CC BY
52
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В. Ю. АНДРЮКОВА, В. Н. ТАРАСОВ
Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар veran@list.ru, vntarasov@dm.komisc.ru
Аналитически решена задача устойчивости сжимаемых продольной силой стержней, находящихся в упругой среде, прогибы которых с одной стороны ограничены жестким препятствием. Исследовано влияние граничных условий на величину критической силы. Также рассмотрена задача устойчивости кольца, нагруженного нормальным давлением и подкрепленного упругими нитями.
Ключевые слова: стержень, кольцо, одностороннее подкрепление, упругие нити, критическая сила, вариационная задача
V. YU. ANDRYUKOVA, V. N. TARASOV. ANALYTIC SOLUTION OF PROBLEMS OF STABILITY OF ELASTIC SYSTEMS AT UNILATERAL CONSTRAINTS ON DISPLACEMENTS
The problem of stability of rods located in the elastic medium and compressed by longitudinal force, deflections of which are limited with rigid obstacle on one end is analytically solved. The influence of boundary conditions on the value of critical force is investigated. The problem of stability of the ring loaded by normal pressure and reinforced with elastic threads is considered.
Keywords: rod, ring, unilateral reinforcements, elastic threads, critical force, variational problem
Введение
Решение классических задач на устойчивость упругих систем приводит к проблеме на собственные значения линейных операторов. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих систем при наличии односторонних ограничений на перемещения сводятся к нахождению и исследованию точек бифуркации нелинеаризируемых уравнений или к определению параметров, при которых вариационные задачи с ограничениями на искомые функции в виде неравенств имеют не единственное решение. В отличие от классических задач на устойчивость, при наличии односторонних связей необходимо находить точки бифуркации решения задач оптимизации, в которых имеются ограничения в виде неравенств.
В работе получены новые результаты в области устойчивости упругих систем с односторонним подкреплением. Аналитически решена проблема устойчивости сжимаемых продольной силой стержней, находящихся в упругой среде, прогибы которых с одной стороны ограничены жестким препятствием. Исследовано влияние граничных условий на величину критической силы. Также рассмотрена задача устойчивости кольца, нагруженного нормаль-
ным давлением и подкрепленного упругими нитями.
1. Устойчивость сжимаемых продольной силой стержней при односторонних ограничениях на перемещения
Пусть стержень длины I, находящийся в упругой среде с жесткостью C, нагружен продольной силой P. Обозначим через D - жесткость стержня при изгибе. Введем в рассмотрение функционал
1 Ге
J(w) = ö (Dw''2 + Cw2 - Pw'2)dx. (1)
2 J 0
Предположим, что прогиб стержня w с одной стороны ограничен жестким препятствием так, что
w(x) > 0, x e [0,1]. (2)
Расчет на устойчивость стержня сводится к нахождению минимальной силы P, при которой вариационная задача
J(w) ^ min (3)
w
при ограничении (2) имеет нетривиальное решение. В работе рассмотрено три вида граничных условий: • граничные условия жесткой заделки:
w(0) = w(l) = 0, w'(0) = w'(1) = 0. (4)
• Граничные условия шарнирного опирания:
ш(0) = ш(1) = 0, ш''(0) = ш''(1) = 0. (5)
• Граничные условия жесткой заделки при х = 0 с граничными условиями свободного края при х =
I:
w(0) = 0, w' (0) = 0, w''(l) = 0, w'' '(I) + Pw' (I)
(6)
0.
1.1. Устойчивость стержня при односторонних ограничениях на перемещения с граничными условиями жесткой заделки
Очевидно, что определение критической силы сводится к задаче изопериметрического типа:
1
¡■I
J(w) = - (Dw''2 + Cw2)dx ^ min (7) 2 . In
при ограничении
Mw) = H
y2dx
1
(8)
и выполнении условий (2) и (4).
