CC BY
15Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.18.2013
УДК 539.3
УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ: (ФОРМЫ УПРУГОЙ ЛИНИИ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ)
В.Л. Никитенков, A.A. Холопов
На, основании [1],[2],[4] в работе получены формы упругой линии стержня, как для однородной среды, так и для неоднородной (в случае двух участков знакопостоянства упругой линии). Для однородной среды, исследован вопрос о числе участков смены знака прогиба, как функции параметра жесткости среды. Изложен алгоритм решения задачи об устойчивости стержня в неоднородной упругой среде при произвольном числе участков знакопостоянства упругой линии стержня.
Рассмотрим вертикально расположенный стержень, помещенный в упругую среду, которая является либо однородной вокруг стержня (параметр жесткости - к ), либо ее параметры жесткости имеют различные значения ( к\, к2) по обеим сторонам от стержня. Закрепление концов определяется граничными условиями: симметричными (жесткое закрепление или шарнирное опирание) или несимметричными (жесткое закрепление и шарнир, жесткий заделка и свободный край). На верхний конец стержня действует вертикальная сжимающая сила, характеризующаяся параметром А,
1. Формы упругой линии стержня в однородной упругой среде
Ниже представлены формы упругой линии стержня длины п при различных значениях параметра жесткости среды для четырех видов граничных условий:
© В.Л. Никитенков, A.A. Холопов, 2013.
а) Шарнирное оппранпе
б) Жесткая заделка
i .v " i д )
1
б) жесткая задетка и шарнирное оппранпе
г) Жесткая заделка и свободный кран
Рис, 1
В зависимости от симметричности (или несимметричности) граничных условий, таковыми свойствами обладают и формы упругой .пинии
стержня. Из рисунка также видно, что при увеличении коэффициента жесткости среды, увеличивается число участков знакопоетоянетва прогиба,
2. Участки постоянства знака упругой линии стержня в зависимости от жесткости объемлющей среды
Ниже получены интервалы изменения параметров m , n (см, (1.2) в [2] ) и жесткости однородной среды k , при которых упругая линия m — 1 раз обращается в нуль. Уравнение упругой линии имеет вид
w(x) = Ci sin nx + C2 sin mx + C3 cos nx + C4 cos mx
Граничные условия жесткой заделки и смешанные граничные условия при x = 0 даю т C4 = — C3 и С2 = — m Ci .В случае шарнирного
опирания при x = 0 имеем С3 = C4 = 0 . Пусть первая критическая
(1)2
сила Ацст) связана с жесткостью среды зависимостями: A1(cr) = k + ^у-(см. [2]: Рис. 5 - граничные условия шарнирного опирания и Рис. 8 -смешанные граничные условия и Рис 6 - жесткая заделка). Из соотношений A1(cr) = m2 + n2, k = m • n получим:
n = m +1,k = m • n - для шарнирного опирания и смешанных граничных условий
n = m + 2,k = m • n - для граничных условий жесткой заделки.
m
1, 2, 3,... Тогда, используя граничное условие w(n) = 0 , находим:
w(n) = C1
. , m + 2 . ' sin(m + 2)п--sin mn
m
+ C3 [cos(m + 2)n — cos mn] = 0
C3
lim
x
sin(m + 2)x — sin mx
\ 1 / m
(неопределенность).
cos(m + 2)x — cos mx
Применяя два раза правило Лопитапя, получаем для граничных условий жесткой заделки = 0 .
При смешанных граничных условиях
w(n) = C1
• í i n m + 1 • sin(m + 1)n--sin mn
m
+ C3 [cos(m + 1)n — cos mn] = 0,
_ sin(m + 1)п — sin mn
Сз = 1 ( +)1) m-= 0.
cos(m + 1)n — cos mn В случае шарнирного опирания
w(n) = C1 sin(m + 1)n + C2 sin mn = 0,
C2 = - C lim
sin(m + 1)x
x^n sin mx
По правилу Лоииталя получаем
C2 = — C1"
m +1
m
Окончательно, вид упругих .пиний стержня при различных граничных условиях приведен в Таблице 1.
