я) п%(я) У,(я)+пУг(я)

од \пя)-(пяУ =0

(1.10)

х) Жесткая заделка и шарнирное оттирание

А =

У,(я)-ггУ^ У,(я)

пУ,(я)+п%(я) 2Уй(я)-»У1(я)

5^ПЯ)С03(ПЯ) - пя = 0

(1.11)

г) Жвстхсья 2адетса. и сеободныи 1ф&Т

А =

пУ^я)+п*У,(я) 2 Уа(я)-пУ£я) 2пУл(я)+п%(я) иУ,(я)-К((я)

Зсоз (пя) - (л я)+1 = 0

(1.12)

Далее показывается (Утверждения 6 и 7), что в задачах б) и в) первая критическая сила также не реализуется, а в задаче а) реализуется на счетном наборе точек А = к = г2, % = 1.2,,,, , В задаче г) пороговое значение А = к* реализуется как раз в случае В = 0 (Утверждение 4). Первая и последующие критические силы для задач а)-в), (а для задачи г) при к < к* ) реализуются, когда О > 0 , Определяющие соотношения приведены е> таблице НИЖЮ*

Таблица 5

£>>0

Мюрица СЛАУ

(1еМ = 0

а) Шарнирное опиранне на о боге-: концах стержня

А=

У,(Я) У^Я)

Ст* -л*) (яп(тя)з1п(ля)) = 0

(1.13)

б) Жесткая заделка на. обоих концах стержня

А =

^(я)-^(я) ^(я)--^(я) п

( я) ■+ иУ^(я) тУМ-тУ^Я)

X

соэ(тя) соз(ля)+—яп(тя) яп(ля) -1=0 к

(1.14)

в) Жесткая заде жа и шарнирное огафание

А =

Уй(я)-У,(я) У0(я) 5 У, (я) (я) Ч-тиУ^я)

п

т соз(тя) яп(ля) - л яп(тя) соз(ля) = 0

(1.15)

г) Жесткая задепка и свободный враи

А =

1(-^(я)" гЛП(я)) (-ДУ1(я)+2^(я))

ап(тя) яфя) +(4Л* - 2*') соз(шя) соэ(ия) - 2 Иг4 = 0 (1.16)

Перейдем к формулировке и доказательствам утверждений, о реализуемости критических нагрузок во всех, рассматриваемых задачах.

2, Реализуемость первой и последующих критических сил

Утверждение 1, Для граничных условий шарнирного опирания на обоих концах стержня критическая сила не реализуется при £) < 0 (уравнение (1.5) не имеет корней при А € [0, к) ).

Доказательство. Пусть В < 0 , т.е. X < к . Тогда уравнение

у/к2 - А2 (сн2(!3ТГ) ЯН2(77Г) + иг,2(втг) С082(77Г)) = О

66

Никитенков В. Л.7 Холопов А. А,

имеет корни, если оба неотрицательных слагаемых в левой части равны нулю сН2(Ртт) 8И12(77г) = О, я/г2 (/5 тг) соб2(77г) = 0 , Последнее возможно только если ¡3 = 7 = 0 , Тогда из (2.3) получаем X = к = 0 и = 0 , Утверждение доказано.

Утверждение 2. Для граничных условий жесткой заделки на обоих концах стержня критическая сила не реализуется при (уравнение (1.6) не имеет корней при ).

Доказательство. Преобразуем уравнение (1.6)

(к + Х)з1г2(/37г) С082(77г) + зЬ2((Зп) 8ш2(77г) -(- кзЬ2((Зп) вт2(77г) + + Й5/12(/37г) 8Ш2(77г) = (к - Л)сЛ,2(/37г) 8Ш2(77г),

(к -(- Х)з1{2(/3тг) (со82(77г) + 8т2(77г)) + (к- Л)з/г2(/3тг) 8ш2(7тг) — - (к-Х)ск2(/3тг) 8Ш2(77Г)? (к + Х)зИ2(р7т) = (к - А) 8Ш2(77Г) (ск2([3п) - зк2{ртг)) , (к + \)зЬ2((Зтт) = (к- А) 8Ш2(77Г),

о2

зН2(/Зтт) — —г-8Ш2(77Г) = 0.

