Нестаціонарні коливання підвантаженої стрічки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Рис. Модельна карта вибраного проектного маршруту nicoso'i дороги

Лггература

1. Kirby, M. An example of optimal planning of forest roads and projects. In Planning and Decisionmaking As Applied to Forest Harvesting, ed. J. O'Leary, Corvallis OR, USA. Forest Research Laboratory, School of Forestry, Oregon State University, 1973. - Р. 75-83.

2. Mandt, C.J. Network analysis in transportation planning. In Planning and Decision making As Applied to Forest Harvesting, ed. J. O'Leary, Corvallis OR, USA. Forest Research Laboratory, School of Forestry, Oregon State University, 1973. - Р. 95-101.

3. Стирашвський О. Планування маршруту люово! дороги на цифровш моделi мюце-восп. Пращ НТШ. Краезнавство, том 1, KociB, 2005. - С. 215-223.

4. Стирашвський О., Стирашвський Ю. Обгрунтування способу транспортного ос-воення прського люового масиву// Наук. вюник УкрДЛТУ: Люова iнженерiя: технiка, техно-логiя i довкiлля. - Львiв: УкрДЛТУ. - 2004, вип. 14.3. - С. 371-380.

5. Inaba, S., Heinimann, H. R., Shiba, M. A model to estimate rock excavation volume of forest roads in steep terrain conditions. In 112th Meeting of the Japanese Forestry Society, 2001.

УДК 534.111 Проф. 1.В. Кузьо, д-р техн. наук;

ст. викл. М.Г. Яковенко - НУ "Льв1вська пол1техшка"; проф. М.П. Мартинщв, д-р техн. наук - НЛТУ Украти

НЕСТАЦЮНАРН1 КОЛИВАННЯ П1ДВАНТАЖЕНО1 СТР1ЧКИ

Запропоновано шженерну методику розрахунку нестащонарних коливань ру-хомо'1, тдвантажено! роликом чи рулоном с^чки.

Prof. I.V. Kuzjo; senior teacher M.G. Jakovenko - NU "L'vivs'ka Politekhnika";

prof. M.P. Martynciv - NUFWT of Ukraine

Unstationary vibrations of underloaded ribbon

The engineering method of calculation of unstationary vibrations of mobile, underloaded by a roller or roll of ribbon is offered.

Сучасш вимоги до точностi транспортування с^чки у зону запису-вщ-творення шформаци потребують врахування можливих чинникiв збурення ко-ливальних процесiв стрiчки. У загальному випадку, згiдно з [1], збурення ощ-нюють сумою детермшовано! i випадково! складових, у довшьнш, аналiтично вираженiй, функци часу. Беручи до уваги те, що вона задовольняе умови Дь рiхле, 11 можна подати у виглядi ряду Фур'е. Тодi кожну складову функци збурення можна розкласти по кожнш iз форм вiльних коливань с^чки i, просу-мувавши, одержати вщповщно пошуковий результат. Незважаючи на велику трудомютюсть таких розрахункiв, цим класичним методом можна було б ко-ристуватись. Проте, як видно iз [2] i попереднiх дослщжень, форми вiльних коливань е комплекснозначними функщями, частоти вiльних коливань - ком-плексними величинами, а операци розкладання за функцiями вiльних коливань допускаються тiльки для дшсних значень форм вiльних коливань i частот. Отже, постае актуальне завдання пошуку iнших методiв розв'язання поставлено! задачi.

Динамiчнi процеси у пружних рухомих одновимiрних системах мате-матично описують гiперболiчним рiвнянням у частинних похiдних [3-5]. При цьому беремо, що натяг стрiчки стабшьний, початок координат знаходиться на кшщ стрiчки, де вiдбуваеться кшематичне збурення, а з iншого - стрiчка пiдвантажена сконцентрованою масою.

Позначимо:

• и (х, г) - перемщення стр1чки з координатою х у довшьний момент часу г;

• С - швидшсть поширення пружно! поздовжньо! хвил1 (е2 = ЕБ/ш);

• Е, Б, ш0 - модуль пружносп першого роду, очення 1 маса одинищ довжини стрчки;

• I, шнос. - довжина 1 маса стр1чки;

• УИ - стацюнарна швидк1сть руху стр1чки.