Таблица 1
Граничные условия Форма упругой линии
а) Жесткая заделка IH+ i ir(.v) = C1 -[sm(íH+ 2).v--síiihiy] m
б) Смешанные граничные условия = Gí • [sin(íjí + l).v -—+- sin hív] m
в) Шарнирное опнрание w(jc) = d-[sin(íji+ l)x + sin hay] di
Запишем уравнения w(x) = 0 в виде
w1(x) = w2(x),
где
w1(x) = sin(m + 2)x ми w1(x) = sin(m + 1)x w2(x) = mJ2 sin mx или w2(x) = ± mJ1 sin mx
Графики w^x) и w2(x) приведены на Рис. 2- 4,
Рис. 2
б) Смешанные граничные условия
ш = 4, п 5, к = 20 гп 5, п = 6 к = 30
Рис. 3
е,) Шарнирное опирание
Рис. 4
Нули упругой линии соответствуют точкам пересечения и>1(ж) и и>2(ж) .
Утверждение 13. Уравнения с левой частью из таблицы 1 имеют т — I корней на интервале (0, п) Доказательство
Жесткая заделка
При нечетном т , функции и>1,и>2 - четные относительно точки х = 2. Возьмем для каждой из функций шаг, равный четверти периода
1
2п
п
п
4 т + 2 2(т + 2) Функция и^(х) на промежутках
2 2т
пп 12' п +
пп
1.2+2^1, 2+4^1
пп
!_ 2 + (т + 2 - 5)^1, ^ + (т + 2 - 3)^
(всего т-— промежутков ) монотонно убывает (возрастает) и принимает все значения на [-1,1] .Напротив, функция и2(х) на промежутках
пп 2' 2 2
пп
пп !_ 2 + (т - 3)^2, ^ + (т - 1)^2
монотонно возрастает (убывает) и принимает все значения на [-т^2, ^т2] Таким образом, на пересечении промежутков
пп 2 -2+2Л1
п
пп 1.2' 2 2
пп 2 + (т - 3)йь 2 + (т - 1)^1
П
пп 1_2 + (т - 3)^2, 2 + (т - 1)^2
т— 1
имеется то одному корню уравнения а) (Табл. 1), т.е. т— корней на
2, п) . В силу четности функций и, и2 отпосительно х = 2, уравнение а) имеет на (0,п) т - 1 корней.
Если - т четное, то функции и, и2 - нечетные относительно точки х = 2,- В пересечении промежутков
пп 2 + ^ 2 + 3^1
п
пп 1_2 + , 2 + 3^2
п п п п
1_2 + (т - 3)^1, 2 + (т - 1)^1 П 2 + (т - 3)^, 2 + (т - 1)^2
уравнение а) имеет т-— корней, принадлежащих промежутку (|, п) . Тогда, с учетом корпя х = 2, , уравнение а) имеет (т - 1) корней на (0,п) . '
Смешанные граничные у словим
Для любого га на промежутке (0,п) уравнение б) (табл. 1) имеет по одному корню в каждом из пересечений
[3^1, 5^] П [3^2, 5й2] ,...
[{2(га +1) - 3} ¡ц, {2(га +1) - 1} ¡1]П[{2(га +1) - 3} ¡2, {2(га +1) - 1} ¡2]
(всего (га - 1) пересечений), т.е. имеет (га - 1) корней на (0,п) , Шарнирное опирание
Корпи уравнения в) (табл. 1) располагаются по одному в каждом из пересечений
[¡1, 3^] П [¡2, 3^2] ,... [{2(га +1) - 5} ¡1, {2(га +1) - 3} ¡1]П[{2(га +1) - 5} ¡2, {2(га +1) - 3} ¡2]
. Пересечений отрезков всего га - 1 . Таким образом, на (0,п) урав-га - 1
Утверж.дел ше доказал ю.
Окончательно получаем таблицу зависимостей числа корней уравнения = 0 от жесткости среды к .
