Об устойчивости колец при односторонних ограничениях на перемещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 18.2013

УДК 539.3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕЦ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Тарасов В.Н., Андрюкова В.Ю.

Аналитически решена задача устойчивости кольца при односторонних ограничениях на перемещения. Рассмотрены два вида нагрузки: нормального внешнего давления и случай центральных сил. Проведен сравнительный анализ полученных результатов.

Ключевые слова: кольцо, критическая нагрузка, устойчивость, нерастяжимые нити, вариационная задача, прогиб.

Введение

Исследуется устойчивость упругих колец, подкрепленных нерастяжимыми нитями. В отличие от классического случая наличие односторонних связей приводит к определению параметров, при которых вариационная задача с ограничениями на искомые функции в виде неравенств имеет нетривиальное решение. В работе приведено аналитическое решение задачи устойчивости колец, подкрепленных нитями, находящихся под действием центральных сил или внешнего нормального давления. Некоторые задачи устойчивости с неудерживающими связями рассматривались авторами в работах [1], [2].

Упругая энергия деформированных колец

Рассмотрим задачу устойчивости упругих колец, подкрепленных упругими нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий. Пусть один конец нити прикреплен к неподвижному центру кольца, другой -к некоторой точке кольца. Предположим, Ч[ТО НИТЬ НСр&СТЯ

жимой, то есть в результате деформации расстояние между центром и точкой прикрепления не может увеличиваться. Обозначим через д -

© Тарасов В.Н., Андрюкова В.Ю., 2013.

центральный угол, -ш(д) - радиальное перемещение, - касательное перемещение точек кольца. Наконец, предположим, что нити расположены так часто, что их можно считать непрерывно распределенными по кольцу. Пусть в - длина дуги кольца, к(в) - кривизна дуги, х(в), у (в) - координаты точек кольца, ¿в = Яйд, где Я - радиус кольца в неде-формированном состоянии. Из дифференциальной геометрии известно

x's(s) = cos ф(в), y's{s) = sin ф(8), k(s) =

(1)

Координаты точек кольца можно рассматривать как функции от центрального угла которые будем обозначать х($), у($), к($). Коор-ДИНсХТЫ точек деформированного кольца по известным перемещениям ВЫЧИСЛЯЮТСЯ по формулам:

{

x(§) = (R + w(§)) cos § — v(§) sin §, y(§) = (R + w(§)) sin § + v(§) cos §.

Дифференцируя равенства (2), получаем:

{

x' = (w' — v) cos § — (R + w + v') sin §, y' = (w' — v) sin § + (R + w + v') cos §,

I

x

(2)

(3)

(4)

(w'' — 2v' — w — R) cos § — (2w' — v + v'') sin §, y" = (w'' — 2v' — w — R) sin § + (2w' — v + v'') cos §.

Известно, что кривизна удовлетворяет соотношению

k2(§) = R (X '2 + y' '2).

Используя выражения (4), получаем:

k2 (§) = (w'' — 2v' — w — R)2 + (2w' + v'' — v)2. R4

Изменение кривизны кольца будет равно k(s) — 1/R, а упругая энергия кольца вычисляется по формуле:

^ = ? I

2nR

{k(s)—R)ds

B í

2Rj„

2п

í(

w

2v

w

------1

R R R

)

2w v v 2

+ R — R + r -1

d§.

2

2

Здесь В - жесткость на изгиб в плоскости кольца. Условие несжимае-

/2 , /2 т-,2

мости оси кольца х + у = К с учетом полученных выражении принимает вид:

(ш' - у)2 + (Я + ш + у')2 = Я2. Преобразуем последнее равенство:

(ш' - у)2 + 2Яш + 2Яу' + (ш + у')2 = 0 (5)

и проинтегрируем его, учитывая периодичность у(д),

п 2п

/ у'йд = у(2п) - у(0) = 0. Уо

Получаем

р2п г'2п

2Я шйд = - [(ш' - у)2 + (ш + у')2] ¿д. (6)

оо

Отбрасывая в (5) нелинейные слагаемые, условие несжимаемости в линейном приближении можно записать в виде

у' = —ш. (7)

Случай внешнего нормального давления

Вычислим работу внешних сил. В соответствии с теоремой Эйлера - Бернулли, работа внешних (гидростатических) сил будет равна произведению силы на разность площадей кольца в деформированном и недеформированном состояниях:

и г = Р

1 Г2п

2 'о

(ху'3 - ух'3)йв - пЯ2

Используя (2) - (4), вычислим

ху'3 - ух'3 = — [Я2 + ш2 + у2 + 2Яш + Яу' + шу' - ш'у]. (8) Я

Учитывая (6), находим

п 2жК г-2п

/ ху'3 - ух'3¿8 = 2пЯ2 + / [ш'(у - ш') - у'(ш + у')] йд. оо

Используя в последнем соотношении условие несжимаемости (7), для работы внешних сил получаем формулу:

р г2п

Ui = - — w'(v - w')dd. (9)

2 Jo

Далее, с учетом условия несжимаемости, имеем:

/TW 2v' W 1) J2W' V vV _

yvR - R - r - ) + VR - r + ~r) -

]J 1 + R(W' + w)2 - R(W' + w) + R(w' - v)2 - lj -

( 1 1 1 \2 - [-2R(w" + w)2 - R w + w) + 2r2 (w' - v)2) -

- R(w'' + w)2.