Тодi

^ + 2Уи £ - (^ = 0' (1)

для 0 < х < 1, г > 0 за граничних умов

и (х, г ) = ¥ (г) И (г), х = 0; (2)

а2и д2и У2 52и ЕБ ди 0

—г + 2УИ-+ У2 —Т +--= 0, х = I,

дг дхдг дх ш рул дх

рул

де: ¥ (г) - довшьна функцiя часу;

, ч М, при г > 0 И (г) = < - функщя Хевiсайда.

[0, при г < 0

Приймаемо початковi умови

ди

и = — = 0, г = 0. (3)

дг

Ця задача в математичному плат е початково-граничною i мае вигляд стацюнарно! чи нестацюнарно! - залежно вщ виду функци ¥(г). Одержати чисто математичний розв'язок, тобто функщю, яка б задовольняла граничнi

умови i саме рiвняння, не створюе особливих труднощiв [6-8]. Проте виникае проблема використання такого ршення для шженерних розрахункiв чисель-ними методами, а розв'язюв поставлено! задачi у такому аспект не iснуе.

Метою роботи е отримання методу розв'язання задачi, придатного для iнженерних розрахунюв нестацiонарних коливань стрiчки у зош запису-вщ-творення iнформацi!.

Використавши вщоме трактування Даламбера, що коливальний рух можна подати у виглядi суми прямих i зворотних хвиль [9], отримаемо:

и (х, г ) = /1

х

г + —

У1

V

+ /2

с \

г х

у

V

V

(4)

2

де /1, /2- невiдомi двiчi диференцiйованi функцi!. (У1 = С - УИ; У2 = С + УИ).

Безпосередне диференщювання переконуе, що функцiя (4) задоволь-няе рiвняння (1) для вЫх 0 < х <1 i г > 0 незалежно вiд функцiй /1 (г) i /2 (г).

Пiдставляючи ршення (4) в граничнi умови (2), отримаемо систему функцюнальних залежностей

/1 (г) + /2 (г ) = ¥ (г) И (г), (5)

(6)

/г + г,) + К/ (г + г,) + /г - г2) + ьъ/г (г - г2 ) = ¥,

11. .....

де: г1 = —, г2 =--тривалiсть проходження прямо! i зворотно! хвиль;

У1

У2

а

^ =е! и =

4_ Уl2, а5 = У22, И = ш Л

ЕБ п ЕБ .. . . -, И5 =--постiйHi коефiЦiенти,

Ш рулУ2

2 "' рул'

де Е - невiдомa довiльна стала iнтегрування. Крiм цього, задовольняючи цим же розв'язком почaтковi умови (3), отримаемо рiвняння

/11

./1

х

г \ х

V 1 У

У1 + /2

+/2

г \ х

Ч_ У2 у

0

х

Ч ^У

0. 0 < х <1.

(7)

Припустимо, що розв'язок вихiдно! зaдaчi юнуе i е единим. З цього розв'язку випливае тiльки один розв'язок залежностей (5-7).

З метою задоволення умов (7) для вЫх 0 < х <1 замють невщомих функцiй / (г) i /2 (г) введемо новi (р1 (г) i ц/х (г).

/1 (г) = ^ (г - г1 )И(г - г,), (8)

/2 (г ) = ( (г) И (г). (9)

Пересв^имось, що функцi! /1 (8) i /2(9) задовольняють умову (7). /1 (0) = 0, а /2 (0) = ( (0), звщки випливае, що / (0) + /2 (0) = ¥(0), тобто

(1 (0 ) = ¥ (0 ) = ¥,. (10)

Накладемо додатковi умови

(о )=о, (о )=о.

Тодi похiднi функцш i /г (г)

/ (г ) = ^ (г - ?!) н (г - ?!), / (г ) = ( (г) н (г) + г),

де 3( г) - функщя Дiрака. Отже

(11)

/1

с \ X

+ /г

с \ X

ч" У

= ^1

с \ X - I

н

с \ X - I

Ч^У

+ (

/ Л X

ч" ^ У

н

с \ X

ч" ^ У

З урахуванням властивостей функци Хевюайда (при X = 1 - оскшьки у/(0) = 0) цей вираз дорiвнюе нулю за умови 0 < X < I. Таким чином,

г \ X

VI

+ /г

1

Г \ X

Ч V У

= 0 для вЫх 0 < X < I.