Таблица 2
Граничные условия т а к Корни м■(.*) = 0
Жесткая заделка Шарнирное опирание и смешанные граничные условия 1 3 3 0
9 4 8 1
3 5 15 9
4 6 24 з
1 9 0
9 3 б 1
3 4 12 9
4 5 20 3
3. Упругая линия стержня в неоднородной среде (случай двух участков знакопостоянства прогиба)
Рассмотрим два участка перемены знака прогиба при жесткой задел,ке обоих концов стержня. Направления изменения переменных показано на Рис. 5.
Рис, 5
На первом участке прогиб положительный w+ = wj , а на втором отрицательный w- = w2. Запишем выражения для прогибов и граничные условия дня каждого из участков: Первый участок:
wi(x) = Cj sin nx + C2 sin mx + C3 cos nx + C4 cos mx
m
A -J A2 - k2, n =\ A + л/ A2 - k2
Граничные условия при x = 0 w1(0) = 0 ^ C3 + C4 = 0 ^ C4 = — C3
w1 (0) = 0 ^ nCi + mC2 = 0 ^ C2 =--Ci
m
Выражение дня прогиба па нервом участке запишется в виде:
w1 (x) = Ci (sin nx--sin mx) + C3 (cos nx — cos mx)
m
Второй участок:
w2(y) = C5shey sin Yy + C6shey cos Yy + C7chey sin Yy + Cgch^y cos Yy = C5 Yi (y) + CeY2(y) + C7Y3 (y) + C8Y4(y)
в = ^, Y
k + A
2
-, y = n — x
Граничные условия при y = 0 (x = n) : w2(0) = 0 ^ C8 = 0, w2(0) = 0 ^ вСб + YC7 = 0 ^ C7 = -вСб.
2Y
Имеем выражение для прогиба на втором участке:
и2(у) = ОДЫ + Сб ( П(у) - вП(у) ) .
7
Из условий сопряжения в точке ¿о (равенство нулю прогибов и1(^о)
и и2(уо))
получим
Сз = -В1С1 В
вт пг0 - т вт тг0 Ч сое пг0 - сое тг0 )
С5 — - В2С6
п ПЫ - вУз(»0)'
В2 = -
*1Ы
Из условия и (¿0) = -и2 (у0) имеем
С6 = ^0С1
^0
п(сов пг0 - сое тг0) + В1 (п вт пг0 - т вт тг0)
72+в2 7
ИЫ+ В [в^з(У0)+ 7^Ы]
Условия и'/(^0) = и2'(у0) и и/1"(г0) = - и2"(у0) дают два уравнения относительно Асг : и ¿0
'п(-пет пг0 + твттг0) + В1(п2 вт пг0 - т2 вттг0) +
В ((в2 - 72Ж1М + 2в7ПЫ) +1 + (т2 + в2) (>ЪЫ + вУз(иО
+А)
0
п(-п2 сов пг0 + т2 сов тг0) + В1(-пз вт пг0 + тз вт тг0) +
+А)
^ ((72 - в2)ПМ - 2в7^4(у0)) -
-В2 (7(3в2 - + в(в2 - 372ЖзМ)
0
Отыскивая Асг и ¿0 из полученной системы, формы упругой линии стержня на участках находим из соотношений:
п
и1 (х) = С1 вт пх--вт тх - В1 (сов пх - сов тх)
т
и>2(у) =
-ВД(у) + У2(у) - вУз(у)
7
Формы упругой линии показаны на Рис, 6,
1
Рис, 6
Дня шарнирного онирания обоих кондов стержня (см. Рис, 7)
Рис, 7
в случае двух участков перемены знака прогиба имеют место соотношения (выкладки проводятся аналогично случаю жесткой заделки):
Сд — Сз — 0, Ся — С5
0
С2 — — ВС1
С7 — — В2С6
бш пг о Бт тг о
— У2Ы ^э(уо)
С _ ПС [ П _ п соб пго-Б^т соб тг о_\
С6 — П°С 1П° — (т+£2в)ПЫ-(в+£2т)^4(уо)
—и2 вт иг° + В1т2 вт тг°+
+П° [(72 — в2 + В22в7)^(у°) + (2^7 + В2(в2 — 72))*з(уо)] — 0 —и3 сов иг° + В1т3 сов тг° —
(7(3в2 — 72) + В2в(в2 — 372)) У1(у°) — — (в(372 — в2) + В27(3в2 — 72)) ПЫ
^1(ж) — С1 [вт их — В1 вт тх] , ^(у) — П°С1 [^(у) — ЗД(у)].