Решение экстремальной проблемы (7), (8) при ограничениях (2), (4) существует [1], ибо множество функций ш е Ж22[0,1], удовлетворяющих (2) и (8), является слабым компактом, а функционал .!(ш), в этом случае, - выпуклым. Известно, что непрерывный выпуклый функционал достигает своего минимума на любом слабо компактном множестве. Здесь Ж2[0,1]— пространство функций Л.С. Соболева, имеющих на [0,1] обобщенные суммируемые с квадратом первую и вторую производные (первая производная абсолютно непрерывна) и удовлетворяющих условию (2).
Решение задачи (7), (8), (2), (4) можно искать среди функций строго положительных на интервале (0,11), 0 < 11 < I и тождественно равных нулю вне этого интервала [1]. Так как ш > 0 при х е (0,11), то прогиб удовлетворяет уравнению Эйлера на этом интервале
wIV + uw + p2w' '
0,
(9)
где ш = С/Б, р2 = Х/Б, X - множитель Лагран-жа для ограничения изопериметрического типа (8). В этом случае (9) является уравнением равновесия сжимаемого продольной силой стержня, находящегося в упругой среде. Заметим также, что (9) совпадает с уравнением равновесия цилиндрической оболочки сжимаемой продольной силой в осесиммет-ричном случае.
Можно показать, что для существования нетривиального решения уравнения (9) при граничных условиях (4) или (5) необходимо выполнение неравенства
р2 > 2у/й.
(10)
При этом условии общее решение уравнения (9) имеет вид
ш(х) = С1 8ш(т-1х) + С2 8ш(т-2х) +
+с3 соз(т1х) + с4 cos(m2x), (11)
где
mi =
'р4 .р /р* - — т2 = ут — уТ-ш.
(12)
Учитывая, что ш(х) > 0 для любого х е (0,11) и ш(х) = 0 при х е (11,1), то 11 либо совпадает с I, либо находится из решения задачи
ÍU'-
,4
J (w)=2j при ограничении
rl 1
(
2
1
+ uw2)dx ^ min
Ji(w) = 2
2
dx = .
(13)
(14)
Из условия минимума по 11 в задаче ( 1 3)-( 1 4) и с учетом того, что ш(11) = 0, ш'(11) = 0, из ( 1 3) получаем еще одно граничное условие: ш'' (11) = 0. Таким образом, функция ш(х) является дважды непрерывно дифференцируемой на всем интервале [0,1] и удовлетворяет следующим условиям:
w(0) = w(li) = w' (0) = w' (li) w''(li) = 0.
0,
0,
(15)
Подставляя (11) в граничные условия (15), получаем систему уравнений относительно произвольных постоянных с1, с2, с3, с4 и 11
С3 + С4 = 0,
mici + m2C2
0,
ci sin y + c2 sin г + c3 cos y + c4 cos г = 0, < cjmi cos y + C2m2 cos г — c^mi sin y—
—C4'm,2 sin г = 0,
222 cimi sin y + c2m2 sin г + c3m2 cos y+
+c4m2 cos г = 0,
(16)
где y = mili, г = m2li. Рассматривая первые четыре уравнения относительно неизвестных ci-c4 и приравнивая определитель матрицы коэффициентов к нулю, получаем, что для существования нетривиального решения необходимо, чтобы
2гy(1 — cos г cos y) — (г2 + y2)sin г sin y = 0. (17)
Если же рассмотреть первое, второе, третье и пятое уравнения системы (16), то приходим к уравнению
г cos г sin y — y sin г cos y = 0.
(18)
Минимальной критической силе соответствует решение системы уравнений (17), (18)
у = 3п, г = п, т.е. 3п = т^, п = т^ь
Используя равенства (12), находим
р
10 г- 9
(19)
l
n
Если < I, то выражение для прогиба принимает вид
w(x) = с • sin3(m2x)H(l1 - x), x E [0,1], (20)
где m2 = tfw/л/3, H(t)— функция Хевисайда.