Виконання друго! умови (7) перевiряеться аналогiчно. Таким чином отримаемо

/ í ^ V /

1

с \ X

ч-V; у

= ^1

с \ X -1

ч~у

н

с \ X -1

+ (

с \ X

Ч- ^ У

н

/ л

X

Ч- ^ У

+ ^

с \ X

ч- ^ У

= 0.

Отже, постае задача (за наявност початкових умов ( (0) = у/1 (0 ) = ^ (0 ) = 0) визначення з системи функщональних залежностей функцш (р1 (г) i ц/1 (г) та стало! штегрування Е

( (г) н (г) + (г - г,) н (г - г,) = ^ (г)н (г),

(г)н(г) + (г)н(г) + [а( (г - г;) - в5( (г - г;)]н(г - г;) - а5г -г2 ) = Е

. (12)

Приймаючи у другому рiвняннi спiввiдношення (12) г = 0 (за умови ^ (0) = ц/\ (0) = 0), отримаемо Е = 0 . З цього ж рiвняння, розглядаючи його як лшшне вiдносно функци у/1 (г) н (г) з нульовою початковою умовою, знайдемо

г-г2

(г)н(г) = -д( (г -г2)н(г -г2) + р | x(г-гг(4)н(^К, (13)

-г,

Бл

а,

де X = —, д = —, р =

а

а

а4 Ь5 + а5Ь4 а;

4 4 4

Пiдставивши замiсть а4, а5, Ь4, Ь5 вiдповiднi вирази, отримаемо

д

/ \ г ч V; у

, Р

с2 ЕБ

+

с2 ЕБ

V4

2ЕБ

/ ТГ \

с

V.

- V V, У

рул V г у

т рул С

Позначивши ¡и = 2ЕБ та враховуючи, що У2 > У1, { д < 1, отримаемо р = ¡ид.

Ш рулС

Формула (13) уможливлюе вираження функцп у/1 (г) через ((г). Зпд-но з [10] перше р1вняння з системи (12) виглядатиме

(г) И (г) = ¥ (г) И (г) - ((г) И (г),

п * де П =--оператор.

Визначимо вплив оператора на функцш /(г): е~АП/(г) = /(г -А).

Застосовуючи оператор е л до обох частин р1вняння, отримаемо (г) И (г) = егП [¥ (г) И (г) - ((г) И (г)].

Поставивши у/1 (г) И (г) у формулу (13), знайдемо

егП [ ¥ (г) И (г)-((г )И (г )] = е

-п -4(1 (г)И(г) + р [ е-(4)И(4)*(!)

-г2 ]

Позначимо А = г1 + г2 - сумарний час поширення прямо! \ зворотно!

хвиль.

Запишемо останне р1вняння у вигляд1

I

((г) И (г) = ¥ (г) И (г) + де~АП(1 (г )И (г) - ре~АП [ е" х(г~4)(р1 (4) И (4)*4, або

-г,

(1 - де-АП ) (г )И (г ) = ¥ (г )И (г)-ре'АП [ е"-«(1 (4)И

-г2

Обернений оператор до оператора у круглих дужках дор1внюе

(1 - де~АП) =£ д"е~пАП.

п=0

Позначивши /0 (г) = ^ дп¥ (г - пА)И (г - пА), ф(г ) = (1 (г) И (г), наве-

п=0

дене вище р1вняння перетворимо до вигляду

-АП г

Ф(г) = /0 (') - [ е" х(-«Ф(4)*4. (14)

2

Розглянемо 1нтегральне р1вняння В. Вальтерра другого роду, що е, як вщомо, окремим випадком р1вняння Фредгольма

Ф(г ) = /0 (г )-и[ е" х(г-4)Ф(4)*4. (15)

2

Зпдно з [11], розв'язок цього рiвняння за умови неперервностi фун-кцш /0 (г) i Ф(^), а також при будь-якому (комплексному чи дiйсному) значены и буде единим i е абсолютним i рiвномiрно збiжним рядом

ф( г) = ф 0 (г) + иф1 (г) + и2 Ф 2 (г) + и3Ф 3 (г) +... + и" Ф „ (г) +... Для функци Ф" (г), поставивши вище наведений розв'язок у рiвняння (15), отримаемо рекурентш сшввщношення: Ф0 (г) = /0 (г),

Ф1 (г) = в"xг } в*Ф0 (№, Фг (г) = е-xг } ^Ф0 (№,

-г2 -гг '

"-1

г (г -£)

Ф"(г) = в"" I (_ 1),в*Ф0(гК-

-г

Таким чином, розв'язок рiвняння (15) можна записати у скороченому виг-

ляд!