Формы упругой линии приведены па Рис, 8
Рис, 8
0
Дня несимметричных (смешанных) граничных условий "шарнирное онирание - жесткая заделка" (см. Рис, 9)
Рис, 9
имеют место соотношения (преобразования аналогичны предыдущим случаям):
С4 = Сз = ОС« = 0С7 = —Сб
7
С2 = -В1С1 В
вт
вт тг0
п^0 ^
, ^Ы - ?Уз(У0)'
ГУ _ иг1 в __^
С5 = -В2С6 I В2 = -——---
С6 = ^0С1 ^0 = Т2+в2
п сов пг0 - В1т сов тг0
^Т2У1Ы + В [в^М + 7^Ы]
' - п2 вт пг0 + В1т2 вт тг0+
В2(в2 - 7221Ы + В22в7)ПЫ+' + (72 + в2) ^2(У0) + вЖУ0)
+А)
- пз сов пг0 + В1тз сов тг0+
+А)
^ ((72 - №Ы - 2в7^4(у0)) - -
В (7(3в2 - 72)^М + в (в2 - 372Жз(У0))
и1(х) = С1 [вт пх - В1 вт тх] ,
и>2(у) =
-ВД(у) + У2(у) - вУз(у)
7
0
0
Результаты расчета форм прогиба для различных значений к2 приведены на Рис, 10,
Рис. 10
Определим формы потери устойчивости стержня в разномодулыюй среде дня граничных условий жесткой заделки и свободного края, при условии, что жесткость второй среды к2 ^ то.
В первую очередь рассмотрим второй участок (см. Рис. 11):
Рис. 11
и2(х) = С1У21 (х) + С2У22 (х) + Сз^2з (х) + С4^24 (х) = = С15^(в2х) в1п(72х) + С25^(в2х) сов(72х) + + СзсЛ,(в2х) в1п(72х) + С4с^(в2х) сов(72х).
Граничные условия при х = 0 :
Ш2(0) = 0, ^ С4 = 0,
w2(0) = 0, ^ в2С2 + 72С3 = 0 ^ Сз = -1С2
Таким образом, получаем
W2(x) = С:У21(Х) + С2(^22(Х) - ^ ^2з(х))
72
-В2
Аналогично для первого участка
Wl(y) = СбУц(у) + СеУ12(у) + С7^1з(у) + С8У14(у) = С5зЛ,(в1у) Й1п(71у) + Сб5^(в1у) сов(71у)+ + Стс^(в1у) эт^х) + С8С^(^1у) сов(71у)
Граничные условия при у = 0 (х = п — у = п) :
w/1//(0) + 2Aw/1 (0) = 0 w/1/(0) = 0
Дифференцируем w1(y)
wi(у) = С5 (в1^1з + 71^12) + Сб (в1^14 — 71*л) + + С7 (в1^11 + 71У14) + С8 (в1^12 — 71^13) .
Тогда
wi (0) = Сбв1 + С7 71
wi1(y) = С5 [в1 (№ + 71^14)+ 71 (№ — 71*л)] + + Се [в1 (^1^12 — 71^13) — 71 (№з + 71^12)] + + С7 [в (вЛз + 71^12) + 71 (№ — 71ВД +
+ С8 [в1 (№ — 71^11) — 71 (в1^11 — 71^14)].
Отсюда получаем, что
wi1(0) = 2^171 С5 + (А2 — т2) С8 = 0 ^ С8 = С5
.71 в1
А1
<(0) + 2АЦ(0) = Сб (в1 - 712)- 71 (2в171) + 2АвО + + С7 (в1 (2в1Т1) + 71 (в22 - 72) + 2А7^ = 0
Сб (-в1 (72 + в2)) + С7 (71 (72 + в!)) =0 ^ С7 = ^Сб
71
Учитывая (2,6) и (2,7), получим
«Л(у) = С5 (Уц (у) + А1У14(у)) + Сб (Уц(у) + ^ Уз(у)).