/у 2

Так как

зН2((Зтт) > (¡Зж)2 V/? > О

и

8Ш2(77г) < (77т)2 \/у > О,

> /32тг2 - Отг2 - О

при любом А е [0, к) ,

Утверждение доказано.

Утверждение 3. Для граничных условий, когда нижний конец стержня жестко заделан, а верхний - шарнирно оперт, критическая сила не реализуется при £> < 0 (уравнение (1.7) не имеет корней при А €[0,к)).

Доказательство. Проводится аналогично предыдущему.

Утверждения 1-3 могут быть доказаны проще, следуя [2]. Дифференциальный оператор уравнения (0.1) представляется в виде

Ь = + 2Х$- + к2Е = В2 + (к2 - А2) Е

аах1 4 '

В пространстве Н — Ь2{0,7г) краевые задачи с граничными условиями а) - в) являются самосопряженными, так как операторы Ь и В содержат производные четного порядка, а для граничных условий а) -в) выполнены условия

да(0) • ги"'(0) - 0, да(тт) • ги"'(тг) - 0, да'(О) • да"(0) - 0, 1п'{ж) - да"(тг) - 0. Тогда легко видеть (т. к. оператор В — ^ +А - самосопряженный), что

(Ьь), ио)н =

Левая часть равна нулю согласно (0.1), а правая положительна при А < ку поэтому выполнено А ^ к.

Утверждение 4. При граничных условиях, когда нижний конец стержня жестко закреплен, а на свободный верхний конец действует вертикальная сжимающая сила, характеризующаяся параметром А ? первая критическая сила реализуется при только при одном значении к = А = к* = 0.143388465 (уравнение (1.12) имеет только один корень Х = к* ).

Доказательство. Запишем уравнение (1.12) в виде

ЗСО52(ШГ) = (тг)2 - 1 (2.1)

На промежутке [0, 0.5] левая часть монотонно убывает от 3 до нуля, а правая - монотонно возрастает от -1 до тг2/4 — 1. Следовательно, притг е [0, 0.5] имеется единственный положительный корень п* & 0.37866667, который соответствует следующим параметрам жесткости среды и первой критической силы:к* — А* — (п*)2 — 0.143388465. Утверждение доказано.

и

да

дг2

+ Ада

II

+ {к2 - А2)

да

н •

68

HiiKUTciiKois В. Л., Холопов А. А,

Рис. 2. Графики правой и левой части уравнения (2.1)

Утверждение 5. При граничных условиях жесткой заделки на нижнем конце стержня и свободном крае с вертикально действующей силой на верхнем, и фиксированном к > к* ( к* из Утверждения 4) в случае D < О реализуется первая критическая сила (уравнение (1.8) имеет хотя бы один корень на промежутке (к/2, к).

Доказательство. Пусть к > к*. Воспользуемся тем, что

г/г( {;;) = {cfi(2[3ix) + 1) /2 .s/r( i;;) = {ск(2[3тт) - 1) /2, и представим левую часть уравнения (2.8) в следующем виде:

.... ch(2) + 1 2 c/i(2) + l . 2 с/г('2) — 1 2

./ (Л) - —-cos^ н---sin---cos -

с/г(2) — 1 . 2 ch(2) 1 . 2 sin 2 ¡^ ()

(c-/¿(2) — ch(2,3w), cos(2) — cos(277r), eos — cos(77r), sin — sin(77т))

Преобразуем выражения I и II (круглые скобки в правой части).