х г (г -£)""1

Ф(г) = | У(п - [у в *Ф 0 (№ + Ф 0 (г). (16)

"=1

-гг

^ -Ао цда

Беручи до уваги те, що а = в , запишемо и = --

1 - да

У цьому випадку рiвняння (14) переходить у рiвняння (15), а його розв'язок (16) переходить у юнцевий розв'язок рiвняння (14). Подаемо и" у вигля-да, що забезпечуе вiдображення впливу оператора на функци Фп (г). При цьому

й"-1 Г 1 1 (п - 1)!а"-1 . 1 1 й"-1 Г 1

' ( - звiдки - '

йд"-1 [1 - да(1 - да)" ' (1 - да)" (" - 1)!а""1 йд"-1 [1 - да ]'

З iншого боку

й"-1 Г 1 1 ( 1)( "-1 "! " (" +1)! "-1 г (" -1 + к)! к

-т \-> = {" -1 )!а" 1 + — а"д + --- а" 1д + ... + --- а" 11 дк + ..

йд [1 - да М ' 1! 2! к!

^ 1 л " (" +1)" 2 2 ^^к к к

Отже-= 1 + — ад + ^-'— а д + ... = > С ,акдк

(1 - да)) 1! * 2! 4 ¿0 ""1+к

х

Визначаемо и" =(-1)" м"д" £ Скп_1+ка"+кдк,

к=0

к

де С-1+к - кiлькiсть комбiнацiй з (" -1 + к) елемент1в по к. Розв'язок рiвняння (14) запишемо у виглядi

Ф(') = /с(г) + :С(-(1)2/1)д2£сидкв^к)АО. /г-«'-« (г -#)"- /0(17)

"=0 (" -1)! к=0 -г2

х

де: Ф(г) = ((г) н (г), /0 (г) = £ дт¥ (г - тА)н (г - тА) + ^ (г )н (г).

т=1

Необхщно зазначити, що для будь-якого значення г функщя /0 (г) зав-жди виразиться у вигляд1 кшцево! суми доданюв. Дшсно, нехай

гА< г <(г +1) А, де I = 1, 2, 3, ..., тод1 г = г + ¿А, де 0 < г < А.

Запишемо функцш /0 (г)

х

/0 (г) = /0 (г + ¿А) = ¥ (г + ¿А) + £ дш¥ [г - (ш - г )А] И [г - (ш - г )А] .

ш=1

Якщо значення ш > г, то в1дповщш доданки дор1внюватимуть нулю, тоб-

то

/0 (г + ¿А) = ¥ (г + гА) + д¥ [г+(г -1) А] + д2 ¥ [г+(г - 2) А] +... + дг"1¥ (г + А) + 4¥ (г). Дат у сум1 виразу (17) розглянемо його частину, що в1дповщае /0 (г + г А).

е "(п+к)АП [ е-х(г-4)(г - 4)п-1 /0

-г 2

г-(п+к)А

= [ е-х['-(п+к)А-4][г -(п + к)А-4]п-1 /0(4)4

-г2

х г-(п+к)А

= £^ [ е"х[г"(П+к)А"4][г -(п + к)А-4]п-1 ¥(- шА)И(4- шА)*4 =

ш=0 -,2

г—(ш+к+п )А

£дш [ е"х[г-(+к+ш)А-п] [г - п - (п + к + ш)А]п-1 ¥(п)И(п)*п

ш=0 - г„

'2 - шА

В останньому вираз1 проведена замша 4 - шА = п . Запишемо г = г + г А в штеграл1 шд знаком суми

г+(г - ш—к-п )А

[ е"х[г+(г-ш-к-п)А-п] [г + (г - ш - к - п) А = п]"1 ¥(п)И(п)*П <

-г2-шА

Як видно з наведено! формули, при ш + к + п > г штеграл дор1внюва-тиме нулю. Тому ш + к + п < г, а також: 1 < п < г; 0 < к < г - п; 0 < ш < г - п - к. Введемо нов1 шдекси г = п ; ; = п + к; у = п + к + ш, тод1 1< г < /; г < ;

< /; ; <у < г. Шсля чого функщя Ф(г) набуде вигляду

ф(')=/с ()+££4 Т г4""-у)А-п] [г+(- у) а - п]¥(п)*п.