1.2. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями шарнирного опирания
В этом случае
w(0) = w(li) = 0, w''(0) = w''(l1) = 0, w'(l1) = 0.
(21)
Тогда в системе уравнений (16) необходимо заменить второе уравнение на mlc3+ш2с4 = 0, откуда, с учетом первого уравнения, получаем, что с3 = с4 = 0 и система (16) заменяется на следующую:
!с1 sin y + с2 sin г = 0,
с1т1 cos y + с2т2 cos г = 0, (22)
с1т1 sin y + с2т2 sin г = 0.
Для существования нетривиального решения последней системы необходимо, чтобы
det( Sm y 8111 г )=0 (23)
m1 cos y m-2 cos г ' v '
sin y sin г det 2 . 2 . =0. (24)
y m1 sin y m2 sin г J K '
Откуда получаем два уравнения
m2 cos г sin y = m1 cos y sin г, m22 sin y sin г = m21 sin y sin г.
Из второго уравнения последней системы следует, что sin y = 0 или sin г = 0. Если sin y = 0, то из первого уравнения имеем sin г = 0 (ибо в противном случае cos y = 0, что невозможно), поэтому
y = m-111 = ni, г = m2¿1 = nj, i,j = 1, 2,.
Из (25) и второго уравнения системы (22) находим
m1
с2 = -с1в-,
m2
где
в =
1, если (i — j) - четное число,
( 1, е<
—1,
— 1, если (i — j) - нечет. число,
а из (11) получаем
m1
w(x) = ci ( sinmix — в-sinm2x ) , (26)
V m2 )
0 < m2x < nj, j = 1,2,....
Обозначим a = m1m--1 = ij-1, тогда формула (12) с учетом того, что
2 1 + a2
a
дает значение критической силы. Подбирая таким образом, чтобы р2 = \/Б было минимальным, а функция w(x) (26) была неотрицательной, находим
5
Р
= I1 =
V2t
Если 11 < I, то прогиб задается формулой
/ \ (г. • пх . 2пх\ ТТ/П w(x) = с( 2эш —--+ эш —— \Ы (11 — х), с> 0.
V 11 11 )
(27)
1.3. Устойчивость стержня при жестких ограничениях на перемещения с граничными условиями свободного края
В случае граничных условий жесткой заделки при х = 0 и граничных условий свободного края при х = I выполнены равенства
w(0) = 0, w'(0) = 0, w''(l) = 0, w'''(l) + Pw'(l) = 0.
(28)
При данных граничных условиях неравенство (10) заменяется на
р2 < 2у/й,
и общее решение уравнения (9) имеет вид:
w(x) = с1еах эш(^х) + с2еах соэ(вх)+
+с3е ax sin(e^) + с4e ax cos(ex),
(29)
где
1
1
а = ^2^ — Р2, в =2\/2^ + Р2- (30)
Будем считать, что существует участок полного прилегания к стенке, т.е.
w(x) = 0, х е [0,11], и w(x) > 0, х е (11,1]. (31)
Как и выше,
w = 0, т' = 0, и)" = 0 при х = 11.
(25) Таким образом, имеем две системы уравнений:
w(l1) = 0, w'(l1) = 0, w''(l) = 0, w'''(l) + Pw'(l) = 0,
w(h) = 0, w''(l1) = 0, w''(l) = 0, w'''(l) + Pw'(l) = 0.