Таким образом, в квадратичном приближении полная энергия кольца, находящегося под действием сил нормального давления, вычисляется по формуле:

B f2n

J (w) = т^ (w'' + wfdti + Ui, (10)

2R3 Jo

где работа внешних сил, с учетом равенства

р2п р2п р2п

/ w' vd§ = - v'wd§ = w2d§, Jo Jo Jo

имеет вид

р f 2n

Ui = -P (w'2 - w2)dti. 2 Jo

Таким образом, задача устойчивости подкрепленных колец, находящихся под действием нормального внешнего давления, сводится к отыска-

р,

B г2п р г2п

J(w) = (w'' + w)2dd--(w'2 - w2)d$ — min (П)

2R3 Jo 2 Jo w

имеет нетривиальное решение при граничных условиях периодичности и ограничениях

ш(д) < 0. (12)

(11)

wIV + (2 + k2)w'' + (1 + k2)w = 0, (13)

где k2 = ^BRt- Соответствующее характеристическое уравнение

Л4 + (2 + k2 )А2 + (1 + k2) = 0

имеет решение

Л12 = ±i; Л34 = ±V1 + k2i. Тогда функция прогиба представима в виде

w = Л1 sin § + A2 cos § + A3 sin a§ + A4 cos a§, (14)

где a = л/1 + k2.

Допустим, что на интервалах lj = [fij, fíj+i]

m m

w(§) < 0, § e и lj и w(§) = 0, § £ и lj.

j=i j=i

{

(15)

т(в3) = ю%+1) = 0, и' в ) = и' ) = 0.

Ясно, что для решения задачи на устойчивость можно рассматривать только один интервал (т = 1) и можно считать в\ = 0. Обозначим в2 = в- Зафиксируем некоторый угол в > 0. Будем считать, что

и($) < 0, $ е (0, в) и и($) = 0, $ е (в, 2п).

Первая производная и' ($) должна быть непрерывной при $ е (0, 2п), тогда функция и удовлетворяет граничным условиям

и(0) = 0, и'(0) = 0, т(в) = 0, и'(в) = 0. (16)

Подставляя (14) в (16), получим систему линейных уравнений

Л2 + Л4 = 0, Л1 + aA3 = 0,

Л1 sin в + A2 cos в + A3 sin(a^) + A4 cos(afi) = 0, A1 cos в — Л2 sin в + aA3 cos(ae) — aA4 sin(ae) = 0.

(17)

После упрощения, имеем

Л^т^в) — a sin в) + Л4(cos(aв) — cos в) = 0, A3(a cos^[) — a cos в) + Л4(sin в — a sin(aв)) = 0.

Система уравнений (18) имеет нетривиальное решение, если ее опреде-литбль равен нулю ^ то есть

d(a) = —2a cos(a,5) cos в + 2a — sin(ae) sin в — a2 sin(a^) sin в = 0. (19)

Решая уравнение (19) относительно неизвестной a, получим функцию a = a (в). При задан ном в уравнен ие (19) имеет бесконечное число

a = 1 в

Заметим, что a = 1 соответствует сила P, равная нулю. Далее, находим форму прогиба по формулам (14). Несложно убедиться, что формула (14) при a =1 дает перемещение кольца как жесткого целого. Следовательно, надо находить минимальный корень уравнения (19), удовлетворяющий условию a > 1. Также необходимо выполнение знаковых ограничений (12). Чем больше угол в-, тем меньше k2, а значит и сила P в

Таблица 1. Значения критического параметра a в зависимости от угла в

в п 4 п 2 3п 4 п 5п 4

a 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841

Численные эксперименты при в > п показали, что собственная функция ад будет менять знак на интервале (0, в)? то есть ограничения неотрицательности на функцию и> не будут выполняться.

-20-

Рис. 1: График определителя ¿(а) при в = 1.25п(слева); форма прогиба при в = п(справа).

График функции ¿(а) при в = 5П приведен на рис.1 слева. Уравнение ¿(а) = 0 имеет, в данном случае, два корня, значения которых

Рис. 2: Форма прогиба при в = 1.25п, а = 2.4841 (слева); форма прогиба при в = 1.25п, а = 2.8413(справа).