В1
Введем функцию А2 = 0 , и учитывая равенства
А = 2в1^1 В = в1 В = в2
А1 = ""2-Ту! ' В1 = —' В2 = —
7- - вl2 71 72
получим, что прогибы на обоих участках запишутся в одинаковом виде,
^(у) = С5 (Уп(у) + А1У14Ы) + Сб (Уц(у) + В У1з(у)),
и2(х) = С1 (У21(х) + А2У24(х)) + С2(У22(х)+ В2У2з (х)).
Условия сопряжения в точке ¿0 (равенство нулю прогибов и1(у0) и
^2(^0) ).
1)и1(у0) = С5 (УИ(У0) + А1У14(У0)) + Сб (У12М + В У1з(у0)) = 0,
где
г п Г п У11Ы+ А1У14(У0) Уц(У0) + В1У1з (У0)
2)^0) = С1 (Уц(^0) + А2У24Ы) + С2(У22(г0) + В2У2з(г0)) = 0, где
^ _ п _ У21Ы + А2У24Ы
С2 = ^С^ = У22(г0)+ В2У2з(¿0) .
Тогда
и (у) = С5 (У11 (у) + А1У14(у) - (У12(у) + В У1з(у))), и2(х) = С1 (У21 (х) + А2У24(х) - ^2 (У22(х)+ В2У2з(х))) .
Дифференцированием w1(y) и w2(x) , находим выражения для производных w(fc)(y) и w2fc)(x) (к = 1, 2, 3) в точках го и уо = п — го.
Wi(Уо) = С5[^1^1з(Уо) + 7Л2(Уо) + А (АЫУо) — тЛзЫ) -— (в1^14(Уо) — 71^11 (Уо) + £ (^11 (уо) + 71^14 (уо)))]
(71 + ДА) Муо) + (А — А171) ^1з(уо) — —((—71 + В^) Уц(Уо) + (£171 + А) Ыуо))
= С5
Аналогично
w2 (¿о) = С1
(72 + Л2&) Ы^о) + (в2 — А272) У2з(^о) — — ^2 (( — 72 + В2в2) Ы^о) + (£272 + А) Ы^))
3) Из условия w/l(уо) = — w2(го) получаем С5 = —ПоС1, где
^ = (72 + ^2^2) У22(^о) + (в2 — А272) У2з(*0)-112 о = (71 + ^1^1) У12(уо) + (^1 — А171) УзЫ-Щ ,
^ = | (—71 + ВД) Уц(уо) + (£171 + А).Ум(уо)
ч- ' ( V—
VI «1
^2 «2
^ 1
й-2 = ^2 | (—72 + ад) УлЫ + (£272 + в2) Ы*о)
wi1(yо) = ¿1 (в1У14 — 71^11)+ «1 (в У11 + 71^14) —
— (^1 (в1У1з + 71^12) + (в1У12 — 7Лз)) = («1^1 — ¿171) У11 + («171 + М1) У14 —
Т1 и1
— | + У171) У12 + ( — 8171 + «1^) У1з
у ( V у
И 51
Аналогично
ws! (^о) = («2^2 — ¿272) ^21 + («272 + ¿2^2 ) У24 —
4-V--' 4-V-'
Т2 Щ
- ^2 | (^2 + У272) У22 + (—72 Т^в) Угз
У2 $2
4) Из условия и>'/(у0) = и2'(^0) имеем первое уравнение относительно Асг и ¿0:
Т2У21 + и2У24 - В2 (^Уц + Жз) + +Д, (Т1У11 + ^1У14 - (У1Уц + ВДз)) = 0
5М"Ы = (Т171 + ив1) У12 + (ЗД - ^171) У1з-
VII
$11
-
(ЗД - ^171) У11 + (^171 + ВД У14
тп
ип
Аналогично
< = (Т272 + Ц^) У22 + (Т2в2 - ^272) У2з-
V22
—ч/—
- #2
(ЗД - ^272) Уц + (£272 + ^2) У24
Т22
и22
Из условия и/1"(у0) = -и2'/(г0) находим второе уравнение относительно Асг и ¿0 :
^22У22 + 5<22У2з - #2 (Т22У21 + и22У24) -
(УцУц + £пУ1з - (Т11У11 + ипУ14)) = 0
Определяя Асг и ¿0 из полученной системы двух уравнений , формы прогиба получим из соотношений: Второй участок:
и2(х) = С1 [У21(х) + А2У24(х) - #2 (У22(х) + ВУ2з(х))]
Первый участок:
и1(у) = -ДА [Уп(у) + А1У14(у) - (Уц(у) + адз(у))]
Результаты приведены на Рис, 12
Рис. 12
4. Алгоритм решения задачи устойчивости стержня в неоднородной среде для произвольного числа участков знакопосто-янства прогиба
В одномодульной среде при потере устойчивости имеется п участков таких, что прогибы па соседних участках имеют разные знаки. При чет-пом прогибы па крайних участках имеют разные знаки, а при нечетных - одинаковые (см. рис. 13).