(32)
(33)
Для существования нетривиального решения системы необходимо, чтобы определители матрицы коэффициентов при с1-с4 были равны нулю. Ясно, что в уравнениях (32)-(33) можно положить 11 = 0 (для этого достаточно заменить х на х — 11), тогда I будет неизвестной величиной, подлежащей определению. Положим I = I — 11. Определитель системы (32) имеет вид:
△ 1(ш,1,р) = cos2(ei)(wp2 — у/Шр4 + 2V ш3
и
Р
+ 1 ^(TU3 — 2 up2 — ^р4) + 2 e-ai(VÜ3 —
2
2
2
—1 up2—2 vup4)+VU3—2 up2+1 ^Up4,
а определитель системы (33) равен
△ 2(u,l,p) = 2sin(^> (p2U — p4^^ + 2^) +
+ 4 eala(p2u + p47U — 2^) —
-1 e-ala(p2u + p4^ " 2^3).
Определители p) и A2(w,£,p) были вычис-
лены с помощью системы MAPLE. Таким образом, для нахождения I и p2 имеем систему двух нелинейных уравнений:
△ i(u,l,p) = 0, Д2(и, l , p) = 0.
(34)
Система уравнений (34) решалась методом Ньютона. Результаты вычислений приведены в табл.1.
Таблица 1
Значения критической силы в зависимости от жесткости среды ш
N 1 2 3 4 5 6
u 100 200 350 450 550 800
l 0.745 0.627 0.545 0.512 0.487 0.443
p2 12.6 17.8 23.5 26.7 29.5 35.6
p2 11.9 15.6 19.5 21.8 23.8 28.5
В табл. 1 значения р2 соответствуют критической нагрузке стержня при наличии односторонних ограничений на перемещения при различной жесткости среды ш. Для сравнения, в последней строке приведены значения критической силы Р = р1 для стержня, находящегося в упругой среде, при отсутствии односторонних ограничений на перемещения.
На рис. 1 показано различие форм равновесия стержня после потери устойчивости при наличии односторонних ограничений на перемещения и без ограничений.
Рис. 1. Форма равновесия стержня после потери устойчивости при наличии односторонних ограничений на перемещения (слева) и без ограничений на перемещения (справа).
2. Устойчивость колец с односторонним подкреплением
Рассмотрим задачу устойчивости упругих колец, подкрепленных упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий.
Пусть один конец нити прикреплен к неподвижному центру кольца, другой — к некоторой точке кольца. Предположим, что нить является нерастяжимой, т.е. в результате деформации расстояние между центром кольца и точкой прикрепления не может увеличиваться. Обозначим через $ центральный угол, а через ш($) радиальное перемещение точек кольца. Наконец, предположим, что нити расположены так часто, что их можно считать непрерывно распределенными по кольцу Тогда задача на устойчивость сводится к отысканию таких значений силы Р, при которых вариационная проблема
J(w) =
B
2R
2п
,-2п
(w'' + w)2 d$—
n
— ^ I (w'2 — w2 )d$ ^ min
(35)
Р 2 .) 0
имеет нетривиальное решение при граничных условиях периодичности и ограничениях
ш($) < 0. (36)
Здесь В - жесткость на изгиб в плоскости кольца, а Я - радиус кольца. Первый интеграл в (35) представляет собой упругую энергию, второй - работу сил нормального давления.
Выпишем уравнение Эйлера для функционала (35):
+ (2+ к2)ш'' + (1 + к2)ш РЯ3
w
к2
где <« — в ское уравнение
4
0, (37) Соответствующее характеристиче-
А4 + (2+ к2)\2 + (1 + к2) = 0 имеет решение
Ai;2 = ±i; Аз;4 = ±л/1 + k2i. Тогда функция прогиба представима в виде
w = Ai sin $+A2 cos $+A3 sin a$+A4 cos a$, (38)
где a = y/1 + k2.
Зафиксируем некоторый угол в > 0. Будем считать, что как и в случае стержней w($) < 0, $ е (0,в) и w($) = 0, $ е (в, 2п). Первая производная w'($) должна быть непрерывной при $ е (0,2п), тогда функция w удовлетворяет граничным условиям
w(0) = 0, w'(0) = 0, w(в) = 0, w'(в) = 0. (39)
Подставляя (38) в (39), получим систему линейных уравнений
A 2 + A4 = 0, Ai + aA3 = 0,
Ai sin в + A2 cos в + A3 sin(aв)+ +A4 cos^) = 0,
Ai cos в — A2 sin в + aA3 cos(aв) — —aA4 sin(aв) = 0.