I - 2к2 cos2 —2A2 cos2 +А;2 sin2 -кХ sin2 -к2 cos2 -кХ cos2 -2А2 sin2 -

= к2 (cos2 + sin2) - 2A2 (cos2 + sin2) - кХ (cos2 + sin2) =

- к2 - 2А2 - кХ = (А: + А) (к — 2А); II = 2к2 cos2 -2А2 cos2 +к2 sin2 -кХ sin2 +fc2 cos2 +kX cos2 +2A2 sin2 = = k2 (1 + 2 cos2) - 2A2 (cos2 - sin2) + kX (cos2 - sin2) = = k2 (2 + cos(2))-2A2 cos(2)+A;A cos(2) = 2k2+ (к2 - A2 - A2 + kX) cos(2) = = 2A;2 + ((к - А) (к + A) + A(k - A)) cos(2) = 2A'2 + (At - A) (A: + 2A) cos(2) Окончательно получим

/(A) - V2 (к + A)(A; - 2A) +-~ X)(k + 2Л) + k >

Заметим, что

к2 / \ /(()) = — \ch(\/2kir) + cos(\FxkT,) + 2J > 0;

/(!)=уСО8(277г) + А;2>0;

¡(к) = (Щ^-2к(^к) + 0 + к2 = 0. ¿j

Вычислим производную функции /(А) в точке А — к. Имеем /'(А)|Л=/, —

к ктт2 — + 3 cos2(\/fc7r)j — 0 при к — к* (см. утверждение 4). При

к > к* имеем /'(А)|а=а. > 0 и, следовательно, 3 А € (к/2, к) : /(А) — 0. Утверждение доказано. На рис. 3.4

показано поведение функции ./'(А) на промежутке (к/2, к) при к — 0.1, к*, 0.2, 0.3 (рис.3) и при к — 2, 3 (рис.4).

Рис. 3

Рис. 4

70

Пикиiviikijh В. JI.7 Холопов А. А.

Два последних утверждения показывают, что в отличие от граничных условий шарнирного опирания или жесткой заделки на концах стержня, в случае свободного верхнего конца первая критическая сила реализуется: при D < 0 и к > к* ; при D = 0 и к = к* ; и при D > 0 и к < к* ( кэк иуд( ПОКйЗ&НО Б дальнейшем).

Утверждение б, В случае граничных условий шарнирного опирания на обоих концах стержня первая критическая сила реализуется при D — 0 для Л — к — n2, п — 1,2,,,,

Доказательство. Уравнение (1.9) имеет корни птт п — 1,2,,.. Утверждение доказано.

Утверждение 7. Если оба конца стержня жестко заделаны, либо нижний конец жестко заделан, а верхний шарнирно закреплен, то первая критическая сила не реализуется при D = 0.

Доказательство. Уравнения (1.10), (1.11) не имеют корней при Л = ку так как sin2(rwr) — (птт)2 < 0, sin(2n7r) — (2птг) < 0. Утверждение доказано.

Реализация 1-й критической силы при D = 0 в случае жесткой заделки нижнего конца стержня и свободного верхнего конца доказана выше в утверждении 4.

Утверждение 8. При D > 0 критические силы реализуются (при фиксированном к ) на следующих промежутках:

1. Для граничных условий а), б) и г) А € [к + (i — 1)2/2, к + г2/2], i — 1,2,,,. (см. табл. 5) ;

2. Для граничных условий в) А 6 [fe + (2г — 1)2/8, к + (2i + l)2/8],i —

В случаях а) - в) наименьшее А соответствует 1-й критической силе, а в случае г) - второй.

Доказательство. Заметим, что во всех рассматриваемых случаях при п = т + % А = к + %2/2. Рассматривая левую часть уравнений (1.13) - (1.16) как функцию /(А), вычислим ее значения на концах указанных промежутков:

а) Пусть % - четное,А — к — г2/2 => п~ — тж + iж

/(А) = (m2 — п2) sin2(m,7r) < 0. Аналогично приА = к + (i — 1)2/2 птт = mir + (i — 1)тг

