CC BY
9
Науковий BicHiiK, 2002, вип. 12.8
Роздт II
Л1СОЕКСПЛУАТАЦ1Я
УДК 534.111 Проф. М.П. Мартинщв, д-р техн. наук;
ст. викл. Й.Л. Ацбергер - Укр ДЛТУ; проф. 1.В. Кузьо, д-р техн. наук;
доц. Б.1. Сокт, д-р техн. наук - НУ '^beiecbrn полтехшка
НЕЛ1Н1ЙН1 КОЛИВАННЯ КАНАТУ 13 ЗОСЕРЕДЖЕНИМИ
МАСАМИ
В рамках нелшшно'1 моделi поперечних коливань канату (струни), дослщ-жуеться вплив зосереджених мас на динамжу процесу. Отримано залежносп, як описують вплив зосереджених мас та фiзико-механiчних характеристик канату на ампттуду i частоту його коливань.
Prof. M.P. Martynciv, Y.L. Azberger - USUFWT;
Prof. I. V. Kuzio, doc. B.I. Sokil-NU "Lvivs'kaPolitekhnika"
Nonlinear oscillations of a rope co by the concentrated masses
Within the framework of nonlinear model of transversal oscillations of a rope (string), the influence of the concentrated masses on dynamic of process is examined. The associations are obtained which describe influence of the concentrated masses and physical-mechanical performances of a rope on amplitude and frequency of his oscillations.
Динамiчнi процеси, як мають мкце в pi3Horo виду канатних тдшсних дорогах, вивчались в основному за i'x ттйними розрахунковимми моделями (див. наприклад, [1,2]). В таких постановках задач не враховуеться, наприк-лад, додатковий натяг канату, зумовлений його видовженням та й силою опору чи iншi дисипативш сили, як реально iснують, приймаються за найпрость ших гiпотез (законiв). Останне призводить до не завжди адекватного ввдобра-ження реально iснуючого процесу. Нижче розглядаеться задача про коливан-ня канату з урахуванням деяких iз наведених вище нелiнiйних сил, зокрема, додаткового натягу, а також буде враховано наявшсть у окремих його точках зосереджених мас (рис. 1).
Укра'нський державний лкотехшчний унiверситет
X х+ск хп
Рис. 1. Розрахункова модель та схема сил, як Ыють на елемент канату iз зосередженими масами
Диференщальне рiвняння руху тако'' системи приймае вигляд:
iV
тоЩг =+ А8)ихх - X тпигг§(х - хп),
(1)
п=1
де: п(х,г) - перемiщення перерiзу канату з координатою х в довшьний момент часу ?; т0 - маса одинищ довжини канату; тп - величина зосередже-но'1 маси, яка перебувають у точцi канату iз координатами хп (п = 1,2,...,Ы);
i А8 - вщповщно натяг i додатковий натяг канату зумовлений видовжен-ням дтянки довжиною dx; 8(...) - дельта функщя Дiрака.
Додатковий натяг канату без урахування зосереджених мас визна-чаеться залежнiстю
А8 = 2-1 Е¥ (их )2 , (2)
в якiй Е - модуль пружносп першого роду, ^ - площа поперечного перерiзу канату.
З врахуванням останнього, диференцiальне рiвняння поперечних ко-ливань канату приймае вигляд
2
- а2ихх = -Ь(их ) ихх - X Ф - хп ) ,
(3)
п = 1
де: а2 = molTo, Р = (2т0) 1, Уп = т01тп.
У бтьшосп випадкiв експлуатацií пiдвiсних канатних дорп^ мае мiсце наступне спiввiдношення мiж коефiцiентами а, Ь i уп: а2>> Ь i а2>> уп. Остaннi спiввiдношення мiж коефiцiентами рiвняння (3) дозволяють застосу-вати для aнaлiзу коливального процесу, який мае мюце у дослщжуванш сис-темi, асимптотичних методiв нелшшно'' мехaнiки [3,4]. Згiдно iз останшми, розглянемо спочатку так зване незбурене рiвняння, тобто рiвняння (3) без право'' частини. Його одночaстотнi розв'язки за крайових умов, якi вщповща-ють зaкрiпленим кiнцям канату, тобто
и(0,г ) = и (¡,? ) = 0 (4)
мають вигляд
( \ . кк (акк и (х,? ) = аБт—xcos\-? + 6
I V I ,
де: а i 6 - сталь к = 1,2,..., I- довжина канату у недеформовашм сташ.