После упрощения, имеем
A3(sin(ae) — a sinв)+ +A4 (cos(ae) — cos в) = 0, A3(a cos(ae) — a cos в)+ +A4(sin в — a sin(ae)) = 0.
(41)
Система уравнений имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, т.е.
d(a) = —2a cos(a^) cos в + 2a— — sin(ae) sin в — a2 sin(ae) sin в = 0. (42)
Решая уравнение (42) относительно неизвестной a, получим функцию a = а(в). При заданном в уравнение имеет бесконечное число корней. Очевидно, что a = 1 является корнем уравнения при любом в. Заметим, что a = 1 соответствует сила P, равная нулю. Далее, находим форму прогиба по формулам (38). Несложно убедиться, что формула (38) при a = 1 дает перемещение кольца как жесткого целого. Следовательно, надо находить минимальный корень уравнения (42), удовлетворяющий условию a > 1. Также необходимо выполнение знаковых ограничений (36). Чем больше угол в, тем меньше к2, а значит и сила P. Значения критического параметра a в зависимости от значений угла в приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения a в зависимости от угла в
в п 4 п 2 3п 4 п 5п 4
a 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841
Численные эксперименты при в > п показали, что график w будет менять знак на интервале (0, в), те. ограничения неотрицательности на функцию w не будут выполняться.
0.4-
0.2-
1 -0.5 0 05 !
\ -0.2-
\ -0.4-
Рис. 4. Форма равновесия кольца в отсутствии подкрепления (слева); форма равновесия кольца, подкрепленного упругими нитями (справа).
Графики собственной функции w($) уравнения (37) приведены на рис. 3: слева - при а\ = 2.4841, справа - при а2 = 2.8413. В обоих случаях w($) меняет знак на интервале [0, в], т.е. ограничение (36) не выполняется. Знаковые ограничения на собственную функцию будут выполнены, если в € (0, п]. Ясно, что минимальной критической силе соответствует значение параметра а = 3 при в = п. В этом случае критическое давление для неподкреп-ленного кольца равно
р = 3^3
Р я3
График функции прогиба при в = п и а = 3 приведены на рис. 2 справа. Различие форм равновесия кольца проиллюстрировано на рис. 4: слева - кольцо без поддерживающих нитей, справа - с нерастяжимыми нитями.
1.
2.
3.
Рис. 2. График определителя й(а) при в = 1.25п (слева); форма прогиба w при в = п (справа).
График функции ¿(а) при в = ^Г приведен 1. на рис. 2 слева. Уравнение ¿(а) = 0 имеет, в данном случае, два корня, значения которых меньше 3:
ах = 2.4841 и а2 = 2.8413.
2.
3.
Рис. 3. Форма прогиба w: при в = 1.25п, а = 2.4841 (слева), при в = 1.25п, а = 2.8413 (справа).
Литература
Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения// Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2005. Т. 11. № 1. С. 177-188.
Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с. Андрюкова В.Ю., Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем с неудерживающими связями// Известия Коми НЦ УрО РАН. 2013. Вып. 3(15). С. 12-18.
References
V.N. Tarasov. On stability of elastic systems at unilateral restrictions on displacement// Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN. Ekaterinburg, 2005. Vol. 11. No. 1 P. 177-188.(in Russian)
A.S. Volmir. Stability of deformable systems. M.: Nauka, 1967. 984 p.(in Russian) V.Yu. Andryukova, V.N. Tarasov. On stability of elastic systems with non-restrictive connections// Izvestiya Komi NTs UrO RAN. 2013. Issue 3(15). P. 12-18. (in Russian)
Статья поступила в редакцию 10.04.2014.