/(А) — (n2 — т2) sin2(m,7r) > 0. б) При А = к +12/2

/(А) — cos2(m7r) + ysiii2(rrnr) — 1 — sin2(m,7r) ^ 0,

к

при Л — к — ¿2/2

/(Л) = 2k(k + %2!2) sin2(m7r) + (4 (ki2/2) - 2k2) cos2(mTr). - 2k2 > 0 г) При Л = k + (г - 1)2/2

/(Л) = 2k(k + г2/2) sin2(m7r) + (4 (М2/2) - 2/с2) со82(ттг) - 2/г > О

при Л = А; + (г — 1)2/2

/(Л) = — 2k (А; + ¿2/2) sin2(m7r) — (4 {кг2/2) — 2к2) cos2(m7r) — 2/,- О.

Таким образом, при некотором А Е [к + (г — 1)2/2, к + ¿2/2], ¿ = 1,2,,.,, функция /(А) обращается в нуль.

в) Пусть г - нечетное. Тогда при n = тп + (2г — 1)/2 =>• А = А; + (2г — 1)2/8 имеем

2? — 1

/(А) - f(k + (2г - 1)2/8) = m +-- sin2(mTr) > О,

а при и = m + (2г + 1)/2 =>- А = к + (2г + 1)2/8

2? + 1

/(А) - f(k + (2г + 1)2/8) = -га--^sin2(m7r) < 0.

Li

При четном / имеем

2? — 1

/(А) - f(k + (2г - 1)2/8) - -га--^ sin2(mTr) < О,

и

о; I

/(А) = /(Аг + (2г + 1)2/8) = m^— sin2(m7r) > 0.

ы

Следовательно, при некотором А Е [А: + (2i —1)2/8? А; + (2г + 1)2/8], г = 1, 2, 3,,,,, функция /(А) обращается в нуль.Утверждение доказано.

3. Поведение критических сил в зависимости от жесткости среды

В заключение, докажем утверждения о поведении критических сил при изменении жесткости среды к. То есть найдем асимптотические зависимости А (А:).

Утверждение 9, В случае граничных условий а) функции А^ ¡¡р

.(к)

не имеют предела и их графики заключены между прямыми А;+(г—1)2/2 кк + г2/2, ¿ = 1,2,,,,,

72

Пикиiviikijh В. JT.7 Холопов A. A,

Доказательство. Так как все корни уравнения, следующего из (1.13)

sin(m7r) sin(mr) — О, принадлежат промежуткам [к + (i — 1)2/2, к + г2/2], и при A¿ — т'+п2 —

2т,-+2тг+г2 ^ д. _ тп _ то кривая A(¿) fep.(^) КаСавТСЯ ПрЯМОЙ А =

fe + y в бесконечном числе точек |m(m + г), 2"'2'2"" '''' j и, аналогично, касается прямой А — к + точках

, , . 2т2 + 2т{г — 1) + (г — I)2 ш(ш + г — 1), --——----—

Li

при т — 0,1, 2,... , и поэтому не имеет предела. Утверждение доказано. Зависимости для граничных условий а) приведены нэ, рис. D»

Утверждение 10. В случае граничных условий б) (жесткая заделка на обоих концах) зависимости \^кр.(к) hA(¿+i)kP.(k) i — 1,3,5,... стремятся к линейной, то есть:

и + 1)2 и + 1)2 \'i) кр.(,к) ^-^к Л----, Х(г+1) кр{к) ^^к Л----, ¿ = 1,3,5,....

к—>оо к—>оо

Доказательство. Обозначим левую часть уравнения (1.14) через

/(А)

/(А) = cos(rmr) cos(mr) + — sin(m,7r) sin(mr) — 1,

К

и вычислим ее значения в точках (напомним, что при п — т + i Xi — к + i2/2 ):

tfi , %2\ 2/ ч к + г2/2 .2 / ( ^ + "2' J — ~ cos \т7Т)--j,-sm (mir) — 1 < 0,

= cos2 (штг) + + 1)2/2 sin2 (штг) - 1 > О

-»•0 при к—>оо

Найдем приращение функции

Л, о 2/ \ , Т ((г + I)2 + г2)/2 . 2

АД = 2 cos' (mir) Н-----1-— sin (ггаг) > 0

—2 при k^toQ

и аргумента Д^ — ((г + I)2 — г2)/2. Приближение к корню по методу хорд запишется в виде

Аг; = А: +

+ 1)

2 ^

ДД

>2

1 , а+1)5

Аналогично рассматривается случай приближения К КОрНЮ Аг;-|-1. Утверждение доказано.