г=1 (г 1)! ;=г у=; -г2-(у-;)А

Для спрощення розрахунюв приймаемо г = п; г = ш ; ; = к, шсля чого функщя

п

Ф(г) = Ф(г + пА) = ((г) И (г) = ((г + пА) И (г + пА) = £ дш¥ [г + (п - ш )А] +

( ) ш=0 (18) п п п /1\ш г+("—3)А Г , У 7

+£££тшгигс^ч' [ е-)А-[г + (п - ])А - п~]¥(п)с1п.

ш=1 к=ш у=к 0

Пошукова функцiя, яка е розв'язком задачi нестацiонарних коливань носiя, визначаеться формулою

U (xyt

Хэ

т + nA— +—

1 V

H

Хэ

т + nA-t + —

1 V

+ 91

Х

т + nA—-

V

V

H

Х

т+nA—-

2 у

V

F

Х

т + nA+—

V

V

Х

т + nA+—

V

V

H

Х

т + nA+—

V

V

+ (

Х

т + nA—3

V

V2

H

V2 У

Х

т+nA—3

(19)

2 у

V

V У

Пiдставивши значення функцй ( (т + nA)H(т + nA) в рiвняння (19),

отримаемо розв'язок рiвняння у розгорнутому виглядд. Вiдзначимо деякi особливостi ще! функцй: коливання точки запису-вщтворення шформацй у загальному випадку подаеться сумою коливальних процесiв початково! функцй, тобто збурення, i наступними значеннями коливань прямих i зворотних хвиль. Подальшi хвилi накладаються iз певним змщенням у часi, що визначаеться значенням фази (рп.

Необхщно вщзначити, що кожна наступна хвиля штенсившше загасае порiвняно з попередньою. Тривалiсть цього загасання залежить вщ вщношен-ня швидкостей прямо! та зворотно! хвиль (коефiцiент q), а також впливу маси рулону, що визначаеться граничними умовами (коефщент ¡и).

Особливютю запропоновано! методики е подання часу t коливальними параметрами системи, тобто

t = nA + т, A = — +

V V2

0 < т < A.

т = К3h.

h=А, 10

де К - = 0, 1, 2, ..., 10.

Зв'язок мiж просторовими прямими i зворотними хвилями визначаеться рiвнянням Вольтерра другого роду.

Таким чином, запропонований спошб отримання шуканого рiшення може устшно застосовуватися для iнженерних розрахункiв нестацюнарних коливань стрiчки чисельними методами.

Л^ература

1. Лауфер МВ. Измерение нестабильности скорости носителя записи. - М.: Связь, 1980. - 104 с.

2. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. - М.: Наука, 1968. - 504 с.

3. Барвинский А.Ф., Пархоменко А.Л. Анализ собственных частот подвижного элемента с распределенными параметрами в двухмассовой колебательной системе// Вестник ЛоЛПИ: Математика и механика. - Льв1в: ЛоЛПИ. - 1977, № 119. - 173 с.

4. Своуп Р.Д., Эймс В. Колебания движения нити/ В кн. "Механика", 1964, № 4. - 86-92 с.

5. Доценко П.Д. Колебания и устойчивость движущейся полосы. - М.: Машиностроение. - 1969, № 5. - С. 38-42.

6. Голоскоков Е.Г. Нестационарные колебания механических систем. - К.: Наук. думка, 1966. - 460 с.

7. Харкевич А.Л. Неустановившиеся волновые явления. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 202 с.

8. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища шк., 1976. - 592 с.

9. Мигулин В.В. и др. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1978. - 390 с.

10. Маслов К.С. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 543 с.

11. Прохоров А.М. Физическая энциклопедия т.1. - М.: Энциклопедия, 1988. - 704 с.

I