Рис. 3: Форма равновесия кольца под действием внешнего нормального давления (слева); форма равновесия кольца, подкрепленного упругими нитями (справа).

меньше 3: а1 = 2.4841 и а2 = 2.8413. Графики собственной функции 'ш(д) уравнения (13) при граничных условиях (19) приведены на рис.2. Слева - при а1 = 2.4841 справа - при а2 = 2.8413. В обоих случаях -ш(д) меняет знак на интервале [0..в], то есть ограничение (12) не выполняется. Знаковые ограничения на собственную функцию будут выполнены, если в ^ (0,п]. Ясно, что минимальной критической силе соответствует значение параметра а = 3 при в = п. В этом случае, критическое давление для подкрепленного кольца равно Р = Для неподкрепленного кольца Р = Цт. График функции прогиба при в = п а=3

ца проиллюстрировано на рис.3: слева - кольцо без поддерживающих нитей, справа - с нерастяжимыми нитями.

Случай центральных сил

Рассмотрим задачу устойчивости кольца, нагруженного радиальными усилиями. Такие силы можно получить при помощи множества жестких нитей, собранных в центре и натягиваемых грузом. В этом случае при изгибе происходит перераспределение усилий. В области положительных т нити дополнительно растягиваются, а в области отрицательных - укорачиваются. Уравнение равновесия имеет вид [3]:

„ б3 (б2т т \ / ^ ЕЗ\ б (d2w т \ Р бт „

Бб?(1Р + Я) + (Рл + да) бТЛбР + дО + нбв = (20)

Учитывая, что бв = Кбд, получаем равносильное уравнение

В (У5) + 2т(3) + + Р(т(3) + 2т') = 0. (21)

Интегрируя (21) с учетом условия периодичности, получим

+ (2 + к2)т" + (1 + 2к2)т = 0, (22)

где, как и раньше, к2 = ^В3- Последнее уравнение является уравнением Эйлера для функционала:

1 Г2п к2 Г2п

- (т'' + - ^ (т'2 - 2т2)б§.

2 и 0 2 ]о

Соответствующее характеристическое уравнение

Л4 + (2 + к2)Л2 + (1 + 2к2) = 0

имеет мнимые корни

Л12 = ±шъ Л34 = ±га2,

/2 + к2 — л/к4 - 4к2 /~2 + к2 + Vк4 - 4к2

а = V-2-; а = Т

22 Представим искомую функцию в виде

т = А1 в1п(а1^) + А2 еов(а1 $) + А3 вт(а2$) + А4 еов(а2^). (23)

Учитывая граничные условия

т(0) = 0, т'(0) = 0, т(в) = 0, т'(в) = 0, (24)

выпишем систему уравнений

Л + Л4 = 0,

а1^1 + аз Л3 = 0,

Л1 в1п(а1в) + Л2 ео8(а1в) + Л3 вт(а2в) + Л4 еов(а2в) = 0. Л1а1 еов(а1в) — Л2а1 в1п(а1в) + Л3а2 еов(а2в) — Л4а2 вт(а2в) = 0.

(25)

Л3

Л4

Г Л1(в1п(а1в) — а1а2 1 вт(а2в)) + Л2(еов(а1в) — еов(а2в)) = 0, , . \ Л1а1(еов(а1в) — еов(а2в)) + Л2(а2 вт(а2в) — а1 э1п(а1в)) = 0.

Для того, чтобы система уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

б = (э1п(а1в)--1 вт(а2в))(а2 вт(а2в)—а1 в1п(а1в)) —(еов(а1в)—оов(а2в))2.

а2

в

ский параметр к2.

Таблица 2. Значения критического параметра к2 в зависимости от угла в

в п 4 п 2 3п 4 п 5п 4

к2 68.085 21.4046 18.589 10.465 9.951

вв

к2

выбрзьть максимальное в, при котором прогиб /ш($) < 0 $ £ [0,в]. Как и выше получено в = п, при этом к2 = 10.465. Без учета односторонних ограничений на перемещения минимальное значение критического

к2 = 4.5.

Литература

1. Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения. // Труды института математики и механики. Российская академя наук. Уральское отделение. Том 11, № 1, 2005. С. 177-188.

2. Андрюкова В.Ю., Тарасов В.Н. Об устойчивости упругих систем с неудерживающими связями. // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2013. №3(15). С. 12-18.

3. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов./ - М.: Наука, 1967. 376 с.

Summary

Tarasov V.N., Andryukova V.Yu. On the stability of the rings with unilateral restrictions on the moving

The problem of the stability of the ring with one-sided restrictions on the movement analytically solved. Two cases of external pressure: normal pressure and the external pressure of the central forces are considered. A comparative analysis of obtained results is made.

Keywords: ring, critical load, sustainability, non-stretchable thread, variational problem, deflection.

Отдел математики КНЦ УрОРАН Поступила 25.11.2013