Зависимости для граничных условий б) приведены на рис. 6.

1 ♦

Рис. 5. Случай а)

2 4

Рис. 6. Случай 61

Утверждение 11. В случае граничных условий в) ( внизу - жесткая

заделка7 вверху - шарнирное опирание) зависимостиЛ^ кр.(^) стремятся

'2

к линейной функции А — к + при ¿ = 1,2,----

Доказательство. Зафиксируем % , Все корни А; уравнения (1.15)

./'(А) = щ, соъ^ггпт) 8ш(птг) — п^ифптт) соз(птг) = О

74

Никитеиков В, Л., Холопов А. А.

принадлежат промежутку [А; + (2г — 1)2/8, к + (2г + 1)2/8] (см. Утверждение 8). Рассмотрим отдельно корни А,Р £ [А- + (2г — 1)2/8, к + г2/2] и Лг(2) е [А- + 0/2, к + (2/ + 1)2/8] (см. рис. 7),

Рис. 7. Расположение корней на соседних промежутках и покажем, что

■2

Ага) (к), А,[25(к) -»■ к + 1— при к ос.

Рассмотрим сначала корни А^. Еще раз напомним, что

. , (2г — I)2 (2/ — 1)

А = к Н--т—— при п — т + -—--,

8 2

Л 7 (2г — I)2 (2г-1)

А = к Н----при п — т + -—--,

8 2

/ (21 — I)2 \ (2г — 1) . 2 .

/ ( А; + -—\ = т + -—-—- вт (тж) > О,

тогда.

• I ■ I 27-1 . 2 —г вш гптт сое тптт — пг---— зш ппг < О

, Р , {21 — I)2 4г — 1 Д1 = *+2-*- 8" = —' Из уравнения хорды, проходящей через точку

{к + {2% - 1)2/8, /(А- + (21 - 1)2/8))

Устойчивость гибкого стержня в упругой среде с угловым коэффициентом ^^ найдем приближение к корню

д(1> _ 7 | |

П1 + 81Г ?ШГ

гп + " вш2 Ш7Г + г 1 яхп туш соб тж\

Выражение в квадратных скобках, стремится к 1 при А" —У оо (потому, что т растет, как. \/к ). Тогда

Л

(1)

1г - 4г + 1 4г - 1 к +---+ ——

= А- + —.

Х(2) к +

1 г + 1/ + 1 1/ | 1

Утверждение доказано. Кривые показаны на рис. 8.

2 4

Рис. 8. Случай в)

к Рис. 9. Случай г): первая кр. сила

76

Никитенков В. Л.7 Холопов А. А,

Утверждение 12» В случае граничных условий г):

1, Зависимости соседних критических сил А^ кР.(к), кр.(к) стре-

• 2

мятся при к —У оо к линейной функции А — к + у, при { — 2,4,____

2-А(1) кр.(к) ~~^ | ПРИ к ^ оо.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай первой критической силы. Напомним, что она реализуется при О < 0 , как единственный корень уравнения (1.8)

/(А) - 2 (к2 - А2)У02(тг) + к(к - А )У12(тг) - к {к + А)У22(тг) - 2А2У32(тг) - О

где I (/I — 0,1,2,3) вычисляются по таблице 2 при Л) 0 В ТОЧКО 7Т «• Вычислим значения функции /(А) (см. рис. 9): в точке А = к/2

/

к\ Як2 к2 к2 Як2

Х = ^ И + у*?От) - у^ И - ^ И > 07

и в точке А — 0

/ (0) = 2к%2(п) + к%2(1г) - *2У22(7г) > 0. Вычислим приращение

А/ = ¡(к/2) - /(0) = -у (У02 + У2 + У2 + У32) = -усМ2/Зтг). Определим тангенс угла наклона, хорды (см. рис. 9):

1да

А/ _ к2/2

ТкЩ ~ ~к/2

ск{2р1т) = —к - сЛ(2/?7г).