Рис. 13
Рассмотрим задачу о нахождении точек сопряжения (перехода)
(г1,г2, ...,гга-1) и параметра критичеекой силы Асг в случае п участков перемены знака прогиба. Граничные значения коэффициента жесткости среды приведены в Таблице 2, Всего неизвестных при записи общего решения получается 4п + п = 5п (по четыре произвольных постоянных на каждом участке, плюс параметры, которые описаны выше: п - 1 точек перехода и Асг ),
Условия, связывающие эти неизвестных:
1, 4 граничных условия (по два на каждом из двух крайних участков);
2, 5 условий сопряжения на границе каждого из (п - 1) участков,
•к (^) = 0, ) = 0, •к) = •)(со знаком),
) = •к+1 ), • (¿к) = )(со этаком).
Всего условий: 5(п - 1) + 4 = 5п - 1. Таким образом, одно из неиз-
С1
п
На первом участке:С1 (Ь1 (¿1, ...,гга-1, Асг)) = 0.
На втором участке:С1 (Ь2 (¿1, ...,гга-1, Асг)) = 0.
На -м участке:^! (Ln (zi,..., zn-i, Acr)) = 0.
Полагая условно C1 = 1 , получим систему нелинейных уравнений
Li (zi,... , zn— 1, Acr ) = 0, L2 (zi,... , zn— i , Acr ) = 0,
1
(zi,... , zn- i , Acr
)=0
для определения точек сопряжения (¿1, ¿2,..., ¿п-1) и параметра критической силы Асг ,
Литература
1, Никитенков В.Л., Жидкова O.A., Шехурдина Е.С, Границы нахождения критической силы для разномодульной среды// Вестн, Сыктывкарек, ун-та. Сер, 1, - 2012, - Вып. 15, - С, 127 - 136,
2. Никитенков В,Л,, Холопов А.А. Устойчивость гибкого стержня в упругой среде// Вестн, Сыктывкарек, ун-та. Сер, 1, - 2012, - Вып. 16. - С. 60 - 79.
3. Михайловский, Е.И. Элементы конструктивно-нелинейной механики/ Е.И. Михайловский. - Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2011. -212 с.
4. Холопов А.А. Минимальные формы потери устойчивости стержня на границе жесткой упругой сред // Вестн. Сыктывкарек. ун-та. Сер. 1. - 1995. - Вып. 1. - С. 217 - 233.
5. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем/ А.С. Воль-мир. - М,: Наука, 1967. - 984 с.
Summary
V. Nikitenkov, A. Kholopov A stability of a flexible beam: (the critical forms in a non-uniform environment)
Based on [l],[2],[4]we investigate the critical forms and the number (N) of sign-changing of a beam placed to a flexible environment both for the case of uniform environment and for the case of non-uniform environment when the rigidies on two sides differ. In the uniform case we investigate N in regard to the rigidity parameter. In the non-uniform case and for any N we offer the algorithm for finding the exact critical form.
Сыктывкарский университет, Поступила 31.10.2013