(5)
и
Науковий вкник, 2002, вип. 12.8
Треба вщзначити, що система функцш {хк (х)}= \ 81пкр х
яка описуе
форми власних коливань канату, мае властивкть повноти та ортонормова-носп. Ця властивiсть, цiеí системи функцш, значною мiрою полегшуе розв'я-зання задачi про знаходження впливу зосереджених мас i видовження канату на амплиудно-частотну характеристику його коливань. Для цього домножи-мо обидв чистини збуреного рiвняння (3) на функщю Xk (x) i з^егруемо от-риманий вираз по лшшнш змiннiй. Це дозволяе звести задачу про побудову i дослвдження розв'язку крайово!' задачi (3)-(4) до бшьш простiшоí - побудови i дослiдження розв'язку звичайного квазiлiнiйного диференщального рiвняння:
ч2 N
T + a2
T = PT3 - Xg
n=1
,pxk l
(6)
де P = 4 P,
g n =
N
Як i для диференщального рiвняння (3), величини P i ^ gn
n=1
l
значно меншими вiд коефщенту при шуканiй функцií у лшш частинi нель нiйного диференцiального рiвняння (6). Це дозволяе застосувати для його ш-тегрування асимптотичнi методи нелшшно!' механiки [3]. Згiдно iз останшми, перше наближення асимптотичного розв'язку ршняння (6) можна записати у виглядi залежностi T (t )= a cos y, в якш амплiтуда a i фаза y одночастотного процесу визначаються системою диференщальних рiвнянь:
l
2p
а =--— J
2p2a 0
Pa3 cos3 y- acosy ^gn sinpXk-
n =1
p l l 2p2aa
2p
Pa3 cos3 y- acosy Sgn sinPxk-
sin ydy = 0, cosydy =
p 3Pa2 l
= a— l
N
(7)
pxk
8pa
— S g nsin~r-
l
2ра П=1
Таким чином, як i необхiдно було чекати, у запропонованiй постанов-цi задачi, амплiтуда коливань канату з часом не змiнюеться, адже система консервативна (величина амплиуди коливань залишаеться ршною И початко-вому значенню). Що стосуеться частоти коливань, то тут, як випливае iз дру-го1 формули залежностей (7), у нелшшнш постановцi задачi мають суттевi вiдмiнностi вiд вiдомих з лшйно1 теорií:
• по-перше: врахування видовження канату призводить до того, що розрахун-кова частота його власних коливань стае меншою порiвняно iз власною частотою у лшшнш постановщ (без урахування видовження);
• по-друге: якщо у лшшнш постановщ частота (перюд) коливань канату зале-жить тiльки вiд його початкового натягу i маси, то у нелшшнш ще i вщ фiзи-
2
p
n
l
е
i
n=1
0
Украшський державний лкотехшчний унiверситет
ко-механ1чних властивостеи матер1алу канату та ампл1туди коливань, причо-му 1з зб1льшенням початково! ампл1туди коливань частота зменшуеться; • по-трете: що стосуеться зосереджених мас, то !х наявн1сть вздовж канату призводить до зростання частоти коливань 1 !х вплив суттево залежить в1д розмщення.
Отримaнi результати дають можливiсть дослiдити також вплив на частоту дина)шчного процесу канату шдкршлень окремих його дшянок. Дшсно, граничним переходом iз (7) отримуеться:
. к 3Вa2 к ь , \ . кх , ,0.
у = а------1--I т(х)вт—dx, (8)
¡ 8ка 2¡аm0¡ a I
де т(х) - закон розподшу маси пiдкрiплення на дiлянцi iз координатами початку i кшця вiдповiдно a i Ъ.
Отримаш результати без особливих трудношдв узагальнюються i на бшьш складш випадки коливань канату - випадки, якi враховують даю малих перюдичних (у тому числi та 1мпульсних), дисипативних чи шшо'' природи сил.
Лггература
1. Гащук П., Зорш Л. Лшшш модел1 дискретно-неперервних мехашчних систем. -Львш: Украшсью технологи, 1999. - 372 с.
2. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 710 с.
3. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища школа, 1976. - 592 с.
4. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
УДК630x236.002.5 Доц. В.К. Тгунчик, канд. с.-г. наук,
В.Ю. Большинський - УкрДЛТУ
МЕХАН1ЗАЦ1Я ДОГЛЯДОВИХ РУБАНЬ В МОЛОДНЯКАХ I ПЕРСПЕКТИВИ II РОЗВИТКУ
Наведеш даш 3i застосування ново! технжи для доглядових рубань в молодня-ках i перспективи i"i розвитку.
Doc. V.K. Tiunchyk, V.Yu. Bolshynsky - USUFWT
Mechanization of improvement felling in juvenile and prospects of their
development
Data on use of new equipment for improvement felling in juvenile and prospects of their development.
1нтенсифжащя лкогосподарського виробництва ткно пов'язана з шд-вищенням продуктивной лiсiв при одночасному зниженш матерiальних i трудових витрат. У шдвищенш продуктивностi лiсiв велике значения нале-жить своечасному та якiсному веденню доглядових рубань в молодняках. Рубки догляду у молодняках е основним лкшничим прийомом формування високопродуктивних деревосташв. Нарiвнi з пiдвищениям продуктивностi ль