Найдем точку пересечения хорды с осью абсцисс (приближенное значе-ние ) -

1да - А + /(0) = 0 А

/(0) _ 2к2У2(тх) + к%2(тт) - к2У2{-к) Ьда

~к ■ сЛ(2/Зтг)

к

1 +

1 + 2С082(77Г)

сЬ,{2рж)

—

Таким образом,~ А —>■ | при к -Л оо. Второй пункт доказан. Переходим к доказательству первого пункта. Поведение функции /(А) на промежутке [к + , к + ^уЦ показано на рис. 10.

Рис. 10.

Вычислим приращение функции

•2 4

А/ = / Аг +

г

2к [2к + — +

-/(* + (¿-I)2

I)5

+ 4

,;2 \ 2

к +

+ к +

(г - 1)

2 \ 2'

БНГ 7П7Г+

4к2 > С082 Ш7Г,

и приращение аргумента

А1=-

(¿-I)2 _ (2г — 1)

Тангенс угла наклона хорды, проходящей через точки М]_ и Л/ равен *9<* =

Уравнение хорды, проходящей через две указанные точки

У-/[к+

АД А,

Л

Хорда пересекает ось абсцисс при у = 0 в точке ;

АД Д1

А;

к

Откуда

А.л

к

А! - к +

>2'

1 -

Г [к

А,

АЛ А; +

78

HiiKiiTciiKois В. Л., Холопов А. А,

Числитель иодчерлиутого выражения в квадратных О ко бк^х стремится к нулю, а знаменатель к единице, при к —У ос. Таким образом, имеем

\(кР) = Um К = к + —.

k-> ос Z

-о

Аналогично доказывается, что A?;+i^„) — lim Аг_м — . Утверждение доказано.

На рис. 11 показаны зависимости Х^щ(к), i = 1.2,----

Рис. И . Случай г).

Покажем, наконец, что при к < к*, к —)- 0, ХцкР) —>- | — 0.125.

?и, —У 0, п —У v/2A .при Ат —0 и /(А) —cos ( \/2Хтг) Тогда Хцкр^

будет стремится к решению уравнения cos (^\/2Хтт^ — 0, рентая которое, находим А = | = 0.125. Поведение Ац^) показано на рис. 12.

Рис. 12 Поведение первой критической силы вблизи нуля

5» Сравнение параметров критических сил в случае отсутствия упругой среды

Если к = 0 (упругая среда отсутствует), полученные зависимости дают значения Л, совпадающие с приведенными в [3] для всех рассмотренных граничных условий.

Литература

1. Михайловский Е. И. Элементы конструктивно-нелинейной механики/ Е.И. Михайловский. - Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2011. -212 с.

2. Холопов А. А. Минимальные формы потери устойчивости стержня на границе жесткой упругой сред // Вести,. Сыктые-карск. ун-та. Сер. L - 1995. - Вып. 1. - С. 217 - 233.

3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем/ А.С. Вольмир. - М.: Наука, 1967- - 984 с.

Summary

Nikitenkov V. L.? Kholopov A. A. Stability of a flexible core in

In a- problem about longitudinal compression by vertical force in the elastic

environment of a flexible core, under various boundary conditions conditions of realization of the first and the subsequent critical forccs are received. Asymptotic dependences of the parameter characterizing critical force, on rigidity, comprehensive a core, are

deduced eixv uronmexits» Keywords: core, rigidity оj environment, critical forces, boundary conditions, hinge fastening, rigid seal, free edge.

Сыктывкарский государственный университет Поступила 20-12-2012